Tipe Peubah Acak. Diskret. Kontinu

 

N x

N

i



i





 ¹

2 2





Tipe Peubah Acak

• Diskret

– Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)

– Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A

• Kontinu

– Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable)

– Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval

– Misalkan X = tinggi badan (cm)

Peubah Acak Diskret

• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

• Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari

peubah acak tersebut

• Jumlah total nilai peluang dari semua

kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1

• Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut

•• Sebaran Peluang Peubah Acak X Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.

kejadiannya.

•• SebagaiSebagai ilustrasiilustrasi dalamdalam percobaanpercobaan pelemparanpelemparan sebuah

sebuah dadudadu bersisibersisi enamenam yang yang seimbangseimbang. . Ruang Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

X = munculnya sisi dadu yang bermata genap X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}

= {0, 1}

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi

Daerah fungsi Wilayah fungsiWilayah fungsi

S1 . S2 . S3 . S4 . S5 . S6.

X(ei)

. 0 . 1

Kembali

Kembali keke IlustrasiIlustrasi PelemparanPelemparan sebutirsebutir dadudadu yang yang setimbangsetimbang SEBARAN PELUANG

SEBARAN PELUANG daridari peubahpeubah acakacak X X dapatdapat dijabarkandijabarkan sebagaisebagai berikut

berikut: :

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang muncul Sisi yang muncul

Kejadian SS₁₁ SS₂₂ SS₃₃ SS₄₄ SS₅₅ SS₆₆ Peluang

Peluang kejadian kejadian

1/6

1/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

X

X 00 11 00 11 00 11

x 00 11

P(X=x)

P(X=x) 1/21/2 1/21/2 X

X 00 11

Nilai Harapan Peubah Acak Nilai Harapan Peubah Acak

Diskret Diskret

•• Nilai harapan dari peubah acak adalah Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang percobaannya dilakukan secara berulang-- ulang sampai tak berhingga kali.

ulang sampai tak berhingga kali.

•• Secara matematis nilai harapan dapat Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:

dirumuskan sebagai berikut:









n

i

i

x p x

x X

1

diskret p.a

X jika ),

( )

(

Sifat

Sifat--sifat nilai harapan: sifat nilai harapan:

•• Jika c konstanta maka E(c ) = c Jika c konstanta maka E(c ) = c

•• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X)

c E(X)

•• Jika X dan Y peubah acak Jika X dan Y peubah acak maka E(X

maka E(X Y) = E(X) Y) = E(X)   E(Y) E(Y)

Ragam Peubah Acak Ragam Peubah Acak

•• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

berikut:

V(X) = E(X

V(X) = E(X--E(X))E(X))²²

= E(X

= E(X²²) ) –– [E(X)] [E(X)] ²²

•• SifatSifat--sifat dari ragamsifat dari ragam –

– JikaJika c c konstantakonstanta makamaka V(c ) = 0V(c ) = 0 –

– Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c

V(cX) = c²² V(X)V(X) –

– JikaJika X dan Y X dan Y peubahpeubah acakacak makamaka, , V(X

V(XY) = V(X) + V(Y) Y) = V(X) + V(Y)  CovCov(X,Y)(X,Y) Dimana:

Dimana: CovCov(X,Y) = E(X(X,Y) = E(X--E(X))E(YE(X))E(Y--E(Y)), E(Y)), JikaJika X dan Y X dan Y saling

saling bebas bebas makamaka CovCov(X,Y) = 0(X,Y) = 0

Contoh:

Contoh:

•• JikaJika diketahuidiketahui distribusidistribusi peluangpeluang daridari peubahpeubah acakacak X X seperti

seperti tabeltabel di di bawahbawah

•• DenganDengan demikiandemikian nilainilai harapanharapan p.ap.a X X adalahadalah::

E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6

E(3X) = 3 E(X) = 45/6

Nilai peubah Acak X Nilai peubah Acak X

X

X 00 11 22 33 44 55

P(X=x

P(X=x_II)) 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

X

X_iip(xp(x_ii)) 00 1/61/6 2/62/6 3/63/6 4/64/6 5/65/6

V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)²

= 55/6 - 225/36 = 105/36

Beberapa sebaran peluang diskret

• Bernoulli

• Binomial

• Poisson

• Hipergeometrik

Sebaran Peluang Bernoulli

– Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

– Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

– Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

P(x,p)=p^xq^(1-x), x=0,1

– E(X) = p var(X)= p(1-p)

Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring

sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.

Contoh

Di awal tahun ajaran baru, siswa SMP kelas III biasanya berharap bisa melanjutkan sekolah ke sekolah favorit, begitu juga dengan Anne. Dia berharap bisa masuk sekolah favorit yang diinginkannya, tapi untuk bisa masuk ke sekolah

tersebut, ia harus mengikuti tes terlebih dahulu. Berdasarkan prestasinya selama 3 tahun di SMP, kemungkinan ia diterima sebesar 70%. Jika variabel acak X menyatakan Anne diterima, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut:

Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan satu parameter p = 0,7. Dinotasikan:

atau

Sebaran Peluang Binomial

– Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas – Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari

kejadian sukses, X=0,1,2,….,n

– Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)p

^x

q

^(n-x)

, x=0,1,2,…,n dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

– E(X) =np var(X)=np(1-p)

Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan

p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas

G S G

S G G

G G S

S S G

S G S

G S S

S S S x=3

x=2

x=1

2 3 2(1 ) 2

) 3 2

(   ^









 p p

X P

3 3 3(1 ) 3

) 3 3

(   ^









 p p

X P

1 3 1(1 ) 1

) 3 1

(   ^







 

 p p

X P

G G G x=0 ⁰(1 )^{3 0}

0 ) 3 0

(   ^









 p p

X P

Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p

CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL

PT MJF mengirim buah melon ke Hero. Buah yang dikirim 90%

diterima dan sisanya ditolak. Setiap hari 15 buah dikirim ke Hero.

Berapa peluang 15 dan 13 buah diterima? Hitung probabilitas 10 buah diterima???

Jawab:

P(p) = 0,9 dan P(q) = 1-0,9 = 0,1

P(15) = [15!/(15!(15-15)!] 0,9¹⁵0,1⁰ = 0,206 P(13) = [15!/(13!(15-13)!] 0,9¹³0,1² = 0,267

Untuk mencari nilai distribusi binomial dapat menggunakan tabel distribusi binomial dengan n=15; di mana X =15, dan X = 13 dengan P(p)= 0,9 dan dapat diperoleh nilai 0,206 dan 0,267

Sebaran Peluang Poisson

– Terdiri dari hasil percobaan yang terjadi

selama suatu selang waktu tertentu atau di daerah tertentu

– Nilai-nilai peluangnya hanya bergantung pada μ .

– Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson dapat dituliskan sebagai:

e

^-μ

μ

^x

p(x,μ) =

x !

untuk x = 1, 2, ...

20

CONTOH DISTRIBUSI POISSON

Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5 perusahaan, berapa peluang ke-5

perusahaan tersebut akan membagikan dividen?

Jawab:

n = 120 X=5 p=0,1 =n.p =120 x 0,1 = 12

P(X) = 2,71828^-12 x 12⁵/5! = 0.014

Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabel distribusi Poisson. Carilah Nilai  = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat nilai 0.014

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

• Dalam distribusi binomial diasumsikan bahwa peluang suatu kejadian tetap atau konstan atau antar-kejadian saling

lepas.

• Dalam dunia nyata, jarang terjadi hal demikian. Suatu kejadian sering terjadi tanpa pemulihan dan nilai setiap kejadian adalah berbeda atau tidak konstan.

• Distribusi dengan tanpa pemulihan dan probabilitas berbeda adalah Distribusi Hipergeometrik.

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Rumus nilai Distribusi Hipergeometrik:

n N

r n s

N r

s

C

) C

( x C

) ( r (

P 

^{ }

Dimana:

P(r) : Probabilitas hipergeometrik dengan kejadian r sukses N : Jumlah populasi

S : Jumlah sukses dalam populasi

r : Jumlah sukses yang menjadi perhatian n : Jumlah sampeL dari populasi

C : Simbol Kombinasi

CONTOH DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Ada 33 perusahaan di BEJ akan memberikan deviden dan 20 di antaranya akan membagikan dividen di atas

100/lembar. Bapepam sebagai pengawas pasar saham akan melakukan pemeriksaan dengan mengambil 10 perusahaan. Berapa dari 10 perusahaan tersebut, 5 perusahaan akan membagikan saham di atas

100/lembarnya?

Jawab:

N = 33 S= 20 n=10 r=5

P(r) = [(20C5) x (33-20C10-5)]/ (33C10) = 0,216

1. Anda klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function.

2. Anda pilih menu statistical pada function category

3. Anda pilih menu Binomdist pada function name, Anda tekan OK.

4. Setelah anda tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

BINOMDIST

Number_s : ………… (masukkan nilai X) Trials : ……….. (masukkan nilai n) Probability : ………… (masukkan nilai p) Cumulative: ………… (tulis kata False)

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI BINOMIAL

Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

CONTOH

PT JATIM ABADI memiliki perkebunan buah melon di Magetan dan Madiun. Setiap bulannya dapat dihasilkan 20 ton buah melon dengan kualitas A. Buah melon

tersebut di bawa dengan truk ke Jakarta. Probabilitas melon mengalami kerusakan selama perjalanan adalah 20%. Berapa probabilitas maksimal 4 ton dari jumlah melon tersebut rusak dan berapa peluang tepat 4 ton buah melon tersebut rusak?

25

26

27

28

• Klik icon fx atau klik icon insert dan pilih fx function

• Pilih menu statistical pada function category

• Pilih menu HYPGEOMDIST pada function name, tekan OK

• Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut

HYPGEOMDIST

Sampel_s : ………… (masukkan nilai r) Number_sampel : ……….. (masukkan nilai n) Population_s : ………… (masukkan nilai S) Number_pop : ………… (masukkan nilai N)

• Nilai P(r) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=) MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Distribusi Probabilitas Diskret Bab 8

29

30

31

• Klik icon fx atau anda klik icon insert dan pilih fx function

• Pilih menu statistical pada function category

• Pilih menu POISSON pada function name, tekan OK

• Setelah tekan OK pada langkah ke-3, maka akan keluar kotak dialog seperti berikut:

MENGGUNAKAN MS EXCEL UNTUK DISTRIBUSI POISSON

• Nilai P(X) akan muncul pada baris Formula result atau tanda (=)

POISSON

X : ………… (masukkan nilai x) Mean : ……….. (masukkan nilai ) Cumulative : ………… (tulis FALSE)

32

33

2

2 1 2

2 ) 1

, ,

( ^

 



  

 ^





 



x

e x

f