Slide05 Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak Compatibility Mode

(1)

Metode Statistika ( STK211)

Pertemuan V Konsep Peubah Acak dan Sebaran Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and Probability Distribution)

Konsep Peubah Acak

•• Peubah acak merupakan suatu fungsi yang Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

•• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan dalam statistika untuk mengkuantifikasikan gg kejadian

kejadian--kejadian alam. kejadian alam.

•• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.

BILANGAN bilangan riil.

•• Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang.

dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

dapat disenaraikan sebagai berikut: a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6} a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah: X = munculnya sisi dadu yang bermata genap X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1} = {0, 1}

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut: Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsi

Daerah fungsi Wilayah fungsiWilayah fungsi

S1 . S2 . S3 . S4 . S5 . S6.

X(ei)

. 0 . 1

Kuis

• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang contoh ! Berikan minimal dua contoh untuk ruang contoh!

• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang kejadian ! Berikan minimal dua contoh untuk j ruang kejadian

Tipe Peubah Acak

• Diskret

¾Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)

¾Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A

• Kontinu

¾Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable)

¾Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval

¾Misalkan X = tinggi badan (cm)

(2)

• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret • Fungsi peluang dari peubah acak diskret

menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut

• Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1

dengan 1

• Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut

•• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.

dari sebaran peluang kejadiannya.

Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang setimbang

setimbang

SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut:

sebagai berikut:

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6 p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang muncul Sisi yang muncul Kejadian SS11 SS22 SS33 SS44 SS55 SS66

Peluang Peluang kejadian kejadian

1/6

1/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

X

X 00 11 00 11 00 11

x 00 11 P(X=x)

P(X=x) 1/21/2 1/21/2 X

X 00 11

Latihan (1)

Dua buah mata uang dilempar bersama

Dua buah mata uang dilempar

bersama--sama. Jika masing

sama. Jika masing--masing memiliki sisi

masing memiliki sisi

yang seimbang, senaraikanlah ruang

contohnya. Jika kita ingin melihat

munculnya sisi muka pada kedua mata

k d fi i ik

b h

k

k d fi i ik

b h

k

uang, maka definisikan peubah acak

tersebut. Lengkapi dengan sebaran

peluang dari peubah acak tersebut.

Nilai Harapan Peubah Acak

Diskret

•• Nilai harapan dari peubah acak adalah Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang percobaannya dilakukan secara berulang--ulang ulang sampai tak berhingga kali.

sampai tak berhingga kali.

•• Secara matematis nilai harapan dapat Secara matematis nilai harapan dapat pp pp dirumuskan sebagai berikut:

dirumuskan sebagai berikut:

∑

=

Ε n

i i xpx

x X

1

diskret p.a X jika ), ( ) (

Sifat

Sifat--sifat nilai harapan:

sifat nilai harapan:

•• Jika c konstanta maka E(c ) = c

Jika c konstanta maka E(c ) = c

•• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c

Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c

maka E(cX) = c E(X)

•• Jika X dan Y peubah acak

Jika X dan Y peubah acak

maka E(X

±±

Y) = E(X)

±±

E(Y)

Ragam Peubah Acak

•• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut: V(X) = E(X

V(X) = E(X--E(X))E(X))22

= E(X

= E(X22₎_{) –}_{– [E(X)]}_[E(X)]22 _{tunjukkan !}_{tunjukkan !}

•• SifatSifat--sifat dari ragamsifat dari ragam

¾

¾Jika c konstanta maka V(c ) = 0Jika c konstanta maka V(c ) = 0J a c o s a aJ a c o s a a a a (c )a a (c ) 00

¾

¾Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) = c

c22_V(X)_V(X)

¾

¾Jika X dan Y peubah acak maka, Jika X dan Y peubah acak maka, V(X

V(X±±Y) = V(X) + V(Y) Y) = V(X) + V(Y) ±±Cov(X,Y)Cov(X,Y) Dimana: Cov(X,Y) = E(X

Dimana: Cov(X,Y) = E(X--E(X))E(YE(X))E(Y--E(Y)), Jika X dan Y E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

(3)

Contoh: Contoh:

•• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawah

acak X seperti tabel di bawah

•• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah: E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

E(3X) = 3 E(X) = 45/6 E(3X) = 3 E(X) = 45/6(( )) ( )( )

Nilai peubah Acak X Nilai peubah Acak X X

X 00 11 22 33 44 55

P(X=x

P(X=xII)) 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

X

Xiip(xp(xii)) 00 1/61/6 2/62/6 3/63/6 4/64/6 5/65/6

V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) -- (15/6)(15/6)22

= 55/6

= 55/6 -- 225/36 = 105/36225/36 = 105/36

Beberapa sebaran peluang diskret

• Bernoulli

• Binomial

• Poisson

Sebaran Peluang Bernoulli

¾Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

¾Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

gaga

¾Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

P(x,p)=px_q(1-x)_{, x=0,1}

¾E(X) = p var(X)= p(1-p)

Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.

Sebaran Peluang Binomial

¾Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

¾Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n0, , , ,

¾Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)px_q(n-x)_{, x=0,1,2,…,n} dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!

¾E(X) =np var(X)=np(1-p)

Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan

p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas

S S G

G S S

S S S x=3

x=2 ₍ ₂₎ 3 2₍₁₋ ₎3−2 ⎟⎟ ⎞ ⎜⎜ ⎛ =

= p p

X P

3 3 3₍₁ ₎

3 3 ) 3

( _⎟⎟ − −

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

= p p

X P

G S G

S G G

G G S

S G S

x=1

) 1 ( 2 ) 2

( _⎟⎟

⎠ ⎜⎜ ⎝ p p X

P

G G G x=0 0 30

) 1 ( 0 3 ) 0

( _⎟⎟ − −

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

= p p

X P

1 3 1

) 1 ( 1 3 ) 1

( _⎟⎟ − −

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

= p p

X P

(4)

Latihan

Peluang turun hujan per hari diketahui

p=0,6. Jika pengamatan dilakukan

dalam satu minggu, hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan

dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun

hujan satu hari dalam satu minggu?

Peubah Acak Kontinu

• Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu

• Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang

• Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1

P l d i t l il i d t dib t k

• Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut

Beberapa sebaran peluang kontinu

• Normal

• Weibull

• Gamma

• Beta

Sebaran Normal

¾Bentuk sebaran simetrik

¾Mean, median dan modus berada dalam satu titik

¾Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai

berikut: 2

2 1

)

( ⎟⎠

⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −

σ μ

σ

μ e x

x f

0.0000 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500

X

¾Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:

• P (μ -θ< x < μ+ σ) = 0.683 • P (μ- 2θ< x < μ+ 2σ) = 0.954

¾Peubah acak (X) dengan mean (μ) dan ragam (σ2₎

menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (μ, σ2₎ 2

) , ,

( = ⎝σ ⎠

σ π σ

μ e

x f

∫

= −

= ≤

≤ b

a

a F b F dx x f b x a

p( ) ( ) () ( )

Bentuk sebaran normal dengan

berbagai nilai ragam

e

rc

e

n

t

60 50 40 30

Variable ragam 1 ragam 3 ragam - 5 ragam -10

Dat a

P

e

36 24 12 0 -12 -24 -36 30 20 10

0

(5)

Nilai Harapan Peubah Acak

Kontinu

•• Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjang

jangka panjang

•• Secara matematis nilai harapan dapat Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:

dirumuskan sebagai berikut:

∫

∞

∞ −

=

Ε(X) xif(xi)dx,jikaXp.akontinu

•• Setiap peubah acak normal memiliki Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbeda

karakteristik yang berbeda--bedabedaÎÎperhitungan perhitungan peluang akan sulit

peluang akan sulit

•• Lakukan transformasi dari X Lakukan transformasi dari X ∼∼N(N(μμ, , σσ22₎₎ menjadi peubah acak normal baku Z

menjadi peubah acak normal baku Z ∼∼N(0 , 1) N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasi dengan menggunakan fungsi transformasi

• Distribusi peluang dari peubah acak normal peubah acak normal baku Z

baku Z ∼∼N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku

tabel peluang normal baku

σ μ

− = X

Z

Cara penggunaan tabel normal baku

¾Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

¾Nilai peluang didalam

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03

-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

p g

tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).

-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z<-2.42)=0.008

Latihan

Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2_{. Hitunglah,} 1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15

mm?

2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm?

3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm? 4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut!

Contoh Soal

• Dalam suatu bagian terdapat tiga orang karyawan laki-laki dan dua orang karyawan wanita. Manajer ingin memutasi dua orang karyawan dari bagian tersebut. Jika didefinisikan peubah acak X sebagai banyaknya karyawan wanita yang dimutasi : banyaknya karyawan wanita yang dimutasi :

• Tentukan sebaran peluang dari peubah acak X tersebut!

• Tentukan E(X)!

• Tentukan V(X)!

Latihan Soal

• Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara acak:

• Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta?

• Tentukan peluang gaji antara 2 3 juta sampai • Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta sampai

3,2 juta?