2.2 MATERI
4.2.2 Sebaran Poisson
Pada Gambar 4.2 ditampilkan kotak dialog penghitungan peluang kejadian yang menyebar Poisson. Bagian pertama, ketiga dan keempat kotak dialog ini sama dengan kotak dialog untuk sebaran binomial yang sudah dikemukakan sebelum- nya. Adapun bagian kedua berupa masukan besarnya nilai tengah atau parame- ter bagi sebaran poisson ini. Pada Gambar 4.2 terlihat akan dihitung besarnya peluang kejadian dengan nilai 3 yang menyebar poisson(5) di mana hasil perhi- tungan ini akan ditampilkan langsung di JendelaSession.
Berikut ini disajikan beberapa perhitungan peluang kejadian-kejadian yang menyebar Poisson.
1. Secara rata-rata di suatu simpangan terjadi 3 kecelakaan lalu lintas per bulan. Berapa peluang bahwa pada suatu bulan tertentu di simpangan ini terjadi:
(a) tepat 5 kecelakaan? (b) kurang dari 3 kecelakaan?
Gambar 4.2: Kotak DialogPoisson Distribution
(c) sekurang-kurangnya 2 kecelakaan?
Kejadian kecelakaan lalu lintas ini dapat dimodelkan dengan sebaran Pois- son(3) dengan langkah-langkah penghitungan di dalam MINITAB sebagai berikut ini.
(a) Untuk menghitung peluang kejadian pada butir (a), pada kotak dia- log Poisson Distribution:
• pilihProbability pada tipe penghitungan peluang
• ketikkan3padaMean
• ketikkan5padaInput constantdanK5padaOptional stor- age
Nilai pada K5 merupakan besarnya peluang yang dicari. (b) Untuk butir (b), pada kotak dialogPoisson Distribution:
• pilihCumulative probabilitypada tipe penghitungan peluang
• ketikkan3padaMean
• ketikkan2padaInput ConstantdanK6padaOptional stor- age
Nilai pada K6 merupakan besarnya peluang yang dicari. (c) Sedangkan untuk butir [c], kita dapat memanfaatkan
P(X ≥2) = 1−P(X <2).
Dengan demikian, prosesnya adalah kita mencari terlebih dahulu
P(X < 2), kemudian kita kurangkan 1 dengan nilai peluang ini. Untuk itu pada kotak dialogPoisson Distribution:
• pilihCumulative probabilitypada tipe penghitungan peluang
• ketikkan3padaMean
• ketikkan1padaInput ConstantdanK7padaOptional stor- age
Setelah langkah-langkah tersebut akan diperolehP(X <2). Langkah berikutnya kita menghitungP(X ≥2) dengan cara mengetikkanLet K8 = 1 - K7padaJendela Sessionsetelah MTB>.
Gambar 4.3: Kotak Dialog Normal Distribution
4.2.3
Sebaran Normal
Misalkan saja kita akan menghitung besarnya peluang kumulatif kejadian-ke- jadian yang menyebar normal (5,100) dan tersimpan pada kolom C1 dan hasil perhitungan peluang ini disimpan di kolom C2. Gambar kotak dialog penghi- tungan peluang sebaran normal untuk kasus ini ditampilkan pada Gambar 4.3. Berikut ini disajikan beberapa perhitungan peluang kejadian-kejadian yang menyebar Normal.
1. Bila diberikan sebuah sebaran normal denganµ=40 danσ=6, hitunglah:
• luas daerah di bawah 32
• luas daerah antara 42 dan 51
• nilaixyang luas daerah di bawahnya 45%.
Langkah-langkah di MINITAB untuk mencari jawaban keempat soal di atas adalah sebagai berikut ini:
(a) Untuk butir (a), pada kotak dialogNormal Distribution:
• pilihCumulative probabilitypada tipe penghitungan peluang
• ketikkan40padaMean dan6padaStandard deviation
• ketikkan32padaInput constantdanK9padaOptional stor- age
Nilai pada K9 merupakan besarnya peluang yang diinginkan. (b) Untuk butir (b), pada kotak dialogNormal Distribution:
• pilihCumulative probabilitypada tipe penghitungan peluang
• ketikkan40padaMean dan6padaStandard deviation
• ketikkan 51 pada Input constant dan K10 pada Optional storage
Setelah langkah tersebut pada K10 diperolehP(X ≤51). Langkah berikutnya kita menghitung P(X ≤ 42) dengan cara yang sama seperti kita menghitungP(X ≤51). Hanya saja pada langkah ketiga
peluang
• ketikkan40padaMeandan6padaStandard deviation
• ketikkan0.45padaInput constant danK13 padaOptional storage
Nilai pada K13 ini merupakan nilaixyang dicari.
2. Sebuah mesin minuman ringan diatur sedemikian rupa sehingga men- geluarkan secara rata-rata 200 mililiter per gelas. Bila banyaknya minu- man yang dikeluarkan itu menyebar normal dengan simpangan baku 15 mililiter,
(a) berapa persen gelas yang berisi lebih dari 224 mililiter?
(b) berapa peluang sebuah gelas berisi antara 191 dan 209 mililiter? (c) berapa di antara 1000 gelas berikutnya yang akan tumpah meluap
bila gelas-gelas itu berukuran 230 mililiter?
(d) di bawah nilai berapa kita akan mendapatkan 25% gelas-gelas yang berisi paling sedikit?
Langkah-langkah di dalam MINITAB untuk permasalahan ini adalah se- bagai berikut ini.
(a) Pada butir (a) kita pertama kali mencariP(X ≥224) terlebih dahu- lu kemudian mengalikannya dengan 100% untuk mendapatkan hasil dalam persen. Untuk itu pada kotak dialog Normal Distribution:
• pilih Cumulative Probability pada tipe penghitungan pelu- ang
• ketikkan200pada bagianMeandan15pada bagianStandard deviation
• ketikkan224pada bagianInput constant, kemudian ketikkan
K14padaOptional storage
Hasil pada K14 merupakan besarnya P(X ≤ 224), sehingga untuk mendapatkan P(X ≥224) dilakukan dengan mengurangi 1 dengan nilai pada K14 kemudian mengalikannya dengan 100% agar didap- atkan hasil dalam persen. Untuk itu ketikkan Let K15 = (1 - K14)*100.
(b) Kejadian pada butir (b) ini mirip dengan butir (b) pada no. 1 di atas, sehingga penghitungan peluangnya mirip dengan butir (b) pada no. 1 tersebut, hanya saja nilai padaMeandanStandard deviation-nya masing-masing diganti dengan200 dan 15, sedangkan pada Input constantyang semula51dan42masing-masing diganti dengan209
dan191.
(c) Untuk butir (c), kita pertama kali mencari P(X ≥ 230) terlebih dahulu, kemudian mengalikan besar peluang ini dengan 1000. Untuk itu pada kotak dialogNormal Distribution:
• pilih Cumulative Probability pada tipe penghitungan pelu- ang
• ketikkan200pada bagianMeandan15pada bagianStandard deviation
• ketikkan230pada bagianInput constant, kemudian ketikkan
K18padaOptional storage
• Langkah berikutnya ketikkanLet K19 = (1 - K18)*1000pada
Jendela Session. Nilai pada K19 ini merupakan banyaknya gelas yang dicari.
(d) Sedangkan kejadian pada butir (d) mirip dengan butir (c) pada no. 1 di atas, sehingga untuk mencari nilai yang dimaksud, ganti nilai pada bagianMeandanStandard deviationmasing-masing dengan200
3. Gunakan MINITAB untuk menghitung peluang kejadian-kejadian sebaran Binomial yang digunakan pendekatan sebaran normal yang dicantumkan pada latihan halaman 213 buku Huntsberger & Billingsley, khususnya no. 67-70 .
4. Gunakan MINITAB untuk menghitung peluang kejadian-kejadian sebaran Poisson yang dicantumkan pada latihan halaman 218-219 buku Hunts- berger & Billingsley.
BENTUK-BENTUK
SEBARAN TEORITIS
5.1
Tujuan
Pada pertemuan ini mahasiswa akan lebih jauh dikenalkan berbagai bentuk sebaran teoritis. Pengenalan ini akan dilakukan dengan memanfaatkan kemam- puan pembangkitan bilangan acak beserta pembuatan histogram dan plot yang telah dikenalkan sebelumnya.
5.2
Materi
Bentuk sebaran, atau lebih tepatnya bentuk kurva sebaran peluang, sering men- jadi ciri khas sebaran itu. Sebagai contoh, sebaran uniform atau sebaran ser- agam U(0,1) memiliki bentuk kurva sebaran berupa garis mendatar dari 0 ke 1. Sebaran normal dikenal dengan bentuk kurva sebarannya yang simetris dan seperti lonceng serta puncaknya berada pada nilai tengahnya. Pada pertemuan kali ini akan dikemukakan beberapa bentuk sebaran teoritis, yaitu sebaran bino- mial, sebaran poisson dan sebaran normal serta sebaran t. Pengenalan bentuk sebaran teoritis ini akan dilakukan lewat gambar histogramnya serta kurva se- baran peluangnya.
5.2.1
Sebaran Binomial
Untuk mengawali pengenalan bentuk sebaran binomial, terlebih dahulu lakukan- lah pembangkitan 100 bilangan acak yang menyebar binomial(5,0.5). Setelah data tersebut didapatkan, buat histogram data tersebut. Pada Gambar 5.1 di- tampilkan gambar histogram data hasil pembangkitan tersebut (ingat, gambar ini didapatkan dari data hasil pembangkitan, sehingga hasil gambar histogram kemungkinan besar akan berbeda antar pembangkitan).
Histogram data ini terlihat simetris, karenapatau peluang munculnya keja- dian yang dianggap sukses sama dengan 0.5. Apabila nilaipini kurang dari 0.5, maka histogramnya akan terlihat miring ke kiri, sedangkan apabila lebih dari 0.5, maka histogramnya akan miring ke kanan. Pada Gambar 5.2 dan Gam-
Gambar 5.1: Histogram Sebaran Binomial(5,0.5)
Gambar 5.2: Histogram Sebaran Binomial(5,0.2)
bar 5.3 ditampilkan gambar histogram 100 buah bilangan acak binomial(5,0.2) dan binomial(5,0.8).
Kemudian, di dalam penelusuran sebaran teoritis yang dapat menghampiri sebaran data dengan cukup baik, salah satu cara yang bisa ditempuh adalah dengan menampilkan histogram data dengan kurva sebaran peluang sebaran teoritis tersebut. Untuk membuat histogram seperti ini, langkah-langkahnya adalah:
1. Urutkan data
Katakanlah data yang kita miliki berupa 100 bilangan acak Binomi- al(5,0.5) dan terdapat pada kolomC1. Namakan kolomC1ini sebagai
’Data’. Untuk mengurutkan data, gunakan menuManip>Sort. Gam- bar kotak dialogSortseperti terlihat pada Gambar 5.4. Pada kotak dialog ini masukkan:
• data yang akan diurutkan, yaitu kolom C1, pada bagian Sort col- umn(s),
• kolom untuk menyimpan hasil pengurutan, misalkanC2, pada bagian
Gambar 5.3: Histogram Sebaran Binomial(5,0.8)
Gambar 5.5: Kotak dialog Binomial Distribution
• kolom sebagai dasar dalam pengurutan padaSort by column. Un- tuk pengurutan ini, sebagai dasar pengurutan adalah kolomC1den- gan urutanmenaik, sehingga pilihanDescending(menurun) tidak dipilih.
Namakan kolom C2 hasil pengurutan pada langkah ini sebagai ’Data urut’.
2. Dapatkan nilai peluangnya
Pada langkah ini, yang dicari nilai peluangnya adalah data yang telah di- urutkan. Untuk mendapatkan nilai peluang ini gunakan langkah-langkah seperti telah dikemukakan pada pertemuan sebelumnya. Pilih menuCalc
> Probability Distribution > Binomial. Pada kotak dialog yang muncul (seperti terlihat di Gambar 5.5, pilih Probability pada tipe penghitungan peluang, masukkan 5dan0.5 masing-masing pada Num- ber of trials dan Probability of Success, masukkanC2 padaInput columndanC3padaOptional storage. Namakan kolomC3ini sebagai
’Peluang’.
3. Sesuaikan nilai peluang tersebut
Pada langkah ini kita akan menghitung besarnya data apabila benar-benar berasal dari sebaran binomial(5,0.5) berdasarkan data besarnya peluang hasil dari langkah 2 di atas. Untuk itu pilih menu Calc > Calculator. Gambar kotak dialogCalculatordisajikan pada Gambar 5.6. Menu Cal- culator ini pada dasarnya digunakan untuk penghitungan peubah baru berdasarkan peubah yang sudah ada. Untuk menggunakannya, masukkan peubah hasil perhitungan pada bagianStore result in variable, kemu- dian persamaan atau ekspresi peubah baru ini pada bagianExpression. Pada kasus langkah ketiga ini, peubah baru adalah kolom C4 di mana kolomC4ini didapatkan dari kolomC3dikali banyaknya data pada kolom data yang telah diurutkan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 5.6. Namakan peubah baru/kolomC4ini sebagai’Acuan’.
Gambar 5.6: Kotak dialog Calculator 4. Buat histogram dengan kurva sebaran peluangnya
Pada langkah keempat ini, lakukan langkah-langkah berikut ini:
• Pilih menuGraph >Histogram
• Pada bagianXmasukkan kolomC1
• Pilih bagianAnnotation > Line. Pada kolom Points, masukkan kolomC2danC4
Ilustrasi proses tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.7.
Gambar histogram data pada kolom C1 beserta kurva sebaran binomialnya hasil dari proses di atas disajikan pada Gambar 5.8. Dengan proses yang sama, dapat dihasilkan histogram untuk sebaran Binomial(5,0.2) dan Binomial(5,0.8) seperti terlihat pada Gambar 5.9 dan Gambar 5.10.
Langkah-langkah pembuatan histogram dengan kurva sebarannya ini juga dapat dilakukan untuk sebaran-sebaran yang lainnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi untuk Sebaran Poisson dan Sebaran Normal berikut ini.
5.2.2
Sebaran Poisson
Sebagaimana pada Sebaran Binomial, untuk pengenalan Sebaran Poisson laku- kan terlebih dahulu pembangkitan 100 bilangan acak yang menyebar Poisson(2). Setelah data didapatkan, buatlah histogram data tersebut. Pada Gambar 5.11 disajikan contoh gambar histogram data bilangan acak hasil pembangkitan.
Untuk pembuatan histogram dengan kurva Sebaran Poisson-nya, sebagaima- na telah dikemukakan di atas, langkah-langkah yang digunakan hampir sama dengan Sebaran Binomial. Yang membedakannya adalah pada saat langkah kedua, yaitu saat penentuan besarnya nilai peluang data, sebaran yang menjadi dasar adalah Sebaran Poisson. Hal ini juga berlaku untuk sebaran-sebaran teoritis lainnya.
Sebagai ilustrasi untuk bilangan acak Poisson(2) di atas, maka pada langkah kedua ini, pilihProbabilitypada tipe penghitungan peluang, ketikkan2pada
Gambar 5.7: Kotak dialog Histogram untuk pembuatan histogram dengan kurva sebaran
Gambar 5.9: Histogram data dengan kurva Sebaran Binomial(5,0.2)
Gambar 5.10: Histogram data dengan kurva Sebaran Binomial(5,0.8)
Gambar 5.12: Histogram data dengan kurva Sebaran Poisson(2)
Gambar 5.13: Histogram data bilangan acak Normal(10,25)
Mean, kemudian masukkan kolom tempat data bilangan acak ini berada pada
Input columndan masukkan kolom hasil penghitungan peluang akan disim- pan pada Optional storage. Gambar histogram data tersebut dengan kurva Sebaran Poisson-nya dapat dilihat pada Gambar??.
5.2.3
Sebaran Normal
Sebaran Normal dikenal dengan bentuknya yang simetris dan seperti genta, berpuncak di nilai tengahnya, kurvanya mempunyai titik belok pada titik nilai tengahnya±simpangan bakunya dan kurvanya asimtotik terhadap sumbu ho- rizontal. Terlebih dahulu, bangkitkanlah100 bilangan acakNormal(10,25), kemudian buatlah histogram dari data ini. Contoh histogram dari data hasil pembangkitan ini seperti terlihat pada Gambar 5.13.
Untuk pembuatan histogram dengan kurva normal, gunakan langkah-langkah yang sama dengan di Sebaran Binomial. Namun pada saat langkah kedua, gu- nakan Sebaran Normal sebagai dasar penghitungan peluangnya. Untuk itu pada langkah kedua ini:
Gambar 5.14: Histogram data dengan kurva Normal(10,25)
• pilihProbability Densitypada tipe penghitungan peluang
• ketikkan10padaMeandan5padaStandard deviation
• masukan kolom data bilangan acak berada pada Input column dan kolom hasil penghitungan peluang padaOptional storage
Apabila diperhatikan gambar histogram pada Gambar 5.13, terlihat setiap batang memiliki kisaran nilai sebesar dua. Sehingga pada langkah ketiga saat penye- suaian nilai peluang, kalikan lagi persamaan yang ada dengan dua menjadi
’Acuan’ = ’Peluang’*Count(’Urut’)*2. Gambar histogram dengan kurva sebaran normalnya disajikan pada Gambar 5.14.
5.2.4
Hampiran Suatu Sebaran Terhadap Sebaran Lain
Satu hal yang menarik mengenai pembuatan histogram bersamaan dengan kur- va sebaran teoritisnya adalah dapat digunakan untuk menggambarkan konsep hampiran suatu sebaran teoritis terhadap sebaran teoritis lainnya. Sebagai con- toh, Sebaran Normal dapat digunakan untuk menghampiri Sebaran Binomial yang memiliki nilai p= 0.5. Untuk nilai p6= 0.5, sebaran normal juga dapat digunakan sebagai hampiran terhadap Sebaran Binomial, asalkan nilainpatau
n(1−p) lebih dari atau sama dengan 5. Berikut ini beberapa ilustrasi hampiran suatu sebaran teoritis terhadap sebaran teoritis lainnya.
Hampiran Sebaran Normal terhadap Sebaran Binomial
Sebagaimana telah dikemukakan, Sebaran Normal dapat digunakan sebagai hampiran bagi sebaran Binomial yang memiliki nilaip= 0.5. Sedangkan untuk
p6= 0.5, Sebaran Normal dapat juga digunakan sebagai hampiran asalkan nilai
np ataun(1−p) lebih dari atau sama dengan 5. Sebagai ilustrasi, lakukanlah langkah-langkah berikut ini.
• Bangkitkanlah100bilangan acakBinomial(5,0.5), simpan di kolomC1
• Carilah nilai peluang bagi data ’Urut’tersebut dengan mendasarkannya pada Sebaran Binomial(5,0.5) dan simpan di kolom C3. Namakan kolom besarnya peluang ini sebagai ’Peluang Binomial’.
• Sesuaikan nilai peluang pada kolom C3 ini dengan mengalikannya den- gan banyaknya data di kolom ’Urut’ dan simpan di kolom C4 [C4 = C3*Count(C2)]. Namakan kolom C4ini sebagai’Acuan Binomial’.
• Tahap selanjutnya carilah nilai peluang bagi data’Urut’tersebut dengan mendasarkannya pada Sebaran Normal. Sebaran Binomial(5,0.5) memili- ki nilai tengah sebesar 5*0.5 = 2.5 dan ragam sebesar 5*0.5*0.5 = 1.25. Dengan demikian, Sebaran Normal yang menjadi dasar adalahSebaran Normal(2.5,1.25). Simpan hasil penghitungan peluang berdasarkan Se- baran Normal ini di kolom C5. Namakan kolom besarnya peluang ini sebagai ’Peluang Normal’.
• Sesuaikan nilai peluang pada kolom C5 ini dengan mengalikannya den- gan banyaknya data di kolom ’Urut’ dan simpan di kolom C6 [C6= C5*Count(C2)]. Namakan kolom C6ini sebagai’Acuan Normal’.
• Langkah berikutnya, gambar histogramnya. Pada bagian Xdi kotak dia- log Histogram, masukkan kolom C1. PadaAnnotation >Line, pada baris pertama masukkan kolom C2 C4 pada Points dan Solid pada
Type; sedangkan pada baris kedua masukkan kolomC2 C6padaPoints
dan pilihDotpadaType. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 5.15. Setelah langkah-langkah tersebut akan didapatkan gambar histogram seperti terlihat pada Gambar 5.16. Kurva dengan garis putus-putus merupakan kurva Sebaran Normal sedangkan kurva dengan garis yang tidak putus-putus meru- pakan kurva Sebaran Binomial. Terlihat bahwa kurva Sebaran Normal dapat menghampiri dengan cukup baik pada kurva Sebaran Binomial.
Untuk ilustrasi hampiran Sebaran Normal pada Sebaran Binomial dengan
p 6= 0.5, namun dengan nilai np atau n(1−p) lebih dari atau sama dengan 5, ulangi langkah-langkah di atas dengan Sebaran Binomial yang digunakan adalah Binomial(25,0.2) dan Sebaran Normal yang digunakan untuk ham- piran adalah Normal(5,4). Kemudian ulangi lagi untuk Binomial(25,0.8)
dengan Sebaran Normalnya adalah Normal(20,4). Hasil dari hampiran ini dapat dilihat pada Gambar 5.17 dan Gambar 5.18.
Terlihat pada kedua gambar tersebut, walaupun nilaip6= 0.5, Sebaran Nor- mal tetap mampu menghampiri dengan cukup baik pada Sebaran Binomial
Gambar 5.16: Histogram data dengan kurva Binomial(5,0.5) dan Nor- mal(2.5,1.25)
Gambar 5.17: Histogram data dengan kurva Binomial(25,0.2) dan Normal(5,4)
• Urutkan data di C1 ini, simpan diC2dan namakan sebagai’Urut’.
• Carilah nilai peluang bagi data ’Urut’tersebut dengan mendasarkannya pada Sebaran Binomial(1000,0.001) dan simpan di kolom C3. Namakan kolom besarnya peluang ini sebagai ’Peluang Binomial’.
• Sesuaikan nilai peluang pada kolom C3 ini dengan mengalikannya den- gan banyaknya data di kolom ’Urut’ dan simpan di kolom C4 [C4 = C3*Count(C2)]. Namakan kolom C4ini sebagai’Acuan Binomial’.
• Tahap selanjutnya carilah nilai peluang bagi data’Urut’tersebut dengan mendasarkannya pada Sebaran Poisson. Sebaran Binomial(1000,0.001) memiliki nilai tengah sebesar 1000*0.001 = 1 dan ragam sebesar 1000*0.001*0.999 = 0.999 ≈ 1. Karena itu, Sebaran Poisson yang menjadi dasar adalah Sebaran Poisson(1). Simpan hasil penghitungan peluang berdasarkan Se- baran Poisson ini di kolom C5. Namakan kolom besarnya peluang ini sebagai ’Peluang Poisson’.
• Sesuaikan nilai peluang pada kolom C5 ini dengan mengalikannya den- gan banyaknya data di kolom ’Urut’ dan simpan di kolom C6 [C6= C5*Count(C2)]. Namakan kolom C6ini sebagai’Acuan Poisson’.
• Langkah berikutnya, gambar histogramnya. Pada bagian X di kotak di- alog Histogram, masukkan kolomC1. Pada Annotation > Line, pa- da baris pertama masukkan kolom C2 C4 pada Points dan Solid pa- da Type; sedangkan pada baris kedua masukkan kolom C2 C6 pada
Points dan pilihDot padaType. Contoh gambar histogram yang akan dihasilkan dapat dilihat pada Gambar 5.19. Pada gambar tersebut terli- hat hanya satu kurva yang terlihat, karena kurva untuk Sebaran Binomi- al(1000,0.001) berimpit dengan kurva Sebaran Poisson(1).
Gambar 5.19: Histogram data dengan kurva Binomial(1000,0.001) dan Pois- son(1)
LATIHAN
1. Buatlah histogram sekaligus kurva sebarannya, untuk 200 bilangan acak yang menyebar Binomial(25,0.02).
2. Buatlah histogram sekaligus kurva sebarannya, untuk 150 bilangan acak yang menyebar Poisson(5).
3. Buatlah histogram sekaligus kurva sebarannya, untuk 200 bilangan acak yang menyebar Normal(25,100).
4. Pada soal latihan no. 1, gunakan hampiran Sebaran Normal bagi Sebaran Binomial(25,0.02) tersebut.
5. Pada soal latihan no. 1, gunakan hampiran Sebaran Poisson bagi Sebaran Binomial(25,0.02) tersebut.
6. Dari hasil no. 4 dan 5, sebaran mana yang lebih baik dalam menghampiri Sebaran Binomial(25,0.02) tersebut?
Plot Kuantil-kuantil
6.1
Tujuan
Mahasiswa diharapkan dapat memahami prinsip-prinsip dalam plot kuantil- kuantil dan dapat membuat plot ini yang berguna dalam penelusuran kesesuaian hampiran sebaran teoritis pada data.
6.2
Materi
Plot kuantil-kuantil merupakan salah satu alat yang dapat digunakan dalam penelusuran kesesuaian hampiran sebaran teoritis pada data. Istilah kuantil sendiri sama pengertiannya dengan persentil, yaitu suatu nilai data yang mem- bagi data menjadi perseratusan. Artinya, data yang menempati posisi pada persentil ke-55 maka berarti ada 55 persen data yang nilainya lebih kecil dan ada 45 persen data yang nilainya lebih besar dari data pada pensentil ke-55 tersebut. Sedangkan data pada kuantil 0.55 artinya ada 0.55 bagian data yang nilainya lebih kecil dan ada 0.45 bagian data yang nilainya lebih besar dari data pada kuantil 0.55 tersebut. Dengan demikian, plot ini pada dasarnya merupakan plot antara kuantil sebaran data dengan kuantil sebaran teoritik yang akan kita periksa kedekatannya dengan data kita. Sebagai ilustrasi, perhatikan kembali data kelahiran di kota New York pada bulan Agustus 1966 yang ditampilkan pada Tabel 12.1
Misalkan ingin ditelusuri kesesuaian hampiran Sebaran Normal terhadap sebaran data kelahiran tersebut. Cara yang bisa ditempuh adalah dengan mengambarkan histogram beserta kurva Sebaran Normalnya sebagaimana telah dikemukakan pada pertemuan sebelumnya. Cara lain adalah dengan menggu- nakan plot kuantil-kuantil. Langkah-langkah pembuatan plot kuantil-kuantil ini adalah sebagai berikut.
1. Masukkan data kelahiran tersebut pada kolomC1, namakan sebagai’Ke- lahiran’.
2. Urutkan data pada kolomC1ini dan simpan hasilnya pada kolomC2dan namakan sebagai’Kuantil Data’.
3. Untuk setiap nilai’Kuantil Data’ini, hitung besarnya kuantil padanan- nya yang didapatkan dari pi = (i−0.5)/n, di mana pi adalah besarnya
10 Rabu 457 26 Jumat 418 11 Kamis 471 27 Sabtu 394 12 Jumat 463 28 Minggu 399 13 Sabtu 405 29 Senin 451 14 Minggu 377 30 Selasa 468 15 Senin 453 31 Rabu 432 16 Selasa 499
sumber: Huntsberger and Billingsley, 1987 hal. 36
kuantil pada urutan ke-i,iadalah urutan data sedangkannadalah banyaknya data. Untuk itu ketikkanLet C3 = (RANK(C2) - 0.5)/COUNT(C2)
pada Jendela Sessionsetelah MTB>. Namakan data pada kolom C3
ini sebagai’Besar Kuantil’.
4. Dapatkan nilai kuantil teoritis (dalam hal ini Sebaran Normal) untuk se- tiap nilai pi tersebut. Kuantil teoritis ini didapatkan melalui Q(pi) =
F−1(pi), di manaQ(pi) merupakan nilai Kuantil teoritis danF−1(.) meru- pakan fungsi invers kumulatif sebaran teoritis. Untuk itu, pada kotak dialog penghitungan peluang Sebaran Normal,
• pilihInvers Cumulative probabilitypada tipe penghitungan pelu- ang
• ketikkan0dan1masing-masing pada bagianMeandanStandard deviation
• masukkan kolom C3 pada Input column, dan ketikkan C4 pa- da Optional storage. Namakan data pada kolom C4 ini sebagai
’Kuantil Normal’.
5. Plot antara kolom C2 dengan C3 (kuantil data dengan besar kuantil) merupakan plot kuantil empiris, sedangkan plot antara C4 dengan C3
adalah plot kuantil teoritis. Plot kuantil-kuantil sendiri didapatkan dari