(p,q)
Bentuk Umum
d. Tes Formatif-31) Tentukan persamaan garis yang bergradien 4 dan menyinggung ellipse
2) Tentukan persamaan garis yang menyinggung ellipse
dan sejajar dengan garis
!
3) Tentukan persamaan garis yang menyinggung ellipse
dan tegak lurus terhadap garis
!4) Tentukan persamaan garis singung pada ellipse
di titik (2,3) !e. Kunci Test Formatif
1)
√
atau √
2)
atau
3)
atau
4) Tidak memiliki PGS, karena titik berada di dalam ellips. 4.
4. Kegiatan Belajar -4Kegiatan Belajar -4 a. Tujuan Pembelajaran
Tujuan dari pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan persamaan garis singgung ellips melalui satu titik di
luar ellips. b. Uraian Materi
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
Pada pembelajaran sebelumnya telah dipelajari menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik pada ellips dan bergradien m. Pada pembelajaran ini akan dipelajari bagaimana menentukan persamaan garis singgung ellips melalui satu titik di luar ellips.
Persamaan garis singgung ellips yang melalui suatu titik di luar ellips dapat ditentukan dengan menggunakan langkah berikut :
1) Gunakan persamaan garis singgung ellipse dengan gradienm .
2) Tentukan nilai m dari persamaan garis singgung tersebut dengan mensubsitusikan koordinat titik diluar ellipse yang diketahui.
3) Subsitukan nilai m yang diperoleh pada persamaan garis singgung atau gunakan persamaan garis lurus melalui satu titik bergradien m dan titik
yaitu
Contoh 1 Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung ellips
yang melalui titik (2,3) ! Jawab :Untuk menyelesaikan permasalahan diatas perlu dicek terlebih dulu kedudukan titik terhadap ellips
Cek kedudukan titik Cek kedudukan titik (1,2)
Sehingga titik (2,3) berada di luar ellips, akibatnya persamaan garis singgung ellips tersebut adalah
c. Rangkuman
Persamaan garis singgung ellips yang melalui suatu titik di luar ellips dapat ditentukan dengan menggunakan langkah berikut :
1) Gunakan persamaan garis singgung ellipse dengan gradienm .
2) Tentukan nilai m dari persamaan garis singgung tersebut dengan mensubsitusikan koordinat titik diluar ellipse yang diketahui.
3) Subsitukan nilai m yang diperoleh pada persamaan garis singgung atau gunakan persamaan garis lurus melalui satu titik bergradien m dan titik
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
d. Tes Formatif-4
1) Tentukan persamaan garis singgung pada ellips
di titik (3,1) !2) Tentukan persamaan garis yang ditarik dari titik
dan menyinggung ellips
! 3) Garis
menyinggung ellips
di titik P. Tentukan koordinat titik P !e. Kunci Test Formatif
1) PGS tidak ada, karena titik berada di dalam ellips. 2)
3) (0,-2) atau (-3,1). C.
C. EvaluasiEvaluasi
1. Tentukan koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik fokus,panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor dari ellips dibawah ini serta gambarkan grafiknya ! a)
b)
c)
2. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (0,0) dengan panjang sumbu mayor 12 dan panjang sumbu minor 6 dengan sumbu mayor sejajar sumbu X !
3. Tentukan persamaan ellips dengan jarak ke dua titik fokusnya adalah 10 dan panjang sumbu mayor adalah 14 serta sumbu mayor sejajar sumbu Y !
4. Tentukan persamaan ellips dengan titik fokus (-3,0) dan (3,0) serta melalui titik (4,0) ! 5. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (1,2) dengan panjang smbu mayor 14 dan
panjang sumbu minor = 8 serta sumbu mayor sejajar sumbu Y !
6. Tentukan persamaan ellips dengan jarak ke dua titik fokusnya adalah 18 dan panjang
sumbu minor adalah 10 serta sumbu mayor sejajar sumbu X berpusat di (0,1) ! 7. Tentukan persamaan ellips dengan titik fokus (2,-7) dan (2,9) serta melalui titik (16,0) ! 8. Tentukan persamaan garis singgung pada ellipse
di titik P(2,-2) ! 9. Tentukan persamaan garis singgung ellips
melaluiSemester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
10.Tentukan persamaan garis singgung pada ellipse
yang sejajar dengan garis√
!11.Tentukan persamaan garis singgung pada ellipse
yang tegak lurus pada garis
!12.Tentukan persamaan garis yang ditarik dari titik (2,0) dan menyinggung ellips
!13.Tentukan persamaan garis singung ellips
yang memotong sumbu y di (0,5) !14.Tentukan persamaan garis yang ditarik dari titik (3,2) dan menyinggung ellips
!Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
III.3. HYPERBOLA
III.3. HYPERBOLA
A. A. PendahuluanPendahuluan 1. DeskripsiBanyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep hyperbola contohnya adalah penerapan nya dalam menara pendingin pada pembangkit tenaga nuklir disebut
sebagaihyperboloids of one sheet . Jika kita membelah menara ini tegak lurus lurus dengan tanah, maka kita akan menghasilkan dua cabang dari hiperbola.
Gambar 3.3.1
2. Prasyarat
Untuk mempelajari materi ellips perlu diingat kembali jarak antara dua buah titik dan jarak titik ke garis.
3. Tujuan Modul
Modul ini ditujukan untuk membantu siswa belajar secara mandiri dan membantu guru sebagai salah satu alternatif bahan pembelajaran dan pembuatan tugas tertstruktur pada materi hyperbola secara khususnya.
4. Cek Kemampuan
Kerjakanlah soal berikut ! Kerjakanlah soal berikut !
1) Tentukan jarak titik
) dan
) ! 2) Tentukan jarak titik
dan
! B.B. PembelajaranPembelajaran 1.
1. Kegiatan Belajar -1Kegiatan Belajar -1 a. Tujuan Pembelajaran
Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi :
1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur hyperbola dan menggambarkan grafik hyperbola dengan pusat (0,0)
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
b. Uraian Materi A. Definisi Hyperbola
B. Unsur-Unsur Hyperbola dan Grafiknya Panjang sumbu mayor (sumbu real) = 2a Panjang sumbu minor ( sumbu imajiner) = 2b
Unsur-unsur hyperbola dengan pusat (0,0) diberikan dalam tabel berikut :
No Unsur
No Unsur Jenis HyperbolaJenis Hyperbola Horizontal Vertikal Horizontal Vertikal 1 Puncak
2 Fokus
3 Sumbu mayor
(sumbu x)
(sumbu y) 4 Sumbu minor
(sumbu y)
(sumbu x) 5 Asimtot
Grafik hyperbola dengan pusat (0,0) diberikan pada gambar berikut .
Gambar 3.3.1 Gambar 3.3.2
Contoh 1 Contoh 1
Tentukan puncak ,fokus dan asimtot dari hyperbola
! DefinisiDefinisi
Hyperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]] Jawab : Perhatikan
diperoleh
sehingga
Akibatnya, puncak hyperbola =(-5,0) dan (5,0). Fokus = (0,-13) dan (0,13) Asimtot :
C. Persamaan Hyperbola dengan Pusat (0,0)
Berdasarkan definisi hyperbola , hyperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua buah titik tetap adalah sama yaitu 2a. Misal dua buah titik tersebut adalah F1 dan F2 yang disebut sebagai titik fokus.
i. Persamaan hyperbola horizontal pusat (0,0)
Hyperbola horizontal adalah hyperbola yang memiliki sumbu nyata nya adalah sumbu X atau sejajar sumbu X sehingga titik fokusnya adalah F1(-c,0) dan F2(c,0). Ambil sembarang titik P (x,y) pada hyperbola sehingga berlaku
...(kuadratkan kedua ruas)
....(kedua ruas dibagi 4)
...(kuadratkan kedua ruas)
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
...(mengingat
)
...(kedua ruas dibagi
)
Jadi, persamaan hyperbola horizontal dengan pusat (0,0) adalah
. ii. Persamaan hyperbola vertikal pusat (0,0)Hyperbola horizontal adalah hyperbola yang memiliki sumbu nyata nya adalah sumbu Y atau sejajar sumbu Y sehingga titik fokusnya adalah F1(0,-c) dan F2(0,c). Ambil sembarang titik P (x,y) pada hyperbola sehingga berlaku
...(kuadratkan kedua ruas)
....(kedua ruas dibagi 4)
...(kuadratkan kedua ruas)
...(mengingat
)
...(kedua ruas dibagi
)
Jadi, persamaan hyperbola horizontal dengan pusat (0,0) adalah
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
Sehingga dari penjabaran diatas diperoleh sebagai berikut :
Tabel 4.1 Persamaan Hyperbola dengan Pusat (0,0) Pusat
Pusat Horizontal Horizontal VertikalVertikal
Contoh 2 Contoh 2
Tentukan Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat (0,0) , sumbu nyata sumbu Y, panjang sumbu khayal 16 dan panjang sumbu nyata 10.
Jawab :
sumbu nyata sumbu Y maka hyperbola nya merupakan hyperbola vertikal. panjang sumbu khayal =2b=16 => b=8
panjang sumbu nyata = 2a =10 => a = 5
sehingga persamaan hyperbola tersebut adalah dengan pusat (0,0)
c. Rangkuman
Hyperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap
Unsur-unsur hypebrola dengan pusat (0,0) diberikan sebagai berikut :
No Unsur
No Unsur Jenis HyperbolaJenis Hyperbola Horizontal Vertikal Horizontal Vertikal 1 Puncak
2 Fokus
3 Sumbu mayor
(sumbu x)
(sumbu y) 4 Sumbu minor
(sumbu y)
(sumbu x)5 Asimtot
Persamaan hypebrola dengan pusat (0,0) diberikan sebagai berikut : Pusat
Pusat Horizontal Horizontal VertikalVertikal
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
d. Tes Formatif-1
1. Tentukan puncak dan fokus dari hyperbola
dan gambarkan grafiknya !2. Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat (0,0), sumbu nyata sumbu X, panjang sumbu nyata 10 dan panjang sumbu khayal 8.
3. Tentukan persamaan hyperbola yang berpusat (0,0) , sumbu nyata sumbu Y, panjang sumbu khayal 8 dan jarak kedua fokus 10.
e. Kunci Test Formatif
1. Puncak = (-4,0) dan (4,0), fokus = (-5,0) dan (5,0)
2.
3.
4.4. Kegiatan Belajar -2Kegiatan Belajar -2 a. Tujuan Pembelajaran
Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi :
1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur hyperbola dan menggambarkan grafik hyperbola dengan pusat (p,q)
2) Siswa dapat menentukan persamaan hyperbola dengan pusat (p,q). b. Uraian Materi
A. Unsur-unsur Hyperbola dengan pusat (p,q) Panjang sumbu mayor (sumbu real) = 2a Panjang sumbu minor ( sumbu imajiner) = 2b
Unsur-unsur hyperbola dengan pusat (0,0) diberikan dalam tabel berikut :
No Unsur
No Unsur Jenis HyperbolaJenis Hyperbola
Horizontal Vertikal Horizontal Vertikal
1 Puncak
2 Fokus
3 Sumbu mayor
(sumbu x)
(sumbu y) 4 Sumbu minor
(sumbu y)
(sumbu x) 5 Asimtot
Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]
Grarik hyperbola dengan pusat
diberikan sebagai berikut :Gambar 3.3.3 Gambar 3.3.4
Contoh 1 Contoh 1
Tentukan pusat, puncak ,fokus dan asimtot dari hyperbola