Modul Matematika Peminatan

(1)

KELAS XI

JUMROTUN

SMAN 5 SURAKARTA

SEMESTER I

(2)

Semester I [[PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATANPEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMINATAN]]

MODUL PEMBELAJARAN

MATEMATIKA

KURIKULUM 2013

DI SUSUN OLEH :

JUMROTUN S.Pd

NIP

197108041998022004

SMA NEGERI 5 SURAKARTA SMA NEGERI 5 SURAKARTA

(3)

HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PENGESAHAN

Modul Sistem Peredaran Darah berbasis model discovery learning telah digunakan peserta didik kelas XI semester 1 SMA Negeri 5 Surakarta dan MGMP Matematika Surakarta pada

tanggal 2016 Pustakawan Penyusun Jumrotun,S.Pd NIP NIP : 197108041998022004 Ketua MGMP Matematika NIP Mengetahui Mengetahui

Kepala Dinas Dispora Kepala SMA Negeri 5 Surakarta

Kota Surakarta

Etty Retnowati, SH,MH Drs Yusmar Setyobudi , MM , M.Pd

Pembina Utama Muda Pembina Tingkat I

(4)

KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan berkah dan karunianya sehingga penulis dapat menyelesaikan Modul Pembelajaran Matematika Kurikulum 2013 yang secaraa khusus digunakan untuk SMA kelas XI MIPA Semester I ini dengan lancar tanpa suatu kendala yang berarti. Modul ini disusun agar dapat dimanfaatkan

sebagai sarana belajar mandiri bagi siswa, dan bagi guru dapat digunakan untuk pemberian tugas mandiri tersetruktur.

Untuk mencapai hasil yang maksimal diperlukan pemahaman dan penerapan modul ini sesuai dengan petunjuk yang disarankan dalam modul ini. Kritik dan saran guna penyempurnaan modul ini tetap kami terima untuk meningkatkan kualitas dari modul. Akhirnya semoga Modul Pembelajaran Matematika Kurikulum 2013 ini dapat sebagai pelengkap sumber belajar bagi siswa dan guru dan secara umum dapat meningkatkan kualitas pembelajaran Matematika.

Surakarta, Oktober 2016 Penyusun

(5)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PENGESAHAN 2 KATA PENGANTAR KATA PENGANTAR 3 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 4 BAB

BAB I I PENDAHULUANPENDAHULUAN 10

A.

A. Petunjuk Penggunaan ModulPetunjuk Penggunaan Modul 10

BAB

BAB II II POLINOMIALPOLINOMIAL 11

PETA KONSEP PETA KONSEP 11 A. A. PendahuluanPendahuluan 12 1. Deskripsi 12 2. Prasyarat 12 3. Tujuan Modul 12 4. Cek Kemampuan 12 B. B. PembelajaranPembelajaran 13

B.1 Rencana Belajar Siswa

B.1 Rencana Belajar Siswa 13

B.2 Kegiatan Belajar

B.2 Kegiatan Belajar 14

1.

1. Kegiatan Belajar -1Kegiatan Belajar -1 14

a. Tujuan Pembelajaran 14

b. Uraian Materi 14

c. Rangkuman 17

d. Tes Formatif-1 17

e. Kunci Test Formatif 17

2.

b. Uraian Materi 17

c. Rangkuman 21

(6)

3.

b. Uraian Materi 21

c. Rangkuman 26

4.

b. Uraian Materi 27

c. Rangkuman 30

C.

C. EvaluasiEvaluasi 31

BAB

BAB III III IRISAN IRISAN KERUCUTKERUCUT 33

PETA KONSEP

PETA KONSEP 33

RENCANA BELAJAR SISWA

RENCANA BELAJAR SISWA 34

III.1 PARABOLA III.1 PARABOLA 37 A. A. PendahuluanPendahuluan 37 1. Deskripsi 37 2. Prasyarat 37 3. Tujuan Modul 37 4. Cek Kemampuan 37 B. B. PembelajaranPembelajaran 37 1.

b. Uraian Materi 37

c. Rangkuman 39

2.

(7)

b. Uraian Materi 41

c. Rangkuman 43

C. C. EvaluasiEvaluasi 43 III.2 ELLIPS III.2 ELLIPS 45 A. A. PendahuluanPendahuluan 45 1. Deskripsi 45 2. Prasyarat 45 3. Tujuan Modul 45 4. Cek Kemampuan 45 B. B. PembelajaranPembelajaran 46 1.

b. Uraian Materi 46

c. Rangkuman 49

2.

b. Uraian Materi 50

c. Rangkuman 52

3.

b. Uraian Materi 53

c. Rangkuman 58

4.

(8)

b. Uraian Materi 59

c. Rangkuman 60

C. C. EvaluasiEvaluasi 61 III.3 HYPERBOLA III.3 HYPERBOLA 63 A. A. PendahuluanPendahuluan 63 1. Deskripsi 63 2. Prasyarat 63 3. Tujuan Modul 63 4. Cek Kemampuan 63 B. B. PembelajaranPembelajaran 63 1.

b. Uraian Materi 64

c. Rangkuman 67

2.

b. Uraian Materi 68

c. Rangkuman 72

3.

b. Uraian Materi 73

c. Rangkuman 79

4.

(9)

c. Rangkuman 81

C.

C. EvaluasiEvaluasi 81

BAB IV

BAB IV LINGKARANLINGKARAN 83

PETA KONSEP PETA KONSEP 83 A. A. PendahuluanPendahuluan 84 1. Deskripsi 84 2. Prasyarat 84 3. Tujuan Modul 84 4. Cek Kemampuan 84 B. B. PembelajaranPembelajaran 85

B.1 Rencana Belajar Siswa

B.1 Rencana Belajar Siswa 85

B.2 Kegiatan Belajar

B.2 Kegiatan Belajar 86

1.

b. Uraian Materi 86

c. Rangkuman 87

2.

b. Uraian Materi 88

c. Rangkuman 89

3.

b. Uraian Materi 90

c. Rangkuman 91

(10)

4.

b. Uraian Materi 92

c. Rangkuman 93

C. C. EvaluasiEvaluasi 94 DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA 96 LAMPIRAN LAMPIRAN 97 KUNCI JAWABAN KUNCI JAWABAN 97 SILABUS SILABUS 101

(11)

BAB I. PENDAHULUAN

A.

A. Petunjuk Penggunaan ModulPetunjuk Penggunaan Modul

1. Ikutilah modul ini secara urut mulai dari bagian satu ke bagian berikutnya (jangan

meloncat) karena bagian awal merupakan prasarat untuk bagian berikutnya.

2. Pahami setiap materi yang akan menunjang penguasaan Anda dengan membaca secara teliti.

3. Kerjakan tes formatif dan evaluasi sebagai sarana latihan Anda.

4. Jawablah tes formatif dengan jawaban singkat dan jelas, serta kerjakan sesuai dengan kemampuan Anda setelah mempelajari modul ini.

5. Bila terdapat penugasan, kerjakan tugas tersebut dengan baik dan jika dirasa perlu konsultasikan dengan guru.

6. Catatlah kesulitan yang Anda temui dalam modul ini dan tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka.

(12)

BAB II. POLONOMIAL

PETA KONSEP PETA KONSEP PENGERTIAN DAN NILAI AKAR-AKAR PERSAMAAN POLINOMIAL OPERASI ALJABAR PADA POLINOMIAL TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR POLINOMIAL PENGERTIAN POLINOMIAL NILAI POLINOMIAL METODE PEMBAGIAN SINTETIK METODE PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PEMBAGIAN HASIL KALI AKAR-AKAR MENENTUKAN AKAR-AKAR JUMLAH AKAR-AKAR

(13)

A.

A. PendahuluanPendahuluan 1. Deskripsi

Banyak sekali permasalahan sehari-hari yang melibatkan konsep polinomial contohnya dalah penerbangan pesawat.

Semakin maraknya jatuhnya pesawat di indonesia ini sebenarnya disebabkan oleh beberapa faktor yang mungkin bisa mempengaruhi terbangnya pesawat dan karena beberapa faktor itulah pesawat dapat jatuh. Beberapa faktor tersebut seperti kesalahan pilot, mesin pesawat, body yang tidak layak, cuaca, dan lain-lain. Dengan masalah seperti itu maka diperlukan inisiatif yaitu untuk menerapkan suku banyak sebagai faktor-faktor tersebut jika faktor itu kita beri nama suku x1, x2, x3, …., xnmaka

terdapat banyak suku dalam satu kesatuan. Oleh sebab itu maka penerapan suku banyak sangat diperlukan dalam penerbangan pesawat terbang.

2. Prasyarat

Untuk mempelajari materi polinomial perlu diingat kembali operasi pada aljabar yang meliputi penjumlahan,pengurangn,perkalian dan pembagian serta pemfaktoran aljabar serta materi persamaan dan fungsi kuadrat.

3. Tujuan Modul

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat : 1) Memahami definisi dari polinomial

2) Menentukan nilai polinomial

3) Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian polinomial

4) Menggunakan teorema faktor dan teorema sisa untuk menyelesaikan permasalahan terkait hasil bagi,sisa dan faktor dari polinomial.

5) Memahami sifat-sifat akar-akar polinomial. 6) Menentukan akar-akar polinomial

4. Cek Kemampuan

Kerjakan soal-soal berikut !

1) Tentukan koefisien-koefisien dan konstanta dari persamaan-persamaan berikut : a)





_{}

b)







2) Carilah akar-akar dari persamaan-persamaan berikut : a)







(14)

c)







3) Tentukan nilai dari

  

dari fungsi-fungsi berikut : a)







b)







B.

B. PembelajaranPembelajaran

B.1. Rencana Belajar Siswa B.1. Rencana Belajar Siswa I.

I. KompetensKompetensi i IntiInti KI1.

KI1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI2

KI2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,kerja sama,toleran,damai), santun, responsif dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI3

KI3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI4

KI4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan

II.

II. KompetensKompetensi i DasarDasar

3.1

3.1 Mendeskripsikan konsep dan menganalisis sifat operasi aljabar pada polinomial dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah matematika.

3.2

3.2 Mendeskripsikan aturan perkalian dan pembagian polinomial dan menerapkan teorema sisa dan dan pemfaktoran polinomial dalam menyelesaikan masalah matematika

4.1

4.1 Memecahan masalah nyata menggunakan konsep teorema sisa dan faktorisasi dalam polinomial.

4.2

4.2 Memecahkan masalah nyata dengan model persamaan kubik dengan menerapkan aturan dan sifat pada polinomial.

(15)

Indikator : Indikator : 1.

1. Pertemuan PertamaPertemuan Pertama

Siswa dapat mendefinisikan polinomial.

Siswa dapat menentukan nilai polinomial untuk suatu nilai x . 2.

2. Pertemuan KeduaPertemuan Kedua

Siswa dapat menggunakan operasi alajabar untuk melakukan operasi polinomial.

3.

3. Pertemuan KetigaPertemuan Ketiga

Siswa dapat menggunakan teorema sisa untuk menentukan sisa pembagian polinomial.

Siswa dapat menggunakan teorema faktor untuk menentukan faktor dari suatu polinomial.

4.

4. Pertemuan KeempatPertemuan Keempat

Siswa dapat menerapkan konsep matriks untuk menyelesaikan permasalahan sederhana.

B.2. Kegiatan Belajar B.2. Kegiatan Belajar 1.

1. Kegiatan Belajar -1Kegiatan Belajar -1

a. Tujuan Pembelajaran

Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat mendefinisikan polinomial.

2) Siswa dapat menentukan nilai polinomial untuk suatu nilai x . b. Uraian Materi

A. A. DefinisiDefinisi

Sukubanyak berderajatndengann bilangan cacah dirumuskan sebagai berikut :

































Keterangan :

x : peubah atau variabel





_



_



_



_



_



_



_



: suku-suku pada polinom





: suku tetap (konstanta)





; koefisien dari





Contoh 1 Contoh 1

(16)

a. Derajat suku banyak b. Koefisien dari setiap suku

c. Suku tetapnya

Jawab

Polinom : : 5x3 + 2x2 + 6x – 15

a. Derajat suku banyaknya adalah 3, karena pangkat tertinggi dari suku banyak tersebut adalah 3.

b. Koefisien dari :_x3

adalah 5 x2 adalah 2 x adalah 6

c. Suku tetapnya adalah -15 B.

B. Nilai PolinomialNilai Polinomial

Suatu polinomial dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi, yaitu :

































Jika polinomial

































dinyatakan dengan



, maka nilai polinomial itu untuk



dapat diperoleh dengan mensubsitusikan



pada



yaitu :





_







_







_







_



sehingga



adalah nilai polinomial dari polinomial tersebut untuk



. Contoh 2

Contoh 2

Hitunglah nilai suku banyak dari



= 3x2 + 7x + 1, untuk

  

Jawab :

unutk

  







   

Selain menggunakan metode subsitusi nilai polinomial juga bisa dilakukan dengan menggunakan pembagian Horner atau metode sintetik

Misalkan











dan akan dihitung nilai untuk



. Langkah-langkah pembagian Horner untuk menentukan f(h) adalah sebagai berikut :

1) Kalikan a dengan h dan tambahkanlah b sehingga diperoleh ah+b.

2) Kalikan ah+b dengan h dan tambahkanlah c sehingga diperoleh







. 3) Kalikan







dengan h dan tambahkanlah dengan d sehingga

diperoleh











.

(17)

a b c d



ah

















a



















: artinya kalikan dengan h.

Jadi ,dengan menggunakan pembagian horner diperoleh

 



_



_{}

Contoh 3 Contoh 3 Hitunglah



jika







! Jawab :







berarti













  





1 0 -1 -5



4





1 4





Jadi,



. C.

C. Operasi pada PolinomialOperasi pada Polinomial 1) Penjumlahan Polinomial

Penjumlahan pada suku banyak dapat dilakukan jika sejenis, artinya variabelnya sama dan pangkat variablenya sama, seperti yang dilakukan pada operasi penjumlahan di aljabar.

Contoh 1 Contoh 1

(x3+ 4x2 + 3x + 2) + (8 – x – x2 – 2x3) = – x3 + 5x2 + 2x + 10 2) Pengurangan Polinomial

Penjumlahan pada suku banyak dapat dilakukan jika sejenis, artinya variablenya sama dan pangkat variablenya sama. Perlu dilakukan pengelompokkan terlebih dahulu suku-suku yang sejenis.

Contoh 2 Contoh 2

(2x4_{+ 3x}3_{– 2x}2_{+ 1) – (x}4_{– 2x}2_{– 3x + 3) = x}4_{+ 3x}3_{+ 3x – 2}

3) Perkalian Polinomial

Untuk mengalikan dua suku banyak atau lebih, kita dapat menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan pada operasi aljabar, kemudian kita sederhanakan.

+

(18)

Contoh 3 Contoh 3

(x – 2) (4x2 + 4x +1) = x(4x2 + 4x +1) – 2(4x2 + 4x +1) = 4x3 – 4x2 – 7x – 2

Untuk pembagian pada polinomial akan dibahas lebih lanjut dipembelajaran berikutnya.

c. Rangkuman

 Bentuk umum polinomial dalam variabel x daan berderajat n adalah :  Jika polinomial





_



_



_



_



_



_



_



dinyatakan dengan



, maka nilai polinomial itu untuk



adalah

































 Operasi Polinomial 1) Penjumlahan 2) Pengurangan 3) Perkalian d. Tes Formatif-1

1) Tentukan derajat dan suku tetap dari setiap polinomial berikut : a)











b)





_

2) Diketahui nilai koefisien x dan





dari







adalah sama. Tentukan nilai a !

3) Jika suku tetap dari











adalah 18, tentukan nilai m ! e. Kunci Test Formatif

1) (a) derajat=4 dan suku tetap=-4 (b) derajat=3 dan suku tetap=9 2)

√ 

3)



2.

2. Kegiatan Belajar -2Kegiatan Belajar -2 a. Tujuan Pembelajaran

Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian polinomial. b. Uraian Materi

(19)

Kalian telah mempelajari pembagian bilangan bulat ketika kalian masih di jenjang pendidikan Sekolah Dasar. Jika 35 dibagi 3, maka hasil baginya adalah 11 dan mempunyai sisa 2. Demikian pula dengan polinomial, jika polinomial



dibagi dengan



maka hasil baginya adalah suatu polinomial



serta sisa pembagian S(x).

Suatu polinomial































mempunyai derajat sebesar n. Bagaimanakah cara kamu mennetukan derajat dari hasil bagi polinomial P(x) dengan suatu pembagi tertentu ?

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari suatu pembagian polinomial dapat dilakukan dengan dua cara yaitu

1. Cara Pembagian Bersusun Contoh 1

Contoh 1

Misalkan polinomial











dibagi (x+1). Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian tersebut !

Jawab :

Jadi, hasil bagi













2. Cara Horner atau Metode Sintetik

a) Pembagian dengan



Jika polinomial



dibagi dengan



dan memberikan hasil bagi



serta sisa pembagian S, maka hubungan antara



dan S adalah



.

Derajat dari



= derajat



– 1 Contoh 4

Contoh 4

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian jika







dibagi dengan



! Jawab :

Dari pembaginnya yaitu



, maka diperoleh



yang berarti



, sehingga pembagian polinomial dengan Horner seperti pada skema berikut



1 -4 7

+ +

2 -4

1 -2 3

Karena



berderajat 2 maka Derajat dari



(20)

Artinya



Sedangkan , melalui cara pembagian bersusun diperoleh sebagai berikut :

Jadi,hasil baginya adalah



dan sisa pembagiannya adalah 3. b) Pembagian dengan

 

Bentuk

 

dapat diubah menjadi







.

Apabila polinomial



dibagi dengan







dan memberikan hasil bagi



serta sisa pembagian S, maka hubungan antara







dan S adalah







.

Akibatnya





_{}

=>





_

Dengan demikian, pembagian polinomial



oleh



memberikan hasil bagi



dan sisa pembagian S .

Contoh 1 Contoh 1











dibagi dengan



!

Jawab :

Karena pembagi berbentuk



maka diperoleh





, sehingga has Dengan cara panjang Dengan cara pembagian Horner

Hasil bagi=













=







(21)

Jadi, hasil baginya adalah







dan sisa pembagiannya adalah 3. c) Pembagian dengan







Apabila polinomial



dibagi oleh







, maka hasil bagi dan sisa pembagian polinomial itu dapat pula dengan cara pembagian bersusun panjang dan metode pembagian Horner.

Contoh 2 Contoh 2





_



_{}

dibagi dengan







!

Jawab :

Akan diselesaikan soal diatas menggunakan metode Horner, dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1.





  













(catatan : jika a=1 maka tidak perlu dibagi a) 2.













 











3. Dari bentuk terakhir diperoleh koefisien x adalah





dan suku tetap





Sehingga dari permasalahan diatas diperoleh





  





Sehingga diperoleh koefisien



adalah 2 dan suku tetap nya dalah 3. Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian dengan menggunakan horner perhatikan pembagian horner berikut :

1 0 -2 -13 -19

 

* * 3 6 15



* 2 4 10 *

 

1 2 5 3 4





_{}

_{ }

: ikuti arah panah untuk meletakkan hasil kali seperti pada horner biasa.

Dari horner diatas diperoleh hasil baginya adalah







dan sisanya adalah



.

Perhatikan pembagi







=>





  





Sehingga diperoleh koefisien



adalah 2 dan suku tetap nya dalah 3.

(+)

(22)

c. Rangkuman

 Pada operasi pembagian polinomial berlaku

Jika polinomial



dibagi dengan



memberikan hasil bagi



dan sisa pembagian



, maka diperoleh hubungan :



Apabila



berderajat n dan



berderajat m, maka hasil bagi



berderajat n-m dan sisa pembagian maksimum berderajat m-1.

d. Tes Formatif-2

1) Tentukan hasil bagi dan sisa untuk setiap pembagian berikut. Pilih metode yang paling tepat menurut Anda.

a) a)

 

b) b)





 

c) c)





 

d) d)





 





e. Kunci Test Formatif

1) (a) hasil bagi = 5, sisa=-3 (b)hasil bagi=



, sisa=0 (c) hasil bagi =



_



_



_



, sisa =



(d) hasil bagi =



, sisa =



3.

Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menggunakan teorema sisa untuk menentukan sisa pembagian

polinomial.

2) Siswa dapat menggunakan teorema faktor untuk menentukan faktor dari suatu polinomial.

b. Uraian Materi A.

A. Teorema SisaTeorema Sisa Teorema Sisa 1 Teorema Sisa 1

Jika polinomial



dibagi



maka sisanya adalah



Bukti :

(23)

Misalkan



dibagi



mengahasilkan hasil bagi



dan sisa S maka hubungan



,



,



dan S adalah



...(1) Dengan mensubsitusikan x=h pada persamaan (1) diperoleh









 









 Sehingga ketika



dibagi



memberikan sisa



. Jadi, jika



dibagi



maka sisanya adalah



. Contoh 1

Contoh 1

Tentukan sisa suku banyak

  



 



–  – 

jika dibagi

 



! Jawab :

Dengan menggunakan teorema sisa maka sisa dari

  



 



–  – 

dibagi (x + 4) adalah

  



_{ }



_{–   – }

Jadi, sisa suku banyak

  



 



–  – 

dibagi

  

adalah 169.

Teorema Sisa 2 Teorema Sisa 2

Jika polinomial



dibagi

 

maka sisanya adalah







Bukti :

Jika polinomial



dibagi

 

akan dibuktikan sisanya adalah







Misalkan



dibagi

 



 

,



dan S(x) adalah

 

...(1) Dengan mensubsitusikan x=h pada persamaan (1) diperoleh

 























 





(24)





























Sehingga ketika



dibagi

 

memberikan sisa







. Jadi, jika



dibagi

 

maka sisanya adalah







_

. Contoh 2 Contoh 2

  



 



–  – 

jika dibagi

  

! Jawab :

  



_{ }



_{–  – }

dibagi (

  

adalah

 



 



– – 

  



 



–  – 

dibagi (

  

adalah (-5) Teorema Sisa 3 Teorema Sisa 3 Jika polinomial



dibagi



maka sisanya adalah



dengan



dan



(catatan: teorema sisa untuk pembagian kuadrat hanya dapat digunakan untuk pembagi kuadrat yang dapat difaktorkan)

Bukti :

Jika polinomial



dibagi



akan dibuktikan sisanya adalah



dengan



dan



Misalkan



dibagi







,



dan S(x) adalah

 

Karena



dibagi



yang berderajat 2 maka sisanya maksimum akan berderajat 1 atau berbentuk linier sehingga S(x) dapat dinyatakan dalam



, akibatnya diperoleh





 

...(1)

Dengan mensubsitusikan



pada persamaan (1) diperoleh

(25)



 



 









(2)

Dengan mensubsitusikan



pada persamaan (1) diperoleh

 



 



 









(3)

Sehingga ketika



dibagi



memberikan sisa



dengan



dan



Jadi, jika



dibagi



maka sisanya adalah



dengan



dan



.

Contoh 3 Contoh 3

  



 



–  – 

jika dibagi (

 

! Jawab :

  



 



–  – 

dibagi (

 

adalah



dengan



dan



Perhatikan bahwa untuk

  









  



 



–  – 





(1)









  



 



–  – 





(2)

Dengan menggunakan metode eliminasi sistem persamaan (1) dan (2) diperoleh

(26)

  



 



–  – 

jika dibagi (

 

adalah



.

B.

B. Teorema FaktorTeorema Faktor Teorema Faktor



merupakan faktor dari



jika hanya jika



. Bukti :

Akan dibuktikan





jika hanya jika



artinya akan dibuktikan

i.





maka



ii.



maka





i.





akan dibuktikan







artinya



dapat dinyatakan dalam



Sehingga untuk



diperoleh















 Jadi, jika





maka



ii.



akan dibuktikan





Perhatikan jika





maka menurut aturan pembagian polinomial



Berdasarkan teorema sisa jika polinomial



dibagi



maka sisanya adalah



, sehingga



, akibatnya diperoleh



Karena



dapat dinyatakan dalam



maka



adalah faktor dari



.

Jadi, jika



maka





Dari poin (i) dan (ii) diperoleh bahwa





jika hanya jika



. Contoh 4

Contoh 4

(27)

Jawab :

Misalkan





 



–  – 

Berdasarkan teorema faktor (

  

dikatakan faktor dari





 



–  – 

jika



Perhatikan





 



–  – 







_{ }



_{– – }





Karena



maka menurut teorema faktor

  

adalah faktor dari





_{ }



_{–  – }

.

Jadi,

  

adalah faktor dari





 



–  – 

. Contoh 5

Contoh 5

Tentukan faktor suku banyak

  



– 



–   

! Jawab :

Langkah 1 : faktor dari 12 = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Langkah 2 : untuk x = 1

 



– 



–   

untuk

  



  



 



–  –  

 faktor f(x) Sehingga

  

adalah faktor dari



-2 1 -3 -4 12 -2 10 -12 1 -5 6 0

 



–   

 ( – )( – )

      –  – 

Jadi, faktor dari

  



– 



–   

adalah

  ( – )   – 

. c. Rangkuman

 Teorema Sisa

1. Jika polinomial



dibagi



maka sisanya adalah



2. Jika polinomial



dibagi

 

maka sisanya adalah







3. Jika polinomial



dibagi



maka sisanya adalah



dengan



dan



 Teorema faktor

(28)

d. Tes Formatif-3

1) Tentukan sisa pembagian berikut dengan menerapkan teorema sisa. a)











b) (











c)















2) Jika polinomial















dan





_



_{}

dibagi oleh (x-1) akanmemberikan sisa yang sama. Tentukan nilai k !

3) Buktikan bahwa (x-2) dan (x+2) habis membagi (faktor)











! Tentukan pula hasil baginya masing-masing !

e. Kunci Test Formatif 1) (a)



(b)



(c)



2) 3 3) (





 



 

dan (





 



 –

4.

Tujuan pembelajaran yang akan dicapai dalam pembelajaran ini meliputi : 1) Siswa dapat menentukan akar-akar persamaan polinomial.

2) Siswa dapat menemukan jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial. b. Uraian Materi

A. Akar-akar persamaan Polinomial

Kalian telah mempelajari teorema faktor pada pembelajaran sebelumnya. Pada teorema faktor dinyatakan bahwa



adalah faktor dari suatu polinomial



jika hanya jika



. Dengan demikian, h adalah akar dari persamaan

 

.

Perhatikan permasalahan berikut : Tentukan akar-akar dari

a)







b)







c)







d)











(29)

e)











Penyelesaian dari permasalahan diatas diberikan sebagai berikut : a)



















Memiliki 1 akar yaitu



. b)





_{}







  

c)



















d)

















  

e)

















    

Dari penyelesaian permasalahan diatas dapat dilihat bahwa untuk soal (a) dan (b) polinomial berderajat 2 memiliki maksimal 2 akar, sedangkan untuk soal (c),(d) dan (e) polinomial berderajat 3 memiliki maksimal 3 akar.

Sehingga dapat disimpulkan jika suatu polinomial



berderajat n mempunyai banyak akar persamaan polinomial



maksimal sebanyak n akar.

B. Jumlah dan hasil Kali Akar Polinomial

Selanjutnya dalam sub bab ini akan ditentukan jumlah dan hasil kali akar-akar polinomial.

Perhatikan untuk



, misal







=>















memiliki akar





dan





sehingga dapat dituliskan

(30)

























































































Dengan menyamakan suku-suku yang bersesuaian di peroleh













 











(1)





_



_



(2)

Kemudian untuk



akan ditentukan jumlah dan hasil akar-akar polinomial berderajat 3.

Misal































Memiliki akar-akar





,





dan





sehingga dapat dituliskan















































































































Dengan menyesuaikan suku-suku yang bersesuaian di peroleh

















 















(1)





_



_



_



_



_



_



(2)

















 















(3)

Dengan melihat hasil jumlah dan kali akar-akar polinomial untuk

  

dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut :

Misal diberikan polinomial

































Dengan

















adalah akar-akar dari polinomial diatas, maka

















akan memenuhi

∑





_



_

∑



_



_

_





∑













_



_

...

∑





















_



_

(31)























_



_

Contoh 1 Contoh 1

Diketahui persaman











mempunyai akar-akar





,





dan





. Jika













, maka tentukan nilai p dan akar-akar persaman polinomial tersebut !

Jawab : Perhatikan













 











Berdasarkan sifat jumlah akar polinomial untuk



diperoleh





















































=>



































Persamaan tersebut menjadi











dengan menggunakan cara Horner dapat diperoleh akar-akar yang lain, yaitu

-3 1 -3 -10 24 + + -3 18 -24 1 -6 8 0 Sehingga

















 







     

Jadi, nilai



dan akar-akarnya adalah -3,2 dan 4. c. Rangkuman

 Jika suatu polinomial



berderajat n mempunyai banyak akar persamaan polinomial



maksimal sebanyak n akar.

(32)

 Akar-akar polinomial dapat dirumuskan sebagai berikut : 1. Polinomial berderajat 2 :







a)













b)













2. Polinomial berderajat 3 :











a)





_



_



_





b)





_



_



_



_



_



_

_

c)

















d. Tes Formatif-4

1) Akar-akar persamaan











adalah





,





dan





. Jika dua buah akarnya saling berlawanan , maka tentukan nilai p yang tepat dan tetukan

akar-akar tersebut dengan teliti !

2) Persamaan











mempunyai dua akar berlawananan. Tentukan nilai













!

3) Jika akar-akar persamaan polinomial











membentuk deret aritmatika , maka tentukan nilai m yang memenuhi !

e. Kunci Test Formatif 1) 1)



,akar-akarnya -1,1 dan 3 2) 43 3)



C. C. EvaluasiEvaluasi

1) Tentukan koefisien dari





pada polinomial









 











!

2) Jika



















. Tentukan



!

3) Diketahui polinomial











. Dengan menggunakan cara Horner, tentukan nilai dari

 

!

4) Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari











dibagi oleh



! 5) Diketahui polinomial



berderajat 3 dengan koefisien





sama dengan 1.

Polinomial tersebut habis dibagi oleh



dan



. Jika



, tentukan nilai dari f(2) !

(33)

6) Diketahui







merupakan salah satu faktor dari polinomial















. Jika



dibagi oleh



, tentukan sisanya !

7) Diketahui polinomial











dan











. Jika



dibagi oleh



bersisa 1, maka tentukan sisa dari



dibagi oleh



! 8) Tentukan banyaknya akar-akar rasional bulat dari persamaan





_



_{}

! 9) Persamaan





_



_{}

mempunyai akar x = 2. Tentukan jumlah ketiga akar persamaan tersebut !

10)Diketahui



dan













. Jika akar dari



adalah





,





dan





dengan













, tentukan nilai

(34)

BAB III. IRISAN KERUCUT

PETA KONSEP PETA KONSEP IRISAN KERUCUT PARABOLA ELLIPS HYPERBOLA Puncak (0,0) Puncak (h,k) Garis Singgung Pusat (0,0) Pusat (h,k) Garis Singgung Pusat (0,0) Pusat (p,q) Garis Singgung

(35)

RENCANA BELAJAR SISWA RENCANA BELAJAR SISWA

III.

III. KompetensKompetensi i IntiInti KI1.

KI1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI2

KI2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,kerja sama,toleran,damai), santun, responsif dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif

dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri serta menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI3

KI3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah KI4

KI4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan

IV.

IV. KompetensKompetensi i DasarDasar 3.3

3.3 Menganalisis irisan kerucut (lingkaran, ellips, parabola, dan hiperbola) dan menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah matematika 3.4

3.4 Mendeskripsikan hubungan garis direktis, titik fokus dan titik-titik pada kurva parabola, hiperbola, dan ellips dan menerapkannya dalam pemecahan masalah. 3.5

3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur parabola, hiperbola dan ellips untuk menggambar kurva dan mengidentifikasi sifat-sifatnya.

4.3

4.3 Mengolah data dan menganalisis model matematika dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan parabola atau hiperbola atau ellips.

4.4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model parabola, hiperbola, dan ellips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifat-sifat irisan kerucut yang telah dibuktikan kebenaranya. Indikator :

Indikator : 1.

1. Pertemuan PertamaPertemuan Pertama

Menentukan persamaan parabola beserta unsur-unsurnya 2.

(36)

Menentukan persamaan garis singgung parabola 3.

3. Pertemuan KetigaPertemuan Ketiga

Menentukan persamaan ellipse beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 4.

4. Pertemuan KeempatPertemuan Keempat

Menentukan persamaan ellipse beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 5.

5. Pertemuan KeelimaPertemuan Keelima

Menentukan persamaan ellipse beserta unsur-unsurnya dengan pusat (p,q) 6.

6. Pertemuan KeenamPertemuan Keenam

Menentukan persamaan garis singgung ellipse bergrdaien m Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik pada ellips 7.

7. Pertemuan KetujuhPertemuan Ketujuh

Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik diluar ellips 8.

8. Pertemuan KetujuhPertemuan Ketujuh

Menentukan persamaan hyperbola beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 9.

9. Pertemuan KedelapanPertemuan Kedelapan

Menentukan persamaan hyperbola beserta unsur-unsurnya dengan pusat (0,0) 10.

10. Pertemuan KesepuluhPertemuan Kesepuluh

Menentukan persamaan garis singgung hyperbola bergrdaien m Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik pada hyperbola 11.

11. Pertemuan KesebelasPertemuan Kesebelas

Menentukan persamaan garis singgung melalui satu titik diluar hyperbola

Pada saat SMP, Anda telah mempelajari beberapa bangun ruang, slaah satunya yaitu kerucut. Bagaimana jika kerucut tersebut dipotong oleh suatu bidang datar ? Hasil pemotongan tersebut akan menghasilkan lengkungan-lengkungan yang akan kita pelajari di

sub ini. Hasil perpotongan tersebut dinamakan irisan kerucut.

Jika suatu kerucut dipotong oleh suatu bidnag datar, maka gari potong tersbeut mempunyai berbagai kemungkinan seperti berikut :

(37)

Parabola

Parabola : jika bidang datar sejajar garis pelukis kerucut dan tidak melalui puncak kerucut.

Elips

Elips : jika bidang datar membentuk sudut lancip terhadap sumbu dan dan tidak melalui puncak kerucut

Hiperbola

Hiperbola : jika bidnag datar sejajr sumbu kerucut dan tidak melalui titik nol . Lingkaran

Lingkaran : jika bidnag datar tegak lurus sumbu kerucut dan tidak melalui titik nol. Lebih lanjut tenatng irisan kerucut akan kita bahas satu persatu dalam bab ini.

(38)

III.1 PARABOLA

A. A. PendahuluanPendahuluan 1. Deskripsi

Banyak permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep parabola contohnya yang paling sederhana adalah pada penentuan fokus parabola untuk menghasilkan saluran yang jernih.

Contoh lain dari konsep parabola adalah proses laser untuk menghilangkan penyumbatan pembuluh darah di jantung dengan memanfaatkan konsep titik fokus parabola.

2. Prasyarat

Untuk mempelajari materi parabola perlu diingat kembali jarak antara dua buah titik dan jarak titik ke garis.

3. Tujuan Modul

Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat : 1) Memahami definisi parabola

2) Menyebutkan unsur-unsur parabola dan menggambarkan grafiknya. 3) Menentukan persamaan parabola

4) Menentukan garis singgung parabola. 4. Cek Kemampuan

Kerjakanlah soal-soal berikut ! Kerjakanlah soal-soal berikut !

a. Tentukan jarak titik



dan



!

b. Tentukan jarak titik



terhadap garis



! B.

B. PembelajaranPembelajaran 1.

Tujuan dari pembelajaran yang akan dilakukan meliputi : 1) Siswa dapat menentukan unsur-unsur parabola

2) Siswa dapat menentukan persamaan parabola jika diketahui unsur-unsur nya.

b. Uraian Materi A.

(39)

Definisi Definisi

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari titik tertentu dan dari garis tertentu adalah sama.

Dalam parabola dikenal beberapa istilah yang meliputi :

Titik tertentu itu disebut sebagai fokus (F) dan garis tertentu disebut direktris.

Garis yang membagi kurva menjadi dua bagian yang sama disbeut sumbu simetri.

Perpotongan sumbu simetri dengan kurva disebut puncak (P). B.

B. Unsur-unsur Parabola dan GrafiknyaUnsur-unsur Parabola dan Grafiknya a. Parabola dengan puncak (0,0)

Tabel 3.1.1 Unsur-unsur Parabola Pusat (0,0)

No Unsur

No Unsur Jenis ParabolaJenis Parabola

Horizontal Vertikal Horizontal Vertikal Puncak



Fokus





Direktris





b. Parabola dengan puncak



Tabel 3.1.2 Unsur-unsur parabola Pusat (h,k)

No Unsur

No Unsur Jenis ParabolaJenis Parabola

Horizontal Vertikal Horizontal Vertikal 1 Puncak



2 Fokus





3 Direktris





c. Grafik Hyperbola

(40)

C. Persamaan Parabola dengan Pusat (0,0) Persamaan ellips disajikan dalam tabel berikut :

Tabel 3.1.3 Persamaan Parabola Puncak

Puncak Horizontal Horizontal VertikalVertikal







_

_



_







_{}

_{}



_{}

Berdasarkan definisi parabola , parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik tertentu dan garis tertentu adalah sama. Akan dibuktikan persamaan parabola horizontal dengan puncak (0,0) . Misal



adalah titik fokus parabola ,



persamaan garis direktrisnya dan P(x,y) adalah titik pada parabola seperti yang diilustrasikan pada gambar 2. sehingga

FP = BP 

 







 









 



_



_{ }





 











 







(kedua ruas dikuadratkan) 











































Jadi , persamaan parabola horizontal dengan puncak (0,0) adalah







. Latihan :

Latihan :

Turunkan persamaan parabola horizontal dengan pusat (h,k) dan persamaan parabola vertikal dengan pusat (0,0) dan (h,k) !

c. Rangkuman

 Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya dari titik tertentu dan dari garis tertentu adalah sama.

 Unsur-unsur parabola diberikan dalam tabel berikut : a) Parabola dengan puncak (0,0)