Judul Tesis : Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia
Nama : Vani Rialita Supono NRP : G551070391
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc.
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, M.S.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Perbandingan Metode Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia berhasil diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya. Tak lupa penulis sampaikan penghargaan atas segala kerjasama dan dukungan dari Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan, Ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departemen Matematika, dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor.
Akhirnya, ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada Ayah, Ibu, dan seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang.
Bogor, Agustus 2009
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Maret 1981 dari ayah Sartono dan Ibu Supriyatin. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara.
Tahun 1999 penulis lulus dari SMA Negeri 26 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta lulus tahun 2004. Pada tahun 2005, penulis menjadi Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama sebagai tenaga pendidik di Madrasah Tsanawiyah Negeri 21 Jakarta sampai sekarang.
Pada tahun 2007 penulis masuk program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2009.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... xiv DAFTAR GAMBAR ... xv DAFTAR LAMPIRAN ... xvi BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan Penelitian ... 2 BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Tabel Hayat ... 3 2.2 Asumsi Tabel Hayat ... 3 2.3 Jenis Tabel Hayat ... 3 2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat ... 4 2.5 Interpolasi Lagrange ... 5 2.6 Regresi Taklinear ... 6 2.6.1 Metode Newton ... 7 2.7 Uji Kesuaian Data ... 9 2.7.1 Galat Mutlak (Absolute Error, AE)... 9 2.7.2 Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE)... 9 2.7.3 Koefisien Determinasi (R2) ... 9 2.7.4 Akar Kuadrat Rataan Galat (Root Mean Square Error, RMSE) 9 BAB III METODE PENELITIAN
Langkah-langkah Penelitian ... 11 BAB IV METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN
PEMBAHASAN
4.1 Metode Elandt-Johnson... 16 4.2 Metode Brass Logit... . 20 4.3 Metode Heligman-Pollard... ... 24 4.4 Metode Kostaki ... 29
4.5 Perbandingan antar Metode ... 31 BAB V APLIKASI METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE
TABLE TERBAIK PADA DATA INDONESIA
5.1 Sumber Data Indonesia ... 34 5.2 Aplikasi Metode Terbaik pada Data Indonesia
5.2.1 Metode Kostaki untuk Indonesia ... 36 5.2.2 Metode Elandt-Johnson untuk Indonesia ... 37
BAB VI SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan ... 39 5.2 Saran ... 39 DAFTAR PUSTAKA ... 40 LAMPIRAN ... 42
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
4.1 Koefisien untuk menghitung dengan ... 17 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan ... 18 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard ... 27 4.4 Perbandingan nilai kriteria uji untuk lx masing-masing metode ... 31
4.5 Nilai kriteria uji lx untuk metode tanpa standar ... 32
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
3.1 Diagram Alur Penelitian ... 14 4.1 Plot tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 ... 15 4.2 Plot tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap USA 2005 ... 16 4.3 Kurva USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson ... 19 4.4 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan
metode Elandt-Johnson ... 20 4.5 Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit ... 21 4.6 Kurva USA 2005 dengan metode Brass Logit ... 23 4.7 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan
metode Brass Logit ... 23 4.8 Kurva fungsi Heligman-Pollard ... 24 4.9 Kurva USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard ... 28 4.10 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan
metode Heligman-Pollard ... 28 4.11 Kurva USA 2005 dengan metode Kostaki ... 30 4.12 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan
metode Kostaki ... 30 4.13 Hasil berdasarkan metode interpolasi tabel hayat ringkas ... 32 5.1 Kurva laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 ... 35 5.2 Kurva wanita Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 ... 35 5.3 Perbandingan kurva laki-laki dan wanita Indonesia ... 35 5.4 Kurva tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 ... 36 5.5 Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Kostaki ... 37 5.6 Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Elandt-Johnson ... 37 5.7 Perbandingan kurva tabel hayat Indonesia 2005 dengan
metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson ... 38 5.8 Diagram kotak nilai lx tabel hayat Indonesia 2005 dengan
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
1 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 ... 43 2 Tabe hayat lengkap Amerika Serikat 2005 ... 44 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000 ... 47 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 ... 48 5 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 ... 51 6 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode
Elandt-Johnson ... 52 7 Program pendugaan parameter untuk metode Brass Logit ... 55 8 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode
Brass Logit ... 56 9 Program pendugaan parameter pada metode Heligman-Pollard ... 59 10 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode
Heligman-Pollard ... 60 11 Pembuktian persamaan 4.16 dan perhitungan nilai konstanta pada
metode Kostaki... 63 12 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode
Kostaki ... 65 13 Angka Harapan Hidup Waktu Lahir penduduk Indonesia menurut
propinsi dan jenis kelamin (SUPAS 2005) ... 68 14 Tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan data SUPAS 2005 dan tabel
hayat Coale Demeny model Barat... 69 15 Tabel mortalita Indonesia II sebagai tabel hayat standar untuk metode
Kostaki ... 72 16 Perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki untuk tabel
hayat Indonesia ... 81 17 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki ... 82 18 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 untuk tabel hayat
ringkas Indonesia 2005 ... 85 19 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson ... 86 20 Program plot kurva lx dan perbandingan nilai kriteria uji kesesuaian data 89
21 Nilai numerik lima titik untuk data lx tabel hayat lengkap Indonesia 2005
BAB I
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang penduduk, khususnya pada lima aspek yaitu ukuran, distribusi geografi, komposisi, komponen perubahan (kelahiran, kematian, migrasi), serta faktor penyebab dan akibat perubahan penduduk (Siegel dan Swanson 2004).
Data kematian suatu negara biasanya dinyatakan dalam bentuk life table
atau tabel hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur. Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1693 berdasarkan data registrasi kelahiran dan kematian dari kota Breslau pada tahun 1687-1691 dengan asumsi bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun 1815 (Siegel dan Swanson 2004).
Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Bidang asuransi juga menggunakan tabel hayat untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu.
Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life
table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel
hayat ringkas adalah tabel hayatdengan umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu biasanya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayatdengan umur penduduk disusun secara lengkap dalam satu tahunan.
Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat
diperlukan seperti dalam bidang asuransi untuk menentukan besar premi asuransi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas.
Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt- Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Mengkaji metode-metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas), yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Membandingkan metode-metode tersebut terhadap tabel hayat lengkap yang
sebenarnya dan memilih metode terbaik.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Tabel Hayat
Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga tak ada satu pun yang tertinggal (Siegel dan Swanson 2004).
2.2 Asumsi Tabel Hayat
Asumsi yang digunakan dalam penyusunan tabel hayat adalah sebagai berikut:
1. Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsur-angsur karena kematian.
2. Kohort merupakan penduduk tertutup, tidak ada migrasi masuk maupun keluar.
3. Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut umur. 4. Kohort tabel hayat berasal dari suatu radiks tertentu, misalnya 1 000,
10 000 atau 100 000 (Wirosuhardjo 1985).
2.3 Jenis Tabel Hayat
Tabel hayat ditinjau dari referensi tahun berlakunya ada dua jenis yaitu
period life table dan cohort life table. Period life table adalah tabel hayat yang
disusun berdasarkan data kematian menurut umur yang dikumpulkan pada satu waktu tertentu (periode 2 atau 3 tahun) dari populasi yang ada. Cohort life table
adalah jenis tabel hayat yang disusun berdasarkan riwayat angka kematian dari kohort sebenarnya yang diikuti sejak lahir hingga mati.
Kedua jenis tabel hayat tersebut dapat disusun ke dalam tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat singkat berisi data kematian penduduk dikelompokkan dalam interval umur 5 tahun atau 10 tahun.
Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis (Siegel dan Swanson 2004).
2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat
Notasi dan fungsi yang digunakan dalam tabel hayat antara lain adalah: : jumlah penduduk yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x
: banyaknya kematian antara umur x hingga x + 1
(2.1)
: banyaknya kematian antara umur x hingga x + n
(2.2) : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur
x + 1
.
: peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur
x + n
.
: total waktu yang dijalani oleh sejumlah lx antara umur x sampai x + 1 .
: total waktu yang dijalani oleh sejumlah lx antara umur x sampai x + n .
: total waktu yang akan dijalani oleh sejumlah lx mulai umur tepat x .
: angka harapan hidup bagi penduduk berumur x
.
.
(Brown 1997)
2.5 Interpolasi Lagrange
Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data yang diberikan (Heath 1996). Misalkan terdapat n titik data, yaitu:
(xi, yi) i = 1, 2, …,n
dengan .
Kemudian melewati semua titik data yang diketahui tersebut, dapat ditentukan fungsi interpolasi f sedemikian hingga
, , , … , . (2.10)
Untuk x1< xk < xn, maka nilai merupakan nilai interpolasi dari xk. Fungsi
interpolasi merupakan kombinasi linear dari sekumpulan fungsi basis (basis
function), yang dirumuskan sebagai berikut:
, , , … , .
dengan : fungsi basis ke-i
: parameter-parameter yang akan ditentukan
Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan.
Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (xi , yi) dengan i = 1, 2, …, n. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat
(n – 1) yang melalui n titik berbeda adalah
.
dengan merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut:
∏ ,
Berdasarkan definisi di atas, fungsi-fungsi memenuhi sifat
, jika
, jika .
2.6 Regresi Taklinear
Bentuk sederhana dari persamaan regresi taklinear (Draper 1992) dapat dinyatakan sebagai berikut:
, (2.15)
dengan f adalah fungsi taklinear dari , , … , merupakan vektor dari peubah bebas dan , , … , adalah parameter-parameternya.
Apabila ada n data amatan, maka persamaan (2.15) menjadi
, u = 1, 2, …, n (2.16)
dengan , , … , . Galat persamaan taklinear , , … , diasumsikan bebas dan berdistribusi normal , dengan 0 vektor nol dan I matriks identitas, keduanya berukuran yang sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model taklinear didefinisikan sebagai berikut:
, .
Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari . Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi dilambangkan dengan merupakan nilai yang meminimumkan . Nilai dugaan kuadrat terkecil dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.17 relatif terhadap . Ini akan menghasilkan p persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai . Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk
, , .
dengan i = 1, 2, …, p, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan turunan dari , terhadap dengan semua diganti dengan yang berindeks sama. Persamaan-persamaan normal pada persamaan regresi taklinear tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan taklinear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang
dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan taklinear adalah metode Gauss Newton.
2.6.1 Metode Gauss-Newton
Pendekatan metode Gauss Newton menggunakan perkiraan linearisasi atau metode deret Taylor dari fungsi harapannya secara berulang untuk memperbaiki nilai awal bagi parameter-parameternya. Oleh karena itu, metode Gauss Newton disebut juga metode linearisasi atau metode deret Taylor (Draper 1992). Misalkan
, , … , adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter , , … , .
Selanjutnya, dengan melakukan penguraian deret Taylor orde satu pada , di sekitar titik , , … , akan diperoleh
, , , . dimisalkan , ,
maka persamaan (2.16) menjadi
.
Persamaan 2.20 berbentuk linear, sehingga dengan menerapkan metode kuadrat terkecil linear dapat diduga nilai parameter-parameter dari , i = 1, 2, …, p. Bila ditetapkan
dan (2.22)
maka nilai dugaan bagi parameter-parameter , , … , diberikan oleh
Dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat
SS , .
relatif terhadap , i = 1, 2, ..., p, dengan . Bila merupakan nilai dugaan bagi maka dapat dituliskan bahwa , dan merupakan nilai dugaan terbaik yang telah diperbaiki bagi . Nilai dugaan yang diperoleh dari iterasi pertama akan dijadikan sebagai nilai awal bagi iterasi kedua dan seterusnya. Secara umum, penentuan hasil iterasi berikutnya dapat dituliskan sebagai berikut: (2.24) dengan , , , … , , , , … , .
Proses iterasi ini terus dilakukan hingga solusi yang diperoleh konvergen, dengan kata lain hingga langkah iterasi ke-j dan ke-(j + 1) berlaku
, , , … , . .
Dengan merupakan suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya (misalnya 0.000001).
2.7 Uji Kesuaian Data
Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya adalah:
2.7.1 Galat Mutlak (Absolute Error, AE)
Misalkan yi adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh
dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk yi. Galat
mutlak didefinisikan sebagai berikut:
| | ; , , … , (2.26) (Mathews 1992)
2.7.2 Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE)
Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut:
| | ; , , … , .
(Mathews 1992)
2.7.4 Koefisien Determinasi
∑
∑ .
dengan
y
i = nilai sebenarnya,yˆ
i = nilai dugaan, dany
= nilai rata-rata. Besaran R2 menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model.(Agresti dan Finlay 1999)
2.7.5 Akar Kuadrat Rataan Galat (RMSE)
Misalkan yi adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh
dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk yi. Akar
| | , , … , .
BAB III
METODE PENELITIAN
Langkah-langkah Penelitian
Langkah-langkah penelitian yang akan dilakukan adalah:
1. Mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas, yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.
2. Pengambilan data. Penelitian ini menggunakan data kematian berupa tabel hayat dari Negara Amerika Serikat 2000 dan 2005 yaitu tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat Amerika 2000 digunakan sebagai tabel hayat standar untuk metode Brass Logit dan Kostaki. Data tabel hayat Amerika Serikat tersebut diperoleh dari Human Mortality Database pada http://www.mortality.org.
3. Menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.
Metode Elandt-Johnson
Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson (1980) adalah:
a. Untuk umur 0 – 74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula
∏ ∏
b. Untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival dengan x > 0, R > 0, , dan dengan umur x dan parameter a dan R. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai
ditentukan dengan menggunakan rumus:
dengan , … , ; , , … ,
Metode Brass Logit
Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah:
a. Menduga parameter dan yang memenuhi hubungan linear berikut logit logit
dengan :
logit ln
Parameter dan diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear. b. Setelah diperoleh nilai parameter dan , kemudian ditentukan jumlah
penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut :
exp logit
Metode Heligman-Pollard
Formula matematik metode Heligman-Pollard (1980) adalah: exp ln
dengan adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun, dan A, B, C, D, E, F, G, H
merupakan parameter yang bernilai positif. Tahapan penyusunan tabel hayat lengkap dengan metode Heligman-Pollard sebagai berikut:
a. Menduga nilai parameter-paremeter dengan meminimumkan S2 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear (nonlinear least square
method)
dengan
; ,
merupakan peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n.
b. Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan formula berikut:
; ;
dengan ; exp ln
Metode Kostaki
Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:
a. Menentukan konstanta untuk setiap interval umur , dengan menggunakan rumus :
ln
∑ ln
b. Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus :
4. Menganalisis tabel hayat lengkap yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode kemudian membandingkan metode-metode tersebut dengan tabel hayat lengkap sebenarnya dengan menganalisis galatnya untuk memilih metode interpolasi tabel hayat ringkas yang terbaik.
5. Mengaplikasikan metode interpolasi tabel hayat ringkas terbaik pada data kematian penduduk Indonesia yang mengikuti pola model Barat dari tabel hayat Coale Demeny.
Data lima tahunan
Data tahunan Langkah-langkah penelitian di atas dapat digambarkan ke dalam diagram alur sebagai berikut:
Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian
Kajian Metode
Elandt-Johnson Brass Logit Heligman-Pollard Kostaki
Data Amerika Pendugaan Parameter
Penyusunan Tabel Hayat Lengkap
Pembandingan antar Metode
Pemilihan Metode Terbaik
Data Indonesia Penyusunan Tabel Hayat Lengkap
BAB IV
METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE
DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2005, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva lx pada
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.1.
Tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seorang berumur 45 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 48 tahun, karena diperlukan informasi tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 45 tahun (l45)
dan jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 48 tahun (l48).
Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk interval umur satu tahun. Perbandingan lx pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dan lx
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Gambar 4.1 Plot lx tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005
Berdasarkan pengamatan pada Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 akan berkurang akibat adanya kematian penduduk. Jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berumur 60 tahun ada sekitar 87%.
0 20 40 60 80 100 Umur x 20000 40000 60000 80000 100000 lx
Gambar 4.2 Plot lx tabel hayat lengkap dan lx tabel hayat ringkas USA 2005
Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005, yaitu dengan cara menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005. Ada beberapa metode interpolasi tabel hayat ringkas yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas, diantaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.
4.1 Metode Elandt-Johnson
Elandt-Johnson (1980) menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing
dari tiga skema interpolasi menurut umur tertentu, yaitu umur bayi dan anak-anak (0-10 tahun), umur remaja dan dewasa (10-74 tahun) serta umur di atas 74 tahun.
Untuk interval umur 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan formula enam titik interpolasi Lagrange, menyatakan bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tabel hayat ringkas.
∏ ∏ . 0 20 40 60 80 100 Umur x 20 000 40 000 60 000 80 000 100 000 lx
lxtabel hayat ringkas lxtabel hayat lengkap
Berdasarkan persamaan 4.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung