Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia

PERBAN

TABL

NDINGAN

LE DAN A

SE

INS

N METOD

APLIKASI

IN

VANI RI

EKOLAH

STITUT P

E INTER

INYA PAD

NDONESIA

IALITA SU

H PASCAS

ERTANIA

BOGOR

2009

RPOLASI A

DA DATA

A

UPONO

SARJANA

AN BOGO

ABRIDGE

A KEMAT

A

OR

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia adalah karya saya sendiri dengan arahan dan bimbingan dari komisi pembimbing serta belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2009

Vani Rialita Supono

ABSTRACT

 

VANI RIALITA SUPONO. Comparison of Interpolation Methods in Abridged Life Table and Its Application for the Indonesian Mortality Data. Supervised by HADI SUMARNO and N. K. KUTHA ARDANA.

Life table (usually complete life table) is used in insurance field to define the amount of insurance premiums. When complete life table is not available, it must be estimated from abridged life table. Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard and Kostaki method are used to expand abridged life table of USA 2005. Then, the resulting abridged life tables are compared with empirical complete life table of USA 2005. The result shows that among four interpolation methods, the Elandt-Johnson and Heligman-Pollard are the methods that do not require standard life table. Between the two methods, the Elandt-Johnson method gives the best result. Meanwhile, the Kostaki method gives better result than Brass Logit for methods which need standard life table. Afterward, Elandt-Johnson and Kostaki method are applied to the mortality data of Indonesia 2005. The standard life table used in Kostaki method is the mortality table of Indonesia 1999, which is published by Dewan Asuransi Indonesia.

RINGKASAN

VANI RIALITA SUPONO. Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life

Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia. Dibimbing oleh HADI

SUMARNO dan N. K. KUTHA ARDANA.

Salah satu cara untuk menyajikan data kematian suatu negara berupa jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang umur tertentu adalah dengan life table atau tabel hayat. Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Dalam bidang asuransi, tabel hayat digunakan untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu.

Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life

table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel

hayat ringkas adalah tabel hayat dengan interval umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu umumnya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap tahunan. Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat diperlukan. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menginterpolasi tabel hayat ringkas menjadi tabel hayat lengkap.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt-Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia.

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi pustaka, data yang digunakan adalah data tabel hayat Amerika Serikat 2000 dan 2005 yang diperoleh dari Human Mortality Database (www.mortality.org). Langkah penelitian yang dilakukan adalah mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki, kemudian menduga parameter dari masing-masing metode. Selanjutnya menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan masing-masing metode tersebut. Setelah itu membandingkan keempat metode tersebut dengan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan

software Mathematica 7.0 dan Microsoft Excel 2007. Untuk menguji kesesuaian

data sebenarnya dengan data berdasarkan metode dilakukan uji kriteria MAE,

RMSE, dan R2.

yang dijadikan sebagai acuan dalam menyusun tabel hayat lengkap (tabel hayat standar). Antara kedua metode tersebut metode Elandt-Johnson memberikan hasil yang terbaik. Metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan tabel hayat standar, tabel hayat standar yang digunakan adalah tabel hayat Amerika Serikat 2000. Metode Kostaki memberikan hasil lebih baik dibandingkan metode Brass Logit.

Selanjutnya, metode Elandt-Johnson dan Kostaki diaplikasikan pada tabel hayat ringkas Indonesia 2005 yang diperoleh berdasarkan data angka harapan hidup waktu lahir SUPAS 2005 dan mengikuti pola tabel hayat Coale Demeny model Barat. Tabel hayat standar yang digunakan pada metode Kostaki adalah tabel mortalita Indonesia-II 1999 yang diterbitkan oleh Dewan Asuransi Indonesia. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum memiliki tabel hayat standar.

©Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009

Hak cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa

mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan

karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut

Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya

PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED

LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATA

KEMATIAN INDONESIA

VANI RIALITA SUPONO

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Tesis : Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia

Nama : Vani Rialita Supono NRP : G551070391

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, M.S.

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Perbandingan Metode Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya. Tak lupa penulis sampaikan penghargaan atas segala kerjasama dan dukungan dari Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan, Ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departemen Matematika, dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor.

Akhirnya, ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada Ayah, Ibu, dan seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang.

Bogor, Agustus 2009

PERBAN

TABL

NDINGAN

LE DAN A

SE

INS

N METOD

APLIKASI

IN

VANI RI

EKOLAH

STITUT P

E INTER

INYA PAD

NDONESIA

IALITA SU

H PASCAS

ERTANIA

BOGOR

2009

RPOLASI A

DA DATA

A

UPONO

SARJANA

AN BOGO

ABRIDGE

A KEMAT

A

OR

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia adalah karya saya sendiri dengan arahan dan bimbingan dari komisi pembimbing serta belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2009

Vani Rialita Supono

ABSTRACT

 

VANI RIALITA SUPONO. Comparison of Interpolation Methods in Abridged Life Table and Its Application for the Indonesian Mortality Data. Supervised by HADI SUMARNO and N. K. KUTHA ARDANA.

Life table (usually complete life table) is used in insurance field to define the amount of insurance premiums. When complete life table is not available, it must be estimated from abridged life table. Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard and Kostaki method are used to expand abridged life table of USA 2005. Then, the resulting abridged life tables are compared with empirical complete life table of USA 2005. The result shows that among four interpolation methods, the Elandt-Johnson and Heligman-Pollard are the methods that do not require standard life table. Between the two methods, the Elandt-Johnson method gives the best result. Meanwhile, the Kostaki method gives better result than Brass Logit for methods which need standard life table. Afterward, Elandt-Johnson and Kostaki method are applied to the mortality data of Indonesia 2005. The standard life table used in Kostaki method is the mortality table of Indonesia 1999, which is published by Dewan Asuransi Indonesia.

RINGKASAN

VANI RIALITA SUPONO. Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life

Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia. Dibimbing oleh HADI

SUMARNO dan N. K. KUTHA ARDANA.

Salah satu cara untuk menyajikan data kematian suatu negara berupa jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang umur tertentu adalah dengan life table atau tabel hayat. Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Dalam bidang asuransi, tabel hayat digunakan untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu.

Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life

table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel

hayat ringkas adalah tabel hayat dengan interval umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu umumnya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap tahunan. Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat diperlukan. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menginterpolasi tabel hayat ringkas menjadi tabel hayat lengkap.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt-Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia.

Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi pustaka, data yang digunakan adalah data tabel hayat Amerika Serikat 2000 dan 2005 yang diperoleh dari Human Mortality Database (www.mortality.org). Langkah penelitian yang dilakukan adalah mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki, kemudian menduga parameter dari masing-masing metode. Selanjutnya menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan masing-masing metode tersebut. Setelah itu membandingkan keempat metode tersebut dengan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan

software Mathematica 7.0 dan Microsoft Excel 2007. Untuk menguji kesesuaian

data sebenarnya dengan data berdasarkan metode dilakukan uji kriteria MAE,

RMSE, dan R2.

yang dijadikan sebagai acuan dalam menyusun tabel hayat lengkap (tabel hayat standar). Antara kedua metode tersebut metode Elandt-Johnson memberikan hasil yang terbaik. Metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan tabel hayat standar, tabel hayat standar yang digunakan adalah tabel hayat Amerika Serikat 2000. Metode Kostaki memberikan hasil lebih baik dibandingkan metode Brass Logit.

Selanjutnya, metode Elandt-Johnson dan Kostaki diaplikasikan pada tabel hayat ringkas Indonesia 2005 yang diperoleh berdasarkan data angka harapan hidup waktu lahir SUPAS 2005 dan mengikuti pola tabel hayat Coale Demeny model Barat. Tabel hayat standar yang digunakan pada metode Kostaki adalah tabel mortalita Indonesia-II 1999 yang diterbitkan oleh Dewan Asuransi Indonesia. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum memiliki tabel hayat standar.

©Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009

Hak cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa

mencantumkan atau menyebutkan sumber.

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan

karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut

Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya

PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED

LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATA

KEMATIAN INDONESIA

VANI RIALITA SUPONO

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Tesis : Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia

Nama : Vani Rialita Supono NRP : G551070391

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, M.S.

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah berjudul Perbandingan Metode Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya. Tak lupa penulis sampaikan penghargaan atas segala kerjasama dan dukungan dari Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan, Ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departemen Matematika, dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor.

Akhirnya, ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada Ayah, Ibu, dan seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang.

Bogor, Agustus 2009

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Maret 1981 dari ayah Sartono dan Ibu Supriyatin. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara.

Tahun 1999 penulis lulus dari SMA Negeri 26 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta lulus tahun 2004. Pada tahun 2005, penulis menjadi Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama sebagai tenaga pendidik di Madrasah Tsanawiyah Negeri 21 Jakarta sampai sekarang.

Pada tahun 2007 penulis masuk program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2009.

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... xiv DAFTAR GAMBAR ... xv DAFTAR LAMPIRAN ... xvi BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan Penelitian ... 2 BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Tabel Hayat ... 3 2.2 Asumsi Tabel Hayat ... 3 2.3 Jenis Tabel Hayat ... 3 2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat ... 4 2.5 Interpolasi Lagrange ... 5 2.6 Regresi Taklinear ... 6 2.6.1 Metode Newton ... 7 2.7 Uji Kesuaian Data ... 9 2.7.1 Galat Mutlak (Absolute Error, AE)... 9 2.7.2 Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE)... 9 2.7.3 Koefisien Determinasi (R2) ... 9 2.7.4 Akar Kuadrat Rataan Galat (Root Mean Square Error, RMSE) 9 BAB III METODE PENELITIAN

Langkah-langkah Penelitian ... 11 BAB IV METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN

PEMBAHASAN

4.1 Metode Elandt-Johnson... 16 4.2 Metode Brass Logit... . 20 4.3 Metode Heligman-Pollard... ... 24 4.4 Metode Kostaki ... 29

4.5 Perbandingan antar Metode ... 31 BAB V APLIKASI METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE

TABLE TERBAIK PADA DATA INDONESIA

5.1 Sumber Data Indonesia ... 34 5.2 Aplikasi Metode Terbaik pada Data Indonesia

BAB VI SIMPULAN DAN SARAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

4.1 Koefisien untuk menghitung dengan ... 17 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan ... 18 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard ... 27 4.4 Perbandingan nilai kriteria uji untuk lx masing-masing metode ... 31

4.5 Nilai kriteria uji lx untuk metode tanpa standar ... 32

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

3.1 Diagram Alur Penelitian ... 14 4.1 Plot tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 ... 15 4.2 Plot tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap USA 2005 ... 16 4.3 Kurva USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson ... 19 4.4 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan

metode Elandt-Johnson ... 20 4.5 Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit ... 21 4.6 Kurva USA 2005 dengan metode Brass Logit ... 23 4.7 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan

metode Brass Logit ... 23 4.8 Kurva fungsi Heligman-Pollard ... 24 4.9 Kurva USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard ... 28 4.10 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan

metode Heligman-Pollard ... 28 4.11 Kurva USA 2005 dengan metode Kostaki ... 30 4.12 Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan

metode Kostaki ... 30 4.13 Hasil berdasarkan metode interpolasi tabel hayat ringkas ... 32 5.1 Kurva laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 ... 35 5.2 Kurva wanita Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 ... 35 5.3 Perbandingan kurva laki-laki dan wanita Indonesia ... 35 5.4 Kurva tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 ... 36 5.5 Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Kostaki ... 37 5.6 Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Elandt-Johnson ... 37 5.7 Perbandingan kurva tabel hayat Indonesia 2005 dengan

metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson ... 38 5.8 Diagram kotak nilai lx tabel hayat Indonesia 2005 dengan

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Halaman

1 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 ... 43 2 Tabe hayat lengkap Amerika Serikat 2005 ... 44 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000 ... 47 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 ... 48 5 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 ... 51 6 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode

Elandt-Johnson ... 52 7 Program pendugaan parameter untuk metode Brass Logit ... 55 8 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode

Brass Logit ... 56 9 Program pendugaan parameter pada metode Heligman-Pollard ... 59 10 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode

Heligman-Pollard ... 60 11 Pembuktian persamaan 4.16 dan perhitungan nilai konstanta pada

metode Kostaki... 63 12 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode

Kostaki ... 65 13 Angka Harapan Hidup Waktu Lahir penduduk Indonesia menurut

propinsi dan jenis kelamin (SUPAS 2005) ... 68 14 Tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan data SUPAS 2005 dan tabel

hayat Coale Demeny model Barat... 69 15 Tabel mortalita Indonesia II sebagai tabel hayat standar untuk metode

Kostaki ... 72 16 Perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki untuk tabel

hayat Indonesia ... 81 17 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki ... 82 18 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 untuk tabel hayat

ringkas Indonesia 2005 ... 85 19 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson ... 86 20 Program plot kurva lx dan perbandingan nilai kriteria uji kesesuaian data 89

21 Nilai numerik lima titik untuk data lx tabel hayat lengkap Indonesia 2005

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang penduduk, khususnya pada lima aspek yaitu ukuran, distribusi geografi, komposisi, komponen perubahan (kelahiran, kematian, migrasi), serta faktor penyebab dan akibat perubahan penduduk (Siegel dan Swanson 2004).

Data kematian suatu negara biasanya dinyatakan dalam bentuk life table

atau tabel hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur. Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1693 berdasarkan data registrasi kelahiran dan kematian dari kota Breslau pada tahun 1687-1691 dengan asumsi bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun 1815 (Siegel dan Swanson 2004).

Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Bidang asuransi juga menggunakan tabel hayat untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu.

Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life

table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel

hayat ringkas adalah tabel hayatdengan umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu biasanya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayatdengan umur penduduk disusun secara lengkap dalam satu tahunan.

diperlukan seperti dalam bidang asuransi untuk menentukan besar premi asuransi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt-Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah:

1. Mengkaji metode-metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas), yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Membandingkan metode-metode tersebut terhadap tabel hayat lengkap yang

sebenarnya dan memilih metode terbaik.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Tabel Hayat

Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga tak ada satu pun yang tertinggal (Siegel dan Swanson 2004).

2.2 Asumsi Tabel Hayat

Asumsi yang digunakan dalam penyusunan tabel hayat adalah sebagai berikut:

1. Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsur-angsur karena kematian.

2. Kohort merupakan penduduk tertutup, tidak ada migrasi masuk maupun keluar.

3. Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut umur. 4. Kohort tabel hayat berasal dari suatu radiks tertentu, misalnya 1 000,

10 000 atau 100 000 (Wirosuhardjo 1985).

2.3 Jenis Tabel Hayat

Tabel hayat ditinjau dari referensi tahun berlakunya ada dua jenis yaitu

period life table dan cohort life table. Period life table adalah tabel hayat yang

disusun berdasarkan data kematian menurut umur yang dikumpulkan pada satu waktu tertentu (periode 2 atau 3 tahun) dari populasi yang ada. Cohort life table

adalah jenis tabel hayat yang disusun berdasarkan riwayat angka kematian dari kohort sebenarnya yang diikuti sejak lahir hingga mati.

Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis (Siegel dan Swanson 2004).

2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat

Notasi dan fungsi yang digunakan dalam tabel hayat antara lain adalah: : jumlah penduduk yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x

: banyaknya kematian antara umur x hingga x + 1

(2.1)

: banyaknya kematian antara umur x hingga x + n

(2.2) : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur

x + 1

.

: peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur

x + n

.

: total waktu yang dijalani oleh sejumlah lx antara umur x sampai x + 1 .

: total waktu yang dijalani oleh sejumlah lx antara umur x sampai x + n .

: total waktu yang akan dijalani oleh sejumlah lx mulai umur tepat x .

: angka harapan hidup bagi penduduk berumur x

.

.

(Brown 1997)

2.5 Interpolasi Lagrange

Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data yang diberikan (Heath 1996). Misalkan terdapat n titik data, yaitu:

(xi, yi) i = 1, 2, …,n

dengan .

Kemudian melewati semua titik data yang diketahui tersebut, dapat ditentukan fungsi interpolasi f sedemikian hingga

, , , … , . (2.10)

Untuk x1< xk < xn, maka nilai merupakan nilai interpolasi dari xk. Fungsi

interpolasi merupakan kombinasi linear dari sekumpulan fungsi basis (basis

function), yang dirumuskan sebagai berikut:

, , , … , .

dengan : fungsi basis ke-i

: parameter-parameter yang akan ditentukan

Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan.

Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (xi , yi) dengan i = 1, 2, …, n. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat

(n – 1) yang melalui n titik berbeda adalah

.

dengan merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut:

∏ ,

Berdasarkan definisi di atas, fungsi-fungsi memenuhi sifat

, jika

, jika .

2.6 Regresi Taklinear

Bentuk sederhana dari persamaan regresi taklinear (Draper 1992) dapat dinyatakan sebagai berikut:

, (2.15)

dengan f adalah fungsi taklinear dari , , … , merupakan vektor dari peubah bebas dan , , … , adalah parameter-parameternya.

Apabila ada n data amatan, maka persamaan (2.15) menjadi

, u = 1, 2, …, n (2.16)

dengan , , … , . Galat persamaan taklinear , , … , diasumsikan bebas dan berdistribusi normal , dengan 0 vektor nol dan I matriks identitas, keduanya berukuran yang sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model taklinear didefinisikan sebagai berikut:

, .

Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari . Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi dilambangkan dengan merupakan nilai yang meminimumkan . Nilai dugaan kuadrat terkecil dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.17 relatif terhadap . Ini akan menghasilkan p persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai . Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk

, , .

dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan taklinear adalah metode Gauss Newton.

2.6.1 Metode Gauss-Newton

Pendekatan metode Gauss Newton menggunakan perkiraan linearisasi atau metode deret Taylor dari fungsi harapannya secara berulang untuk memperbaiki nilai awal bagi parameter-parameternya. Oleh karena itu, metode Gauss Newton disebut juga metode linearisasi atau metode deret Taylor (Draper 1992). Misalkan

, , … , adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter , , … , .

Selanjutnya, dengan melakukan penguraian deret Taylor orde satu pada , di sekitar titik , , … , akan diperoleh

, , ,

.

dimisalkan ,

,

maka persamaan (2.16) menjadi

.

Persamaan 2.20 berbentuk linear, sehingga dengan menerapkan metode kuadrat terkecil linear dapat diduga nilai parameter-parameter dari , i = 1, 2, …, p. Bila ditetapkan

dan (2.22)  

maka nilai dugaan bagi parameter-parameter , , … , diberikan oleh

Dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat

SS , .

relatif terhadap , i = 1, 2, ..., p, dengan . Bila merupakan nilai dugaan bagi maka dapat dituliskan bahwa , dan merupakan nilai dugaan terbaik yang telah diperbaiki bagi . Nilai dugaan yang diperoleh dari iterasi pertama akan dijadikan sebagai nilai awal bagi iterasi kedua dan seterusnya. Secara umum, penentuan hasil iterasi berikutnya dapat dituliskan sebagai berikut:

(2.24) dengan ,

, , … , ,

, , … , .

Proses iterasi ini terus dilakukan hingga solusi yang diperoleh konvergen, dengan kata lain hingga langkah iterasi ke-j dan ke-(j + 1) berlaku

, , , … , . .

2.7 Uji Kesuaian Data

Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya adalah:

2.7.1 Galat Mutlak (Absolute Error, AE)

Misalkan yi adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh

dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk yi. Galat

mutlak didefinisikan sebagai berikut:

| | ; , , … , (2.26) (Mathews 1992)

2.7.2 Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE)

Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut:

| | ; , , … , .

(Mathews 1992)

2.7.4 Koefisien Determinasi

∑

∑ .

dengan

y

_i = nilai sebenarnya,

y

ˆ

_i = nilai dugaan, dan

y

= nilai rata-rata. Besaran R2 menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model.

(Agresti dan Finlay 1999)

2.7.5 Akar Kuadrat Rataan Galat (RMSE)

Misalkan yi adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh

dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk yi. Akar

| | , , … , .

BAB III

METODE PENELITIAN

Langkah-langkah Penelitian

Langkah-langkah penelitian yang akan dilakukan adalah:

1. Mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas, yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.

2. Pengambilan data. Penelitian ini menggunakan data kematian berupa tabel hayat dari Negara Amerika Serikat 2000 dan 2005 yaitu tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat Amerika 2000 digunakan sebagai tabel hayat standar untuk metode Brass Logit dan Kostaki. Data tabel hayat Amerika Serikat tersebut diperoleh dari Human Mortality Database pada http://www.mortality.org.

3. Menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.

Metode Elandt-Johnson

Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson (1980) adalah:

a. Untuk umur 0 – 74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula

∏ ∏

b. Untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival dengan x > 0, R > 0, , dan dengan umur x dan parameter a dan R. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai

ditentukan dengan menggunakan rumus:

dengan , … , ; , , … ,

Metode Brass Logit

Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah:

a. Menduga parameter dan yang memenuhi hubungan linear berikut logit logit

dengan :

logit ln

Parameter dan diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear. b. Setelah diperoleh nilai parameter dan , kemudian ditentukan jumlah

penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut :

exp logit

Metode Heligman-Pollard

Formula matematik metode Heligman-Pollard (1980) adalah:

exp ln

dengan adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun, dan A, B, C, D, E, F, G, H

merupakan parameter yang bernilai positif. Tahapan penyusunan tabel hayat lengkap dengan metode Heligman-Pollard sebagai berikut:

a. Menduga nilai parameter-paremeter dengan meminimumkan S2 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear (nonlinear least square

method)

dengan

merupakan peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n.

b. Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan formula berikut:

; ;

dengan ; exp ln

Metode Kostaki

Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:

a. Menentukan konstanta untuk setiap interval umur , dengan menggunakan rumus :

ln

∑ ln

b. Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus :

4. Menganalisis tabel hayat lengkap yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode kemudian membandingkan metode-metode tersebut dengan tabel hayat lengkap sebenarnya dengan menganalisis galatnya untuk memilih metode interpolasi tabel hayat ringkas yang terbaik.

Data lima tahunan

[image:40.612.138.510.149.480.2]

Data tahunan Langkah-langkah penelitian di atas dapat digambarkan ke dalam diagram alur sebagai berikut:

Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian

Kajian Metode

Elandt-Johnson Brass Logit Heligman-Pollard Kostaki

Data Amerika

Pendugaan Parameter

Penyusunan Tabel Hayat Lengkap

Pembandingan antar Metode

Pemilihan Metode Terbaik

Data Indonesia

BAB IV

METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE

DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2005, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva lx pada

tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.1.

Tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seorang berumur 45 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 48 tahun, karena diperlukan informasi tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 45 tahun (l45)

dan jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 48 tahun (l48).

Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk interval umur satu tahun. Perbandingan lx pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dan lx

[image:41.612.170.469.409.587.2]

pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Gambar 4.1 Plot lx tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005

Berdasarkan pengamatan pada Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 akan berkurang akibat adanya kematian penduduk. Jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berumur 60 tahun ada sekitar 87%.

0 20 40 60 80 100 Umur x

[image:42.612.144.500.84.250.2]

 

Gambar 4.2 Plot lx tabel hayat lengkap dan lx tabel hayat ringkas USA 2005

Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005, yaitu dengan cara menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005. Ada beberapa metode interpolasi tabel hayat ringkas yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas, diantaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki.

4.1 Metode Elandt-Johnson

Elandt-Johnson (1980) menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing

dari tiga skema interpolasi menurut umur tertentu, yaitu umur bayi dan anak-anak (0-10 tahun), umur remaja dan dewasa (10-74 tahun) serta umur di atas 74 tahun.

Untuk interval umur 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan formula enam titik interpolasi Lagrange, menyatakan bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tabel hayat ringkas.

∏

∏ .

0 20 40 60 80 100 Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000 l_x

Berdasarkan persamaan 4.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi basis interpolasi Lagrange pada persamaan 4.1 yaitu:

_∏∏ ; , , … , .

[image:43.612.131.509.246.449.2]

Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan 4.2 diberikan pada Tabel 4.1 ( ) dan Tabel 4.2 ( ).

Tabel 4.1 Koefisien untuk menghitung dengan

Al1 Al5 Al10 Al15 Al20 Al25

C

l1 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

C

l2 0.562030 0.717600 -0.478400 0.283886 -0.100716 0.015600

C

l3 0.273392 1.047200 -0.531911 0.299200 -0.103747 0.015867

C

l4 0.096491 1.108800 -0.328533 0.172800 -0.058358 0.008800

C

l5 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

C

l6 -0.041667 0.798000 0.354667 -0.152000 0.048000 -0.007000

C

l7 -0.048872 0.561600 0.665600 -0.240686 0.072758 -0.010400

C

l8 -0.037281 0.333200 0.888533 -0.244800 0.070147 -0.009800

C

l9 -0.018379 0.140800 1.001244 -0.160914 0.043116 -0.005867

C

l10 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000

Perhitungan nilai pada interval umur 0 – 10 tahun menggunakan enam titik interpolan yaitu x1 = 1, x2 = 5, x3 = 10, x4 = 15, x5 = 20 dan x6 = 25. Misalkan

untuk x = 2 maka untuk menghitung Cl2 menggunakan persamaan 4.1, sehingga

diperoleh:

. . . .

. .

[image:44.612.133.502.94.211.2]

Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan

Al5m-10 Al5m-5 Al5m Al5m+5 Al5m+10 Al5m+15

C

l5m+1 0.008064 -0.07392 0.88704 0.22176 -0.04928 0.006336 C

l5m+2 0.011648 -0.09984 0.69888 0.46592 -0.08736 0.010752 C

l5m+3 0.010752 -0.08736 0.46592 0.69888 -0.09984 0.011648 C

l5m+4 0.006336 -0.04928 0.22176 0.88704 -0.07392 0.008064 C

l5m+5 _{0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000}

dengan:

A_l

5m+j : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+j dari tabel

hayat ringkas dengan j = -10, -5, 0, 5, 10, 15

C

l5m+i : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+i untuk

menaksir tabel hayat lengkap dengan i = 1, …, 5

m = 2, 3, ..., 14

Berdasarkan Tabel 4.2 perhitungan nilai dengan menggunakan m = 2

. . .

. . .

Perhitungan nilai untuk dilakukan dengan cara yang sama seperti perhitungan untuk nilai di atas, hingga diperoleh jumlah penduduk yang bertahan hidup mencapai umur tepat x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson untuk (lihat Lampiran 6).

Interpolasi terakhir untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival sebagai berikut:

(4.3) dengan x > 0, R > 0, , dan untuk umur x dan parameter a

̂ untuk ω , dengan ω adalah umur tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 (lihat Lampiran 1).

̂ ⁄

dengan

log log

, , … , ω

(4.4)

Setelah menentukan nilai dan ̂ , maka fungsi survival Gompetz pada persaman 4.3 menjadi:

̂

dengan , … , ; _{, … , ω ;}, , … , ω _ω (4.5) Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 yakni untuk umur di atas 74 tahun dapat dihitung menggunakan persamaan 4.6.

dengan , … , ; _{, … , ω ;}, , … , ω _ω .

[image:45.612.174.469.482.651.2]

Hasil perhitungan dan ̂ dengan menggunakan persamaan 4.4 dan 4.5 dapat dilihat pada Lampiran 5. Selanjutnya tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson dapat disusun berdasarkan persamaan 4.1 dan 4.6 (lihat Lampiran 6). Kurva pada tabel hayat lengkap dengan metode Elandt-Johnson disajikan ke dalam Gambar 4.3.

Gambar 4.3 Kurva lx USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson

0 20 40 60 80 100 Umur x

Perbandingan kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005

sebenarnya dengan lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan

[image:46.612.141.499.159.319.2]

metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4 Kurva lx USA 2005 sebenarnya dan lx metode Elandt-Johnson

Pada Gambar 4.4, kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005

dengan metode Elandt-Johnson memiliki perbedaan yang kecil sehingga nilai koefisien determinasi (R2)

≈

1.

4.2 Metode Brass Logit

Brass (1971) menemukan suatu hubungan linear antara fungsi dari

l

_x dan fungsi slx yaitu:

logit(1−l_x)= +

α β

logit(1−sl_x) (4.7)

dengan logit(1 ) 1ln 1 2

x x

x l l

l ⎛ − ⎞

− = _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

s x

l merupakan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat standar, sedangkan α dan β adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level kematian dari tabel hayat standar dan β menyatakan slope

kematian. Perubahan nilai β berhubungan dengan distribusi umur yang berbeda yaitu apakah kematian umur anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Jika nilai β > 1 berarti kematian

0 20 40 60 80 100 Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000

lx

R2 1.

lxElandt Johnson

umur anak-anak lebih rendah dibandingkan dengan kematian umur dewasa, sebaliknya bila β < 1 berarti kematian umur anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Perubahan nilai α dan β pada persamaan 4.7 dapat digunakan untuk memprediksi angka kematian di masa depan.

Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu sebelum tabel hayat standar digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap terlebih dahulu perlu diadakan pengujian linearitas antara logit (1 - lx) terhadap logit (1 - Slx) menggunakan persamaan 4.7.

Pada penelitian ini tabel hayat yang dijadikan sebagai standar (tabel hayat standar) adalah tabel hayat Amerika Serikat 2000.

Nilai dugaan parameter α dan βditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil linear dengan bantuan software Mathematica 7.0. Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai dugaan parameter

α

฀

= - 0.125137 (SE 0.014717) dan

฀

β = 0.926807 (SE 0.007482), R2 = 0.998633 yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara nilai logit dari lx pada tabel hayat

ringkas Amerika Serikat 2005 dengan nilai logit lx tabel hayat ringkas Amerika

[image:47.612.158.482.442.608.2]

Serikat 2000 dapat dilihat pada Gambar 4.5.

Gambar 4.5 Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, besarnya nilai β฀ = 0.926807 < 1, artinya angka kematian penduduk Amerika Serikat 2005 usia anak-anak lebih

R2 = 0.998633

฀

α

= - 0.125137; β฀ = 0.926807

4 2 2 4 logit 1

S_l x

tinggi dibandingkan dengan usia dewasa. Parameter ฀β yang nilai mendekati 1 menunjukkan bahwa perubahan kurva lx pada tabel hayat Amerika Serikat 2005

tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat 2000.

Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat diturunkan dari persamaan 4.7 dan persamaan 4.8, sehingga diperoleh persamaan 4.9.

(

)

(

1

)

1 ex p 2 lo g it 1

x _S x l l α β = ⎡ ⎤

+ _⎣ + − _⎦          (4.9)

Bukti:

(

)

(

)

logit 1

−

l

_x

= +

α β

logit 1

−

S

l

_x

(

)

1

1

ln

logit 1

2

S x x x

l

l

l

α β

⎛

−

⎞

= +

−

⎜

⎟

⎝

⎠

 

     

ln

1

x

2

(

logit 1

(

S

)

)

x x

l

l

l

α β

⎛

−

⎞

=

+

−

⎜

⎟

⎝

⎠

 

       

1

x

exp 2

(

logit 1

(

S

)

)

x x

l

l

l

α β

⎛

−

⎞

⎡

⎤

=

+

−

⎜

⎟

⎣

⎦

⎝

⎠

 

       1 1 exp 2

(

logit 1

(

S _x

)

)

x

l

l

α β

⎡ ⎤

− = _⎣ + − _⎦ 

      1 1 exp 2

(

logit 1

(

S x

)

)

x

l

l

α β

⎡ ⎤

= + _⎣ + − _⎦ 

       

(

)

(

1

)

1 exp 2

logit 1

x S x

l

l

α β

=

⎡

⎤

+

⎣

+

−

⎦

Berdasarkan perhitungan parameter αdan βdi atas, persamaan 4.9 menjadi

(

)

(

1

)

1 exp 2

0.125137 0.926807logit 1

x _S x

l

l

=

⎡

⎤

Nilai lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode

Brass Logit diperoleh dengan mensubtitusi nilai Slx yaitu jumlah penduduk umur

[image:49.612.188.455.269.426.2]

tertentu yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 (tabel hayat standar). Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit dapat dilihat pada Lampiran 8. Kurva lx pada

tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.6, sedangkan perbandingan lx tabel hayat lengkap Amerika

Serikat 2005 sebenarnya dan lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005

[image:49.612.135.500.463.636.2]

dengan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.7.

Gambar 4.6 Kurva lx USA 2005 dengan metode Brass Logit

Gambar 4.7 Kurva lx USA 2005 sebenarnya dan lx metode Brass Logit

0 20 40 60 80 100 Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000

l_x

0 20 40 60 80 100 Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000

lx

R2 0.997897

lxBrass logit

Kurva l_x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva l_x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya, kecuali pada umur sekitar 50 tahun ke atas nilai l_x pada umur tersebut berbeda jauh dari nilai l_x sebenarnya.

4.3 Metode Heligman-Pollard

Heligman-Pollard (1980) menyatakan bahwa penyebab kematian dapat dibagi menjadi tiga masa yaitu pengaruh masa bayi dan anak-anak, akibat kematian pada umur remaja dan tingkat kematian usia lanjut. Adapun fungsi matematika dari formula Heligman-Pollard adalah

exp ln .

[image:50.612.138.506.432.675.2]

dengan adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun, dan A, B, C, D, E, F, G, H merupakan parameter yang bernilai positif. Kurva dari persamaan 4.11 dapat dilihat pada Gambar 4.8. 

 

 

Gambar 4.8 Kurva fungsi Heligman-Pollard

kematian bayi akibat kecelakaan kurva Gompertz kematian total

0    4   8   12   16   20   24   28   32   36   40   44   48   52   56   60   64   68   72   76   80   84   88   92   96   100  

0.1 

Komponen pertama pada persamaan 4.11 menunjukkan bahwa umur bayi dan anak-anak merupakan fungsi eksponensial menurun. Hal ini menggambarkan bahwa menurunnya kematian masa bayi dan anak-anak berumur kurang dari 10 tahun. Komponen ini mempunyai tiga parameter yaitu parameter A hampir sama atau mendekati nilai yang menyatakan level kematian pada usia anak-anak, parameter B menyatakan letak umur kematian bayi, sedangkan parameter C

menyatakan angka kematian yang menurun pada masa anak-anak. Semakin tinggi nilai parameter C maka angka kematian menurun dengan cepat yang ditandai dengan kenaikan umur. Ketika parameter B = 0, maka . untuk semua nilai parameter A dan C. Semakin tinggi nilai parameter B, maka akan mendekati . Dengan demikian, parameter B menyatakan letak kematian bayi dengan interval umur , .

Komponen kedua pada persamaan 4.11 merupakan fungsi yang serupa dengan fungsi kepekatan lognormal yang menggambarkan kematian akibat kecelakaan yang terjadi pada masa pertengahan hidup atau masa remaja. Komponen ini memiliki tiga parameter yaitu parameter D, parameter E, parameter

F.

Komponen terakhir pada persamaan 4.11 merupakan fungsi eksponensial Gompertz yang menyatakan peningkatan kematian pada umur dewasa dan misalnya tanda-tanda kematian. Parameter G menunjukkan level awal tanda kematian sedangkan parameter H menyatakan kenaikan angka kematian.

Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan 4.11 dinyatakan sebagai

; , yaitu suatu fungsi dari variabel umur x dan merupakan parameter-parameter yang terdapat pada persamaan 4.11, sehingga formula Heligman-Pollard pada persamaan 4.11 menjadi:

; .

karena maka persaman 4.11 menjadi:

;

Berdasarkan hubungan

.

Bukti:

…

…

∏

Model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas berdasarkan formula Heligman-Pollardmenjadi:

;

, .

Parameter pada formula Heligman-Pollard dapat dihitung dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear (nonlinear least square), yaitu dengan meminimumkan S2.

∞

.

Berdasarkan hasil perhitungan persamaan 4.16 menggunakan software

Mathematica 7.0 diperoleh nilai parameter-parameter yang terdapat pada formula

[image:53.612.132.500.104.323.2]

Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard

Parameter Nilai Keterangan

A 0.00046 Representasi dari

B 0.499993 Representasi letak

C 0.08 Representasi laju penurunan kematian bayi

D 0.000641585 Representasi besarnya kematian akibat kecelakaan

E 7.94932 Representasi sebaran usia terjadinya kecelakaan

F 22.8101 Representasi usia maksimum terjadinya kematian akibat kecelakaan

G 0.0000375169 Representasi level kematian pada usia lanjut

H 1.098 Representasi laju peningkatan kematian

Kemudian dengan mensubtitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh pada Tabel 4.3 ke dalam persamaan 4.13 akan menghasilkan peluang penduduk berumur tertentu akan meninggal sebelum satu tahun yang akan datang

( )

q

_x dengan metode Heligman-Pollard. Setelah nilai

q

_x diperoleh, nilai

l

_x dapat dihitung dengan menggunakan hubungan dengan fungsi

q

_x yaitu:

(

)

1 1

x x x

l₊ = −q l ; x=0,1, 2,...,ω (4.17) dengan ωmerupakan umur tertua pada tabel hayat ringkas dan l0 = 100 000

Bukti

Berdasarkan persamaan 2.3

x x 1 1 x 1 x

x x

l l l

q l l + + − = = −

(

)

1 1

1

1

x x x

x x x

l

q

l

l

q

l

+

+

= −

= −

[image:53.612.277.413.547.645.2]

dilihat pada Lampiran 10. Kurva lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005

dengan metode Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.9, dan perbandingannya dengan lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya

[image:54.612.175.471.183.356.2]

diberikan pada Gambar 4.10.

Gambar 4.9 Kurva lx USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard

Gambar 4.10 Kurva lx USA 2005 sebenarnya dan lx metode Heligman-Pollard

Pola kurva lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode

Heligman-Pollard mengikuti pola lx tabel hayat Amerika Serikat 2005 sebenarnya.

Metode Heligman-Pollard dapat menduga data sebenarnya dengan baik.

0 20 40 60 80 100 Umur x

20000 40000 60000 80000 100000 l_x

0 20 40 60 80 100 Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000

lx

R2 0.997607

lxHeligman Pollard

[image:54.612.133.507.398.573.2]

4.4 Metode Kostaki

Kostaki (2000) menemukan suatu teknik nonparametric sederhana untuk menyusun tabel hayat lengkap dari tabel hayat ringkas, dimana nilai peluang kematian pada tabel hayat ringkas dihubungkan dengan peluang kematian tabel hayat lengkap yang dianggap sebagai tabel hayat standar . Hipotesis metode ini adalah bahwa pada setiap interval umur , , laju kematian dari tabel hayat ringkas merupakan perkalian suatu konstanta dengan laju kematian dari tabel hayat standar pada interval umur yang sama, yakni:

.

Oleh karena itu, konstanta untuk setiap interval umur , dapat dihitung menggunakan:

ln 1

∑ ln 1 .

dengan :

: peluang seseorang tepat berumur x meninggal sebelum mencapai umur x + n

: peluang seseorang tepat berumur x meninggal sebelum mencapai umur x + 1 pada tabel hayat standar

Peluang kematian tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan rumus:

1 1 .

dengan:

untuk 1,4

untuk 5,9

untuk 10,14

untuk 105,109

diberikan pada Lampiran 11, sedangkan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 yang dihasilkan dengan menggunakan metode Kostaki diberikan pada Lampiran 12. Kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan

[image:56.612.176.475.171.344.2]

metode Kostaki dapat dilihat pada Gambar 4.11.

Gambar 4.11 Kurva lx USA 2005 dengan metode Kostaki

Gambar 4.12 Kurva lx USA 2005 sebenarnya dan lx metode Kostaki

Berdasarkan Gambar 4.12 terlihat bahwa kurva lx tabel hayat lengkap

Amerika Serikat 2005 dengan metode Kostaki mengikuti pola lx tabel hayat

lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R2

yang mendekati 1.

0 20 40 60 80 100 Umur x

20000 40000 60000 80000 100000 l_x

0 20 40 60 80 100 Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000

lx

R2 0.999999

lxKostaki

[image:56.612.133.506.385.562.2]

4.5 Perbandingan antar Metode

[image:57.612.138.498.269.347.2]

Untuk mengetahui metode terbaik dari metode interpolasi tabel hayat ringkas di atas, digunakan beberapa kriteria uji diantaranya dengan menentukan nilai dari rataan galat mutlak (MAE), koefisien determinasi (R2), akar kuadrat rataan galat (RMSE) dari untuk masing-masing metode interpolasi tersebut. Perbandingan nilai kriteria uji dari nilai pada tabel hayat dengan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki dapat dilihat pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4 Perbandingan nilai kriteria ujiuntuk nilai lx dari masing-masing metode

Elandt-Johnson Brass Logit Heligman-Pollard Kostaki

MAE 11.265600 975.964590 1244.582068 13.952100

RMSE 24.588500 1644.990000 1754.570000 37.718500

R2 1.000000 0.997897 0.997607 0.999999

Berdasarkan Tabel 4.4, metode Elandt-Johnson mempunyai nilai MAE,

RMSE terendah dibandingkan ketiga metode lainnya. Keempat metode memiliki nilai R2 yang mendekati 1, jadi keempat metode dapat dikatakan sesuai dengan data yang sebenarnya. Berdasarkan nilai kriteria uji di atas metode Elandt-Johnson merupakan metode interpolasi tabel hayat ringkas terbaik.

[image:58.612.143.502.81.261.2]

Gambar 4.13 Hasil lx berdasarkan metode interpolasi tabel hayat ringkas

Berdasarkan Gambar 4.13, keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas mempunyai pola yang sama. Kurva akan menurun sejalan dengan bertambahnya umur. Untuk nilai lx dengan metode Elandt-Johnson dan Kostaki tidak berbeda

jauh, sedangkan metode Brass Logit dan Heligman-Pollard terlihat berbeda saat umur dewasa.

Keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas yang telah dibahas di atas memiliki karakteristik yang berbeda. Metode Elandt-Johnson dan Heligman-Pollard tidak memerlukan tabel hayat standar, sedangkan metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan tabel hayat standar. Oleh karena itu, perlu diperhatikan metode mana yang terbaik untuk metode yang memerlukan tabel hayat standar dan metode yang tidak memerlukan tabel hayat standar. Nilai kriteria uji lx untuk

metode yang tidak memerlukan tabel hayat standar diberikan pada Tabel 4.5 di bawah ini.

Tabel 4.5 Nilai kriteria uji lx untuk metode tanpa standar

Elandt-Johnson Heligman-Pollard

MAE 11.265600 1244.582068

RMSE 24.588500 1754.570000

R2 1.000000 0.997607

0 20 40 60 80 100 Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000

l_x

lxKostaki

l_xHeligman

lxBrass

l_xElandt

[image:58.612.189.447.607.687.2]

Berdasarkan Tabel 4.5 metode Elandt-Johnson memiliki nilai MAE dan

RMSE terkecil dan nilai R2 terbesar dibandingkan dengan metode Heligman-Pollard. Metode Elandt-Johnson adalah metode terbaik untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang tidak memerlukan tabel hayat standar.

Nilai kriteria uji lx untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang

[image:59.612.189.449.250.331.2]

memerlukan tabel hayat standar yaitu metode Brass Logit dan Kostaki dapat dilihat pada Tabel 4.6 di bawah ini.

Tabel 4.6 Nilai kriteria uji lx untuk metode dengan standar

Brass Logit Kostaki

MAE 975.964590 13.952100

RMSE 1644.990000 37.718500

R2 0.997897 0.999999

Tabel 4.6 di atas menunjukkan bahwa metode Kostaki memiliki nilai MAE

BAB V

APLIKASI METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE

TERBAIK PADA DATA KEMATIAN INDONESIA

5.1 Sumber Data Indonesia

Data penduduk Indonesia diperoleh dari BPS berdasarkan hasil SUPAS (Survei Penduduk Antar Sensus) terakhir tahun 2005, data Indonesia yang digunakan adalah data angka harapan hidup waktu lahir menurut jenis kelamin (lihat Lampiran 13). Angka harapan hidup saat lahir untuk wanita dan laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 berturut-turut adalah 71.1 dan 67.1 (BPS 2006).

Berdasarkan angka harapan hidup waktu lahir tersebut dan mengacu pada tabel hayat Coale Demeny model Barat, akan diketahui letak level kematian Indonesia menurut jenis kelamin. Level kematian untuk wanita Indonesia adalah 21.44, sedangkan laki-laki adalah 21.42126. Kemudian tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin yang mengacu pada tabel hayat Coale Demeny model Barat dapat disusun dengan menggunakan interpolasi linear. Tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin berdasarkan tabel hayat Coale-Demeny model Barat dapat dilihat pada Lampiran 14. Setelah tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin diperoleh, maka tabel hayat ringkas Indonesia untuk kedua jenis kelamin (total) dapat diperoleh dengan menggabungkan jumlah penduduk yang bertahan menurut jenis kelamin. Aplikasi pada data kematian Indonesia hanya diterapkan untuk penduduk total Indonesia.

[image:61.612.176.472.79.251.2] [image:61.612.176.474.291.459.2]

Gambar 5.1 Kurva lx laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005

Gambar 5.2 Kurva lx wanita Indonesia berdasarkan SUPAS 2005

Gambar 5.3 Perbandingan kurva lx laki-laki dan wanita Indonesia

0 20 40 60 80 100 Umur x

20000 40000 60000 80000 100000

lx

0 20 40 60 80 100 Umur x

20000 40000 60000 80000 100000

lx

0 20 40 60 80 100Umur x

20 000 40 000 60 000 80 000 100 000 lx

[image:61.612.144.499.519.667.2]

[image:62.612.175.469.229.400.2]

Berdasarkan Gambar 5.3 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk wanita Indonesia menurut SUPAS 2005 yang bertahan hidup lebih tinggi dibandingkan dengan laki-laki, hal ini dapat dilihat dari nilai angka harapan hidup wanita Indonesia lebih tinggi dari laki-laki.

Tabel hayat Indonesia 2005 diperoleh dari gabungan tabel hayat laki-laki dan wanita Indonesia (Lampiran 14). Jumlah penduduk Indonesia yang bertahan hidup pada tabel hayat Indonesia dapat dilihat pada Gambar 5.4 di bawah ini.

Gambar 5.4 Kurva lx tabel hayat ringkas Indonesia SUPAS 2005

5.2 Aplikasi Metode Terbaik pada Data Penduduk Indonesia

Berdasarkan pembahasan di atas, bila negara memiliki tabel hayat standar maka metode interpolasi tabel hayat ri