: Setiap ruang pre-Hilbert merupakaan ruang bernorma

Teorema 3.1.9 : Setiap ruang pre-Hilbert merupakaan ruang bernorma.

Bukti : Diambil sebarang dua vector x dan y di dalam ruang pre-Hilbert H sebaraang skalar 𝛼. Telah diperoleh, Teorema 3.1.4,

(i) ||x|| ≥ 0 dan ||x|| = 0 jika dan hanya jika x = 𝜃 . (ii) ||𝛼x|| = |𝛼|.||x||.

(iii) Tinggal memperlihatkan ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

||x + y||² = <x + y,x + y> = ||x||² + <x,y> +<y,x> + ||y||²

≤ ||x||² + |<x,y>| +|<y,x>| + ||y||² ≤ ||x||² + 2.||x||.||y|| + ||y||² = {||x|| + ||y||}² . Jadi terbukti bahwa ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. ∎

Catatan penting :

Karena Setiap ruang Pre-Hilbert merupakan ruang bernorma, maka setiap pe- ngertian, setiap sifat, setiap lemma, dan setiap teorema yang berlaku/benar pada ruang bernoma berlaku pula pada ruang pre-Hilbert.

Definisi 3.1.10 : Ruang Hilbert adalah ruang pre-Hilbert, sebagai ruang bernor- ma, yang lengkap.

Conton 3.1 (c)

1. Menurut Contoh 3.1 (b) nomor 1, l2 merupakan ruang pre-Hilbert dan karena l2, sebagai ruang bernorma, lengkap, maka l2 merupakan ruang Hilbert.

3.2 Basis ortonormal

Teorema 3.2.1 : Diketahui barisan {xk} dan barisan {yk} di dalam ruang pre- Hilbert H, x, y 𝜖 H dan 𝛼 sebarang skalar.

(i) Jika {xk} konvergen ke x dan {yk} konvergen ke y, maka {𝛼xk} konvergen ke 𝛼x, {xk + yk} konvergen ke x + y, dan {<xk ,yk>} konvergen ke <x,y>.

(ii) Jika {xk} dan {yk} barisan Cauchy, maka {<xk ,yk>} dan { ||xk|| } barisan Cauchy dan oleh karena itu konvergen.

Bukti ; Jika {xk} barisan Cauchy, maka {xk} terbatas, sebab untuk bilangan real 1 ada bilangan asli N sehingga jika k, l ≥ N bear bahwa

23 ||xk – xl|| < 1 yang berakibat ||xN|| - 1 < ||xk|\ < ||xN|| + 1 untuk k ≥ N’

Dengan mengambil bilangan

M = maks{ ||x1||, ||x2||, . . . ,||xN-1||, ||xN|| + 1 }

||xk|| ≤ M untuk setiap k yang berarti {xk} terbatas.

Berdasarkan hasil tersebut dengan mudah bagian (ii) dan bagian (i0 yang terakhir.

∎

Mudah difahami bahwa setiap barisan ortogonal dapat dibawa ke barissan orto- normal.

Contoh 3.2 (a)

1. Barisan { 1, sin 𝑥, cos 𝑥, sin 2𝑥, cos 2𝑥, . . . . } merupakan barisan orthogonal pada [−𝜋, 𝜋] terhadap inner-product <f,g> = ∫ 𝑓_−𝜋^𝜋 (x)g(x)dx di dalam ruang pre-Hilbert koleksi semua fungsi yang terintegral pada [-𝜋, 𝜋] sebab

∫ sin 𝑚𝑥_−𝜋^𝜋 cos 𝑛𝑥dx untuk setiap m dan n.

Teorema 3.2.3 : Jika {zk} barisan bebas linear di dalam tuang pre-Hilbert H, ma-ka ada barisan ortonormal {xk} sehingga [{zk}] = [{xk}] ( mrmbangkitkan ruang-bagian yang sama ).

Teorema 3.2.4 : ( Kesamaan dan ketidaksamaan Bessel )

Jika {xk} barisan ortonormal di dalam ruang pre-Hilbert H, maka untuk setiap x 𝜖 H benar bahwa

(i) ||x – ∑^∞_𝑘=1<x,xk>xk ||² = ||x||² – ∑^∞_𝑘−1|<x,xk |² , (ii) ||x||² ≥ ∑^∞_𝑘−1|<x,xk>|² .

Bukti : Karena {xk} barisan ortonormal, maka <xi ,xj> = 0 untuk setiap i ≠ 𝑗 dan

<xi ,xi> = 1 untuk setiap i . Oleh karena itu untuk setiap x 𝜖 H diperoleh :

24 (i) ||x – ∑^∞_𝑘=1<x,xk>xk ||² = < x - ∑^∞_𝑘=1<x,xk>xk , x - ∑^∞_𝑘=1<x,xk>xk >

= ||x||² – ∑^∞_𝑘−1|<x,xk |² . (ii) Akibat (i) : ||x||² ≥ ∑^∞_𝑘−1|<x,xk>|² .

Definisi 3.2.5 : Barisan ortonormal {xk} di dalam ruang pre-Hilbert H disebut basis ortonormal (orthonormal basis ) jika untuk setiap x 𝜖 H ada barisan bi-langan {𝛼_𝑘} sehingga

x = ∑^∞_𝒌=𝟏𝜶_𝒌xk . Contoh 3.2 (b)

1. Barisan {ek} di dalam l2 dengan ek berupa barisan yang unsur ke-k sama dengan 1 sedankan unsur lainnya sama dengan 0 meupakan basis ortonormal di ruang bernorma l2 .

2. { ¹

√2𝜋 , ^{sin 𝑥}

√𝜋 , ^{cos 𝑥}

√ 𝜋 , ^{sin 2𝑥}

√𝜋 , ^{cos 2𝑥}

√𝜋 , . . . . } merupakan basis ortonormal di dalam ruang pre-Hilbert C(-𝜋, 𝜋).

Teorema 3.2.6 : Jika ruang pre-Hilbert H mempunyai basis ortonormal, maka H merupakan ruang Hilbert dan homeomorphik dengan l2 .

Bukti : Katakan {xk} basis ortonormal ruang pre-Hilbert H. Jadi, seiap x 𝜖 H ada barisan bilangan {𝛼_𝑘} sehingga

x = ∑^∞_𝑘=1𝛼_𝑘xk yang berakibat

||x||² = <x,x> = <∑^∞_𝑘=1𝛼_𝑘xk , ∑^∞_𝑘=1𝛼_𝑘xk > = ∑^∞_𝑘=1|𝛼k|² < ∞ Kenyataan ini mengatakan setiap x 𝜖 H menentukan dengan tunggal {𝛼_𝑘} 𝜖 l2 . Sebaliknya, diambil sebarang {𝛼_𝑘} 𝜖 l2 . Jelas vector xn = ∑^𝑛_𝑘=1𝛼_𝑘xk 𝜖 H untuk setiap n, Karena barisan { <xn ,xn> } = { ∑^𝑛_𝑘=1|𝛼_𝑘|² } konvergen ke ∑^∞_𝑘=1|𝛼k|² <

∞, maka barisan {xn} konvergen x 𝜖 H dengan x = ∑^∞_𝑘=1𝛼_𝑘xk 𝜖 H. Jadi fungsi A dari H ke l2 dengan rumus

A(x) = A(∑^∞_𝑘=1𝛼_𝑘xk) = {𝛼_𝑘} 𝜖 l2

merupakan fungsi bijektif. Lebih lanjut, Karena untuk sebarang himpunan tertutup G ⊂ l2 bearkibat 𝐴⁻¹(G) ⊂ H tertutup dan, sebaliknya, untuk sebarang himpunan tertutup F ⊂ H berakibat A(F) ⊂ l2 tertutup, maka A merupakan homeomophisma yang berarti terbukti bahwa H dan l2 homeomorphik. ∎

Definsi 3.2.7 : H ruang pre-Hilbert. S ⊂ H dikatakan total jika x 𝜖 H sehingga

<x,s> = 0 untuk setiap s 𝜖 S berakobat x = 𝜃.

25 Teorema 3.2.8 : Diketahui {xk} barisan ortonormal di dalam ruang pre-Hilbert H. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen.

(i) {xk} total.

(ii) {xk} basis ortonormal.

(iii) ||x||² = ∑^∞_𝑘=1|<x,xk>|² untuk setiap x 𝜖 H.

Bukti : (i) ⟹ (ii) : Diambil sebarang x 𝜖 H. Jika

x – ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk ⊥ xi untuk setiap i

berakibat x – ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk = 𝜃 yang berarti x = ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk . Jika x linear terhadap suatu xi, diperoleh

< x – ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk ,xi > = <x,xi - <x,xi = 𝜃

yang berakibat x – ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk = 𝜃 yang berarti x = ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk .

Berdasarkan kenyataan tesebut, dapat disimpulkan bahwa {xk} basis ortonormal.

(ii) ⟹ (iii) : Karena {xk} basis ortonormal maka untuk setiap x 𝜖 H benar bahwa x = ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk yang berakibat

||x||² = <x.x> = <∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk , ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk > = ∑^∞_𝑘=1|<x,xk>|² . (iii) ⟹ (ii) : Berdasarkan kesamaan terakhir dapat ditarik kesimpulan bahwa

x = ∑^∞_𝑘=1<x,xk> xk

untuk setiap x 𝜖 H. (ii) ⟹ (i) Setiap basis tentu merupakan himpuanan total. ∎ Definisi 3.2.9 : Ruang Hilbert H dikatakan separabel ( separable ) jika H mem-punyai barisan ( hingga atau tak hingga ) yang total. Ruang Hilbert yang mempu- nyai basis disebut ruang Hilbert klasik ( classical Hilbert space ).

Teorema 3.2.10 : Jika H ruang Hilbert, maka dua pernyataan di bawah ini eku-ivalen.

(i) H separable.

(ii) H mempunyai basis ortonormal.

Bukti : (ii) ⟹ (i) : Cukup jelas, menurut Teorema 3.2.8. (i) ⟹ (ii) : Karena ruang Hilbert H separable maka H memuat barisan {zk yang total. Oleh karena itu tentu ada barisan bagian {zki} ⊂ {zk} yang bebas linear sehingga [{zki}] = [{zk }]. Ber=

dasarkan Teorema 3.2.3, terdapat barisan ortonomal {xk} sehingga [{zki}] = [{xk}].

Karena {xk} total, menurut Teorema 3.2.8, {xk} merupakan basis ruang Hilbert H.

∎

Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya.

26 Teorema 3.2.10 : Jika K merupakan ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hil-bert H, maka K lengkap ( ruang HilHil-bert bagian ).

3.3 Komplemen ortogonal

Definisi 3.3.1 : Jika H ruang pre-Hilbert dan A ⊂ H, himpunan 𝑨^⊥ = { x 𝝐 H : x ⊥ a dan a 𝝐 A }

disebut himpunan komplemen orogonal ( orthogonal complement set ) him- punan A.

Teorema 3.3.2 : : Jika H ruang pre-Hilbert dan A ⊂ H, maka 𝐴^⊥ merupakan ru- ang-bagian tertutup.

Bukti : Karena untuk setiap x, y 𝜖 𝐴^⊥ dan scalar 𝛼, 𝛽 benar bahwa

<𝛼𝑥 + 𝛽𝑦,a> = 𝛼<x,a> + 𝛽<y,a> = 0

untuk setiap a 𝜖 A, maka 𝐴^⊥ ruang linear. 𝐴^⊥ ruang pre-Hilbert sebab inner-pro- duct < , > berlaku pula pada 𝐴^⊥. Diambil z sebarang titik- limit himpunan 𝐴^⊥ dan sebarang barisan {xk} di dalam 𝐴^⊥ yang konvergen ke z ( lim

𝑘→∞𝑥_𝑘 = z ). Karena untuk setiap a 𝜖 A diperoleh <z,a> = lim

𝑘→∞< 𝑥_𝑘,a> 0, maka z 𝜖𝐴^⊥ . Jadi terbukti 𝐴^⊥ tertutup. ∎

Teorema 3.3.3 : Jika A dan B dua himpunan di dalam ruang pre-Hilbert H, maka pernyataan-pernyataan di bawah ini bear.

(i) A ⊂ 𝐴^⊥⊥ .

(ii) A ⊂ B ⟹ 𝐵^⊥ ⊂ 𝐴^⊥ . (iii) 𝐴^⊥⊥⊥ = 𝐴^⊥ .

Bukti : (i) : Setiap a 𝜖 A pasti a 𝜖 𝐴^⊥⊥, sebab a tegak lurus dengan setiap anggota 𝐴^⊥. (ii) : Karena setiap x 𝜖 𝐵^⊥ tegak lurus setiap anggota B, maka x tegak lurus se-tiap anggota A yang berarti x 𝜖 𝐴^⊥. Jadi terbukti 𝐵^⊥ ⊂ 𝐴^⊥ .(iii) : Karena A ⊂ 𝐴^⊥⊥. berdasarkan (ii) diperoleh 𝐴^⊥⊥⊥ ⊂ 𝐴^⊥ . Berdasarkan (i) diperoleh 𝐴^⊥ ⊂ 𝐴^⊥⊥⊥ . Jadi terbukti 𝐴^⊥⊥⊥ = 𝐴^⊥ . ∎

Teorema di bawah ini tak sukar mebuktikannya.

Teorema 3.3.4 : A ruang-bagian tertutup di dalam ruang Hilbert H jika dan