Pengantar. Pengantar Analisis Fungsional

0 Pengantar Analisis Fungsional

Pengantar

Diktat atau Hand-out AnalisisFungsional ini ditulis atas inisatif jurusan dengan harapan agar mahasiswa lebih mudah memahami materi-materi perkuliahaan yang diadakan/diselenggarakan oleh jurusan. Muatan diktat ini disesuaikan dengan silabus yang telah disusun oleh jurusan. Ka- rena Analisis Fungsional merupakan ramuaan antara Ruang Metrik dan Aljabar Linear dan kerap kali waktu perkulihan Ruang Metrik bersamaan dengan waktu perkulihan Analisis Fungsional, maka sebagai awal perkulihan dimulai dengan BAB 1, Ruang Metrik, yang memberikan dengan singkat pengertian-pengertian dasar Ruang Metrik terutama yang akan diperlukan untuk pem- bahasan materi-materi selanutnya. Bab 2, Ruang bernorma, memuat pengertian dasar dan sifat- sifat ruang Banach, fungsi dan fungsioal linear kontinu, dan ruang lp. Bab 3, Ruang Hilbert. Di dalam bab ini, selain selain membahas sifat-sifat dasar dibahas pula basis ortonormal dan kom plemen ortogonal. Bab 4, Operator dan operator pendamping, memuat pembahasan ( fungsi linear dan kontinu ), Teorema Riesz-Frechet dan operator pendamping ( adjoint operator ). Bab 5, Operator pada ruang Hilbert dan nilai sejati, memuat bahasan tentang operator-operator khu- sus, vektor sejati, dan nilai sejati.

Sengaja, tidak semua teorema-teorema yang sederhana di dalam diktat/hand-out ini dibuktikan, dimaksud untuk latihan mahasiswa. Soal-soal/latihan pun tak diberikan. Soal dan latihan akan diberikan bersama dengan perkuliahan.

Penyusun :

Soeparna Darmawijaya

1

BAB 1

RUANG METRIK

Materi dasar untuk mempelajari/memahami Analisis Fungsional adalah Ruang Vektor dan Ruang Metrik. Oleh karena itu, bab pertama ini menyajikan sepintas lalu mengenai materi-materi pokok Ruang Metrik untuk mngingat kembali bagi mahasiswa yang telah mengambil Analisis Real II dan untuk modal dasar bagi mahasiswa yang belum mengambil matakuliah itu. Oleh karena itu teorema-te- rema di dalam bab ini sebagian besar tanpa bukti.

Sebenarnya ruang metrik merupakaan abstraksi ruang Rⁿ. Tepatnya, jika dike- tahui himpunan X ≠ ∅ , padanya didefinisikan jarak ( metric ). Jadi definisi ru- ang metrik sebagai berikut.

1.1 Definisi dan sifat-sifat dasar

Untuk selanjtnya, R menotasikan system bilangan real dan C meno- tasika system bilangan komplex. Khusunya, perlu diingat bahwa R dan C merupakan lapangan ( field ).

Definisi 1.1.1 ; Diketahui himpunan X ≠ ∅. Fungsi d : X x X → R yang memenuhi syarat-syarat :

(i) d(x,y) ≥ 0 untuk setiap x, y 𝜖 𝑋, d(x,y) = 0 jika dan hanya jika x = y, (ii) d(x,y) = d(y,x), dan

(iii) d(x,y) = d(y,z) + d(y,z) untuk setiap x, y, z 𝜖 𝑋.

disebut metrik ( metric ) atau jarak pada X. Himpunan X yang diperlengkapi dengan suatu metrik d dituliskan dngan (X,d) atau singkat ditulis dengan X saja disebut ruang metrik ( metric space ). Anggota ruang metrik disebut titik ( point ) dan bilangan d(x,y) disebut jarak antara titik x dan titik y.

Mudah difahami bahwa jika (X,d) ruang metrik dan Y ⊂ X, maka (Y,d) juga ru- ang metrik yang disebut ruang-bagian.

Contoh 1.1

1. R merupakan ruang metrik terhadap metrik d(x,y) = |x – y| untuk setiap x, y 𝜖 R.

2 2. Rⁿ merupakan ruang metrik terhadap metrik: (a) 𝑑_∞(𝑥̅,𝑦̅) = maks{ |xk – yk| : 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 } , (b) dp(𝑥̅,𝑦̅) = {∑^𝑛_𝑘=1|𝑥k – yk|^p}^1/p ( 1≤ p < ∞ ) untuk setiap 𝑥̅=

(x1 ,x2 , . . . ,xn), 𝑦̅ = (y1 ,y2 , . . . . ,yn) 𝜖 Rⁿ.

3. C(a,b), koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada [a,b] merupakan ruang metrik terhadap metric : (a) d(f,g) = ∫ |_𝑎^𝑏 f(x) – g(x)|dx, (b) 𝑑_∞(f,g) = sup{ |(x) – g(x)| : x 𝜖 [a,b] } untuk setiap f, g 𝜖 C(a,b).

Konsep dasar hubungan titik dengan himpunan di dalam suatu ruang metrik adalah pengertian persekitaran.

Definisi 1.1.2 : Jika (X,d) suatu ruang metrik dan x 𝜖 X, maka yang disebut persekitaran titik x dengan jari-jari 𝜹 > 0 adalah himpunan

𝑵_𝜹(x) = { y 𝝐 X : d(x,y) < 𝜹 }.

Selanjutnya, jika A ⊂ X, maka

(i) x disebut titik-dalam ( interior point ) himpunan A jika ada 𝛿 > 0 se- hingga

𝑵_𝜹(x) ⊂ A.

(ii) x disebut titik-luar ( exterior point ) himpunan A jika x titik-dalam himpunan A^c.

(iii) x disebut titik-limit ( limit point ) himpunan A jika untuk setiap 𝑁_𝛿(x) benar bahwa

\ 𝑵_𝜹(x) ∩ A – { x } ≠ ∅.

(iv) x disebut titik-batas ( boundary point ) himpunan A jika untuk setiap 𝑁_𝛿(x) benar bahwa

𝑵_𝜹(x) ∩ A ≠ ∅ dan 𝑵_𝜹(x) ∩ A^c ≠ ∅.

(v) x disebut titik-terasing ( singular point ) himpunan A jika ada 𝛿 > 0 se- hingga

𝑵_𝜹(x) ∩ A = { x }.

Mudah difahami bahwa setiap titik-dalam suatu himpunan merupakan titik-limit himpunan itu. Terdapat dua kemungkinan, titik-batas suatu himpunan mungkin titik-limit atau mungkin titik-terasing himpunan itu. Titik-limit suatu himpunan belum tentu menjadi anggota himpunan itu. Jika titik-limit suatu himpunan bu- kan anggota himpunan itu tentu titk-limit itu merupakan titik-batas. Titik-batas suatu himpunan merupakan titik-batas himpunan komplemennya.

1.2 Jenis-jenis himpunan

Jenis-jenis himpunan di dalam suatu ruang metriadalah sebagai berikut.

Definisi 1.2.1 : Diketahui (X,d) ruang metrik.

(i) U ⊂ X disebut himpunan terbuka ( open set ) jika setiap anggotanya merupakan titik-dalam.

3 (ii) F ⊂ X disebut himpunan tertutup ( closed set ) jika F^c merupakan him-

punan terbuka.

(iii) A^o = int(A) menotasikan koleksi semua titik-dalam himpunan A ⊂ X.

(iv) ext(A) menotasikan koleksi semua titik-luar himpunan A ⊂ X.

(v) A’ menotasikan koleksi semua titik-limit himpunan A ⊂ X.

(vi) 𝜕(𝐴) menotasikan koleksi semua titik-batas himpunan A ⊂ X.

(vii) 𝑐𝑙(𝐴) menotasikan himpunan tertutup terkecil yang memuat A ⊂ 𝑋.

(viii) 𝐴 = A ∪ A’

Teorema 1.2.2 : 𝜏, yaitu koleksi semua hmpunan terbuka di dalam setiap ruang metrik X mempunyai sifat-sifat :

(i) X, ∅ 𝜖 𝜏 .

(ii) U, V 𝜖 𝜏 ⟹ U ∩ V 𝜏 . (iii) 𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃_𝑈𝜖𝜎𝑈 𝜖 𝜏 .

Bukti : (i): Setiap x 𝜖 X berakibat 𝑁_𝛿(𝑥) ⊂ X ; jadi terbukti bahwa X 𝜖𝜏 . Kalimat “Setiap x 𝜖 ∅ berakibat 𝑁_𝛿(𝑥) ⊂ ∅ “ bernilai benar (T) ; jadi terbukti pula bahwa ∅ 𝜖 𝜏. (ii) Jika U ∩ V = ∅ bukti selesai. Jika tidak demikian dan karena U dan V dua himpunan terbuka, tentu ada x 𝜖 𝑈 ∩ 𝑉 yang berarti x 𝜖 𝑈 dan x 𝜖 𝑉. Jadi ada bilangan real 𝛿 > 0 dan 𝜂 > 0 sehingga 𝑁_𝛿(x) ⊂ U dan 𝑁_𝜂(x) ⊂ V. Dipilih bilangan positif 𝜌 = min{𝛿, 𝜂}. Diperoleh 𝑁_𝜌(x) ⊂ 𝑁_𝛿(x) ⊂ U dan 𝑁_𝜌(x) ⊂ 𝑁_𝜂(x) ⊂ V yang berarti 𝑁_𝜌(x) ⊂ 𝑈 ∩ 𝑉 dan oleh karena itu U ∩ V 𝜖 𝜏 . ∎

Perlu mendapat perhatian bahwa di dalam setiap ruang metrik persekitaran me- rupakan himpunan terbuka.

Teorema di bawah ini ekuivalen dengan Teorem 1.2.2 di atas.

Teorema 1.2.3 : 𝜅, yaitu koleksi semua hmpunan tertutup di dalam setiap ruang metrik X mempunyai sifat-sifat :

(i) X, ∅ 𝜖 𝜅 .

(ii) F, G 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ 𝐺 𝜖 𝜅.

(iii) (𝑖𝑖𝑖) 𝜋 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂_𝐹𝜖𝜋𝐹 𝜖 𝜅 .

Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya.

Teorema 1.2.4 : Diketahui (X,d} ruang metrik dan A ⊂ X. Pernyataan- pernyataan di bawah in benar.

(i) int(A) himpunan terbuka terbesar yang termuat di dalam A.

(ii) int(int(A)) himpunan terbuka

4 Teorema 1.2.5 : Diketahui (X,d} ruang metric dan A ⊂ X. Pernyataan-

pernyataan di bawah in benar.

(i) A – 𝜕(𝐴) himpunan terbuka.

(ii) A ∪ 𝜕(𝐴) himpunan tertutup.

Bukti : Cukup dibuktikan yang (i) : Diambil sebarang x 𝜖 𝐴 – 𝜕(𝐴) . Jadi, x 𝜖 A dan x bukan titik-batas jika dan hanya jika 𝜖 A dan ada 𝑁_𝛿(x) sehingga

𝑁_𝛿(x) ∩ A = ∅ dan 𝑁_𝛿(x) ∩ A^c = ∅.

yang berakibat ada 𝑁_𝛿(x) sehingga 𝑁_𝛿(x) ⊂ A dan 𝑁_𝛿(x) ∩ A^c = ∅. Kenyataan ini berarti x titik-dalam himpunan A – 𝜕(𝐴). Jadi terbukti bahwa A – 𝜕(𝐴) merupakan himpunan terbuka. ∎

Teorema 1.2.6 : Diketahui (X,d} ruang metrik dan A ⊂ X. Pernyataan- pernyataan di bawah in benar.

(i) 𝐴 = A ∪ A’ himpunan tertutup.

(ii) 𝐴 = cl(A).

(iii) A tertutup jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 A dan 𝑁_𝛿(x) benar bahwa 𝑁_𝛿(x) ∩ A ≠ ∅ .

Bukti : (i) : Membuktikan bahwa A ∪ A’ himpunan tertutup ekuivalen ekui- valen dengan membuktikan bahwa komplemennya yaitu himpunanan A^c ∩ (A’)^c merupakan hmpunan terbuka. Untuk itu cukup membuktikan sebarang x 𝜖 A^c ∩

(A’)^c merupakan titik-dalamnya. x 𝜖 A^c ∩ (A’)^c ⟺ x 𝜖 A^c dan x bukan titik-limit himpunan A ⟺ x 𝜖 A^c dan ada 𝑁_𝛿(x) sehingga 𝑁_𝛿(x) ∩ A – { x } = ∅, x bukan ti- tik-limit himpunan A ⟺ ada 𝑁_𝛿(x) sehingga 𝑁_𝛿(x) ⊂ A^c dan x 𝜖 (A’)^c ⟺ x titik- dalam himpunan A^c ∩ (A’)^c. (ii) : Karena telah terbukti bahwa 𝐴 = A ∪ A’ him- punan tertutup, memuat A, dan cl(A) adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A, maka cl(A) ⊂ A ∪ A’. Selanjutnya, x 𝜖 A ∪ A’ ⟺ x 𝜖 A atau x 𝜖 A^’

⟺ x 𝜖 A atau atau untuk setiap 𝑁_𝛿(x) bebar bahwa 𝑁_𝛿(x) ∩ A – { x } ≠ ∅ ⟹ x 𝜖 cl(A) atau untuk setiap 𝑁_𝛿(x) bebar bahwa 𝑁_𝛿(x) ∩ cl(A) – { x } ≠ ∅ ⟺ x 𝜖 cl(A) ∪ (𝜖 cl(A))’ = 𝜖 cl(A). Jadi tebukti 𝐴 = cl(A). (iii) : A tertutup jika dan hanya jika A = cl(A) jika dan hanya jika x 𝜖 A dan 𝑁_𝛿(x) benar bahwa 𝑁_𝛿(x) ∩ A ≠ ∅ . ∎

1.3 Barisan, limit fungsi, dan fungsi kontinu

Definisi 1,3,1 : (i) : Barisan { xn } di dalam ruang metrik (X,d) dikatakan konvergen ( convergent ) jika ada k 𝜖 X sehingga untuk setiap bilangan real

5 𝜀 > 0 ada bilangan asli no shingga jika n ≥ no benar bahwa d(xn ,k) < 𝜀. Jika demikian, ditulis singkat dengan

𝒏→∞𝐥𝐢𝐦𝒅(xn ,k) = 0 atau 𝐥𝐢𝐦

𝒏→∞𝒙n = k . (ii) Barisan { xn } di dalam ruang metrik (X,d) disebut barisan Cauchy ( Cau- chy sequence ) jika setiap bilangan real 𝜀 > 0 ada bilangan asli no shingga jika m, n ≥ no benar bahwa d(xm ,xn) < 𝜀.

Teorema 1.3.2 : Setiap barisan yang konvergen merupakan barisan Cauchy.

Sebaliknya tak benar.

Ruang metrik yang setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen disebut ruang metrik yang lengkap ( complete )

Contoh 1.3

1. Di dalam ruang metrik C(0,1) terhadap metrik d1(f,g) = ∫ |₀¹ f(x) – g(x)|dx tidak lengkap sebab ada barisan Cauchy { fn }, dengan fn(x) = nx untuk 0 ≤ x

< ¹

𝑛 dan fn(x) = 1 untuk ¹

𝑛 ≤ x ≤ 1, yang tak konvergen.

2. Ruang metrik C(0,1) terhadap metrik d(f,g) = sup{ |f(x) – g(x)| : x 𝜖 [0.1] } merupakan ruang metrik yang lengkap.

Teorema 1.3.4 : (X,d) ruang metrik dan A ⊂ X. x 𝜖 X titik-limit himpunan A jika dan jika terdapat barisan { xn } ⊂ A yang konvergen ke x.

Definisi 1.3.5 : (X,d), (Y,d1) dua ruang metrik, f : X → Y, dan a 𝜖 X.

(i) f(x) dikatakan berlimit ( konvergen ) ke suatu k 𝜖 Y untuk x → a, ditulis singkat dengan

𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒇(x) = k ,

jika untuk sebarang bilangan real 𝜀 > 0 terdapat bilangan 𝛿 > 0 sehingga untuk stiap x 𝜖 X dengan d(x,a) < 𝛿 berakibat d1(f(x),k) < 𝜀 .

(ii) Fungsi f dikatakan kontinu di a jika 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂𝒇(x) = f(a) .

Fungsi f dikatakan kontinu pada A ⊂ X jika f kontinu di setiap titik ang- gota A.

Yang dimaksud dengan fungsi f ; X → Y kontinu adalah fungsi f kontinu pada X .

Teorema 1.3.6 : (X,d), (Y,d1) dua ruang metrik, f : X → Y, dan a 𝜖 X. f(x) di- katakan konvergen ke k 𝜖 Y untuk x → a jika dan hanya jika untuk setiap ba-

6 risan { xn } yang onvergen ke a berakibat barisan { f(xn) } konvergen ke k.

Teorema 1.3.7 : Diketahui (X,d), (Y,d1) dua ruang metric dan f : X → Y,Tiga pernyataan di bawah ini ekuivaleen.

(i) f kontinu.

(ii) Jika V ⊂Y himpunan terbuka maka 𝑓⁻¹(V) ⊂ X himpunan terbuka.

(iii) Jika F ⊂Y himpunan tertutup maka 𝑓⁻¹(F) ⊂ X himpunan tertutup.

Definisi 1.3.8 : Dua ruang metrik X dan Y dikatakan homeomorphik ( ho- meomorphic) jika ada fungsi bijektif f dari X ke Y yang kontinu dan fung- si inversenya juga kontinu.

Teorema 1.3.9 : Jika f fungsi bijektif dan kontinu dari ruang metrik X ke ruang metrik Y, maka tiga pernytaan di bawah ini equivalen :

(i) 𝑓⁻¹ : Y → X kontinu.

(ii) 𝑆𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑈 ⊂ X himpunan terbuka berakibat f(U) ⊂ Y himpunan terbuka.

(iii) 𝑆𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑈 ⊂ X himpunan tertutup berakibat f(U) ⊂ Y himpunan tertutup.

Akibat 1.3.10 : Jika f fungsi bijektif dan kontinu dari ruang metrik X ke ruang metrik Y dan memenuhi (i), (ii), atau (iii) Theorem 1.3.9, maka maka X dan Y homeomorphik.

1.4 Kekompakan ( Compactness )

Diketahui X ≠ ∅. ∆ ⊂ 2^X disebut liput ( cover ) himpunan X jika X ⊂ ∑_𝑨𝝐∆𝑨.

Jika ada 𝜎 ⊂ ∆ yang masih meliput X maka 𝜎 disebut liput-bagian ( sub- ( cover ). Jika X ruang metrik dan ∆ liput X yang setiap anggotanya himpunan terbuka maka ∆ disebut liput terbuka ( open cover ). Jika ada 𝜎 ⊂ ∆ yang masih meliput X maka 𝜎 disebut liput-bagian ( sub-cover ).

Definisi 1.4.1 : Ruang metrik X dikatakan kompak ( compact ) jika setiap liput terbukanya mempunyai liput-bagian yang banyak anggotanya hingga.

Teorema : Jika X ruang metrik yang kompak maka setiap himpunan tertutup di dalamnya kompak.

Teorema 1.4.2 : Diketahui dua ruang metrik X dan Y. Jika X kompak dan fungsi f : X → Y kontinu maka f(X) kompak.

7

BAB 2

RUANG BERNORMA

Yang dimaksud dengan ruang linear adalah ruang vektor atas lapangan R ( sis- tem bilaangan real ) atau atas lapangan C ( system bilangan complex ).

Ruang bernorma dapat dipandang sebagai perpaduan antara ruang linear dan ru- ang metrik. Tepatnya, sebagai termuat di dalam definisi di bawah ini.

2.1 : Definisi dan sifat-sifat dasar

Definisi 2.1.1 : Jika X ruang linear maka fungsi

|| . || : X → R yang memenuhi sifat-sifat :

(i) || x || ≥ 0 untuk setiap x 𝜖 X;

|| x || = 0 jika dan hanya jika x = 𝜃 ( 𝜃 notasi vektor nol ), (ii) || 𝛼x || = |𝛼|.|| x || untuk setiap skalar 𝛼 dan x 𝜖 X;

(iii) || x + y || ≤ || x || + || y || untuk setiap x, y 𝜖 X

disebut norma ( norm ) pada X dan bilangan nonnegatif || x || di- sebut norma vektot x (norm of x ).

Ruang linear X yang diperlengkapi dengan norma || . || disebut ru- ang bernorma ( normed space ) dan dinotasikan dengan (X,|| . ||) a- tau dengan X saja asalkan normanya telah diketahui.

Ruang bernorma (X,|| . || disebut aljabar benorma ( normed algebra ) jika X merupakan aljabar dan memenuhi sifat

(iv) || x.y || ≤ || x ||.|| y || untuk setiap x, y 𝜖 X.

Contoh 2.1

1. Jelas bahwa R merupakan ruang linear atas lapangan R ( dirinya sendiri ). R merupakan ruang bernorma norma nilai mutlak . Jadi

|| x || = | x | untuk setiap x 𝜖 R. R juga aljabar bernorma.

8

C juga merupakan ruang linear atas lapangan C atau R. C meru- pakan ruang bernorma dengan norma modulus, Jadi || z || = | z | =

|| x + iy || = √𝑥

²

+ 𝑦

²

. C juga aljabar bernorma.

2. R

ⁿ

dan C

ⁿ

merupakan ruang linear berturut-turut atas lapangan R dan C . R

ⁿ

dan C

ⁿ

merupakan ruang bernorma dengan bermacam- macam norma ; antara lain :

(a) || 𝑥 ∥

_∞

= maks{ | x

k

| : 1≤ k≤ n }, (b) || 𝑥 ||

2

= ∑

^𝑛_𝑘=1

| x

k

|

²

}

^1/2

untuk setiap 𝑥 = (x

1

,x

2

, . . . . ,x

n

) 𝜖 R

ⁿ

( C

ⁿ

). R

ⁿ

dan C

ⁿ

juga merupakan aljabar bernorma.

3. C(a,b), koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada [a,b], me- rupakaan ruang linear terhadap lapangan R. C(a,b) merupakan ru- ang bernorma terhadap norma :

(a) || f ||

1

= ∫ |

_𝑎^𝑏

f(x) |dx (b) || f || = sup{ | f(x) | : x 𝜖 [a,b] }.

4. 𝒮 menotasikan koleksi semua barisan bilangan. Dibentuk koleksi- kolesi bagian sebagai berikut.

(i) 𝑙

_∞

= { 𝑥 = { x

k

} 𝜖 𝒮 : sup{ | x

k

| : k ≥ 1 } < ∞ }.

𝑙

_∞

merupakan ruang bernorma terhadap norma

|| 𝑥 ∥

_∞

= ||{ x

k

}∥

_∞

= sup{ | x

k

| : k ≥ 1 } untuk setiap 𝑥 𝜖 𝑙

_∞

. (ii) Untuk 1 ≤ p < ∞,

l

p

= { 𝑥 = { x

k

} 𝜖 𝒮 : ∑

^∞_𝑘=1

| x

k

|

^p

< ∞ } l

p

merupakan ruang bernorma terhadap norma

|| 𝑥 ||

p

= || {x

k

} ||

p

= {∑

^∞_𝑘=1

| x

k

|

^p

}

^1/p

untuk setiap 𝑥 𝜖 l

p

. Contoh nomor 4 akan dibahas tersediri pada bagian 3( tiga ) bab ini.

Teorema 2.1.2 : Setiap ruang bernorma (X,|| ||) merupakan ruang metrik (X,d) dengan metrik

d(x,y) = || x – y ||.

untuk setiap x, y 𝜖 X.

Bukti : Diambil sebarang x, y, z 𝜖 X. Diperoleh : (a) d(x,y) = || x – y|| ≥ 0 dan

d(x,y) = || x – y || = 0 ⟺ x – y = 𝜃 ⟺ x = y.

(b) d(x,y) = || x – y || = || -(y – x) || = || y – x || = d(y,x).

(c) d(x,y) = || x – y || = || (x – z) + (z – y)|| ≤ || x – z || + || z – y ||

9

= d(x,z) + d(z-y).

Bukti selesai. ∎

Berdasarkan Teorema 2.1.2 di atas maka semua definisi, semua pe- mngertian, semua teorema , dan sifat-sifat yang berlaku pada ruang metrik berlaku pula pada ruang bertnorma

Teorema 2.1.3 : Jika (X,|| ||) merupakan ruang bernorma, maka untuk setiap a 𝜖 X fungsi t

a

: X → X dengan rumus

t

a

(x) = a + x untuk setiap x 𝜖 X merupakan homeomorphisma.

Bukti : Jelas bahwa t

a

fungsi injektif, sebab jika ada t

a

(x) = t

a

(y) yaitu a + x = a + y berakibat x = y. t

a

surjektif sebab untuk setiap z 𝜖 X diperoleh t

n-1

(z) = (-a) + z 𝜖 X . Jadi, t

a

bijektif. Diambil seba- rang himpunan terbuka U ⊂ X ; diperoleh t

a-1

(U) = -a + U dan t

a

(U) = a + U terbuka, sebab jika x titik-dalam himpunan U, berarti ada 𝑁

_𝛿

(x) ⊂ U, berakibat

a +𝑁

_𝛿

(x) = a + { y 𝜖 X : d(x,y) = ||x – y|| < 𝛿 } =

= { a +y 𝜖 X : ||x – y|| < 𝛿 } = { y 𝜖 X : ||(a+x) – y|| < 𝛿 } = 𝑁

_𝛿

(a+x) ⊂ a+U

yang berarti a+U himpunan terbuka. Menurut Teorema 1.3.9 dan Akibat 1.3.10, terbukti bahwa ta merupakan homeomorphisma. ∎

Di dalam ruang bernorma (X,|| ||), sistem persekitaran titik 𝜃, yaitu koleksi se- mua persekitaran titik 𝜃, disebut sistem persekitaran fundamental ( system of fundamental neughborhood ) dan dinotasikan dengan {U}.

Berdasarkan Teorema 2.1.3 di atas dan memfaatkan sistem persekitaran funda- mental, diperoleh {x+U} merupakan sistem persekitaran titik x dan sebagai . contoh aplikasinya sebagai berikut.

Contoh 2.1

Diketahui ruang linear bernorma (X,|| ||) , x 𝜖 X dan A ⊂ X.

1. x titik-dalam himpunan A jika ada U 𝜖 {U} sehingga x + U ⊂ A.

2. x titik-limit himpunan A jika ada U 𝜖 {U} sehingga x (x + U) ∩ A – { x }

10 ≠ ∅ .

Teorema 2.1.4 : Diketehui (X,|| ||) ruang bernorma

(i) Jika U ⊂ X himpunan terbuka, maka untuk setiap S ⊂ X benar bahwa S + U himpunan terbuka.

(ii) Jika F ⊂ X himpunan tertutup, maka untuk setiap himpunan hingga S ⊂ X benar bahwa S + F himpunan tertutup.

(iii) Untuk sebarang himpunan A ⊂ X benar bahwa cl(A) = 𝐴 = ⋂_{𝑈𝜖{𝑈}}(A + U) .

Bukti : (i) dan (ii) mudah membuktikannya. Tinggal membuktikan (iii) Dambil sebarang x 𝜖 cl(A). Karena cl(A) himpunan tertutup, x 𝜖 cl(A)

jika dan hanya jika (x + U) ∩ cl(A) ≠ ∅ untuk setiap U 𝜖 {U} jika dan hanya jika x 𝜖 A + U untuk setiap U 𝜖 {U} jika dan hanya jika x 𝜖 ⋂_{𝑈𝜖{𝑈}}(A + U) . ∎ Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya.

Teorema 2.1.5 : Diketahui ruang bernorma (X,|| ||), Jika { xn ], { yn } ⊂ X ber- turut-turut konvergen ke x dan y dan 𝛼 sebarang scalar, maka (i) 𝛼{ xn } kon- vergen ke 𝛼x, (ii) { xn + yn } konvergen ke x + y, (iii) { ||xn|| } konvergen ke ||x||.

Jika

{ xn ] dan { yn } barisan Cauchy maka 𝛼{ xn } dan { xn + yn } barisan Ca- uchy.

Karena ruang bernorma nerupakan ruang metric, maka barisan Cauchy di dalam ruang bernorma belum tentu konvregen.

Definisi 2.1.5 : Ruang bernorma yang setiap barisan Cauchy di dalamnya kon- vergen disebut ruang Banach ( Banach space ). Aljabar bernorma yang setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen disebut aljabar Banach ( Banach algebra ).

Contoh 2.1

1. Telah diketahui bahwa C(0,1) merupakan ruang bernorma terhadap norma || f || = ∫ |₀¹ f(x)|dx tetapi C(0,1) bukan ruang Banach, sebab barisan { fn } di dalam C(0,1) dengan fn(x) = nx untuk 0 ≤ x < ¹

𝑛 dan fn(x) = 1 untuk ¹

𝑛 ≤ x ≤ 1 tidak konvergen ; lim

𝑛→∞𝑓n(x) = f(x) = 1 untuk 0 < x ≤ 1 dan

𝑛→∞lim 𝑓n(0) = f(0) = 0 ( f bukan anggota C(0,1) ).

2. Tetapi C(0,1) merupakan ruang Banach terhadap norma ||f||= sup{ |f(x)| : x 𝜖 [0,1], sebab jika diambil sebarang barisaan Caucy { fn } di dalam C(0,1)

11 diperoleh sebagai berikut. Karena { fn } barisan Cauchy maka untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 berakibat || fm(x) – fn(x) | < 𝜀 untuk setiap x 𝜖 [0,1]. Hal ini berar- ti { fn(x) } merupakan barisan Cauchy bilangan untuk setiap x 𝜖 [0,1]. Jadi baris- an { fn(x) } konvergen, katakan, ke suatu bilangan f(x) untuk setiap x 𝜖 [0,1]. Oleh karena itu untuk sebarang bilaangan 𝜖 > 0 dan x 𝜖 [0,1] ada bilangan asli nx sehing -ga jika n ≥ nx benar bahwa

| fn(x) – f(x) | < 𝜀/4 .

fn kontinu di x 𝜖 [0,1] , jadi ada bilangan real 𝛿x > 0 sehingga jika y 𝜖 [0,1] dan |x – y| < 𝛿x benar bahwa

| fn(x) – fn(y) | < 𝜀/4 .

Berdasarkan dua ketidaksamaan terakhir diperoleh, untuk n ≥ maks{nn ,ny} | f(x) – f(y) | ≤ | f(x) – fn(x) | + | fn(x) - fn(y) | + | fn(y) – f(y) | < 𝜀/4 + 𝜀/4 + 𝜀/4 < 𝜀.

atau terbukti f kontinu pada [0,1] dan oleh kareana itu barisaan Cauchy { fn }kon- vergen ke fungsi f 𝜖 C(0,1). ∎

Teorema di bawah ini tak sukar membuktikannya.

Teorema 2.1.6 : Jika Y merupakan ruang-bagian yang tertutup di dalam ruang \ Banach X, maka Y lengkap ( ruang Banach bagian )

Deret ∑^∞_𝑘=1𝑥_𝑘 di dalam ruang bernorma (X,|| ||) dikatakan konvergen ke suatu x 𝜖 X, seperti di dalam sistem bilangan real R, jika barisan jumlah parsialnya juga konvergen ke x. Deret bilangan ∑^∞_𝑘=1||𝑥_𝑘|| disebut deret mutlaknya. Di dalam ruang bernorma tak ada jaminan bahwa jika deret mutlak suatu deret konvergen deretnya sendiri konvergen. Jika itu terjadi diperoleh teorema di bawaah ini.

Teorema 2.1.7 : Ruang bernorma (X,|| ||) merupakan ruang Banach jika dan hanya jika setiap deret mutlak konvergen berakibat deretnya sendiri konvergen.

Bukti : Syarat perlu : Diketahui X ruang Banach dan dan sebarang deret mutlak ∑^∞_𝑘=1||xk|| konvergen. Jadi untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bialngan asli no

Sehingga jika bilangan asli k ≥ no benar bahwa ∑^∞_{𝑘≥𝑛𝑜}||xk|| < 𝜀.

Hal ini berakibat

|| ∑^∞_{𝑘≥𝑛𝑜}𝑥k || ≤ ∑^∞_{𝑘≥𝑛𝑜}||xk|| < 𝜀.

yang berarti ∑^∞_𝑘=1𝑥_𝑘 konvergen. Syarat cukup : Diambil sebarang barisan Cauchy {un} di dalam X. Jadi untuk setiap bilangan asli kada bilangan asli nksehingga un-

12 tuk setiap asli m, n ≥ nk benar bahwa

|| um - un || < ¹

2^𝑘, khususnya

|| 𝑢

_𝑛𝑘+1

- 𝑢

_𝑛𝑘

|| <

¹

2^𝑘

.

Dibentuk : v1 = 𝑢_𝑛1, v2 = 𝑢_𝑛2 - 𝑢_𝑛1, v3 = 𝑢_𝑛3 - 𝑢_𝑛2, . . . . , vk = 𝑢_𝑛𝑘+1 - 𝑢_𝑛𝑘 Diperoleh :

∑^∞_𝑘=1∥ 𝑣_𝑘|| = ||𝑢_𝑛1|| + ||𝑢_𝑛2 - 𝑢_𝑛1|| + ||𝑢_𝑛3 - 𝑢_𝑛2|| + . . . . < ||𝑢_𝑛1|| + ¹

2 + ¹

2² + ¹

2³ + . . . .

konvergen. Jadi, menurut hipotesis, deret ∑^∞_𝑘=1𝑣_𝑘 konvergen atau barisan par- sialnya yaitu deret Cauchy {un} konvergen yang berarti X lengkap ( X ruang Banach ). ∎

2.2 Fungsi linear kontinu

Telah diketahui bawwa ruang bernorma merupaakan ruang metrik . Jadi penger- tian fungsi kontinu telah diketahui. Tetapi ruang bernorma juga meupakan ruang linear maka diperoleh trorema di bawah ini,

Teorema 2.2.1 : Jika (X,|| ||) dan (Y,|| ||) dua ruang bernorma dan fungsi T : X → Y fungsi linear maka pernyataan-pernyataan di bawah ini ekuivalen.

(i) T kontinu.

(ii) T kontinu di suatu x 𝜖 X.

(iii) T kontinu di 𝜃.

(iv) { ||T(x)|| : x 𝜖 X dengan ||x|| ≤ 1 } himpunan terbatas.

(v) Terdapat bilangan M ≥ 0 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔a || T(x) || ≤ M.||x|| untuk setiap x 𝜖 X.

Bukti : (i) ⟹ (ii) : Cukup jelas. (ii) ⟹ (iii) : Diambil sebarang barisan { xn } di dalam X yang konvergen ke 𝜃. Cukup jelas bahwa barisan {xn + x} konvergen ke

x. Karena T kontinu di x maka barisan {T(xn + x) = {T(xn)} + T(x) konvergen ke T(x) = 𝜃 + T(x) ( 𝜃 vektor nol di dalam Y ) ; jadi {T(xn)} konvergen ke 𝜃 = T(𝜃) atau terbukti bahwa T kontinu di θ. (iii) ⟹ (iv) : Diambil sebarang x 𝜖 X dengan

||x|| ≤ 1 dan dibentuk yn = ¹

𝑛x. Diperoleh barisaan { yn } konvergen ke 𝜃 dan karena T kontinu di 𝜃 diperoleh

{T(yn) } = { ¹

𝑛 T(x) } konvergen ke T(𝜃) = 𝜃 yang berarti ada bilangan M ≥ 0 sehingga T(x) ≤ M untuk setiap x 𝜖 X dengan ||x|| ≤ 1 atau { ||T(x)|| : x 𝜖 X dengan

13 ||x|| ≤ 1 } himpunan terbatas. (iv) ⟹ (v) : Jika x 𝜖 X dan x ≠ 𝜃 maka y = ^𝑥

||𝑥||

dengan ||y|| ≤ 1. Jadi, menurut hipotesis, ada bilaangan M ≥ 0 sehingga ||T( ^𝑥

||𝑥|| )||

= ||T(y)||≤ M atau ||T(x)|| ≤ M.||x||. Jika x = 𝜃 dan kaarena T linear diperoleh ||T(𝜃)|| = ||𝜃|| ≤ M. ||𝜃|| = 0. (v) ⟹ (i) : Menurut (v), ada bilangan M ≥ 0 sehingga untuk setiap x, y 𝜖 X benar bahwa ||T(x) – T(y)|| = ||T(x – y)|| ≤ M.||x – y||. Jsdi, jika diambil bilangan real 𝜀 > 0 diperoleh ||T(x) – T(y)|| < 𝜀 asalkan ||x – y|| < 𝛿 dengan 𝛿 < ¹

𝑀+1 𝜀. Dengan kata lain terbukti bahwa T kontinu (seragaam ) pada X. ∎

Jika X dan Y dua ruang bernorma, L(X,Y) menotasikan koleksi semua fungsi linear dari X ke Y, Lc(X,Y) menotasikan koleksi semua fungsi linear kontinu dari X ke Y, dan X* = Lc(X,F) menotasikan koleksi semua fungsional linear kontinu pada X yaitu semua fungsi linear kontinu dari X ke lapangan F ( F = R atau F = C ). X*

biasa disebut ruang dual ( dual space of ) X. Mudah difahami bahwa L(X,Y), Lc(X.Y), dan X* masing-masing ruang linear dan Lc(X,Y) ⊂ L(X,Y).

Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2.2.1 (iv) dan (v) di atas akan dikonstruksikan suatu norma pada Lc(X,Y).

Teorema 2.2.2 : Jika T 𝜖 Lc(X,Y), maka 𝛼 = 𝛽 dengan 𝛼 = sup{ ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1 } dan 𝛽 = inf{ M ≥ 0 : || T(x)| ≤|M.||x|| dan x 𝜖 X }.

Bukti : Diambil sebarang 𝑥 𝜖 X. diperoleh :

||T(x)|| ≤ 𝛽||x|| ⟹ 𝛼 = 𝛽 jika ||x|| ≤ 1. Jika ||x|| > 1 diperoleh T( ^𝑥

||𝑥|| ) ≤ 𝛽 ⟹ 𝛼 ≤ 𝛽.

Sebaliknya, karena || ^𝑥

||𝑥|||| ≤ 1 diperoleh ||T( ^𝑥

||𝑥|| )|| ≤ 𝛼 atau ||T{x)|| ≤ 𝛼.||x|| yang berarti ≤ 𝛼.

Jadi terbukti 𝛼 = 𝛽. ∎

Berdasarkan Teorema 2.2.1 dan kenyataaan ||T|| = 𝛼 = 𝛽 maka fungsi linear kon- tinu juga disebut fungsi linear terbatas atau operator.

Teorema 2.2.3 : Lc(X,Y) merupakan ruang bernorma terhadap norma ||T||

= 𝛼 = 𝛽 untuk setiap T 𝜖 Lc(X,Y).

Bukti : Lc(X,Y) sungguh merupakan ruang linear, sebab untuk stiap S, T 𝜖 Lc(X,Y) dan scalar 𝛼 dan 𝛽 jelas bahwa 𝛼𝑆 + 𝛽𝑇 𝜖 Lc(X,Y). Selajutnya, juga jelas bahwa

(i) ||T|| = sup{ ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1} ≥ 0 dan ||T|| 0 jika dan hanya jika T(x)||

= 0 jika dan hanya jika T = O ( O fungsi nol, fungsi linear kontinu ).

14 (ii) ||𝛼T|| = sup{ ||T(𝛼x)|| : 𝛼x 𝜖 X dan ||𝛼x|| ≤ 1}

= sup{|𝛼| ||T(x)|| : 𝛼x 𝜖 X dan ||𝛼x|| ≤ 1}

= |𝛼|. sup{ ||𝑇(𝑥)||: 𝑥 𝜖 𝑋 dan ||𝑥|| ≤ 1 } = |𝛼|.||T||.

(iii) ||S + T|| = sup{ ||(S + T)(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1 } ≤ sup{ ||S(x)|| + ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x|| ≤ 1 }

≤ sup{ ||𝑆(𝑥)|| ∶ 𝑥 𝜖 𝑋 dan ||𝑥|| ≤ 1 } + sup{ ||T(x)|| : x 𝜖 X dan ||x||

≤ 1 } = ||S|| + ||T||.

Dengan kata lain terbukti bahwa (Lc(X,Y),|| ||) ruang bernorma. ∎ Teorema 2.2.4 : Jika Y ruang Banach maka Lc(X,Y) ruang Banach.

Bukti : Telah tebukti ( Teorema 2.2.3 ) bahwa Lc(X,Y) merupakan ruang bernor- ma. Tinggal membutikan bahwa ruang bernorma Lc(X,Y) lengkap. Diambil seba- rang barisan Cauchy {Tn} di dalam Lc(X,Y), Jadi, unyuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 dan x 𝜖 𝑋 terdapat bilangan asli no sehingga jika m, n ≥ no benar bahwa

||Tm – Tn|| < ^𝜀

||𝑥||+1 . Kenyataan ini berakibat

||Tm(x) – Tn(x)|| = ||(Tm – Tn)(x)|| ≤ ||Tm – Tn||.||x|| < ^𝜀

||𝑥||+1 ||x|| < 𝜀.,

Dengan kata lain, untuk setiap x 𝜖 𝑋, {Tn(x)} merupakan barisan Cauchy di dalam ruang Banach. Jadi ada T(x) 𝜖 Y sehingga

𝑛→∞lim 𝑇_𝑛(x) = T(x).

Cukup mudah dilihat baahwa T merupakan fungsi dari X ke Y. T linear, sebab untuk setiap x, y 𝜖 𝑋 dan scalar α dan 𝛽 benar bahwa

T(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 ) = lim

𝑛→∞𝑇_𝑛(𝛼𝑥 + 𝛽𝑦) = lim

𝑛→{ 𝛼.Tn(x) + 𝛽.Tn(y)}

= 𝛼.T(x) + 𝛽.T(y).

T kontinu ( terbatas ), sebab untuk sebarang x 𝜖 𝑋 benar bahwa

||T(x)|| = lim

𝑛→∞|| 𝑇_𝑛(x)|| ≤ lim

𝑛→∞||| 𝑇_𝑛||.||x|| = ||T||.||x|| .

Dengan demikian terbukti bahwa barisan Cauchy {Tn} di dalam Lc(X,Y} konver- gen ke T 𝜖 Lc(X,Y)atauterbukti bahwa Lc(X,Y} lengkap ( ruang Banach ). ∎ Akibat 2.2.5 : Untuk sebarang ruaang bernorma X maka X^* ruang Banach.

15

2.3 Ruang barisan l

p

( 1 ≤ p ≤ ∞ )

Pada Contoh 2.1 nomor 4 telah diperkenalkan bahwa 𝒮 adalah kolek- si semua barisan bilangan. Akan diperlihatkan bahwa :

(i) 𝒍

_∞

= {𝒙 = {x

k

} : sup{|x

k

|, k≥1} < ∞} merupakan ruang ber- norma terhadap norma

||𝒙 ∥

_∞

= ||{x

k

}∥

_∞

= sup{ |x

k

| : k ≥ 1}

untuk setiap 𝑥 𝜖 𝑙

_∞

.

(ii) l

p

= {𝒙 = {x

k

} : ∑

^∞_𝒌=𝟏

| x

k

|

^p

< ∞ }, dengan 1≤p<∞, merupakan ruang bernorma terhadap norma

||𝒙||

p

= ||{x

k

}||

p

= {∑

^∞_𝒌=𝟏

| x

k

|

^p

}

^1/p

untuk setiap 𝑥 𝜖 l

p

.

Untuk keperluaan tersebut diperlukan lemma di bawah ini . Lemma 2.3.1 : ( Lemma Young )

Jika 1 < p, q < ∞ dan ¹

𝑝 + ¹

𝑞 = 1, maka untuk setiap dua bilangan u dan v benar bahwa

|u.v| ≤

^|𝒖|𝒑

𝒑

+

^|𝒗|

𝒒

𝒒

.

Bukti : ¹

𝑝 + ¹

𝑞 = 1 ⟺ p + q = pq ⟺ p = q(p - 1) ⟺ q = p(q – 1). Oleh karena itu jika diambil y = x^p-1 diperoleh x = y^q-1

Lihat gambar di samping : |u|.|v| ≤ luas I + luas II.

Oleh kaarena itu

|u|.|v| ≤ ∫₀^|𝑢|𝑥^𝑝−1dx + ∫₀^|𝑣|𝑦^𝑞−1dy = ^|𝑢|

𝑝

𝑝

+

^|𝑣|

𝑞

𝑞

. Bukti selesai. ∎

Teorema 2.3.2 : ( Ketidaksamaan Holder )

(i) Untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 l1 dan 𝑦 = {yk} 𝜖 𝑙_∞ benar bahwa

| ∑^∞_𝒌=𝟏𝒙_𝒌𝒚_𝒌| ≤ ∑^∞_𝒌=𝟏|𝒙_𝒌𝒚_𝒌| ≤ ||𝒙||1.||𝒚 ∥_∞ . (ii) Jika 1 < p, q < ∞ dan ¹

𝑝 + ¹

𝑞 = 1 maka untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 lp dan 𝑦 ={yk} 𝜖 lq benar bahwa

| ∑^∞_𝒌=𝟏𝒙_𝒌𝒚_𝒌| ≤ ∑^∞_𝒌=𝟏|𝒙_𝒌𝒚_𝒌| ≤ ||𝒙||p.||𝒚||q . Bukti : (i) : Cukup jelas bahwa ∑^∞_𝑘=1𝑥_𝑘𝑦_𝑘| ≤ ∑^∞_𝑘=1|𝑥_𝑘𝑦_𝑘|. Selanjutnya,

∑^∞_𝑘=1|𝑥_𝑘𝑦_𝑘| ≤ ∑^∞_𝒌=𝟏|𝒙_𝒌|. sup{|yk; : k≥ 1} = ||𝒙||1.||𝒚 ∥_∞ .

(ii) Cukup jelas bahwa ∑^∞_𝑘=1𝑥_𝑘𝑦_𝑘| ≤ ∑^∞_𝑘=1|𝑥_𝑘𝑦_𝑘|. Membuktikan ∑^∞_𝑘=1|𝑥_𝑘𝑦_𝑘|

16 ≤ ||𝑥||p.||𝑦||q ekuivalen dengan membuktikan ∑^∞_𝑘=1|𝑥_𝑘𝑦_𝑘| / ||𝑥||p.||𝑦||q ≤ 1.

∑^∞_𝑘=1|𝑥_𝑘𝑦_𝑘| / ||𝑥||p.||𝑦||q = ∑^∞_𝑘=1|xk|/||𝑥||p.|yk|/||𝑦||q

≤ ∑^∞_𝑘=1{¹

𝑝(|xk|/||𝑥||p)^p + ¹

𝑞(yk|/||𝑦||q)^q ≤ 1.

Bukti selesai. ∎

Teorema 2.3.3 : ( Ketidaksamaan Minskoski ) Jika 1 ≤ p ≤ ∞ dan 𝑥 = {xk}, 𝑦 = {yk} 𝜖 lp maka

||𝒙 + 𝒚||p ≤ ||𝒙||p + ||𝒚||p . Bukti :

Jika p = 1 diperoleh

||𝑥 + 𝑦||1 = ∑^∞_𝑘=1|xk + yk| ≤ ∑^∞_𝑘=1{|xk| + |yk|} = ∑^∞_𝑘=1|xk| + ∑^∞_𝑘=1|yk| = ||𝑥||1 + ||𝑦||1 Jika p = ∞ diperoleh

||𝑥 + 𝑦 ∥_∞ = sup{|xk + yk| : k≥ 1} ≤ sup{|xk| + |yk| : k≥ 1}≤ sup{|xk| : k≥ 1}

+ ≤ sup{|yk| : k≥ 1} = ||𝑥 ∥_∞ + ||𝑦 ∥_∞ . Jika 1 < p < ∞ diperoleh

|xk + yk|^p = |xk + yk|.|xk + yk|^p-1 ≤ {|xk |+ |yk|}.|xk + yk|^p-1

= |xk |.|xk + yk|^p-1 + |yk|.|xk + yk|^p-1 dan dijumlah untuk semua k diperoleh

∑^∞_𝑘=1|xk + yk|^p = ∑^∞_𝑘=1|xk |.|xk + yk|^p-1 + ∑^∞_𝑘=1|yk|.|xk + yk|^p-1

≤ ||𝑥||p.∑^∞_𝑘=1{|xk + yk|^(p-1)q}^1/q + ||𝑦||p.∑^∞_𝑘=1{|xk + yk|^(p-1)q}^1/q = {||𝑥||p + ||𝑦||p}.∑^∞_𝑘=1{|xk + yk|^p}^1/q

atau

||𝑥 + 𝑦||p = {∑^∞_𝑘=1|xk + yk|^p}^1/p ≤ ||𝑥||p + ||𝑦||p . Bukti selesai. ∎

Teorema 2.3.4 : (𝑙_∞,|| ∥_∞) dan (lp,|| ||p) ruang Banach.

Bukti : 𝑥 = {xk} 𝜖 𝑙_∞ ( lp ) jika dan hanya jika sup{|xk| : k≥1} < ∞ ( ∑^∞_𝑘=1|xk| < ∞) Oleh karena itu untuk setiap : 𝑥 = {xk}, 𝑦 = {yk} 𝜖 𝑙_∞ ( lp ) dan skalar 𝛼 diperoleh sup{|𝛼xk| : k≥1} = |𝛼|sup{|𝑥𝑘| ∶ 𝑘 ≥ 1} < ∞ ( ∑^∞_𝑘=1|𝛼xk| = |𝛼| ∑^∞_𝑘=1|xk| < ∞) yang 𝛼𝑥 𝜖 𝑙_∞ ( lp ). Langsung, menurut Teorema 2.3.2, diperoleh 𝑥 + 𝑦 𝜖 𝑙_∞ ( lp ).

Jadi terbukti 𝑙_∞ ( lp ) ruang linear. Karena ||𝑥 ∥_∞ = sup{|xk| : k≥1} ≥ 0 ( ||𝑥||p = {∑^∞_𝑘=1|xk|}^1/p ≥ 0 ), ||𝑥 ∥_∞ = 0 ( ||𝑥||p = 0 ) jika dan hanya jika xk = 0 untuk setiap k jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑜, ||𝛼𝑥 ∥_∞ = |𝛼|.||𝑥 ∥_∞ ( ||𝛼𝑥||p = |𝛼|.||𝑥||p _, dan menurut

17 Teorema 2.3.2 diperoleh ||𝑥 + 𝑦||p ≤ ||𝑥||p + ||𝑦||p untuk 1 ≤ p ≤ ∞ dapat disimpul- kan bahwa (𝑙_∞,|| ∥_∞) dan (lp,|| ||p) merupakan ruang bernorma.

Sekaraang diambil sebarang barisan Cauchy {𝑥^𝑛} = {{𝑥_𝑘^𝑛 }} di dalam 𝑙_∞ ( lp ).

Jadi, untuk sebarang bilangan 𝜀 > 0 terdapat bilangan asli no sehingga jika m, n ≥ no benar bahwa

||𝑥^𝑚 - 𝑥^𝑛 ∥_∞ < 𝜀 ( ||𝑥^𝑚 - 𝑥^𝑛||p < 𝜀 ).

Hal ini berakibat | 𝑥_𝑘^𝑚 - 𝑥_𝑘^𝑛 | < 𝜀 untuk setiap k yang berarti {𝑥_𝑘^𝑛} merupakan barisan Cauchy bilangan untuk setiap k. Jadi untuk setiap k ada bilangan xk se- lim

𝑛→∞𝑥_𝑘^𝑛 = xk yang berarti lim

𝑛→∞𝑥^𝑛 = {xk} = 𝑥 atau ||𝑥 - 𝑥^𝑛 ∥_∞ = lim

𝑚→∞∥ 𝑥^𝑚− 𝑥^𝑛 ∥_∞ < 𝜀 (||𝑥 - 𝑥^𝑛 ∥_𝑝 = lim

𝑚→∞ ∥ 𝑥^𝑚− 𝑥^𝑛 ∥_𝑝 < 𝜀 ) dan oleh karena itu

||𝑥 ∥_∞ ≤ ||𝑥 - 𝑥^𝑛 ∥_∞ + ||𝑥^𝑛 ∥_∞ < ∞ ( ||𝑥 ∥_𝑝 ≤ ||𝑥 - 𝑥^𝑛 ∥_𝑝 + ||𝑥^𝑛 ∥_𝑝 < ∞ ) . Jadi daapat disimpulkan bahwa barisan Cauchy {𝑥^𝑛} = {{𝑥_𝑘^𝑛 }} konvergen 𝑥 𝜖 𝑙_∞ ( lp ) atau terbukti bahwa (𝑙_∞,|| ∥_∞) dan (lp,|| ||p) ruang Banach. ∎

Perlu diingatbahwa jika X ruang bernorma maka X* = Lc(X,F), yaitu koleksi semua fungsioanal linear terbatas pada X, disebut ruang dual ruang bernorma X.

Dua teorema di bawah ini akan menyajikan ruang dual ruang Banach 𝑙₁ dan ruang Banach lp ( 1 < p < ∞ ).

Teorema 2.3.5 : (l1)* = 𝑙_∞ .

Bukti : Untuk setiap 𝑧 𝜖 𝑙_∞ dibentuk fungsional 𝑇_𝑧 pada ruang Banach l1 dengan rumus

𝑇_𝑧 (𝑥) = ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧̅k

untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 l1 . 𝑇_𝑧 linear, sebab untuk setiap 𝑥 , 𝑦 𝜖 l1 dan skalar 𝛼 diperoleh

𝑇_𝑧 (𝛼𝑥) = ∑^∞_𝑘=1𝑥𝛼k𝑧̅k = 𝛼 ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧̅k = 𝛼𝑇_𝑧 (𝑥) dan

𝑇_𝑧 (𝑥 + 𝑦) = ∑^∞_𝑘=1(𝑥k+ yk)𝑧_𝑘 = ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧̅k + ∑^∞_𝑘=1𝑦k𝑧̅k = 𝑇_𝑧 (𝑥) + 𝑇_𝑧 (𝑦) . 𝑇_𝑧 terbatas, sebab

| 𝑇_𝑧 (𝑥) | = | ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧̅k | ≤ ∑^∞_𝑘=1|𝑥k𝑧̅k| ≤ ||𝑧 ∥_∞.||𝑥||1 .

Karena setiap 𝑧 𝜖 𝑙_∞ merepresentasikan fungsional linear kontinu 𝑇_𝑧 pada X maka dapat ditulis 𝑙_∞ ⊂ (l1)* . Sebaliknya , diambil sebarang S 𝜖 (l1)*. Jadi S merupakan funsional linrat terbatas pada l1 yang berarti untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 l1 diperoleh

18

| S(𝑥) | ≤ ||S||.||𝑥||.

Jika S = O bukti selesai. Jika tidak, diambil sebarang 𝑧 𝜖 𝑙_∞ dan 𝑧 ≠ 𝑜 dan dibentuk 𝑦 = ^𝑧

||𝑆|| . Oleh karena itu dapat diidentifikasi S = 𝑇_𝑢 dengan 𝑢 = ^𝑧

||𝑦|| 𝜖 𝑙_∞ yang berarti setiap S 𝜖 (l1)* dapat disajikan dengan suatu elemen di dalam 𝑙_∞ ; jadi (l1)* ⊂ 𝑙_∞ dan bukti selesai. ∎

Teorema 2.3.6 : Jika p > 1, maka (lp)* = lq dengan ¹

𝑝 + ¹

𝑞 = 1 .

Bukti : Untuk setiap 𝑧 - {zk} 𝜖 lq dibentuk fungsional 𝑇_𝑧 pada lp dengan rumus 𝑇_𝑧(𝑥) = ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧_𝑘

untuk setiap 𝑥 = {xk} 𝜖 lp . 𝑇_𝑧 merupakan linear, sebab untuk setiap scalar 𝛼 dan 𝑥, 𝑦 𝜖 lp benar bahwa

𝑇_𝑧 (𝛼𝑥) = ∑^∞_𝑘=1𝛼𝑥k𝑧_𝑘 = 𝛼. ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧_𝑘 = 𝛼. 𝑇_𝑧(𝑥 ) dan

𝑇_𝑧(𝑥 + 𝑦) = ∑^∞_𝑘=1)𝑥k + yk)𝑧_𝑘 = ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧_𝑘 + ∑^∞_𝑘=1𝑦k𝑧_𝑘 = 𝑇_𝑧(𝑥) + 𝑇_𝑧(𝑦).

𝑇_𝑧 terbatas, sebab berdasarkan Teorema 2.3,2 diperoleh

| 𝑇_𝑧(𝑥) | = | ∑^∞_𝑘=1𝑥k𝑧_𝑘 | ≤ ||𝑧||q.||𝑥||p.

Jadi, berdasarkan hasil tersebut , setiap 𝑧 - {zk} 𝜖 lq membangkitkan fungsional linear kontinu 𝑇_𝑧 pada lp , dapat ditulis lq ⊂ (lp)*.

Sebaliknya, diambil sebarang S 𝜖 (lp)*. Jika S = O, cukup jelas bahw O = 𝑇_𝑜 . Jika tidak demikian, diambil 𝑧 ≠ 𝑜 𝜖 lq dan dibentuk 𝑦 = ^𝑧

||𝑆|| atau S = 𝑇_𝑢 dengan 𝑢 = ^𝑧

||𝑦|| . Jadi, jelas bahwa setiap S 𝜖 (lp)* menentukan 𝑢 𝜖 lq yang berarti (lp)* ⊂.lq dan bukti selesai. ∎

19

BAB 3

RUANG HILBERT

Telah diketahui bahwa setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik. Di dalam bab ini akan dibangun struktur yang lebih khusus yaitu ruang pre-Hilbert ( ruang Hilbert ), Ruang ini merupakan ruang bernorma.

3.1 Ruang pre-Hilbert dan sifat-sifat sederhananya

Definisi 3.1.1 : Diketahui H ruang linear. Fungsi < , > : HxH → F disebut in- ner-product, dot-product, atau scalar-product jika mempunyai sifat-sifat :

(i) <x,y> = < 𝑦, 𝑥 > untuk setiap x, y 𝜖 H,

(ii) <𝛼x,y> = 𝛼<x,y> untuk setiap x, y 𝜖 H dan skalar 𝛼, (iii) <x + y,z> = <x,z> + <x,z> untuk setiap x, y, z 𝜖 H, dan (iv) <x,x> > 0 jika dan hanya jika x > 𝜃 ( 𝜃 vektor nol ).

Ruang linear H yang diperlengkapi dengan suatu inner-product disebut ruang pre-Hilbert atau ruang inner-product.

Contoh 3.1 (a)

1. Rⁿ dan Cⁿ msing-masing merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product

<𝑥,𝑦> = ∑^𝑛_𝑘=1𝑥k𝑦k

untuk setiap 𝑥 = (x1 ,x2 , . . . . ,xn), 𝑦 = (y1 ,y2 , . . . . ,yn) 𝜖 Rⁿ ( Cⁿ ).

2. l2 merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner-product <𝑥,𝑦> = ∑^∞_𝑘=1𝛼k𝛽k untuk setiap 𝑥 = {𝛼_𝑘}, 𝑦 = {𝛽_𝑘} 𝜖 l2 .

3. C(a,b), koleksi semua fungsi kontinu ( bernilai real atau kompleks ) pada selang tertutup [a,b] merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inne-product <f,g> = ∫ 𝑓_𝑎^𝑏 (x)𝑔(x)dx

untuk setiap f, g 𝜖 C(a,b).

Dengan memanipulasi Definisi 3.1.1 tak sukar membuktikan teorema di bawah ini.

Teorema 3.1.2 : Pada seiap ruang per-Hilbert H benar bahwa : (i) <x,𝛼𝑦 > = 𝛼<x,y> untuk setiap x, y 𝜖 H dan skalar 𝛼.

(ii) <x,y + z> = <x,y> + <x,z> untuk setiap x, y, z 𝜖 H, (iii) <x – y,z> = <x,z> - <y,z> dan <x,y – z> = <x,y> - <x,z>