Outline. Bagian 0: Motivasi. Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar dasar Teorema Karush Kuhn Tucker. Bagian 2: Sequential Quadratic Programming

(1)

Outline

Bagian 0: Motivasi

Bagian 1: Optimasi Taklinier Dasar–dasar

Teorema Karush–Kuhn–Tucker Bagian 2: Sequential Quadratic Programming

Bagian 3: Masalah Kendali Optimal dengan Persamaan Di↵erensial Biasa

Beberapa definisi elementer

Masalah kendali optimal Metode Langsung

(2)

Beberapa definisi elementer

I Misal X adalah ruang vektor atas lapanganR. Ruang X , k·kX adalah sebuah ruang norm.

I Barisan (xk)k⇢ X dikatakan sebagai barisan Cauchy jika untuk setiap ✏ > 0 terdapat K✏2 N sehingga kxk xlkX  ✏ for all k, l > K✏.

I Konvergen =) Cauchy.

I Tidak harus Cauchy =) konvergen! Jika X , k·kX memenuhi maka X ,k·kX kita katakan complete.

I _{X ,}_k·kX _{kita sebut sebagai ruang Banach, jika complete.}

I Pemetaanh·, ·i : X ⇥ X ! R dikatakan sebagai hasil kali dalam jika untuk setiap x, y , z2 X dan a, b 2 R,

hx, xi 0 and hx, xi = 0 , x = 0, (definit positif)

hx, yi = hy, xi , (simetri)

hax + by, zi = a hx, zi + b hy, zi , (linieritas) terpenuhi. Diberikan hasil kali dalamh·, ·iX di X , ruang X ,h·, ·iX dikatakan sebagai ruang hasil kali dalam atau ruang pre-Hilbert. Jika sebuah ruang pre-Hilbert X ,h·, ·iX complete dengan normk·kX :=ph·, ·iX, maka itu dikatakan ruang Hilbert.

(3)

Beberapa definisi elementer

I Sekarang perhatikanRn_{, sebuah subhimpunan U}

✓ Rn_dan f : U! R : x 7! f (x).

I Ruang semua fungsi kontinu f yang memetakan U padaR dinotasikan dengan C (U;R)

I _{Misal ↵}_{2 Z}n

+ dan definisikan|↵| := k↵k1, dimanak↵k1= ↵1+· · · + ↵n menotasikan 1–norm dari ↵. Definisikan D↵f (x) := @|↵|f (x)/@x1↵1· · · @x

↵n n . Kita definisikan dengan Ck_{(U) ruang semua fungsi f : U}

! R dimana D↵_{f untuk} semua|↵|  k kontinu di U.

I ⇣Ck_(U), k·kCk_(U)

⌘

, dimanakf kCk_(U)=P_|↵|kkD↵fkC (U) dan kf kC (U)= maxUf , mendefinisikan sebuah ruang Banach I Untuk k =1, kita mendapatkan C1_{(U) =}T1

k=0C k

(U) ruang semua fungsi yang terdi↵erensiasi takhingga di U.

I Semua fungsi f di Ck_{(U) dengan support kompak}

supp(f ) :={x 2 U : f (x) 6= 0}, diklasifikasikan dalam ruang Ck 0(U).

(4)

Beberapa definisi elementer

I Ruang Lebesgue Lp_{(U), dimana 1}

 p  1 adalah ruang dari semua fungsi terintegrasi Lebesgue f : U! R yang memenuhi kf kLp_(U)<1

I Norm yang disebutkan didefinisikan sebagai

kf kLp(U):= ( R

U|f | p

dx 1/p, 1 p < 1,

ess supU|f | = infµ(E )=0supU_\E|f | , p = 1.

Dalam formulasi terakhir µ(E ) menotasikan ukuran Lebesgue dari subhimpunan E .

I untuk semua p, i.e. p = 1,1 (resp. 1 < p < 1),⇣Lp_, k·kLp_(U)

⌘

mendefinisikan ruang Banach (refleksif)

I Untuk p = 2, kita mendapatkan ruang Hilbert⇣L2_(U),

h·, ·iL2(U) ⌘

dengan mendefinisikanhf , giL2_(U):=

R

Ufg dx untuk setiap f , g 2 L 2_(U)

I Kita menotasikan Lploc(U) sebagai ruang semua fungsi terintegrasi Lebesgue f sehingga f 2 Lp_{(V ) untuk setiap V}

⇢cU. Catat bahwa L1loc(U) tidak harus terdi↵erensiasi di seluruh bagian dari U.

(5)

Beberapa definisi elementer

I Untuk kasus f 2 L1_{loc(U), kita katakan g : U}

! R sebagai turunan lemah dari f untuk spesifik ↵2 Zn + jika Z U fD↵h dx = ( 1)|↵| Z U gh dx 8h 2 C01(U) terpenuhi

I Dengan menggunakan kembali D↵_{f untuk semua turunan lemah dari f , kita} menotasikan Wk,p(U) sebagai ruang semua fungsi f 2 Lp

(U) dengan semua turunan lemah D↵_{f in L}p_{(U) untuk semua}

|↵|  k. I Bersamaan dengankf kWk,p_(U):=⇣P_|↵|k

R U|D ↵_f |p dx⌘1/p, ruang ⇣ Wk,p_(U), k·kWk,p(U) ⌘

mendefinisikan ruang Banach. I Jika p =1, maka norm tersimplikasi menjadi

kf kWk,1(U)= max|↵|kkD↵fkL1(U).

I Semua ruang Wk,p_{(U) biasanya disebut sebagai ruang Sobolev.} I Untuk p = 2, kita biasa menuliskan Wk,2_{(U) =: H}k_(U).

I Ruang H1_{(U) hanya menggunakan Jacobian dan, bersama dengan hasil kali} dalamhf , giH1(U):=

R

Ufg dx + R

Uru0rg dx, mendefinisikan ruang Hilbert. ,

(6)

Outline

Bagian 0: Motivasi

Beberapa definisi elementer

Masalah kendali optimal

Metode Langsung

(7)

Kendali Optimal

Definisi

I Diberikan sebuah interval waktu ⌦ := [t0, T ]

I variabel kendali u yang didefinisikan dihimpunan semua kendali yang diperbolehkanU, bisa jadi L1(⌦), L2_{(⌦), atau C (⌦)}

I himpunan semua keadaan x yang memungkinkandinotasikan X , bisa jadi Ck(⌦), Wk,1_{(⌦) atau H}k_{(⌦) dimana k} _1.

I Definisikan S :={x 2 X : ˙x = f (t, x, u), t 2 ⌦, x(t0) = x0, u2 U} sebagai

himpunan semua keadaan x yang diperbolehkan. Maka masalah kendali optimal didefinisikan sebagai

min S⇥UJ(x, u) := (T , x(T )), (Mayer) min S⇥UJ(x, u) := Z ⌦ J0(x(t), u(t)) dt, (Lagrange) min S⇥UJ(x, u) := (T , x(T )) + Z ⌦ J0(x(t), u(t)) dt. (Bolza) dimana J0:Rn ⇥ Rm

! R disebut distributional cost and :R ⇥ Rn

! R terminal pay o↵.

(8)

Beberapa contoh masalah kendali optimal

min

S⇥U (T , x(T )) + Z

⌦

J0(x(t), u(t)) dt Standard problem min

S⇥UT t0 Minimal time problem min S⇥U (T , x(T )) + Z ⌦ J0(x(t), u(t)) dt s.t. T t0

Variable time problem

min S⇥U (T , x(T )) + Z ⌦ J0(x(t), u(t)) dt s.t. x0arbitrary

Free initial condition problem

min S⇥U (T , x(T )) + Z ⌦ J0(x(t), u(t)) dt s.t. g (t, x, u)5 0, h(t, x, u) ⌘ 0

Mixed constraints problem

min S⇥U (T , x(T )) + Z ⌦ J0(x(t), u(t)) dt s.t. Z ⌦ g (x(t), u(t)) dt Cg, Z ⌦ h(x(t), u(t)) dt = Ch Isoperimetric problem. ,

(9)

Outline

Bagian 0: Motivasi

Beberapa definisi elementer Masalah kendali optimal

Metode Langsung

(10)

Metode Langsung

min (T , x(T )) + Z ⌦ J0(x(t), u(t)) dt s.t. ˙x = f (x, u), t2 ⌦, x(t0) = x0, u2 U, gig(t, x, u) 0, hih(t, x, u) = 0, Z ⌦ pip(t, x, u) dt cip, Z ⌦ qiq(t, x, u) dt = diq, ig2 {1, · · · , ng}, ih2 {1, · · · , nh}, ip2 {1, · · · , np}, iq2 {1, · · · , nq}.

I Berasal dari ide”dikritisasi kemudian optimasi”. I Kuncinya: diskretisasi ⌦⇡ ⇢ ti = t0+ ih : h = T t0 N , i = 0,· · · , N , N2 N. I Akibatnya x ⇡ (x0, x1,· · · , xN)2 Rn⇥(N+1) dan u⇡ (u0, u1,· · · , uN)2 Rm⇥(N+1). ,

(11)

Metode Langsung

I Intergrasi numerik Z T 0 p(t, x, u) dt diskritisasi! N X k=0 akp(tk, xk, uk).

dimana koefisien-koefisien a0, a1,· · · , aNmengidentifikasi skema numerik tertentu.

I _{Masalah kendali optimal diskrit sekarang menjadi}

min Rn⇥N_⇥Rm⇥(N+1) (tN, xN) + N X k=0 akJ0(xk, uk) s.t. xk+1= ⇧(tk, tk+1, xk, xk+1, uk, uk+1), k = 0,· · · , N 1, x0= x0, gig(tk, xk, uk) 0, hih(tk, xk, uk) = 0, k = 0,· · · , N, N X k=0 akpip(tk, xk, uk) cip, N X k=0 akqiq(tk, xk, uk) = diq, ig2 {1, · · · , ng}, ih2 {1, · · · , nh}, ip2 {1, · · · , np}, iq2 {1, · · · , nq}. ,

(12)

Diskritisasi persamaan di↵erensial ...

I Metode Runge–Kuttaeksplisitorder r

c1 a11 c2 a21 a22 .. . ... ... . .. cr ar 1 ar 2 · · · arr b1 b2 · · · br ! 8 > > > > < > > > > : xk+1= xk+Pri=1bi'i 'i = f ⇣ tk+ cih, xk+ hPi_j=11aij'j ⌘ i = 1,· · · , r k = 0,· · · , N 1 I Metode Runge–Kuttaimplisitorder r

c1 a11 a12 · · · a1r c2 a21 a22 · · · a2r .. . ... ... . .. ... cr ar 1 ar 2 · · · arr b1 b2 · · · br ! 8 > > > > < > > > > : xk+1= xk+Pr_i=1bi'i 'i = f ⇣ tk+ cih, xk+ hPr_j=1aij'j ⌘ i = 1,· · · , r k = 0,· · · , N 1 I Menentukan Butcher–tableau c A

b membutuhkan definisikonsistensi

dengan order r !

I N besar, r kecil ”besar tapi sparse”;N kecil, r besar ”kecil tapi padat”

(13)

Diskritisasi persamaan di↵erensial ...

I Runge–Kuttaeksplisitorder 1: Metode Euler

0 0

1 !

(

xk+1= xk+ hf (tk, xk) k = 0,· · · , N 1 I Runge–Kuttaeksplisitorder 2

0 0 0 ↵ ↵ 0 1 _2↵1 _2↵1 ! 8 > < > : xk+1= xk+ h 1 1 2↵ f (tk, xk) +_2↵1 f (tk+ ↵h, xk+ ↵hf (tk, xk)) k = 0,· · · , N 1 ↵ = 1_{! Metode Heun!}

I Runge–Kuttaimplisitorder 2: Metode Trapesium

0 0 0 1 1₂ 1₂ 1 2 1 2 ! 8 > > > < > > > : xk+1= xk+ h 1 2'1+ 1 2'2 '1= f (tk, xk) '2= f tk+ h, xk+1 2h('1+ '2)) k = 0,· · · , N 1 ! ( xk+1= xk+h 2(f (tk, xk) + f (tk+1, xk+1)) k = 0,· · · , N 1 ,

(14)

Metode Langsung

I Dengan metode langsung

min Rn⇥N_⇥Rm⇥(N+1) (tN, xN) + N X k=0 akJ0(xk, uk) s.t. xk+1= ⇧(tk, tk+1, xk, xk+1, uk, uk+1), k = 0,· · · , N 1, x0= x0, gig(tk, xk, uk) 0, hih(tk, xk, uk) = 0, k = 0,· · · , N, N X k=0

akpip(tk, xk, uk) cip, N X

k=0

akqiq(tk, xk, uk) = diq,

ig2 {1, · · · , ng}, ih2 {1, · · · , nh}, ip2 {1, · · · , np}, iq2 {1, · · · , nq}.

kita menyelesaikan masalah optimasi min x2Sf (x)

dengan jumlah kendala N + (N + 1)(ng+ nh) + np+ nq dan jumlah variabel nN + m(N + 1)!

(15)

EXERCISE

1. Perhatikan model IR berikut

˙I = (N I R) I

I + ⌫N ( + µ)I , ˙

R = I µR.

1.1 Estimasi sebagai variable bebas yang bervariasi setiap waktu dengan membandingkan I dan data

1.2 Estimasi 0, 1,· · · , m, !1,· · · , !mpada (t) = 0+ m X i=1 icos(!it) untuk m = 1 and m = 3 dengan membandingkan I dan data

(16)

EXERCISE

2 Lakukan hal yang sama untuk model berikut d dtSi = NSiIi+ ↵Ri+ µ( S)i d dtIi =NSiIi Ii+ pµ( I )i d dtRi = Ii ↵Ri+ µ( R)i untuk i = 1,· · · , 5. Gunakan data berikut:

↵ = 1/36, p = 0.2, = 1/3, µ = 0.7 dan = 0 B B B B @ 0.5212 0.1354 0.0261 0.0453 0.2434 0.1131 0.5611 0.0933 0.0656 0.1163 0.1318 0.1763 0.2989 0.0694 0.0357 0.1280 0.0721 0.1414 0.2443 0.0675 0.1483 0.1773 0.0381 0.0640 0.4629 1 C C C C A ,