Sifat Kelengkapan dari R

BAB II HIMPUNAN BILANGAN REAL

2.3. Sifat Kelengkapan dari R

Pada subbab ini kita akan membahas sifat ketiga dari R, yaitu sifat kelengkapan. Seperti yang telah dikatakan pada pendahuluan bab ini, sifat kelengkapan berkaitan dengan konsep supremum atau batas atas terkecil. Untuk itu, kita akan bahas terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan batas atas dari suatu himpunan bilangan real, dan kebalikannya, yaitu batas bawahnya.

Definisi 2.19. Misalkan X adalah himpunan bagian tak kosong dari R.

a. Himpunan X dikatakan terbatas atas jika terdapat aR sedemikian sehingga a x, untuk setiap xX . Bilangan real

a

yang demikian disebut sebagai batas atas dari X .

b. Himpunan X dikatakan terbatas bawah jika terdapat bR sedemikian sehingga bx, untuk setiap xX . Bilangan real b yang demikian disebut sebagai batas bawah dari X .

c. Himpunan X dikatakan terbatas jika X terbatas atas dan terbatas bawah. Himpunan X dikatakan tidak terbatas jika X tidak terbatas atas atau tidak terbatas bawah.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan

xR:x0

. Setiap elemen pada himpunan

bR:b0

merupakan batas bawah dari

xR:x0

. Setiap kita mengambil elemen

xxR:x0

maka selalu kita dapatkan bahwa

1

x x , sedangkan

x1xR:x0

. Yang demikian mengandung arti bahwa tidak ada aR sedemikian sehingga ax , untuk setiap





:

0



x

x

x

R

. Jadi himpunan

xR:x0

terbatas bawah tetapi tidak terbatas atas, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas.

Contoh lain, pandang himpunan

xR:x1

. Himpunan

aR:a1

merupakan koleksi semua batas atas dari

xR:x1

. Tidak ada bR

sedemikian sehingga b x, untuk semua

xxR:x1

, karena setiap kita mengambil

xxR:x1

maka selalu dapat kita peroleh bahwa x 1 x, sedangkan

x1xR:x1

. Akibatnya, himpunan

xR:x1

tidak mempunyai batas bawah. Jadi himpunan

xR:x1

terbatas atas tetapi tidak terbatas bawah, atau juga dapat dikatakan bahwa himpunan tersebut tidak terbatas.

himpunan terbatas. Dari batas-batas bawahnya, kita dapat memilih batas bawah yang terbesar, yaitu elemen 0. Sedangkan dari batas-batas atasnya, kita dapat memilih batas atas yang terkecil, yaitu elemen 1. Berikut ini adalah definisi secara formal dari batas atas terkecil, disebut supremum, dan batas bawah terbesar, disebut infimum, dari suatu himpunan bilangan real.

Definisi 2.20. Misalkan X adalah himpunan bagian tak kosong dari R.

a. Misalkan X terbatas atas. Elemen aR dikatakan supremum dari X jika memenuhi syarat-syarat :

(1)

a

adalah batas atas dari X

(2) av, untuk setiap

v

, batas atas dari X .

b. Misalkan X terbatas bawah. Elemen bR dikatakan infimum dari X jika memenuhi syarat-syarat :

(1) b adalah batas bawah dari X

(2) bw, untuk setiap

w

, batas bawah dari X .

Selanjutnya, mungkin timbul pertanyaan, apakah perbedaan antara supremum (infimum) dengan maksimum (minimum)? Contoh sebelumnya tentang himpunan

xR:0

x1

, bisa menjadi ilustrasi untuk menjelaskan hal ini. Himpunan

xR:0

x1

tidaklah mempunyai minimum dan maksimum, karena tidak ada

m,MxR:0

x1

sedemikian sehingga mx dan M x , untuk setiap

xxR:0x1

. Sedangkan untuk supremum dan infimum, himpunan

xR:0

x1

memilikinya, yaitu 1 dan 0, masing-masing secara berurutan. Elemen minimum dan maksimum haruslah elemen dari himpunan yang bersangkutan, tetapi elemen infimum dan supremum tidaklah harus demikian. Jadi elemen infimum dan supremum bisa termasuk atau tidak termasuk ke dalam himpunan yang bersangkutan. Himpunan

xR:0x1

memiliki infimum dan supremum, yaitu elemen 1 dan 0, yang termasuk ke dalam himpunan

xR:0

x1

.

adalah batas atas dari X ekuivalen dengan a x , untuk setiap xX . Pernyataan av, untuk setiap

v

, batas atas dari X , mengandung arti bahwa jika

za

maka

z

adalah bukan batas atas dari X . Jika

z

adalah bukan batas atas dari X maka terdapat

x

_z

X

sedemikian sehingga

x

_z

z

. Jadi kita mempunyai fakta bahwa jika

za

maka terdapat

x

_z

X

sedemikian sehingga

x

_z

z

. Selanjutnya, jika diberikan



0 maka

a 

a

. Dengan menggunakan fakta sebelumnya, maka terdapat

x

_

X

sedemikian sehingga

x

_

 a



. Jadi kita memperoleh fakta baru, yang ekuivalen dengan fakta sebelumnya, yaitu untuk setiap



0 terdapat

x

_

X

sedemikian sehingga

x

_

 a



. Dengan demikian kita memperoleh fakta-fakta yang ekuivalen dengan definisi 2.20.

Teorema 2.21. Elemen aR, batas atas dari X , himpunan bagian tak kosong dari R , adalah supremum dari X jika dan hanya jika apabila

za

maka terdapat

x

_z

X

sedemikian sehingga

x

_z

z

.

Teorema 2.22. Elemen aR, batas atas dari X , himpunan bagian tak kosong dari R , adalah supremum dari X jika dan hanya jika untuk setiap



0

terdapat

x

_

X

sedemikian sehingga

x

_

 a



.

Fakta-fakta serupa yang berkaitan dengan elemen infimum adalah sebagai berikut.

Teorema 2.23. Elemen bR , batas bawah dari X , himpunan bagian tak kosong dari R, adalah infimum dari X jika dan hanya jika apabila zb maka terdapat

x

_z

X

sedemikian sehingga

x

_z

z

.

Bukti Teorema 2.23 dan Teorema 2.24 ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca.

Selanjutnya, mungkin kita mempertanyakan apakah elemen supremum atau infimum tunggal atau tidak. Mari kita kaji masalah ini. Misalkan

u,vR

adalah supremum dari himpunan yang terbatas atas U . Untuk menunjukkan bahwa supremum dari U adalah tunggal, berarti kita harus menunjukkan bahwa

uv

. Untuk menunjukkannya, perhatikan bahwa uw dan vw, untuk setiap

w

, batas atas dari U . Karena

u

dan

v

juga batas atas dari U , kita memiliki uv

dan vu. Yang demikian berarti

uv

atau supremum dari U adalah tunggal. Dengan mudah, dapat pula kita tunjukkan bahwa infimum dari suatu himpunan yang terbatas bawah juga tunggal.

Berdasarkan semua penjelasan pada subbab ini, kita mempunyai suatu aksioma yang sangat esensial. Aksioma inilah yang dimaksud dengan sifat Kelengkapan dari R, atau biasa juga disebut sifat supremum dari ฀ .

Aksioma 2.25 (Sifat Kelengkapan dari R). Setiap himpunan bagian dari R

yang terbatas atas memiliki supremum di R.

Aksioma tersebut mengatakan bahwa R, digambarkan sebagai himpunan titik- titik pada suatu garis, tidaklah “berlubang”. Sedangkan himpunan bilangan- bilangan rasional

Q

, sebagai himpunan bagian dari R yang juga memenuhi sifat aljabar (lapangan) dan terurut, memiliki “lubang”. Inilah yang membedakan

R dengan

Q

. Karena tidak “berlubang” inilah, R, selain merupakan lapangan terurut, juga mempunyai sifat lengkap. Oleh karena itu, R disebut sebagai lapangan terurut yang lengkap. Penentuan supremum dari himpunan



:

0,

2

:

t

t



t

2



T

Q

bisa dijadikan ilustrasi untuk menjelaskan terminologi “lubang” pada himpunan

Q

. Supremum dari

TQ

yaitu

2

, yang merupakan akar dari persamaan

x

2

2

, bukanlah bilangan rasional. Bilangan

2

ini merupakan salah satu “lubang” pada

Q

. Maksudnya, supremum dari

TQ

bahwa aksioma kelengkapan tidak berlaku pada

Q

. Tetapi jika kita bekerja pada

R, yang demikian tidak akan terjadi.

Sekarang, misalkan V adalah himpunan yang terbatas bawah, artinya terdapat

R



l sedemikian sehingga lx, untuk setiap x V . Darinya, kita memperoleh bahwa   l x, untuk setiap x V . Dengan demikian, himpunan



x x V: 



terbatas atas. Menurut Aksioma 2.25., himpunan



x x V: 



memiliki supremum. Misalkan

s

adalah supremum dari



x x V: 



. Yang demikian berarti s x, untuk setiap x V , dan sr, untuk setiap

r

, batas atas dari



x x V: 



. Darinya, kita memiliki  s x, untuk setiap x V , dan   s r, untuk setiap

r

, batas atas dari



x x V: 



. Dapat ditunjukkan bahwa

r

batas atas dari



x x V: 



jika dan hanya jika

r

adalah batas bawah dari V . Jadi kita memiliki  s x, untuk setiap x V , dan  s t, untuk setiap

t

, batas bawah dari V , atau dengan kata lain,

s

adalah infimum dari himpunan V . Berdasarkan penjelasan tersebut, kita memiliki hal yang serupa dengan Aksioma 2.25, yaitu bahwa setiap himpunan bagian dari R yang terbatas bawah memiliki infimum di R.

Contoh 2.26. Tentukan supremum dari himpunan

S

xR:x1

.

Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa supS , supremum dari S , adalah 1. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa :

1. Batas atas dari S adalah 1, atau x1, untuk setiap xS. 2. v1, untuk setiap

v

, batas atas dari S.

Jelas bahwa 1 adalah batas atas dari S. Selanjutnya, misalkan v1. Perhatikan elemen 1/ 2v/ 2. Dapat ditunjukkan bahwa v1/ 2v/ 2 1 . Artinya, setiap elemen v1 bukanlah batas atas dari S. Jelas bahwa

v

batas atas dari S jika dan hanya jika v1. Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 1 merupakan batas

Selanjutnya, kita akan menggunakan Teorema 2.21 untuk menunjukkan 1 adalah supremum dari S . Jika v1, berdasarkan pembahasan tadi, dengan memilih

1/ 2

/ 2

v

s



v

, kita peroleh bahwa

s

_v

S

dan

vs

_v . Jadi 1 merupakan supremum dari S.

Kita akan coba cara lain untuk menunjukkan bahwa 1 merupakan supremum dari

S, seperti yang tertulis pada Teorema 2.22. Diberikan



0. Di sini kita akan memilih apakah ada

s

_

S

sedemikian sehingga

1 

s

_ (pemilihan

s

_ yang demikian tidaklah unik). Jika kita memilih

s

_

 1

/ 2

maka kita memperoleh apa yang kita harapkan, karena jelas bahwa

s

_

 1

/ 2 1

, atau dengan kata lain

s

_

S

dan

1   

s

_

1

/ 2

. Yang demikian selalu mungkin untuk sembarang

0



 yang diberikan. Jadi memang 1 adalah supremum dariS. ■ Contoh 2.27. Tentukan infimum dari

I

xR:x0

.

Penyelesaian. Kita klaim terlebih dahulu bahwa infI , infimum dari I , adalah 0. Klaim kita benar jika dapat ditunjukkan bahwa :

1. Batas bawah dari I adalah 0, atau 0x, untuk setiap xI. 2. w0, untuk setiap

w

, batas bawah dari I .

Jelas 0 merupakan batas bawah dari I . Berikutnya, misalkan w0. Perhatikan bahwa 0w/ 2w. Di sini w/ 2I . Artinya, jika w0 maka

w

bukan batas bawah dari I . Jelas bahwa w0 jika dan hanya jika

w

adalah batas bawah dari I . Hal ini sekaligus menunjukkan bahwa 0 adalah batas bawah terbesar dari

I .

Berikutnya, kita akan menggunakan Teorema 2.23 untuk menunjukkan 0 adalah infimum dari I . Misalkan w0. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dengan memilih

i

_w

w/ 2

, kita peroleh bahwa

i

_w

I

dan

i

_w

w

. Akibatnya, 0 adalah infimum dari I .

Cara lain, adalah dengan menunjukkan seperti apa yang tercantum pada Teorema 2.24. Diberikan



0. Kita akan memilih apakah ada

i

_

I

sedemikian sehingga

i

_

  0

 

. Jika

i

_

/ 2

maka

i

_

I

dan

i

_



. Hal ini selalu mungkin untuk sembarang



0 yang diberikan. Dengan demikian, 0 adalah infimum dari I . ■ Contoh 2.28. Tunjukkan bahwa jika himpunan

S

R

terbatas atas dan a0

maka supremum dari aS:



as s: S



, supaSasupS.

Penyelesaian. Ada beberapa cara untuk menyelesaikan masalah tersebut. Kita mulai dengan cara yang pertama, yaitu bahwa kita harus menunjukkan bahwa

a

supS adalah batas atas dari aS atau

a

supSas, untuk setiap sS , dan

a

supSv, untuk setiap

v

, batas atas dari aS . Karena S adalah himpunan yang terbatas atas, S mempunyai supremum, menurut sifat Kelengkapan dari R. Karenanya, supSs, untuk setiap sS . Karena a0,

a

supSas, untuk setiap sS . Artinya,

a

sup S adalah batas atas dari aS . Akibatnya, aS

memiliki supremum. Selanjutnya, misalkan

w

adalah sembarang batas atas dari

aS atau was, untuk setiap sS. Karena a0, kita peroleh bahwa w a/ s, untuk setiap sS . Di sini w a/ adalah batas atas dari S . Akibatnya,

/

w asupS atau wasupS. Kita peroleh bahwa

a

supS w, untuk setiap

w

, batas atas dari aS. Jadi supaSasupS.

Cara kedua untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menunjukkan bahwa

a

supS adalah batas atas dari aS dan untuk setiap

va

supS terdapat

v

s

aS

sedemikian sehingga

vs

_v. Telah ditunjukkan bahwa

a

supS adalah batas atas dari aS. Sekarang, misalkan

va

supS. Karena a0, v a/ supS. Akibatnya, terdapat

s

_{v a/}

S

sedemikian sehingga

v a/

s

v a_/ . Karenanya, kita

memperoleh

vas

_{v a/} . Di sini jelas bahwa

as

_{v a/}

aS

. Dengan memilih

s

_v

as

_{v a/} ,

batas atas. Artinya tidak terdapat xR sedemikian sehingga nx , untuk setiap nN , atau dengan kata lain jika diberikan xR terdapat

n

_x

N

sedemikian sehingga

n

_x

x

.

Teorema 2.29 (Sifat Archimedean). Jika xR maka terdapat

n

_x

N

sedemikian sehingga

n

_x

x

.

Bukti. Andaikan N memiliki batas atas atau terdapat xR sedemikian sehingga nx, untuk setiap nN. Akibatnya,

x

adalah batas atas dari N. Menurut sifat kelengkapan dari R, N memiliki supremum. Misalkan supremum dari N itu adalah

a

. Perhatikan bahwa a 1 a. Karena a1 jelas bukan batas atas dari N, maka terdapat mN sedemikian sehingga a 1 m. Darinya kita memiliki bahwa a m 1 . Perhatikan bahwa m1N . Yang demikian mengakibatkan bahwa

a

bukan batas atas dari N. Hal ini kontradiksi dengan asumsi di awal bahwa

a

adalah supremum dari N , yang tiada lain juga merupakan batas atasnya. Jadi himpunan N tidak memiliki batas atas atau Jika

R



x maka terdapat

n

x

N

sedemikian sehingga

n

x

x

. ■

Sekarang, misalkan t0 . Kita peroleh bahwa 1/t0 . Menurut sifat Archimedean, terdapat nN, yang bergantung pada 1/ t (bisa juga dikatakan bergantung pada

t

), sedemikian sehingga n1/t, atau juga bisa ditulis sebagai

1/ nt. Berdasarkan pembahasan ini, kita memiliki akibat berikut.

Akibat 2.30. Jika t0 maka terdapat

n

_t

N

sedemikian sehingga

0 1/

n

_t

t

Selain Akibat 2.30, sifat Archimedean memilki konsekuensi lain, seperti yang dinyatakan pada akibat berikut ini.

Akibat 2.31. Jika

y0

maka terdapat nyN sedemikian sehingga

1

y y

n   y n .

dari N dan tidak kosong, maka menurut sifat well-ordering dari R , E_y

mempunyai elemen terkecil. Misalkan elemen terkecil itu adalah n_y. Karena n_y

adalah elemen terkecil dari E_y , maka n_y 1 E_y atau n_y 1 y . Dengan demikian n_y  1 y n_y. ■

Jika kita memiliki dua buah sembarang bilangan rasional yang berbeda, secara intuitif kita akan mengatakan bahwa di antara keduanya juga terdapat bilangan rasional yang lain dan jumlahnya bisa tak berhingga. Dengan kata lain, himpunan semua bilangan rasional

Q

adalah himpunan yang rapat. Secara formal, memang dapat dibuktikan bahwa

Q

memiliki sifat yang demikian.

Teorema 2.32. Jika

x,yQ

dan x y maka terdapat bilangan rasional

r

sedemikian sehingga x r y.

Bukti. Misalkan x0. Akibatnya,

y0

. Menurut Akibat 2.30, terdapat

pN

sedemikian sehingga

1/ p

y

. Bilangan rasional

r: 1/

p

memenuhi x r y.

Berikutnya, misalkan x0. Darinya, kita memiliki

y x

0

. Berdasarkan Akibat 2.30, terdapat mN sedemikian sehingga

1/ m y

x

. Karenanya,

1mymx

atau

1 mx

my

. Pandang mx0 . Menurut Akibat 2.31, terdapat nN

sedemikan sehingga n 1 mxn. Dari n 1 mx kita memperoleh n 1 mx, sehingga

n 1

mxmy

. Dari

mxn

kita memperoleh mx n my. Akibatnya,

/

xn my

. Bilangan rasional r:n m/ memenuhi x r y.

Terakhir, misalkan x0 atau  x 0. Akibatnya,

y x

0

. Dengan cara serupa seperti pada kasus x0, kita bisa mendapatkan bilangan rasional

r

sedemikian sehingga x r y. ■

Akibat 2.33. Jika

x,yR

dan xy maka terdapat bilangan irasional

z

sedemikian sehingga x z y.

Bukti. Dari hipotesis kita dapatkan bahwa x/ 2,y/ 2R dan x/ 2 y/ 2. Menurut Teorema 2.32, terdapat bilangan rasional r0 sedemikian sehingga

/ 2 / 2

x  r y atau xr 2 y . Bilangan

z:r

2

merupakan bilangan irasional dan memenuhi x z y. ■