Sifat-sifat Operasi Himpunan - Gambar 2.16 Diagram Venn himpunan

Gambar 2.16 Diagram Venn himpunan

2.3.5. Sifat-sifat Operasi Himpunan

Dalam operasi himpunan ada beberapa sifat operasi yang perlu diketahui oleh siswa. Sifat-sifat tersebut antara lain, sifat idempoten, sifat identitas, sifat komutatif, sifat asosiatif, dan sifat distributif.

a. Sifat Idempoten

Ayo

Kita Amati

Siswa diminta untuk mengamati Masalah 2.11 dan alternatif penyelesaiannya. Guru dapat memberikan contoh lain sifat idempoten dalam kehidupan sehari-hari. Sifat idempoten pada operasi gabungan dan irisan dari dua himpunan adalah sebagai berikut. Untuk sebarang himpunan A berlaku

A ∪ A = A A ∩ A = A

Ayo Kita

Menanya

?

Guru meminta siswa untuk membuat pertanyaan yang berkaitan dengan sifat idempoten pada operasi himpunan. Alternatif pertanyaan yang diharapkan adalah: 1. Berikan contoh lain dalam kehidupan sehari-hari tentang sifat idempoten pada

operasi himpunan?

2. Apakah juga berlaku A^c∪ A^c = A^c? 3. Apakah juga berlaku A^c∩ A^c = A^c?

Guru dapat memberikan pertanyaan lain atau petunjuk agar siswa mampu merumuskan pertanyaan yang mengarah pada sifat idempoten pada opeasi himpunan.

Ayo Kita

Menalar

Guru meminta siswa untuk berikir dan berdiskusi apakah berlaku: 1. Jika A adalah himpunan kosong, apakah berlaku A ∪ A = A? 2. Jika A adalah himpunan kosong, apakah berlaku A ∩ A = A?

Alternatif jawaban kegiatan ini adalah

1. Jika A adalah himpunan kosong, maka berlaku A ∪ A = A 2. Jika A adalah himpunan kosong, maka berlaku A ∩ A = A 3. Jika A ∪ A = A, maka berlaku A^c∪ A^c = A^c

4. Jika A ∩ A = A, maka berlaku A^c∩ A^c = A^c

Ayo Kita

Berbagi

Guru mengajak siswa untuk berdiskusi dan siswa saling memberikan masukan tentang kegiatan menalar. Guru memberikan penguatan tentang sifat idempoten.

b. Sifat Identitas

Ayo

Kita Amati

Siswa diminta untuk mencermati Masalah 2.11 dan alternatif penyelesaiannya. Guru dapat memberikan contoh lain yang relevan tentang sifat identitas dari himpunan. Sifat identitas pada operasi gabungan dan irisan adalah sebagai berikut:

Untuk sebarang himpunan A, berlaku: A ∪∅ = A A ∩∅ = ∅

Ayo Kita

Menanya

?

Guru dapat memberikan petunjuk agar siswa dapat mengajukan pertanyaan tentang sifat identitas dari suatu himpunan. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah: 1. Berikan contoh sifat identitas himpunan dalam kehidupan sehari-hari? 2. Apakah A^c∪∅ = A^c dan A^c∩∅ = ∅?

Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat identitas ini dengan baik

Ayo Kita

Menalar

Guru meminta siswa untuk mendiskusikan masalah berikut dengan teman sebangku.

1. Agar P ∪ Q = P, maka Q harus himpunan yang tidak memiliki anggota (himpunan kosong), dan P bukan himpunan kosong, jika P himpunan kosong dan Q himpunan kosong, maka P ∪ Q = ∅

2. Agar P ∩ Q = ∅, maka P dan atau Q harus himpunan kosong, karena jika salah satu dari P dan Q atau keduanya (P dan Q) himpunan kosong maka berlaku P ∩ Q = ∅.

Ayo Kita

Berbagi

Guru meminta siswa untuk berdiskusi dan menukar jawaban kegiatan ini, dan guru memberikan penguatan tentang sifat identitas dari operasi gabungan dan irisan suatu himpunan.

c. Sifat Komutatif

Ayo

Kita Amati

Guru meminta siswa untuk mencermati diagram Venn I dan II, untuk menunjukkan sifat komutatif dari himpunan. Guru dapat juga memberikan contoh bentuk lain untuk menunjukkan sifat komutatif dari himpunan. Sifat komutatif himpunan adalah sebagai berikut

Misalkan A dan B adalah himpuan: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Ayo Kita

Menanya

?

Apabila siswa mengalami kesulitan dalam merumuskan pertanyaan tentang sifat komutatif dari himpunan, guru dapat memberikan pertanyaan bentuk lain atau petunjuk agar siswa memberikan kemudahan dan termotivasi untuk merumuskan pertanyaan. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah:

1. Jika A = ∅ atau B = ∅, apakah berlaku A ∪ B = B ∪ A? 2. Jika A = ∅ atau B = ∅, apakah berlaku A ∪ B = B ∪ A? 3. Apakah berlaku juga A^c∪ B^c = B^c∪ A^c?

4. Apakah berlaku juga A^c∩ B^c = B^c∩ A^c ?

Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat komutatif ini dengan baik Pertanyaan-pertanyaan tersebut dapat dijadikan sebagai bahan diskusi kelompok.

Ayo Kita

Menalar

Siswa diminta untuk berdiskusi dengan teman sebangku atau kelompok kecil untuk memikirkan

jika A = ∅, apakah berlaku 1. A ∪ B = B ∪ A? 2. A ∩ B = B ∩ A?

Alternatif jawaban kegiatan menalar adalah sebagai berikut

1. Jika A = ∅, maka A ∪ B = ∅∪ B = B (sifat identitas) dan B ∪ A = B ∪∅ = B (sifat identitas) Jadi, untuk A = ∅, maka A ∪ B = B ∪ A.

2. Jika A = ∅, maka A ∩ B = ∅∩ B = ∅ (sifat identitas), dan B ∩ A = B ∩∅ = ∅ (sifat identitas)

Jadi, untuk A = ∅, maka A ∩ B = B ∩ A.

Ayo Kita

Berbagi

Untuk mengetahui hasil kegiatan menalar, siswa diminta untuk menukarkan hasil diskusi dan guru dapat memberikan penguatan kembali tentang sifat komutatif ini dengan memberikan contoh operasi gabungan dan irisan dengan menggunakan diagram Venn.

d. Sifat Asosiatif

Ayo

Kita Amati

Untuk memahami sifat asosiatif operasi himpunan, siswa diminta untuk mencermati diagram Venn I dan II yang menunjukkan sifat asosiatif operasi himpunan. Guru dapat memberikan contoh diagram Venn yang lain dengan anggota himpunan yang lebih sedikit dan sederhana. Setelah mencermati diagram Venn, siswa diminta untuk merumuskan pertanyaan. Sifat asosiatif dalam operasi himpunan adalah sebagai berikut

Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku: (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R)

Ayo Kita

Menanya

?

Untuk memancing siswa agar bertanya guru dapat memberikan petunjuk dengan memberikan bentuk diagram Venn yang lain yang lebih sederhana. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah:

1. Apabila himpunan P dan Q saling asing, apakah berlaku sifat asosiatif tersebut? 2. Apabila salah satu dari himpunan P, Q, atau R adalah himpunan kosong, apakah

berlaku sifat asosiatif tersebut?

Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat asosiatif ini dengan baik.

Ayo Kita

Menalar

Siswa diminta untuk berdiskusi dalam kelompok kecil, untuk menyelesaikan kegiatan menalar ini. Alternatif jawaban kegiatan menalar adalah sebagai

1. Jika P = ∅, maka (P ∪ Q) ∪ R = (∅∪ Q) ∪ R = Q ∪ R Jika P = ∅, maka P ∪ (Q ∪ R) = ∅∪ (Q ∪ R) = Q ∪ R Jadi, untuk P = ∅, berlaku (P ∪ Q) ∪ R = P ∪ (Q ∪ R) 2. Jika R = ∅, maka (P ∩ Q) ∩ R = (P ∩ Q) ∩∅ = P ∩ Q Jika R = ∅, maka P ∩ (Q ∩ R) = P ∩ (Q ∩∅) = P ∩ Q Jadi, untuk R = ∅, berlaku (P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)

Ayo Kita

Berbagi

Kelompok yang ditunjuk guru dapat mempresentasikan hasil kegiatan menalar, sementara kelompok lain memberikan masukan dan tanggpan. Guru dapat memberikan penguatan sifat asosiatif ini serta memberikan contoh lain.

e. Sifat Distributif

Ayo

Kita Amati

Untuk memahami sifat distributif operasi himpunan, siswa diminta untuk mencermati diagram Venn I dan II pada sifat asosiatif. Guru dapat memberikan contoh diagram Venn yang lain dengan anggota himpunan yang lebih sedikit dan sederhana. Setelah

mencermati diagram Venn, siswa diminta untuk merumuskan pertanyaan. Sifat distributif terhadap gabungan dan irisan dalam operasi himpunan adalah sebagai berikut:

Untuk sebarang himpunan P, Q, dan R, berlaku: P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)

Ayo Kita

Menanya

?

Untuk memancing siswa agar bertanya guru dapat memberikan petunjuk dengan memberikan bentuk diagram Venn yang lain yang lebih sederhana. Adapun pertanyaan yang diharapkan adalah

1. Apabila P = ∅, apakah berlaku P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R) 2. Apabila P = ∅, apakah berlaku P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)

Guru dapat juga mengembangkan pertanyaan lain, agar siswa mampu memahami sifat distributif ini dengan baik

Ayo Kita

Menalar

Siswa dibentuk dalam kelompok kecil untuk berdiskusi menyelesaikan kegiatan menalar di bawah ini.

1. Apakah (A – B) ∪ (A ∩ B) = A 2. Apakah (A ∪ B) ∩ A^c = B – A

Adapun alternatif jawaban kegiatan ini adalah sebagai berikut

1. (A – B) ∪ (A ∩ B), disederhanakan sebagai berikut.

(A – B) ∪ (A ∩ B) = (A ∩ B^c) ∪ (A ∩ B) dengan sifat A – B = A ∩ B^c

= A ∩ (B ∪ B^c) dengan sifat distributif

= A ∩ S dengan sifat komplemen

= A dengan sifat irisan

2. (A ∪ B) ∩ A^c disederhanakan sebagai berikut (A ∪ B) ∩ A^c = (A ∩ A^c) ∪ (B ∩ A^c)

= { } ∪ (B ∩ A^c) = (B ∩ A^c)

Ayo Kita

!

?!

?

Berlatih 2.10

Alternatif penyelesaian Ayo Kita Berlatih 2.10

Ayo Kita

Berbagi

Selesaikan soal-soal di bawah ini

1. Misal A = {1, 2, 3} dan B = {2, 1, 5}, maka (A ∪ B) – A = {1, 2, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}

2. Jika H = {2, 4, 5}, K = {1, 4, 7} dan L = {7, 5, 1}, maka (H – K) ∩ L = {2, 4, 5} – {1, 4, 7} ∩ {7, 5, 1}

= {2, 5} ∩ {7, 5, 1} = {5}

3. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan semua bilangan asli dan misalkan D = {x | x kelipatan 5} dan E = {x | x kelipatan 10},

D – E^c = { }

4. Gambar yang diarsir tersebut menunjukkan C – A

5. Misalkan S adalah Himpunan mobil, P = {panther, kijang, honda, suzuki}, Q = {mercedes, panther, BMW} dan R = {honda, BMW},

P ∩ (Q ∪ R) = {panther, honda} 6. Diberikan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7, 8} C = {3, 5, 7, 9} Anggota dari a. A^c∪ (B ∪ C) = {6, 7, 8, 9,10} ∪ {3, 5} = {3, 5, 6, 7, 8, 9,10} b. (A ∩ B) ∩ C^c = {5} ∩ {6, 7, 8, 9,10} = { } c. (B – C) ∩ A = {4, 6, 8} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {4}

7. Misalkan P = {c, {a, b}, a, d} dan Q = {a, b}, maka P ∩ Q = { } 8. Jika D = {1,

1

2

1

3

1

4

, …} dan E = {1, 2, 3, 4, …}, maka E – D = {2, 3, 4, …} 9. Diketahui n(P) = 21, n(Q) = 30 dan n(P ∩ Q) = 10. n(P ∪ Q) = 31

10. Sebuah Puskesmas sedang merawat pasien sebanyak 40 orang, 23 orang menderita penyakit demam berdarah, 11 orang menderita penyakit diare, 8 orang menderita penyakit demam berdarah dan diare. Banyak pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut adalah 40 – ( 3 + 15 + 8) = 14. Jadi banyaknya pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut adalah 40 orang.

11. Daerah yang diarsir dibentuk oleh himpunan 1. B – A

2. A^c∩ B 3. B – (A ∩ B)

12. Gambar diagram Venn jika diketahui: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5,6} Gambar S • 0 B A • 1 • 2 • 3 • 5 • 4 • 6

13. a. Misalnya A adalah himpunan anak yang gemar berenang B adalah himpunan anak yang gemar bernyanyi C adalah himpunan anak yang gemar sepak takraw

A • 7 • 2 B C S • 6 • 5 • 6 • 4 • 7

b) Banyaknya anak yang tidak gemar ketiganya adalah 40 – ( 7 + 2 + 4 + 6 + 5 + 6 + 7) =

40 – 37 = 3

Jadi banyaknya anak yang tidak gemar ketiganya adalah 3 orang. 14. Untuk mengerjakan soal berikut akan lebih tepat jika digambar dalam

diagram Venn, yaitu sebagai berikut

Misalnya A adalah himpunan orang yang suka futsal B adalah himpunan orang yang suka sepak bola

S • 8 A B • 3 • 5 • 4

Berdasarkan diagram Venn tersebut maka dapat disimpulkan bahwa yang menyukai futsal saja adalah 4 orang dan yang menyukai sepak bola saja adalah 8 orang.

15. Untuk menyelesaikan soal tersebut, akan lebih jelas jika digambar diagram Venn, yaitu

Misalnya A adalah himpunan orang yang lulus tes kepribadian B adalah himpunan orang yang lulus tes potensi akademik C adalah himpunan orang yang lulus tes wawasan kebangsaan

X adalah himpunan orang yang lulus tes ketiganya

A • 20 • 30 B C S • 7 • 8 • 10 • X • 5

Berdasarkan diagram Venn tersebut dapat diperoleh 20 + 30 + 10 + 8 + 7 + 5 + X = 100

80 + X = 100 X = 20

Jadi banyaknya orang yang diterima menjadi guru matematika adalah 20 orang.

Evaluasi

Pembelajaran

I. ?! 2

Dalam evaluasi ini Guru harus melihat ketercapaian indikator yang telah disebutkan di depan. Berikut merupakan contoh soal yang cocok untuk mengukur indikator 3

A. Soal Pilihan Ganda

1. Himpunan A = {1, 3, 5, 7, 9}, bila himpunan A dinyatakan dengan menyebutkan sifat keanggotaanya adalah

a.. A = {himpunan bilangan antara 0 sampai 10} b. A = {himpunan bilangan ganjil antara 1 sampai 9} c. A = {himpunan bilangan prima antara 0 sampai 10} d. A = {himpunan bilangan ganjil antara 0 sampai 10}

2. Himpunan P = { x|2 ≤ x ≤ 8, x ∈bilangan asli}, jika dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah ...

a. {3, 4, 5, 6, 7} b. {3, 4, 5, 6, 7, 8} c. {2, 3, 4, 5, 6, 7} d. {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} B. Soal Uraian

1. Tulislah anggota dari himpunan berikut a. Himpunan kendaraan roda empat b. Himpunan warna lampu lau lintas c. Himpunan bilangan asli kurang dari 10 d. Himpunan bilangan asli kurang dari 8

2. Di antara sekelompok warga yang terdiri atas 45 orang yang sedang berbelanja ke pasar ternyata 20 orang membeli buah apel, 25 orang membeli buah mangga, dan 5 orang membeli kedua macam buah tersebut.

a. Gambarlah diagram Venn untuk menunjukkan keadaan di atas. b. Berapa banyak warga yang membeli buah apel atau buah mangga? c. Berapa banyak warga yang hanya membeli buah apel?

d. Berapa banyak warga yang membeli salah satu dari kedua macam buah tersebut?

e. Berapa banyak warga yang tidak membeli kedua macam buah tersebut. Kemudian, diantara soal-soal yang terdapat pada latihan 2.1 sampai latihan 2.4 manakah yang cocok untuk mengukur indikator 1, 2, 4, 5 sampai indikator 23 Sedangkan untuk mengkonfersi penilaiannya bisa menggunakan konversi

230 100

230× , karena indikatornya sebanyak 23 atau Guru bisa menggunakan konversi yang lain.

Bagi siswa yang sudah mencapai indikator pembelajaran, dapat melanjutkan ke bagian Pengayaan. Pada kegiatan remidial guru ditantang untuk memberikan pemahaman kepada siswa yang belum mencapai kompetensi dasar. Berikut ini alternatif cara untuk memberikan remidi:

1. Meminta siswa untuk mempelajari kembali bagian yang belum tuntas. 2. Meminta siswa untuk membuat rangkuman materi yang belum tuntas. 3. Meminta siswa untuk bertanya kepada teman yang sudah tuntas tentang

materi yang belum tuntas.

4. Memberikan lembar kerja untuk dikerjakan oleh siswa yang belum tuntas.

ndikator

I

Remedial

12345

Pembelajaran pengayaan diberikan kepada siswa yang telah mencapai atau melampaui KBM/KKM. Ada beberapa kegiatan yang dapat dirancang dan dilaksanakan oleh Guru dalam kaitannya dengan pengayaan, diantaranya melakukan kegiatan berikut.

1. Belajar kelompok, yaitu sekelompok siswa diberi tugas pengayaan untuk dikerjakan bersama pada dan/atau di luar jam pelajaran;

2. Belajar mandiri, yaitu siswa diberi tugas pengayaan untuk dikerjakan sendiri/ individual;

3. Pembelajaran berbasis tema, yaitu memadukan beberapa konten pada tema tertentu sehingga siswa dapat mempelajari hubungan antara berbagai disiplin ilmu.

Pengayaan biasanya diberikan segera setelah siswa diketahui telah mencapai KBM/KKM berdasarkan hasil PH. Mereka yang telah mencapai KBM/KKM berdasarkan hasil PTS dan PAS umumnya tidak diberi pengayaan. Pembelajaran pengayaan biasanya hanya diberikan sekali, tidak berulang-kali sebagaimana pembelajaran remedial. Pembelajaran pengayaan umumnya tidak diakhiri dengan penilaian.

ndikator

I

Pengayaan

K.

• Tugas proyek dikerjakan secara berkelompok yang terdiri dari 4 – 5 siswa. • Butlah aturan yang jelas dan kongkrit jika perlu disertai dengan contoh

tentang kegiatan sekolah yang menggunakan operasi himpunan, misalnya kegiatan ekstrakurikuler, upacara bendera, dan sebagainya.

• Setiap kelompok membuat laporan lengkap tentang satu kegiatan yang menggunakan operasi himpunan dan dilaporkan minggu depan.

• Berilah kesempatan beberapa kelompok untuk memperesentasikan hasil proyeknya.

Ayo Kita

Mengerjakan

Tugas Projek

• Sebagaimana tugas proyek, merangkum juga diperlukan untuk mengingat kembali pemahaman siswa secara menyeluruh tentang himpunan.

• Tugas merangkum ini dapat dikerjakan di rumah dan boleh berkelompok. 1. Himpunan adalah kumpulan benda atau obyek yang dideinisikan dengan jelas. 2. Penyajian himpunan ada 3, yaitu:

a. Dinyatakan dengan menyebutkan anggotanya (enumerasi) Contoh: A= {3, 5, 7}

b. Dinyatakan dengan menuliskan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh: A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.

c. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan Contoh: A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil}

3. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota

4. Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dan dilambangkan dengan S.

5. Kardinalitas Himpunan adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota dari suatu himpunan dan dinotasikan dengan n(A).

6. Himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B superset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dilambangkan A ⊂ B atau B ⊃ A.

7. Himpunan kuasa himpunan A adalah himpunan-himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

8. Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂

A, dinotasikan dengan A = B, jika n(A) = n(B), maka himpunan A ekuivalen dengan himpunan B.

9. Bentuk-bentuk diagram Venn adalah

Ayo Kita

Merangkum

a. A saling asing (disjoint)

Dalam dokumen Kelas VII Matematika BG Isi. Database Dadang JSN (Halaman 181-194)