SIMPULAN DAN SARAN

Tahap III : Mengevaluasi hasil selang dugaan bootstrap

Simpulan

Pada parameter konsentrasi yang kecil ( , ketiga metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap menghasilkan cakupan yang cenderung tidak stabil. Untuk selang kepercayaan bagi arah rata-rata, busur ekor sama memiliki cakupan terbaik, namun bagi arah median, busur simetri yang terbaik. Setelah , ketiga metode memberikan cakupan yang stabil mendekati tingkat kepercayaan. Metode yang terbaik adalah busur simetri.

Lebar selang dari ketiga metode juga tidak stabil pada pada . Untuk selang kepercayaan bagi arah rata rata yang terbaik adalah busur simetri, namun bagi arah median yang terbaik adalah busur ekor sama. Pada 1, ketiga metode memiliki lebar yang stabil. Metode yang terbaik adalah busur berbasis kemungkinan. Secara umum, ketiga metode cenderung memberikan selang yang semakin sempit dan sama (konvergen) seiring dengan meningkatnya parameter konsentrasi. Kekonvergenan lebar selang ini dicapai saat parameter konsentrasinya sekitar 20. Dari segi cakupan dan lebar selang, pada 1 metode terbaik adalah busur ekor sama.

Periode waktu wabah DBD di Provinsi Bengkulu selalu berbeda pada tiga tahun terakhir. Tahun 2009 periodenya adalah Oktober sampai Januari, tahun 2010 adalah Januari sampai Maret, dan tahun 2011 adalah Juni sampai September.

Saran

Penggunaan metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap bagi ukuran pemusatan data sirkular tergantung pada kondisi data. Ketika parameter konsentrasinya kecil ( , disarankan menggunakan metode busur ekor sama untuk menduga arah rata-rata dan busur simetri untuk menduga arah median. Namun, untuk , disarankan menggunakan metode busur ekor sama, baik untuk menduga arah rata-rata maupun arah median. Bagi yang tertarik untuk melakukan pendugaan terhadap data DBD, perlu penambahan jumlah contoh ke berbagai rumah sakit yang ada di kabupaten, agar terlihat penyebaran DBD.

Amiri S, Rosen DV, Zwanzig. 2008. On the Comparison of Parametric and Nonparametric Boostrap. UUDM report. Sweden : Uppsala University.

Batschelet E. 1981. Circular Statistics in Biology. London : Academic Press. Benton D, Krishnamoorthy K. 2002. Performance of the Parametric Bootstrap

Method in Small Sample Interval Estimates. Adv. & Appl. In Stat, 2 : 269- 285

Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. California : Duxbury.

Devore JL. 2004. Probability and Statistics for Engenering and the sciences. Sixth edition. Canada : Duxbury.

Ducharme GR, Jhun M, Romano J, dan Truong KN. 1985. Bootstrap Confidence Cones for Directional Data. Biometrika, 72 : 637 – 45.

Efron B. 1979. Another Look at the Jackknife. The Annals of Statistics, 7 : 1 – 26. Efron B, Tibsirani RJ. 1993. An Introduction to The Bootstrap. New York :

Chapman Hall.

Efron B. 1981. Nonparametric Standard Errors and Confidence Intervals. Can. J. Statist, 9 : 589 – 599.

Fisher NI, Hall P. 1989. Bootstrap Confidence Regions for Directional Data. Journal of the American Statistical Association, 84 : 996-1002.

Fisher NI. 1995. Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge : Cambridge University Press.

Hall P. 1988a. On Symetric Bootstrap Confidence Intervals. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (methodological), 50 : 35 – 45.

Hall P. 1988b. Theoretical Comparison of Bootstrap Confidence Intervals. The Annals of Statistics, 16 : 927 – 953.

Jammalamadaka SR, SenGupta A. 2001. Topics in Circular Statistics. Singapore: World Scientific.

Johnson RA, Bhattacharyya GK. 1992. Statistics : Principles and Methods. New York : John Wiley & Son.

Kemenkes. 2010. Demam Berdarah Dengue. Buletin Jendela Epidemiologi, Volume 2. Pusat Data dan Surveilans Epidemiologi Kementrian Kesehatan RI.

Levy PS, Lemeshow S. 1999. Sampling of Populations Methods and Applications. Third Edition. New York : John Wiley & Sons.

Mardia KV, Jupp PE. 2000. Directional Statistics. West Sussex : John Wiley & Sons.

Moore DS, McCabe GP. 1998. Introduction to the Practice of statistics. Third edition. New York : W.H. Freeman and Company.

Otieno BS. 2002. An Alternative Estimate of Preferred Direction for Circular Data. Disertasi. Virginia Polytechnic Institute and State University.

Ratanaruamkarn S. 2009. Central Quasi Median Estimator when the Sample Size is Odd. KKU Science Journal, 37 : 172:183.

Lampiran 3 Hasil selang kepercayaan bagi arah rata-rata

N Kappa

Cakupan sebenarnya Lebar selang Keragaman selang BES BSIM BBK BES BSIM BBK BES BSIM BBK

10 0.05 66.3 59 63.8 219.389 199.392 213.32 0.752859 0.638955 0.6952 0.5 85.8 84 84.6 182.166 174.679 177.64 0.758062 0.648198 0.733196 1 90 91 89.4 115.204 115.03 112.61 0.381974 0.386875 0.380708 1.5 89.9 91 89.9 78.05 79.318 76.586 0.161178 0.172476 0.158239 5 87.5 88 87.1 29.892 30.221 29.512 0.00941 0.009627 0.009065 10 90.3 91 90.1 20.626 20.832 20.392 0.003975 0.004038 0.003859 20 88.5 89 88 14.223 14.373 14.066 0.001922 0.001977 0.001872 50 90.8 91 90.9 8.993 9.091 8.898 0.000744 0.000759 0.000726 100 89.4 90 90 6.324 6.392 6.258 0.000358 0.000363 0.0003491 30 0.05 71.8 64 62.4 228.869 205.434 224.41 0.667223 0.574412 0.628973 0.5 91.6 92 89.3 142.749 139.959 140.77 0.52154 0.483961 0.514993 1 94.3 95 94.3 65.452 66.301 64.75 0.09124 0.09312 0.089595 1.5 92.6 93 92.2 43.36 43.95 42.93 0.015424 0.015829 0.014924 5 93.2 94 92.7 18.617 18.848 18.44 0.001198 0.001241 0.001179 10 92.4 94 92.1 12.766 12.928 12.65 0.000503 0.00052 0.000493 20 91 91 91.1 8.879 8.994 8.8 0.000232 0.000238 0.000228 50 93.4 94 92.8 5.586 5.658 5.54 0.000091 0.000093 0.000088 100 92.8 93 93.1 3.937 3.987 3.904 0.000046 0.000048 0.000045 50 0.05 72.3 65 71.3 229.389 205.086 225.4 0.657823 0.570731 0.627315 0.5 94.9 95 94.9 112.648 112.719 111.31 0.323833 0.319249 0.321159 1 92.6 93 91.6 48.77 49.416 48.288 0.026091 0.026848 0.025188 1.5 94.1 95 94.1 33.519 33.958 33.219 0.004717 0.004845 0.0045788 5 92.7 93 92.3 14.686 14.879 14.552 0.00046 0.000471 0.0004427 10 94.2 94 92.8 10.1 10.235 10.02 0.000184 0.00019 0.0001803 20 93.6 94 93.4 7.028 7.125 6.9705 0.000087 0.00009 0.0000837 50 93.1 94 92.9 4.414 4.472 4.3775 0.000035 0.000037 0.0000347 100 92.9 93 92.8 3.109 3.147 3.0816 0.000017 0.000018 0.0000167 100 0.05 77.7 69 66.4 227.656 205.579 224.01 0.667718 0.568145 0.639891 0.5 93.9 94 93.4 72.013 72.768 71.216 0.106058 0.108175 0.104173 1 93.6 94 93.5 33.827 34.305 33.542 0.005374 0.005646 0.005272 1.5 94 95 93.5 23.479 23.794 23.273 0.001251 0.001271 0.001193 5 94.1 95 94.4 10.363 10.505 10.278 0.000127 0.000131 0.00012 10 94 95 93.6 7.106 7.205 7.044 0.000058 0.000061 0.000055 20 93.6 94 93.2 4.977 5.043 4.933 0.000027 0.000028 0.000026 50 94.5 95 94.5 3.119 3.162 3.091 0.000011 0.000011 0.00001 100 94.3 95 94.4 2.207 2.237 2.189 0.000005 0.000005 0.000005

Lampiran 4 Hasil selang kepercayaan bagi arah median

N Kappa

Cakupan sebenarnya Lebar selang Keragaman selang BES BSIM BBK BES BSIM BBK BES BSIM BBK

10 0.05 40 75 65 152 243.008 203.54 0.570412 0.4465277 0.4191633 0.5 66 92 88 136.9 207.49 168.92 0.605187 0.7741019 0.6964356 1 88 96 91 114.2 131.713 106.18 0.364037 0.4554812 0.3528746 1.5 90 97 93 87.15 99.1516 76.151 0.223554 0.2756806 0.1893966 5 91.5 93.6 90.1 37.47 42.1418 34.322 0.024888 0.0356222 0.02249654 10 92.7 93.6 89.5 26.05 29.1793 23.951 0.011547 0.0157968 0.009718973 20 91.6 93.1 88.3 18.21 20.4375 16.668 0.005601 0.0082219 0.004752699 50 92.8 93.1 90 11.46 12.8998 10.549 0.002277 0.0034022 0.001921498 100 92.5 94.3 89.6 8.139 9.17689 7.484 0.001132 0.0016581 0.000966976 30 0.05 42 80 75 136 243.706 214.94 0.583944 0.470068 0.4911131 0.5 78 95 90 127.9 166.781 140.58 0.374354 0.5858392 0.4786389 1 96 96 97 72.39 81.8306 68.108 0.111609 0.1475761 0.1051129 1.5 92 92 91 49.16 54.6002 45.487 0.033039 0.0537533 0.03172434 5 93.5 94 91.6 22.9 25.2971 21.663 0.007637 0.0082396 0.007179 10 93.4 94.1 91.2 15.84 17.3145 15.002 0.002522 0.0040266 0.002354 20 93.6 93.9 91 11.24 12.3406 10.635 0.001258 0.0017936 0.00117 50 95.3 94.9 93.3 7.055 7.73771 6.6811 0.00052 0.0007524 0.0004802 100 95.2 95.3 93.3 5.016 5.48216 4.7479 0.000265 0.0003686 0.0002405 50 0.05 40 81 72 140.5 243.771 219.48 0.560362 0.454693 0.467729 0.5 92 94 92 112.8 126.938 109.9 0.262008 0.3419048 0.2866623 1 97 96 97 53.76 58.6364 50.863 0.037725 0.0491991 0.03588027 1.5 97 99 96 38.76 41.8895 36.585 0.015229 0.0231448 0.01401365 5 94.2 94.9 92.6 18.23 19.82 17.175 0.004822 0.004546 0.004605 10 94.1 94.4 91.8 12.47 13.622 11.925 0.00125 0.001891 0.001173 20 94.3 94.7 93 8.74 9.576 8.377 0.000633 0.000959 0.000604 50 94.4 95.3 92.9 5.515 6.06 5.281 0.00026 0.000384 0.000241 100 94.3 94 92.1 3.892 4.248 3.722 0.000129 0.000175 0.00012 100 0.05 41.8 80 78 146.4 242.179 218.38 0.59388 0.3794727 0.4323192 0.5 95 95 94 77.86 88.2253 74.807 0.114501 0.1796137 0.1163886 1 95 95 96 37.96 40.8168 35.666 0.012827 0.0188741 0.01209248 1.5 96 92 95 26.62 29.0982 25.644 0.004139 0.0059121 0.003770672 5 98 95 93.3 12.37 15.5425 13.113 0.00108 0.0017897 0.01301677 10 93.9 94 92.3 8.779 9.42947 8.4655 0.000502 0.0006731 0.000465127 20 94.6 95.8 92.8 6.192 6.66826 5.9642 0.000242 0.0003417 0.000230234 50 94.6 94.2 93 3.904 4.20293 3.7613 0.000103 0.0001371 0.000095078 100 94.3 94.4 93.6 2.73 2.94305 2.6336 0.000048 6.362E-05 0.0000446

Lampiran 5 Konversi bulan ke dalam derajat arah

Bulan Derajat Januari 30 Februari 60 Maret 90 April 120 Mei 150 Juni 180 Juli 210 Agustus 240 September 270 Oktober 300 November 330 Desember 360

Lampiran 6 Interpretasi sudut ke dalam bulan Derajat Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember

Lampiran 7 Progam R untuk konversi sudut

library(CircStats) rangeang<-function(x){ sudut<-ifelse(x< (-pi),x+2*pi,x) sudut2<-ifelse(sudut>pi,sudut-2*pi,sudut) return(sudut2) }

Lampiran 8 Program R untuk fungsi BES, BSIM, dan BBK bagi arah rata-rata

###BUSUR EKOR SAMA### library(CircStats) SKBOTBES<-function(dataasli,alpha,B,p){ rataasli<-circ.mean(dataasli) selisih<-matrix(nrow=B,ncol=1) ratabot<-matrix(nrow=B,ncol=1) databot<-matrix(nrow=B,ncol=p) set.seed(73) for(j in 1:B){ databot[j,]<-sample(dataasli,p,replace=T) ratabot[j,]<-circ.mean(databot[j,]) } selisih<-rangeang(ratabot-rataasli) urutan<-as.matrix(sort(selisih)) L<-trunc(0.5+(0.5*B*alpha)) m<-B-L BA<-rataasli+urutan[m,] BB<-rataasli+urutan[L+1,] lebar<-abs(BA-BB) c(BA=deg(BA),BB=deg(BB),lebar=deg(lebar)) } ###BUSUR SIMETRI### library(CircStats) SIMETRI<-function(dataasli,alpha,B,p){ rataasli<-circ.mean(dataasli) selisih<-matrix(nrow=B,ncol=1) ratabot<-matrix(nrow=B,ncol=1) databot<-matrix(nrow=B,ncol=p) set.seed(73) for(j in 1:B){ databot[j,]<-sample(dataasli,p,replace=T) ratabot[j,]<-circ.mean(databot[j,]) } selisih<-rangeang(abs(ratabot-rataasli)) urutan<-as.matrix(sort(selisih)) L<-trunc((B*alpha)+0.5) m<-B-L BA<-rataasli+urutan[m,] BB<-rataasli-urutan[m,] lebar<-abs(BA-BB) c(BA=deg(BA),BB=deg(BB),lebar=deg(lebar)) }

Lampiran (lanjutan…)

###BUSUR BERBASIS KEMUNGKINAN## library(CircStats) BBK<-function(dataasli,alpha,B,p){ databot<-matrix(nrow=B,ncol=p) ratabot<-matrix(nrow=B,ncol=1) set.seed(73) for(j in 1:B){ databot[j,]<-sample(dataasli,p,replace=T) ratabot[j,]<-circ.mean(databot[j,]) } rata.sort<-as.matrix(sort(rangeang(ratabot))) lenB<-length(rata.sort) minang<-matrix(nrow=lenB,ncol=1) for (r in 1:lenB){ minang[r]<-quantile((rata.sort-rata.sort[r])%%(2*pi),1-alpha) } poslower<-rata.sort[round(minang-min(minang),4)==0] rataasli<-circ.mean(dataasli) rataasli rangeang(rataasli) BB<-rataasli-sort(abs(rangeang(poslower-rataasli)))[1] BA<-BB+min(minang) lebar<-abs(BA-BB) c(BA=deg(BA),BB=deg(BB),lebar=deg(lebar)) }

Lampiran 9 Program R untuk fungsi BES, BSIM, dan BBK bagi arah median

###BUSUR EKOR SAMA### library(CircStats) library(circular) MED.ETA.CIR<-function(dataasli,alpha,B,p){ median.asli<-rangeang(medianCircular(dataasli)) selisih<-matrix(nrow=B,ncol=1) median.bot<-matrix(nrow=B,ncol=1) databot<-matrix(nrow=B,ncol=p) set.seed(73) for(j in 1:B){ databot[j,]<-sample(dataasli,p,replace=T) median.bot[j,]<-rangeang(medianCircular(databot[j,])) } selisih=rangeang(median.bot-median.asli) urutan<-as.matrix(sort(selisih)) L<-trunc(0.5+(0.5*B*alpha)) m<-B-L BA<-(median.asli+urutan[m,]) BB<-(median.asli+urutan[L+1,]) lebar<-abs(BA-BB) c(BA=deg(BA),BB=deg(BB),lebar=deg(lebar)) } ###BUSUR SIMETRI### library(CircStats) library(circular) MED.SYIMA.CIR<-function(dataasli,alpha,B,p){ median.asli<-rangeang(medianCircular(dataasli)) selisih<-matrix(nrow=B,ncol=1) median.bot<-matrix(nrow=B,ncol=1) databot<-matrix(nrow=B,ncol=p) set.seed(73) for(j in 1:B){ databot[j,]<-sample(dataasli,p,replace=T) median.bot[j,]<-rangeang(medianCircular(databot[j,])) } selisih=abs(rangeang(median.bot-median.asli)) urutan<-as.matrix(sort(selisih)) L<-trunc((B*alpha)+0.5) m<-B-L BA<-(median.asli+urutan[m,]) BB<-(median.asli-urutan[m,]) lebar<-abs(BA-BB) c(BA=deg(BA),BB=deg(BB),lebar=deg(lebar)) }

Lampiran (Lanjutan…)

###BUSUR BERBASIS KEMUNGKINAN### library(CircStats) library(circular) MED.LBA.CIR<-function(dataasli,alpha,B,p){ median.asli<-rangeang(medianCircular(dataasli)) databot<-matrix(nrow=B,ncol=p) median.bot<-matrix(nrow=B,ncol=1) set.seed(73) for(j in 1:B){ databot[j,]<-sample(dataasli,p,replace=T) median.bot[j,]<-rangeang(medianCircular(databot[j,])) } median.sort<-as.matrix(sort(median.bot)) lenB<-length(median.sort) minang<-matrix(nrow=lenB,ncol=1) for (r in 1:lenB){ minang[r]<-quantile((median.sort-median.sort[r])%%(2*pi),1-alpha) } poslower<-median.sort[(minang-min(minang))==0] BB<-median.asli-sort(abs(rangeang((poslower-median.asli))))[1] BA<-BB+min(minang) lebar<-abs(BA-BB) c(BA=deg(BA),BB=deg(BB),lebar=deg(lebar)) }

Lampiran 10 Program R untuk simulasi selang kepercayaan library(CircStats)

set.seed(73)

Md<-1000 #jumlah data asli# n<-100 #ukuran data asli# mu<-0

k<-100

dataasli<-matrix(nrow=Md,ncol=n) for (i in 1:Md)

{

dataasli[i,]<-rvm(n,rad(mu),k) #membangkitkan data asli# }

alpha<-0.05 B<-500 p<-n

##busur ekor sama##

liyongjae<-matrix(nrow=Md,ncol=3) for(i in 1:Md){ liyongjae[i,]<-MBES(dataasli[i,],alpha,B,p) } ragamlebar1<-circ.disp(rad(liyongjae[,3])) ratalebar1<-(sum(liyongjae[,3])/Md)

cakup1<-ifelse(liyongjae[,2]<=mu & mu<=liyongjae[,1],1,0) truecakup1<-(sum(cakup1)/Md)*100 ##busur simetri## hanjieun<-matrix(nrow=Md,ncol=3) for(i in 1:Md){ hanjieun[i,]<-MSIM(dataasli[i,],alpha,B,p) } ragamlebar2<-circ.disp(rad(hanjieun[,3])) ratalebar2<-(sum(hanjieun[,3])/Md)

cakup2<-ifelse(hanjieun[,2]<=mu & mu<=hanjieun[,1],1,0) truecakup2<-(sum(cakup2)/Md)*100

##busur berbasis kemungkinan## jumong<-matrix(nrow=Md,ncol=3) for(i in 1:Md){ jumong[i,]<-BBK(dataasli[i,],alpha,B,p) } ragamlebar3<-circ.disp(rad(jumong[,3])) ratalebar3<-(sum(jumong[,3])/Md)

cakup3<-ifelse(jumong[,2]<=mu & mu<=jumong[,1],1,0) truecakup3<-(sum(cakup3)/Md)*100

cakupSK<-(1-alpha)*100

ekorsama<-data.frame(k,cakupSK,truecakup1,ratalebar1,ragamlebar1) simetri<-data.frame(k,cakupSK,truecakup2,ratalebar2,ragamlebar2) kemungkinan<-data.frame(k,cakupSK,truecakup3,ratalebar3,ragamlebar3)

ABSTRACT

CICI SUHAENI. Bootstrap Confidence Interval Estimation of Preferred Direction for Circular Data. Under direction of I MADE SUMERTAJAYA and ANIK DJURAIDAH.

The confidence interval is an estimator based on the sampling distribution. When the sampling distribution can not be derived from population distribution, the bootstrap method can be used to estimate it. Three methods used to estimate the bootstrap confidence interval for circular data were equal-tailed arc (ETA), symmetric arc (SYMA), and likelihood-based arc (LBA). In this study, three methods were evaluated through simulation study. The most important criterion to evaluate them were true coverage and interval width. The simulation results indicated in all methods, the interval width shortened when the concentration parameter increased. True coverage approached confidence level when the concentration parameter were one or more. For small concentration parameter, all three methods appeared unstable. Based on the true coverage, SYMA was the best, while in terms the interval width, LBA was the best one. For both criterion could be summarized that ETA is the best result. ETA and SYMA applicated for estimate the period of Dengue Fever outbreaks in Bengkulu. The estimation showed that Dengue Fever outbreaks in 2009 were October through January. In 2010, it were January through March, and in 2011, it were June through September.

Keywords : Circular data, Bootstrap confidence interval, Equal-tailed arc, Symmetric arc, Likelihood-based arc.

Pemusatan Data Sirkular. Dibimbing oleh I MADE SUMERTAJAYA dan ANIK DJURAIDAH.

Data sirkular merupakan salah satu jenis data berarah yang bersifat periodik. Data diukur menggunakan instrumen kompas dan jam. Seperti pada kasus data linier, pada data sirkular juga dapat dijumpai kondisi sulitnya menentukan sebaran penarikan contoh dari sebaran populasi yang tidak diketahui maupun diketahui. Oleh karena itu, pendugaan selang kepercayaan menggunakan resampling bootstrap pada data sirkular menjadi kajian yang menarik dilakukan.

Metode yang telah berkembang untuk pendugaan selang kepercayaan bootstrap pada data sirkular ada tiga, yaitu busur ekor sama (BES), busur simetri (BSIM), dan busur berbasis kemungkinan (BBK). Baik buruknya selang kepercayaan dievaluasi melalui dua kriteria, yaitu lebar selang dan kemampuan selang dalam mencakup parameter sesungguhnya. Selang kepercayaan ini ditentukan oleh keragaman data. Pada data sirkular dengan sebaran von Mises, keragaman data dapat dilihat dari parameter konsentrasi.

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji pengaruh parameter konsentrasi terhadap dugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah median pada metode BES, BSIM, dan BBK. Kemudian, menerapkan metode terbaik pada kasus waktu (bulan) kejadian Demam Berdarah Dengue (DBD) di Provinsi Bengkulu.

Data yang digunakan adalah data simulasi dan data riil. Data simulasi diperoleh dari proses pembangkitan melalui sebaran vonMises. Data riil berupa data waktu (bulan) kedatangan pasien DBD di instalasi rawat inap RSUD M Yunus Bengkulu Tahun 2009, 2010, dan 2011. Penelitian dibagi menjadi empat tahap. Tahapan 1 membangkitkan data, Tahapan 2 menentukan selang kepercayaan bootstrap, Tahapan 3 mengevaluasi hasil selang dugaan bootstrap, dan Tahapan 4 implementasi metode terbaik terhadap data riil.

Hasil studi simulasi menunjukkan bahwa pada parameter konsentrasi yang kecil ( , ketiga metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah median menghasilkan cakupan selang yang tidak stabil. Metode yang terbaik untuk selang kepercayaan bagi arah rata-rata adalah BES dan bagi arah median adalah BSIM. Untuk , ketiga metode cenderung memberikan cakupan yang stabil dekat dengan tingkat kepercayaan. Metode yang terbaik adalah BSIM.

Lebar selang dari ketiga metode juga tidak stabil pada pada . Untuk selang kepercayaan bagi arah rata rata yang terbaik adalah BSIM, namun bagi arah median yang terbaik adalah BES. Metode yang memberikan selang kepercayaan paling sempit untuk kondisi 1 adalah BBK. Secara umum, ada kecenderungan bahwa ketiga metode akan memberikan selang yang semakin sempit dan sama (konvergen) seiring dengan meningkatnya parameter konsentrasi. Kekonvergenan lebar selang ini dicapai saat parameter konsentrasinya sekitar 20. Dari segi cakupan dan lebar selang, BES adalah yang terbaik.

Penerapan metode BES dan BSIM terhadap data riil menunjukkan bahwa periode waktu wabah DBD di Provinsi Bengkulu selalu berbeda pada tiga tahun terakhir. Tahun 2009 periodenya adalah Oktober sampai Januari, tahun 2010 adalah Januari sampai Maret, dan tahun 2011 adalah Juni sampai September.

Kata kunci : Data sirkular, Selang kepercayaan bootstrap, Busur ekor sama, Busur simetri, Busur berbasis kemungkinan.

Latar Belakang

Statistika adalah ilmu yang mempelajari tentang pendugaan parameter. Selang kepercayaan merupakan penduga parameter yang sangat penting sebagai pelengkap bagi penduga titik. Proses pendugaannya tergantung pada sebaran penarikan contoh yang diturunkan dari sebaran populasi (Moore & McCabe 1998). Pada beberapa kasus, terkadang dijumpai masalah tidak dapat menentukan sebaran penarikan contoh karena sebaran populasi tidak diketahui dan rumitnya menurunkan sebaran penarikan contoh meskipun sebaran populasi diketahui. Masalah tersebut dijumpai baik untuk data linier maupun data sirkular. Untuk mengatasinya, dapat didekati dengan metode bootstrap (Rice 2007).

Metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap banyak dikaji oleh para peneliti, diantaranya, Hall (1988a), Hall (1988b), dan Benton & Krishnamoorthy (2002) mengkaji untuk data linier. Pada data sirkular, Fisher & Hall (1989) memperkenalkan metode pendugaan selang kepercayaan bootstrap berdasarkan besaran pivot, yaitu metode busur ekor sama (BES), metode busur simetri (BSIM), dan metode busur berbasis kemungkinan (BBK). Metode ini merupakan pengembangan metode yang diusulkan oleh Ducharme et al. (1985) yaitu hanya menggunakan metode busur simetri.

Hal terpenting yang digunakan untuk mengevaluasi baik buruknya selang kepercayaan adalah lebar selang dan seberapa besar peluang selang tersebut dapat mencakup nilai parameter yang sesungguhnya (Casella & Berger 2002). Lebar selang sangat dipengaruhi oleh keragaman data. Pada data sirkular berdistribusi von Mises (normal sirkular), ukuran keragaman data dapat dilihat dari besarnya parameter konsentrasi ( .

Otieno (2002) telah membandingkan ketiga metode tersebut untuk menduga selang kepercayaan ukuran pemusatan data sirkular dengan menggunakan dengan ukuran contoh N = 10. Dari penelitian tersebut diperoleh bahwa metode selang kepercayaan yang berbeda-beda akan cenderung memberikan hasil yang sama atau konvergen dengan meningkatnya parameter konsentrasi. Namun, Otieno sendiri menyatakan bahwa penerapan

ketiga metode bootstrap dengan menggunakan masih memberikan efek yang kecil terhadap perubahan selang kepercayaan, sehingga disarankan untuk dilakukan studi simulasi yang lebih luas agar diperoleh kesimpulan yang bersifat umum.

Kasus yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah kejadian Demam Berdarah Dengue (DBD) di Provinsi Bengkulu. Permasalahan ini menarik untuk dikaji karena DBD merupakan penyakit yang mewabah, terjadi secara nasional, dan dapat menyebabkan kematian. Peubah yang akan dikaji dalam penelitian ini adalah waktu kejadian DBD yang akan diukur melalui waktu (bulan) kedatangan pasien DBD di instalasi rawat inap Rumah Sakit Umum Daerah (RSUD) Bengkulu. Data waktu (bulan) kedatangan pasien DBD ini merupakan data sirkular yang sebaran populasinya masih sulit untuk diidentifikasi, sehingga analisis terhadap data ini dapat didekati dengan metode bootstrap untuk data sirkular.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :

1. Mengkaji pengaruh parameter konsentrasi terhadap dugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah rata-rata dan arah median pada metode busur ekor sama, busur simetri, dan busur berbasis kemungkinan.

2. Menduga selang kepercayaan untuk waktu (bulan) atau periode terjadinya wabah DBD di Provinsi Bengkulu.

Penduga Titik dan Selang Kepercayaan

Penduga bagi parameter populasi ada dua jenis, yaitu penduga titik dan penduga selang atau disebut sebagai selang kepercayaan. Penduga titik dari suatu parameter adalah bilangan tunggal yang dapat dianggap sebagai nilai yang paling dekat dengan Penduga titik diperoleh dengan cara memilih statistik yang sesuai dan menghitung nilai statistik tersebut dari data contoh yang diberikan. Statistik yang terpilih disebut sebagai penduga titik dari (Devore 2004).

Statistik adalah suatu fungsi peubah acak yang tidak tergantung pada (Casella & Berger 2001). Standar deviasi dari suatu penduga (statistik) dinamakan galat baku statistik, yang dinotasikan dengan (Johnson & Bhattacharyya 1992). Jika galat baku dari statistik melibatkan parameter yang tidak diketahui, maka nilai dari galat baku dapat diduga. Dengan mensubstitusikan nilai dugaan parameter ini ke maka dihasilkan dugaan galat baku statistik (Devore 2004). Galat baku dari statistik ini yang dijadikan sebagai dasar dalam menentukan selang kepercayaan.

Selang kepercayaan merupakan penduga parameter yang berupa kisaran nilai. Sebuah selang kepercayaan dengan tingkat kepercayaan sebesar C bagi parameter adalah selang yang dihitung dari data contoh dengan suatu metode tertentu yang memiliki peluang sebesar C untuk menghasilkan selang yang mengandung nilai parameter sesungguhnya (Moore & McCabe 1998). Secara matematis, Casella & Berger (2001) mendefinisikan selang dugaan tertutup bagi parameter yaitu selang tertutup yang ujung bawah dan ujung atasnya masing- masing dan atau untuk

anggota ruang sampel X. Jika adalah sampel yang terambil secara acak, maka disebut selang dugaan acak bagi . Jika adalah sampel acak, maka disebut selang penduga (acak) bagi . Sedangkan, peluang dari selang penduga bagi untuk mencakup nilai disebut “peluang pencakupan” dituliskan sebagai berikut :

Jika besarnya peluang pencakupan adalah , maka selang ini disebut selang kepercayaan bagi . Misalnya, untuk maka diperoleh selang kepercayaan 95% bagi .

Bentuk umum dari selang kepercayaan adalah (Moore & McCabe 1998) :

Dugaan titik adalah perkiraan untuk parameter yang tidak diketahui. Batas kesalahan (margin of error) menunjukkan seberapa akurat nilai dugaan tersebut dapat dipercaya, berdasarkan variasi dugaan yang diperoleh.

Selanjutnya, Levy & Lemeshow (1999) memaknai selang kepercayaan 95% sebagai berikut : jika kita lakukan pengambilan sampel berukuran dari sebuah populasi yang sama berulangkali, dan untuk setiap sampel dilakukan perhitungan selang kepercayaan, maka 95% dari selang kepercayaan tersebut akan mencakup nilai parameter populasi yang sesungguhnya.

Penentuan selang kepercayaan bagi parameter populasi dapat dilakukan dengan pembalikan statistik uji, menggunakan besaran pivot, pivoting fungsi sebaran kumulatif, dan metode bayes. Baik buruknya selang kepercayaan dugaan yang diperoleh dari berbagai metode tersebut, dapat dievaluasi dengan melihat dua aspek, yaitu lebar selang dan peluang pencakupan. Lebar selang didefinisikan sebagai selisih antara batas atas dan batas bawah selang kepercayaan (Casella & Berger 2001).

Data Sirkular

Data sirkular merupakan salah satu jenis data berarah (directional data). Secara umum, data berarah dibagi menjadi dua, yaitu data berarah dua dimensi dan tiga dimensi. Untuk data berarah dua dimensi disebut data sirkular (circular data) dan untuk tiga dimensi disebut data bola (spherical data) (Jammalamadaka & SenGupta 2001).

Banyak cara memperoleh data sirkular, namun yang utama, data sirkular diperoleh dari dua instrumen pengukuran yaitu kompas dan jam. Hasil pengukuran menggunakan kompas adalah data bersatuan arah (derajat/radian) sedangkan hasil pengukuran menggunakan jam adalah waktu (dalam hal ini bisa

berupa jam/hari/bulan/tahun) (Mardia & Jupp 2000). Contoh pengamatan yang diukur menggunakan kompas adalah arah angin dan arah migrasi binatang. Sedangkan, contoh pengamatan yang diukur menggunakan jam adalah waktu terjadinya kecelakaan lalu lintas.

Pengamatan sirkular dapat dianggap sebagai titik pada lingkaran dengan satu unit jari-jari, atau satu unit vektor pada garis (Mardia & Jupp 2000). Representasi numerik dari data sirkular adalah sudut yang diukur berdasarkan pemilihan titik awal (starting point) dan arah positif rotasinya yaitu searah atau berlawanan arah dengan jarum jam. Pemilihan titik awal ini bersifat sembarang sehingga besarnya sudut untuk sebuah pengamatan bisa berbeda-beda. Meskipun titik awal dan arah rotasinya bersifat sembarang, analisis statistika sirkular tetap memberikan hasil yang sama. Namun, penentuan titik awal yang bersifat sembarang ini, membuat data sirkular tidak dapat dianalisis menggunakan prosedur analisis statistika untuk data linier karena akan memberikan kesimpulan yang tidak tepat (Jammalamadaka & SenGupta 2001).

Khusus data sirkular bersatuan waktu, harus dikonversikan menjadi data sirkular bersatuan derajat arah. Misalkan, x adalah data hasil pengamatan bersatuan waktu dan adalah nilai maksimumnya. Rumus konversi data sirkular bersatuan waktu menjadi bersatuan derajat arah adalah :

Untuk menganalisis data sirkular ada dua fungsi trigonometri yang digunakan sebagai dasar, yaitu sinus dan cosinus. Kedua fungsi dasar trigonometri ini digunakan untuk membantu menentukan posisi suatu data dan untuk menyelaraskan dua sistem koordinat, yaitu sistem koordinat kartesius (X,Y) dengan titik pusat 0 dan sumbu tegak lurus X dan Y yang melalui pusat, dan sistem koordinat polar (r α) dengan r adalah jarak titik pusat ke keliling lingkaran dan α adalah sudutnya. Misal titik P dengan koordinat polar (r α). Maka koordinat kartesius titik P adalah : , dan . Hal ini diilustrasikan pada Gambar 1.

Pada statistika sirkular yang diperhatikan adalah arah, bukan besarnya vektor, sehingga untuk kemudahan diambil vektor-vektor ini menjadi vektor unit

yaitu vektor yang mempunyai panjang satu, atau r = 1. Setiap arah berhubungan dengan sebuah titik P dalam keliling suatu lingkaran. Kebalikannya, titik ini dalam suatu lingkaran dapat dinyatakan sebagai sudut. Jika titik P terletak dalam keliling lingkaran, perubahan koordinat polar dan koordinat kartesius adalah

(1)

Gambar 1. Hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar

Ukuran Pemusatan Data Sirkular (Preferred Direction)

Ukuran pemusatan data sirkular yang dikaji dalam penelitian ini adalah arah rata-rata dan arah median. Penjelasannya adalah sebagai berikut.

a. Arah rata-rata (mean direction)

Perhitungan rata-rata yang tepat untuk data sirkular diperoleh dengan memperlakukan data sebagai vektor-vektor unit, kemudian arah rata-rata adalah arah dari vektor resultannya. Misalkan adalah pengamatan- pengamatan sirkular dengan sebagai vektor-vektor unit yang berkaitan. Misalkan dan adalah komponen-komponen kartesius dari . Vektor resultan dari didapatkan dari penjumlahan komponen-komponen vector .

Dengan menggunakan persamaan (1), vektor resultan dari menjadi :

(2)

dan arah rata-rata sirkularnya ( adalah dengan dan .

Untuk berbagai kemungkinan nilai C dan S, arah rata-rata akan bernilai :

Dalam dokumen Bootstrap Confidence Interval Estimation of Preferred Direction for Circular Data (Halaman 48-100)