Pada bagian ini akan dibahas tentang simulasi model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa, kemudian simulasi model mangsa pemangsa ini akan menggunakan metode adam bashfort moulton dan untuk parameter terhadap model tersebut menggunakan data acak. Adapun untuk programnya menggunakan software Matlab R2007b.
sistem dinamika model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut.
1 q r$ r& $ 4.1 a 1 s r$ r& 4.2 R 1 t & 4.3
Untuk mengetahui suatu pertumbuhan model mangsa pemangsa dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa maka akan diperlihatkan suatu grafik dari ketiga sistem tersebut. Melakukan simulasi menggunakan metode adam bashfort moulton (ABM) dengan bantuan software matlab yaitu dengan cara mensubstitukan suatu nilai sistem parameter pada persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) kemudian akan diperoleh hubungan dari ketiga sistem tersebut dimana kepadatan mangsa pada wilayah bebas , kepadatan mangsa pada wilayah yang dilindungi , dan kepadatan pemangsa pada waktu 0 yang disimbolkan dengan .
49
4.1 Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 4, 5, a 4.5, q 50, s 60, t 10, $ 3, & 2, r$ 12, dan r& 0.5. nilai awal yang diberikan adalah 12, 7 dan 0.5 adapun untuk g 0.005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.1 yang menunjukan dari populasi dua mangsa satu pemangsa dengan menggunakan dua dimensi.
Gambar 4.1. Dinamika Populasi Dua Mangsa dan Satu Pemangsa
Gambar 4.1 untuk menunjukan bahwa adanya laju pertumbuhan populasi pada pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dimana model tersebut yang terdiri dari sistem persamaan (4.1) sampai (4.3) bahwa kepadatan spesies mangsa dari wilayah yang dilindungi , kepadatan spesies mangsa dari wilayah bebas kemudian kepadatan spesies pemangsa dan dapat dilihat pada Tabel 4.1 bahwa kurvanya akan menuju pada titik ekuilibrium yaitu sebagai berikut:
50
Tabel 4.1. Dinamika Populai Dua Mangsa dan Satu Pemangsa
t x y z 0 12 7 0.5 1 11.4355 7.841625 0.5695 2 10.89179 8.661528 0.645367 3 10.17225 9.810797 0.764117 4 9.486375 10.92194 0.896812 * 457 0.611781 58.91067 13.79311 458 0.611781 58.91067 13.79311 459 0.611781 58.91067 13.79312 460 0.611781 58.91067 13.79312 * 1999 0.611782 58.91073 13.79312 2000 0.611782 58.91073 13.79312
Kemudian dari Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa dari ketiga sistem tersebut akan menuju kesatu titik. Dimana titik tersebut dimanakan titik ekuilibrium dan akan mengalami kestabilan pada saat mencapai 589 ketika = 0.611782,
58.91073, dan 13.79312 ini mendekati pada titik ekuilibrium yang sesuai dengan teori yang sudah dibahas pada bab sebelumnya adalah Cf f, f, f
0.611782, 58.91073,13.79312 dimana keadaannya stabil asimtotik. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-1.
4.2 Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa Menggunakan Tiga Dimensi
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dua mangsa satu pemangsa tersebut maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 4, 5, a 4.5, q 50, s 60, t 10, $ 3, & 2, r$ 12, dan r& 0.5. Pada tiga dimensi ini penulis membedakan nilai awalnya. Dimana nilai awal tersebut memiliki perubahan empat kali yaitu 0.07, 8, 87, 9 , 8, 2.5, 12, 3 dan 1, 13, 6, 20 dan g 0.005 Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.2 yang menunjukan dari populasi dua mangsa satu pemangsa dengan menggunakan tiga dimensi.
51
Gambar 4.2. Dinamika Populasi Mangsa Pemangsa menggunakan Tiga Dimensi
Dari Gambar 4.2 sebenarnya sama seperti Gambar 4.1 hanya saja pada kasus ini untuk memperjelas arah kurva ketika memiliki nilai awal yang perbedaan dan nilai awal tersebut mengalami perubahan sebanyak emapat kali ternyata pada gambar tiga dimensi tersebut kurvanya terlihat jelas yaitu menuju kesatu titik. yang mana
13.793122, 58.910726, dan 0.611782 dan titik ekuilibrium tersebut memenuhi teori yang berada di bab 3 dimana titik ekuilibrium tersebut harus memenuhi syarat r$ Q 0 dan 4 r$
&b-f
x $ f a &{E„f r& r&& adapun syarat tersebut terlihat jelas ketika nilai parameternya di inputkan yaitu 7 Q 0 dan
938.3354489 0.25 setelah syarat tersebut mencukupi maka untuk
0f f, f, f =( 0.611782, 58.910726, 13.793122 yang jenis kestabilannya bersifat stabil asimtotik. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-2.
52
4.3 Dinamika Populasi Dari Spesies Pemangsa
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari ketiga model tersebut maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 5, 7, a 1.5, q 45, s 20, t 35, $ 2.5, r$ 4.2, dan r& 1.2 adapun untuk $ 8.6, 4.1 ,1.7 dan nilai awalnya yaitu 5, 7 dan 2 dan g 0.005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.3 yang menunjukan dari populasi dari spesies pemangsa dengan menggunakan dua dimensi.
Gambar 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa
Kasus Gambar 4.3 ini terlihat bahwa ada hubungan anatara kepadatan spesies mangsa di wilayah bebas dengan kepadatan spesies pemangsa diamana pada terdapat pemangsa yang berinteraksi dengan mangsa pada wilayah tersebut. Ketika keadaan mengalami penurunan dikarenkan adanya interaksi maka secara otomatis kepadatan spesies pemangsa akan mengalami pertumbuhan dan pada itu sendiri terdapat &. Ketika & nya semakin besar maka akan mengakibatkan pertumbuhan akan semakin tinggi. Dan Gambar 4.3 akan diperjelas oleh Tabel 4.3 sebagai berikut:
53
Table 4.3. Dinamika Populasi Spesies Pemangsa
z(t) z(t) z(t) T beta2=8.6 beta2=4.1 beta2=1.7
0 2 2 2 1 2.477143 2.252143 2.132143 2 3.063818 2.53417 2.272227 3 4.097431 2.988234 2.488053 4 5.447343 3.51638 2.722436 5 7.161776 4.123754 2.975807 6 9.264306 4.814457 3.248729 7 11.72471 5.589496 3.54156 8 14.43654 6.445727 3.854408 * 1997 42.98024 40.10593 38.38403 1998 42.98024 40.10593 38.38403 1999 42.98024 40.10593 38.38403 2000 42.98024 40.10593 38.38403
Untuk Tabel 4.3 pada saat waktu tertentu kepadatan spesies pemangsa saat t=1964 akan mencapai 42.98024 ribu dengan & 8.6, kemudian pada saat t=1908 akan mencapai 40.10593 ribu dengan & 4.1, begitu juga pada saat t=1869 akan mencapai 38.38403 ribu dengan & 1.7. ketika dinamika populasi kepadatan pemangsa datanya semakin besar maka ada kemungkinan laju pertumbuhan spesies pemangsa tidak akan sama dengan yang didapatkan pada kasus ini, dikarenakan data pada kasus ini dibatasi yaitu # 2000. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-3.
4.4 Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan nmž m dan km kl
Adapun untuk mengetahui suatu kurva spesies mangsa di wilayah bebas maupun mangsa di wilayah yang dilindungi dengan $ ž 1 dan r$ r& maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 16, 7, a 1.5, q 45, s 20,
54 t 35, $ 1, & 0.001, r$ 8.5, dan r& 2.8, 2, 1.2 . nilai awal yang diberikan adalah 5, 7 dan 2 adapun untuk g 0.0005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.4 yang menunjukan dinamika populasi mangsa dengan $ ž 1dan r$ r& menggunakan dua dimensi.
Gambar 4.4. Dinamika Populasi Spesies Mangsa $ž 1 dan r$ r&
Pada kasus Gambar 4.4. ini adalah dinamika mangsa yang berada di wilayah bebas dan mangsa di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r& yang berbeda yaitu (2.8, 2, 1.2) dan $ ž 1. Ketika r& semakin kecil maka mangsa yang berada di wilayah yang dilindungi akan semakin tinggi pertumbuhannya. Pertumbuhan mangsa tersebut bukah hanya di akibatkan oleh r& saja akan tetapi ada faktor lain yaitu $ ž 1. Dimana pemangsa memiliki kemampuan yang tinggi untuk berinteraksi dengan mangsa yang berada di wilayah bebas. Jadi keadaaan mangsa di wilayah bebas akan menurun pertumbuhannya dan mangsa di wilayah yang dilindungi akan naik pertumbuhannya. Adapun untuk pertumbuhan mangsa yang di wilayah yang dilindungi pada saat 1787. akan mencapai 11.999959 ribu dengan r& 1.2, ketika saat 1508 akan mencapai 7.999650 ribu dengan r& 2, dan
55 kemudian ketika saat 1556 akan mencapai 4.999668 ribu dengan r& 2.8. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-4.
4.5 Dinamika Populasi Spesies Mangsa dengan nmQ 1 dan km Q kl
Adapun untuk mengetahui suatu grafik dari spesies mangsa maka akan diberikan nilai parameter sebagai berikut. R 16, 7, a 1.5, q 45, s 20, t 35, $ 0.001, & 2, r$ 2.5, dan r& 10.5, 5, 3 . nilai awal yang diberikan adalah 5, 7 dan 2 adapun untuk g 0.0005. Untuk hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 4.5 yang menunjukan dinamika populasi mangsa dengan $ Q 1 dan r$ Q r& menggunakan dua dimensi.
Gambar 4.5. Dinamika Populasi Spesies Mangsa $Q 1 dan r$Q r&
Pada kasus Gambar 4.5. ini adalah dinamika mangsa yang berada di wilayah bebas dan mangsa yang berada di wilayah yang dilindungi. Kasus ini memiliki r& yang berbeda yaitu (10.5, 5, 3) dan $ Q 1. Ketika r& semakin besar maka mangsa yang berada di wilayah bebas akan semakin tinggi pertumbuhannya. Dan sebaliknya keadaan mangsa di wilayah yang dilindungi akan semakin menurun pertumbuhannya.
56 Hal tersebut di akibatkan juga oleh $ Q 1. Karena pada kasus ini pemangsa memiliki peran yang kecil untuk berinteraksi dengan mangsa di wilayah bebas. adapun untuk pertumbuhan mangsa di wilayah bebas pada saat 1314 akan mencapai 46.002987
ribu dengan r& 10.5, ketika saat 1627 akan mencapai 45.001242 ribu dengan r& 5, dan kemudian ketika saat 1470 akan mencapai 42.002752 ribu dengan r& 3. Untuk data selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A-5.
57
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
1. Model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa dapat dibentuk kedalam model matematika sebagai berikut:
1 q r$ r& $ a 1 s r1 r2
R 1 t 2
2. Untuk jenis kestabilan titik ekuilibrium adalah sebagai berikut: a. 0K 0, 0, 0 jenis kestabilannya adalah tidak stabil.
b. 0$ 0, 0, t jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold stabil 1-dimensi pada sumbu dan manifold tidak stabil 2-dimensi pada sumbu .
c. 0& •, ,˜ 0 jenis kestabilannya adalah saddel, dengan manifold tidak stabil 1-dimensi pada sumbu dan manifold stabil 2-dimensi pada sumbu .
3. Dari teorema yang dibuktikan menggunakan metode Lyapunov maka 0f f, f, f jenis kestabilannya adalah stabil asimtotik.
4. Simulasi model pemangsa sebagian tergantung pada mangsa sebagai berikut: a. Dinamika populasi dua mangsa dan satu pemangsa menggunakan dua
dimensi akan menuju pada titik ekuilibrium 0f f, f, f jenis
kestabilannya adalah stabil asimtotik.
b. Dinamika populasi mangsa pemangsa menggunakan tiga dimensi yang dibedakan nilai awalnya maka lebih jelas bahwa kurvanya
58 menuju pada titik ekuilibrium 0f yang bersifat stabil asimtotik yaitu
13.793122, 58.910726, dan 0.611782.
c. Dinamika populasi spesies pemangsa ketika & semakin besar maka
pertumbuhan pemangsa akan semakin tinggi.
d. Dinamika populasi spesies mangsa dengan $ ž 1 dan r$ r& ketika r& semakin kecil maka pertumbuhan mangsa di wilayah yang dilindungi akan semakin tinggi.
e. Dinamika populasi spesies mangsa dengan $ Q 1 dan r$ Q r& ketika r& semakin besar maka pertumbuhan mangsa di wilayah bebas akan semakin tinggi.
5.2 Saran
Pada tugas akhir ini mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di wilayah yang dilindungi dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa. Adapun untuk kajian selanjutnya maka saran dari penulis tugas akhir ini dapat mengkaji lebih dalam model mangsa pemangsa di wilayah bebas dengan kasus pemangsa sebagian tergantung pada mangsa.
59
DAFTAR PUSTAKA
1. Anton, H. Aljabar Linear Elementer, edisi 7 jilid 1, terjemahan Pantur Silaban, I. Nyoman Susila, Penerbit Erlangga, 1987.
2. Dubey, B. a prey-predator model with a reserved area, mathematics group, Jurnal modeling and control, 12(4):479-494, 2007.
3. Boyce, W.E dan Diprima, R.C. elementary differential equation and boundary value problems, Seventh edition, Jhon Wiley & Sons, 2001.
4. Bronson, R, dan Costa, G.B, Persamaan Diferensial, Edisi Tiga, Alih Bahasa Thombi Layukallo, Penerbit Erlangga, 2007.
5. Fitria, V.A. Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator-Prey Dengan Perlambatan, ISSN: 2086-0382, Jurnal Cauchy, 2(1):42-53, 2011.
6. Gubu, L. Prilaku Penyelesaian Persamaan Lotka-Volterra Akibat Waktu Tunda (Time Delay), Universitas Haluolea Kampus Bumi Tridharma Anduonohu Kendari.
7. Haberman, R. Mathematical Model: Mechanical Vibration, Population Dynamics, and Traffc Flow. An Inroduction to Applied Mathematics, SIAM, 1998.
8. Iswanto, R.J. Pemodelan Matematika Aplikasi dan Terapannya, edisi 1, Geraha Ilmu, Yogyakarta, 2012.
9. Kreyszig, E. Advanced Engineering Mathematics. 9th ed, Jhon Wiley & Sons, Singapore, 2006.
10. Munir, R. Metode Numerik, edisi 3, Penerbit Informatika Bandung, 2010.
11. Murray, J.D. Mathematical Biology: I. An Introduction, Third Edition, Springer Verlag Berlin Heidelberg University Press Cambridge,1993.
12. Perko, L. Differential Equations And Dynamical System, TAM 7, Springer Verlag New York, 1991.
13. Pratikno, W.B, dan Sunarsih. Model Dinamis Rantai Makanan Tiga Spesies, Jurnal Matematika, 13(3):151-158, 2010.
60 14. Robinson, J.C. An Introductionto: Ordinary Differential Equation, Cambridge
University Press Cambridge, 2004.
15. Wrede, R dan Spiegel M.R. Alih Bahasa refina Indriasari, Schaum’s Oouline: Teori dan Soal-Soal Kalkulus Lanjut, edisi kedua, Alih Bahasa refina Indriasari, Penerbit Erlangga, 2007.