METODE PENELITIAN
4.5 Simulasi Numerik
Untuk lebih memperjelas mengenai pembahasan model dilakukan simulasi untuk contoh penerapan di atas. Pada bagian ini akan dibahas tentang simulasi model predator-prey dua spesies dengan fungsi respon Holling tipe III. Program
yang digunakan dalam simulasi model predator prey ini adalah program Maple 12.
Untuk menentukan solusinya dipilih nilai-nilai parameter yang diberikan sebagai berikut.
Tabel 4.1 Daftar titik ekuilibrium, nilai parameter, dan sifat trayektori
No Titik Syarat a b m q Sifat
trayektori 1. > + 0,8 2 2 0,5 0,1 Tidak stabil 2. > + < + 0,8 2 2 0,5 0,1 Stabil 3. > + > + 0,9 0,9 0,4 0,5 0,1 Tidak stabil 4. > + √ > 1 0,8 1,5 1,3 0,5 0,1 Tidak stabil 5. > + √ < 1 > 0 0,8 1,2 0,7 0,5 0,1 Stabil 6. > + √ < 1 < 0 0.8 1.5 0.3 0,5 0,1 Stabil
Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik (0,0) dapat ditunjukkan pada gambar 4.1
Gambar 4.1 Trayektori untuk titik ekuilibrium (0,0)
Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 2, = 2, = 0.1 dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
(1) ⇔ = (1 − ) − .
(2) ⇔ = − 0.6 (4.25)
(0) > 0, (0) > 0.
Titik ekuilibrium (0,0) dalam kondisi apapun selalu merupakan titik pelana (saddle point). Hal ini mengakibatkan titik ekuilibrium (0,0) bersifat tidak stabil karena semua trayektori menjahui titik (0,0). Gambar 4.1 juga menunjukkan bahwa titik ekuilibrium (1,0) dengan syarat > + dan < + merupakan node point. Hal ini disebabkan karena semua trayektori
menuju titik (1,0) sehingga titik (1,0) bersifat stabil. Jadi pada titik ekuilibrium (1,0) terjadi kestabilan jumlah spesies predator dan prey.
Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik (1,0) dengan syarat > + dan > + dapat dilihat pada gambar 4.2.
Gambar 4.2 Trayektori untuk titik ekuilibrium , dengan
> + dan > + , serta titik dengan
> + , √ < 1, > 0dan > 0.
Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.9, = 0.9, = 0.4, = 0.1 dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
(1) ⇔ = (1 − ) − ..
(2) ⇔ = .. − 0.6 (4.26)
(0) > 0, (0) > 0.
Pada kondisi ini, titik ekuilibrium (1,0) merupakan saddle point, karena semua trayektori keluar dari titik (1,0) yang berarti titik ekuilibrium (1,0) tidak
stabil. Jadi pada kondisi ini, tidak terjadi kestabilan jumlah spesies predator dan
prey. Gambar 4.2 juga memenuhi trayektori untuk titik dengan syarat > +
, √ < 1, > 0 dan > 0 yang menunjukkan bahwa titik ekuilibrium merupakan spiral stabil. Titik diperoleh dengan mensubstitusikan parameter
= 0.9, = 0.9, = 0.4, = 0.1, ke titik
( ), ( ) ( )
( )
,
sehingga diperoleh ( , ) = (0.5656854248, 0.3295206030) ≈ (0.57,0.33). Jadi pada kondisi ini, titik ekuilibrium terjadi kestabilan jumlah spesies
predator dan prey.
Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik dengan syarat > + , √ > 1 dan > 0 dapat dilihat pada gambar 4.3.
Gambar 4.3. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan syarat > + , √ > 1 dan > 0
Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 1.5, = 1.3, = 0.1 dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
(1) ⇔ = (1 − ) − ..
(2) ⇔ = .. − 0.6 (4.27)
(0) > 0, (0) > 0.
Pada kondisi ini, titik ekuilibrium = (1.061445555, −0.222138610) ≈ (1.06, −0.22) tidak memenuhi syarat (0) > 0 . Hal ini mengakibatkan titik bukan merupakan solusi.
Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik ekuilibrium dengan > + , √ < 1, dan > 0 dapat dilihat pada gambar 4.4
Gambar 4.4 Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , √ < 1, dan > 0
Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 1.2, = 0.7, = 0.1 dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
(1) ⇔ = (1 − ) − ..
(2) ⇔ = .. − 0.6 (4.28)
(0) > 0, (0) > 0.
Titik diperoleh dengan mensubstitusikan parameter-parameter tersebut ke titik
( ), ( ) ( )
( )
, sehingga
= (0.7, 0.525). Pada kondisi ini, titik ekuilibrium merupakan titik spiral, karena semua trayektori menuju ke titik yang berarti titik ekuilibrium stabil. Jadi pada kondisi ini, terjadi kestabilan jumlah spesies predator dan prey.
Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik ekuilibrium dengan syarat > + , √ < 1, > 0 dan < 0 dapat dilihat pada gambar 4.5
Gambar 4.5 Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , √ < 1, > 0 dan < 0
Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 1.5, = 0.3, = 0.1 dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
(1) ⇔ = (1 − ) − ..
(2) ⇔ = .. − 0.6 (4.29)
dengan (0) > 0 dan (0) > 0.
Titik diperoleh dengan mensubstitusikan parameter-parameter tersebut ke titik
( ), ( ) ( )
( )
, sehingga diperoleh = (0.244948974, 0.629923461) ≈ (0.25, 0.63). Pada kondisi ini, titik ekuilibrium merupakan titik center, karena semua trayektori menuju ke titik yang berarti titik ekuilibrium stabil. Jadi pada kondisi ini, terjadi kestabilan jumlah spesies predator dan prey.
56
5.1 Simpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat diambil simpulan sebagai berikut:
1) Model matematika untuk persaingan predator-prey dua spesies dengan suatu batas > + adalah
= (1 − ) − dan
= − − .
2) Titik ekulibrium yang diperoleh dari model predator-prey dengan suatu nilai parameter adalah sebagai berikut:
a) Titik Ekuilibrium (0,0)
Pada saat titik ekuilibrium (0,0) akan memberikan saddle point (titik pelana) yang bersifat tidak stabil.
b) Titik Ekuilibrium (1,0)
Pada saat titik ekuilibrium (1,0) dengan < + memberikan
node point (titik simpul) yang bersifat stabil. Sedangkan pada titik
ekuilibrium (1,0) dengan > + memberikan saddle point (titik pelana) yang menyebabkan trayektori tidak stabil.
c) Titik Ekuilibrium ( ), ( ) ( ) ( ) Didefinisikan = ( ), = − 4 , = −1 + 2 √ + 2 √ = 2 √ − 1 1 − + 1, dan = √ ( ) = √ ( ) .
Titik ekuilibrium untuk √ > 1 bersifat tidak stabil. Titik ekuilibrium untuk √ < 1 dengan > 0 bersifat stabil. Begitu pula untuk titik ekuilibrium dengan √ < 1 dan < 0 juga memberikan sifat stabil.
3)
Hasil simulasi numerik menunjukan kestabilan yang sama dengan hasil analisa pada titik , , dan .5.2 Saran
Berkaitan dengan hasil-hasil penelitian, ada beberapa hal yang perlu mendapat perhatian, yaitu sebagai berikut:
1) Penelitian ini mengkaji masalah persaingan predator-prey dua spesies. Untuk itu perlu penelitian lebih lanjut untuk masalah lebih dari dua spesies.
2) Untuk menerangkan lebih jelas tentang model persaingan dua spesies perlu disajikan grafik-grafik solusi dari masalah tersebut dan intrepretasi secara mendalam dari grafik-grafik tersebut.
59
Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.
Boyce, W.E. & DiPrima, R.C. 2000. Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. New York: Department of Mathematical
Sciences Rensselaer Polytechnic Institute.
Du, N. 2007. Dynamics of Predator-Prey Population with Modified Leslie-Gower and Holling-Type II Schemes. Acta Mathematica Vietnamica, 32(1): 99-111.
Haberman, R. 1977. Mathematical Models, Mechanical Vibration, Population
Dinamic, and Traffic Flow, An Introduction to Applied Mathematic. New
Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Hunsicker, M. E., L. Ciannelli., K. M. Bailey., J.A. Buckel., J. W. White., J. S. Link., T. E. Essington., S. Gaichas., T. W. Anderson., R. D. Brodeur., K. S. Chan., K. Chen., G. Englund., K. T. Frank., V. Freitas., M. A. Hixon., T. Hurst., D. W. Jhonson., J. F. Kitchell., D. Reese., G. A. Rose., H. Sjodin., W. J. Sydeman., H. W. V. D Veer., K. Vollset., & S. Zador. 2011. Functional Responses and Scaling in Predator-Prey Interactions of Marine Fishes: Contemporary Issues and Emerging Concepts. Ecology
Letters.
Liu, X. & Chen. 2003. Complex Dynamics of Holling Type II Lotka-Volterra
Predator-Prey System with Impulsive Perturbations on the Predator. Chaos, Solutions and Fractals, 16: 311-320.
Ndam, J.N. & T.G. Kassem. 2009. A Mathematical Model for The Dynamics of Predator-Prey Interactions in A Three-Trophic Level Food Web.
Continental J. Applied Sciences, 4: 32 – 43.
Nurhamiyawan, E. N. L., Prihandono, & Helmi. 2013. Analisis Dinamika Model Kompetisi Dua Populasi yang Hidup Bersama di Titik Kesetimbangan Tidak Terdefinisi. Bimaster, 2(3):197-204.
Olsder, G. J. 1994. Mathematic System Theory. The Netherlands: Delftse Uitgevers Maatscappij.
Perko, L. 1991. Differential Equation and Dynamical System. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Purnamasari, D., Faisal., & Noor, A. J. 2009. Kestabilan Sistem Predator-Prey Leslie. Jurnal Matematika Murni dan Terapan, 3(2):51-59.
Riberu, P. 2002. Pembelajaran Ekologi. Jurnal Pendidikan Penabur, 1: 125-132. Robinson, J. C. 2004. An Introductiont: Ordinary Differential Equation.
Cambridge: University Press Cambridge.
Ruan, S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete Delay. Math. Model Nat. Phenom, 4:140-188.
Ruan, S. & D. Xiao. 2001. Global Analysis in a Predator-Prey System with Nonmonotonic Functional Response. SIAM J Appl Math, 61(4):1445– 1472.
Roat, M. 2012. Bifurkasi Hopf pada Sistem Predator Prey dengan Fungsi Respon Tipe II. Journal Universitas Negeri Yogyakarta, 3(3):1-2.
Skalski, G. T. & J. F. Gilliam. 2001. Functional Responses with Predator Interference: Viable Alternatives to The Holling Type II Model. Ecology, 82(11): 3083–3092.
Tian, X. & R. Xu. 2011. Global Dynamics Of A Predator Prey System with Holling Type II Functional Response. Modelling and Control, 16 : 242– 253.
Tsai, C. H. & H. C. Pao. 2004. Global Stability for the Leslie-Gower Predator-Prey System with Time-Delay and Holling’s Type Functional Response.
Tunghai Science, 6: 43-72.
Timuneno, Henry M., R. H. Utomo., dan Widowati. 2008. Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda. Jurnal Matematika, 11(1):43-51.
Waluya, St. B. 2006. Diferensial Equation. Graha Ilmu: Yogyakarta.
Wiggins, S. 2003. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and
Chaos. New York: Springer-Verlag.
Xue, Y. & X. Duan. 2011. The Dynamic Complexity of a Holling Type-IV Predator-Prey System with Stage Structure and Double Delays. Hindawi
62
1. Analisis dan Potret Fase Titik dengan ekuilibrium (0,0) dan (1,0) dengan > + dan > + > > > > > > >
>
2. Analisis dan potret fase titik ekuilibrium , dengan > + dan > + , serta titik dengan > + , √ < 1, > 0 dan > 0
>
> >
>
>
3. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan syarat > + , √ > 1 dan > 0
>
> > > > > >
4. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , √ < 1, dan > 0
>
>
>
>
>
>
5. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , √ < 1, > 0 dan < 0
>
> > > > > >