UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

skripsi

disajikan sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

oleh Putri Wijayanti

4111410027

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2014

!!! LZOOWII IT

NIN

'ueEuepun-Eueprmred uernpred u€nluele{ rames r$lrrus eruueueru e,(es u>pur 'rut rsdprls urBIBp

pfeld

pduprel p{nqJe}

Skripsi yang berjudul:

Analisis Model Predator-Prey Dua Spesies dengan Fungsi Respon Holling

Tipe

III

disusun oleh

Putri Wijayanti

4ttt4t002

telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, universitas Negeri Semarang pada tanggal 12

Agustus 2014. yanto, M.Si. 012r98803 1001

I

ru.Budiwaruya,M.si.

NrP. r 9680907 t993033 I 003 Drs. Supriyono, M.Si. NIP. 19521029198003 1002 bimbing s, S.Si, M.Sc. IV

ffi*m

*/t

f

tL!guj\E\)r..

W

Drs. NIP. 1982101 I 1001

v

“Sesuatu yang belum dikerjakan, seringkali tampak mustahil, kita baru yakin kalau kita telah berhasil melakukannya dengan baik.”

(Evelyn Underhill)

“Hai orang-orang yang beriman, jadikanlah sabar dan shalatmu sebagai penolongmu, sesungguhnya Allah beserta orang-orang yang sabar”

(Al-Baqarah: 153)

“Allah akan memberi kemudahan di dunia dan akhirat bagi orang-orang yang memberi kemudahan pada orang lain yang berada dalam kesulitan”

(Ary Ginanjar Agustian)

Persembahan:

Bapak dan Ibu tersayang, terima kasih atas segala yang diberikan kepadaku. Kelima saudaraku serta seluruh keluargaku yang selalu menyemangatiku.

Seluruh temanku Prodi Matematika angkatan 2010.

Sahabat di kos Al-Ba’its 1 yang setia menemani dan mendukungku. Teman-teman KKN Sabalong Samalewa.

vi

Nya penyusun diberikan izin dan kemudahan dalam menyelesaikan skripsi dengan judul ” Analisis ModelPredator-PreyDua Spesies dengan Fungsi Respon Holling Tipe III”.

Selanjutnya penyusun berterima kasih atas bantuan dan peran yang tidak dapat didefinisikan satu persatu pada tahapan penyelesaian skripsi ini, kepada:

1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si., Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.

3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang.

4. Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc., selaku Dosen Pembimbing yang senantiasa meluangkan waktu untuk membimbing dan memberi masukan serta motivasi selama penyususunan skripsi.

5. Tri Sri Noor Asih S.Si., M.Si., Dosen Wali yang telah memberikan arahan dan motivasi sepanjang perjalanan saya menimba ilmu di Universitas Negeri Semarang.

6. Seluruh pihak yang turut membantu penyelesaian skripsi yang tidak dapat penyusun sebutkan satu persatu.

Hanya ucapan terima kasih dan doa, semoga apa yang telah diberikan tercatat sebagai amal baik dan mendapatkan balasan dari Allah SWT.

Penyusun menyadari bahwa dalam skripsi ini masih banyak terdapat kesalahan. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat penyusun harapkan demi kesempurnaan penyusunan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat dan kontribusi dalam kemajuan dunia pendidikan dan secara umum kepada semua pihak yang berkepentingan.

Semarang, Agustus 2014

viii

Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Muhammad Kharis, M.Si, M.Sc.

Kata Kunci : Persamaan diferensial, model predator-prey, fungsi respon Holling tipe III, titik ekuilibrium.

Persamaan diferensial muncul dalam banyak model di fenomena kehidupan nyata. Salah satunya yaitu interaksi predator-prey. Model predator-prey pertama kali dikenalkan adalah model Lotka-Voltera. Tetapi model ini belum memperhitungkan waktu yang diperlukan oleh predator untuk mencerna makanannya. Pada penelitian ini membahas tentang analisis kestabilan model

predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III, karena sesuai dengan tipe

predator yang mencari mangsa lain ketika mangsa yang dimakannya mulai berkurang. Fungsi respon telah memperhitungkan waktu untuk memproses makanan pada saatpredatormengkonsumsi makanannya.

Penelitian ini bertujuan untuk membentuk model matematika pada sistem

predator-prey, menentukan analisa model dan simulasi hasil analisa

menggunakan program Maple. Metode penelitian ini menggunakan metode studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah menetukan masalah, merumuskan masalah, studi pustaka, analisis pemecahan masalah, dan penarikan kesimpulan.

Hasil penelitian ini adalah model matematika untuk persaingan predator-prey dua spesies dengan fungsi respon Holling tipe III dengan suatu batas

> + , yaitu _{= (1 − ) −} dan = − − . Berdasarkan model tersebut dapat diketahui titik ekuilibrium dan solusi di sekitar titik ekuilibrium. Dari persamaan di atas diperoleh titik-titik ekuilibriumnya yaitu

(0,0), (1,0) dan

( ),

( ) ( ) ( )

. Pada titik memberikan saddle point tak stabil. Pada titik memberikan node point yang bersifat stabil dengan asumsi < + dan memberikan saddle point yang bersifat tidak stabil dengan asumsi > + . Sedangkan untuk titik dengan

( ) > 1 memberikan sifat tidak stabil dan bersifat stabil untuk ( )< 1dengan > 0dan < 0, dimana merupakan determinan.

ix

PRAKATA... vi

ABSTRAK ... viii

DAFTAR ISI... ix

DAFTAR TABEL... xi

DAFTAR GAMBAR ... xii

DAFTAR LAMPIRAN... xiii

BAB 1. PENDAHULUAN... 1

1.1 Latar Belakang Masalah... 1

1.2 Rumusan Masalah... 4

1.3 Tujuan Penelitian ... 4

1.4 Manfaat Penelitian ... 5

1.5 Sistemika Penulisan ... 5

2. TINJAUAN PUSTAKA... 7

2.1 Sistem Persamaan Diferensial... 7

2.2 Model Pertumbuhan Logistik... 8

2.3 Model PopulasiPredator-Prey... 12

2.4 Fungsi Respon... 14

2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 16

x

3.1 Menentukan Masalah ... 27

3.2 Rumusan Masalah... 27

3.3 Studi Pustaka... 28

3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah... 28

3.5 Penarikan Kesimpulan ... 30

4. HASIL DAN PEMBAHASAN... 31

4.1 Unsur-Unsur yang Berpengaruh terhadap Model ... 31

4.2 Model MatematikaPredator Prey... 31

4.3 Titik Ekuilibrium ... 34

4.4 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium ... 39

4.5 Simulasi Numerik ... 48

5. SIMPULAN DAN SARAN ... 56

5.1 Simpulan ... 56

5.2 Saran ... 57

DAFTAR PUSTAKA ... 59 LAMPIRAN

xii

2.2 Trayektori untuk titiknodal source... 22

2.3 Trayektori untuksadle point... 23

2.4 Trayektori untukstar point... 23

2.5 Trayektori untukimproper nodedengan < 0... 24

2.6 Trayektori untukimproper nodedengan > 0... 24

2.7 Trayektori untukstabel spiral... 25

2.8 Trayektori untukunstable spiral... 25

2.9 Trayektori untukcenter point... 26

4.1 Trayektori untuk titik ekuilibrium (0,0)dan (1,0) dengan > + dan > + ... 50

4.2 Trayektori untuk titik ekuilibrium , dengan > + dan > + , serta titik dengan > + , _{√ < 1}, > 0dan > 0... 51

4.3 Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , _{√ > 1}dan > 0... 52

4.4 Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , _{√ < 1}, dan > 0... 53

4.5 Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , _{√ < 1}, > 0 dan < 0... 54

xiii

1

1.1 Latar Belakang Masalah

Ekologi merupakan salah satu cabang ilmu biologi yang mempelajari hubungan timbal balik antara makhluk hidup seperti manusia, hewan dan tumbuhan lingkungan hidupnya (Riberu, 2002). Hal ini menunjukan pada hakikatnya makhluk hidup di bumi ini tidak dapat hidup sendiri secara normal, tetapi akan saling berinteraksi dengan berbagai spesies yang ada.

Makhluk hidup tunggal biasa disebut individu, dan populasi merupakan kumpulan individu sejenis yang berinteraksi pada tempat dan waktu yang sama. Berbagai populasi dari spesies yang berbeda dan hidup bersama disebut komunitas. Satu kelompok yang memiliki ciri khas tertentu dan terdiri dari beberapa komunitas yang berbeda dikenal dengan ekosistem (Nurhamiyawan et al., 2013).

Kompetisi dalam suatu ekosistem merupakan salah satu bentuk interaksi antar individu yang bersaing memperebutkan kebutuhan hidup yang sama. Pada individu hewan, kebutuhan hidup yang sering diperebutkan antara lain adalah makanan, sumber air, tempat berlindung atau bersarang dan pasangan untuk berkembang biak. Contoh kompetisi antar populasi hewan yaitu kambing dan sapi yang memakan rumput di wilayah yang sama atau harimau dan singa dalam berburu mangsa yang sama (Nurhamiyawanet al., 2013).

Model yang terdiri atas dua spesies berbeda dengan salah satu dari keduanya menyediakan makanan untuk yang lainnya merupakan salah satu model interaksi spesies antara mangsa dan pemangsa yang populer dalam pemodelan matematika. Interaksi antar populasi ini dinamakan relasi predator-prey, dengan prey sebagai spesies yang dimangsa dan predator sebagai spesies yang memangsa (Du, 2007). Model predator-prey pertama kali dikenalkan oleh Lotka pada tahun 1925 dan Volterra pada tahun 1926, sehingga model ini juga disebut model Lotka-Volterra (Boyce & DiPrima, 2000).

Model Lotka Voltera belum memperhitungkan waktu yang diperlukan oleh

predator untuk mencerna makanannya serta pada kenyataan bahwa makanan dari

preyterbatas. Kemudian pada tahun 1950 Holling memperkenalkan fungsi respon. Fungsi respon dalam ekologi adalah jumlah makanan yang dimakan olehpredator

sebagai fungsi kepadatan makanan (Hunsicker et al., 2011). Dalam hal ini fungsi respon dibagi atas tiga macam, yaitu fungsi respon tipe I, tipe II dan tipe III. Fungsi respon tipe I terjadi pada predator yang memiliki karakteristik pasif, atau lebih suka menunggu mangsanya, sebagai contoh predator-nya adalah laba-laba. Fungsi respon tipe II terjadi pada predator yang berkarakteristik aktif dalam mencari mangsa, sebagai contoh predator-nya adalah serigala. Ketika serigala berhasil menangkap mangsanya maka serigala juga memerlukan waktu untuk mencerna makanannya. Fungsi respon tipe III terjadi pada predator yang cenderung akan mencari populasi prey yang lain ketika populasi prey yang dimakan mulai berkurang. Sebagai contoh pada rusa tikus (mice deer) yang bertindak sebagai predator dengan kepompong kupu-kupu sebagai prey. Ketika

jumlah kepompong meningkat maka populasi tikus rusa juga akan meningkat secara eksponensial, namun ketika jumlah kepompong mulai menurun maka tikus rusa cenderung untuk mencari populasi kepompong yang lebih tinggi.

Di dalam ekologi, fungsi respon pada model predator-prey menyatakan tingkat asupan konsumen (predator) sebagai fungsi kepadatan makanan (prey). Model predator-prey yang paling sederhana didasarkan pada model

Lokta-Volterra. Model ini memiliki bentuk

= − ( )

= ( ) − (1.1) Pada sistem Lokta-Volterra, fungsi respon ( ) mempunyai bentuk

( ) = dan ( ) = ( ). Hal ini karena pada model ini waktu yang

diperlukan predator untuk mencerna makanannya tidak diperhatikan. Tetapi, dalam kenyataannya ketika terjadi serangan prey oleh predator, maka secara realistikpredatormemerlukan waktu untuk mencerna makanannya (Roat, 2012).

Salah satu pengembangan lain dari model Lotka-Volterra adalah model yang dilakukan oleh Ruan et al. (2001), Liu & Chen (2003), serta Tian et al. (2011), dimana dalam model Lotka-Voltera diberikan penambahan fungsi respon tipe Holling II pada interaksi antara prey dan predator. Pada penelitian ini akan dibahas tentang analisis kestabilan model predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III. Dipilihnya fungsi respon Holling tipe III karena memiliki permasalahan yang sesuai dengan jenis predator yang cenderung akan mencari populasi prey yang lain ketika populasi prey yang dimakan mulai berkurang. Fungsi respon tipe Holling III ini telah memperhitungkan waktu untuk memproses

makanan pada saatpredator mengkonsumsi makanannya. Hal ini ditandai dengan melambatnya tingkat serangan yang dilakukan predator terhadap prey. Melambatnya tingkat serangan karena pencarian makanan dan proses memakan merupakan dua perilaku yang saling eksklusif.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas, maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah :

(1) Bagaimana bentuk model matematika pada sistem predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III?

(2) Bagaimana analisa model matematika pada sistem predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III?

(3) Bagaimana simulasi solusi model matematika pada sistem predator-prey

dengan menggunakan program Maple?

1.3 Tujuan Penelitian

Dari rumusan masalah di atas maka tujuan dari penelitian ini adalah :

(1) Untuk membentuk model matematika pada sistem predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III.

(2) Untuk menganalisis model matematika pada sistem predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III.

(3) Untuk mensimulasi solusi model predator-prey dengan menggunakan program Maple.

1.4 Manfaat Penelitian

(1) Bagi Peneliti

Manfaat yang bisa diambil bagi peneliti adalah peneliti mampu mengembangkan ilmu yang telah dipelajari dalam mengkaji permasalahan tentang analisis dari sistem persamaan diferensial. Sehingga dapat semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam kehidupan nyata.

(2) Bagi Jurusan Matematika FMIPA UNNES

Menambah khasanah perbendaharaan jurnal, khususnya tentang pemodelan matematika.

(3) Bagi Pembaca

Menambah pengetahuan tentang model matematika dari salah satu model dalam matematika ekologi, yaitu model predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III dan bisa menerapakannya dalam kehidupan sehari-hari.

1.5 Sistematika Penulisan

Laporan penulisan skripsi ini menggunakan sistematika yang terdiri dari tiga bagian, yaitu bagian awal (pendahuluan), bagian isi (inti), dan bagian akhir (penutup)

(1) Bagian Awal (Pendahuluan)

Skripsi terdiri dari halaman judul, abstraks, halaman pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel, dan daftar lampiran.

(2) Bagian Isi (Inti)

Bagian ini terdiri dari lima bab yaitu

BAB I Pendahuluan, berisi latar belakang permasalahan, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II Tinjauan Pustaka, meliputi tinjauan tentang sistem persamaan diferensial, model pertumbuhan logistik, model populasi predator-prey, fungsi respon, nilai eigen dan vektor eigen, matriks jacobian, titik ekuilibrium dan potret phase dari sistem linear.

BAB III Metode Penelitian, meliputi menentukan masalah, rumusan masalah, studi pustaka, analisis dan pemecahan masalah dan penarikan kesimpulan. BAB IV Hasil dan Pembahasan, berisi unsur-unsur yang berpengaruh terhadap model, model matematika predator-prey, titik ekuilibrium, analisis kestabilan titik ekuilibrium dan simulasi numerik yang diperoleh dengan program Maple 12.

BAB V Penutup, berisi tentang simpulan dan saran. (3) Bagian Akhir (Penutup)

Bagian akhir skripsi berisi daftar pustaka untuk memberi informasi tentang buku sumber, dan lampiran.

7

2.1 Sistem Persamaan Diferensial

Persamaan differensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan-turunan dari fungsi yang diketahui. Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Tetapi jika terdapat dua fungsi atau lebih yang tidak diketahui maka sebuah sistem persamaan diperlukan. Contohnya, persamaan Lotka-Voltera atau predator-prey yang merupakan contoh sistem persamaan dalam ekologi. Sistem persamaan tersebut mempunyai bentuk

= − ,

= − + , (2.1) dimana

( ) = populasi spesies prey, ( ) = populasi spesies predator,

= laju kelahiran dari populasi prey,

=laju pemangsa terhadap mangsa,

= laju kematian dari populasi predator, dan

= laju pertumbuhan pemangsa dalam mengkonsumsi mangsa.

2.2 Model Pertumbuhan Logistik

Model ini merupakan penyempurnaan dari model eksponensial. Model eksponensial mempunyai kelemahan yaitu saat nilai > 0 maka populasi tumbuh sampai tak terbatas, dengan merupakan laju pertumbuhan populasi. Hal ini mustahil, sehingga perlu adanya kajian lagi. Model ini diberikan dengan memberikan asumsi bahwa = ( ). Nilai ( )ditentukan oleh kelahiran dan pengaruh kepadatan populasi (keterbatasan luas lingkungan). Nilai ( ) dapat dirumuskan dengan

( ) = − (2.2)

dimana menyatakan laju pertumbuhan populasi tanpa pengaruh lingkungan dan menyatakan pengaruh dari pertambahan kepadatan populasi (semakin padat populasi maka persaingan antar individu meningkat). Model pertumbuhan logistik dirumuskan sebagai berikut.

= ( − ) (2.3) Titik ekuilibrium dari model tersebut diperoleh dengan menyelesaikan persamaan _{( − ) = 0} diperoleh nilai yang memenuhi adalah = 0 dan

= . Populasi nol pasti menjadi titik ekuilibrium tetapi yang menarik adalah

= . Ini adalah populasi terbesar di mana lingkungan masih mendukung populasi tanpa adanya kehilangan individu anggota populasi (individu mati). Nilai ini disebut carrying capacity dari lingkungan (habitat). Teori ini memprediksi bahwa populasi = berkaitan dengan Z.P.G (zero population growth).

Solusi persamaan logistik di atas apabila diketahui nilai awal _{(0) =} adalah sebagai berikut.

= ( − ) ⇔ _{( )} = (2.4) Dengan metode integral fungsi rasional dalam kalkulus diperoleh bahwa

1 ( − ) = + − ⇔ _{( −}1 ₎ = ( −_{( −}) +₎ ⇔ _{( −}1 ₎ = −_{( −} +₎ ⇔ _{( −}1 ₎ = + ( − )_{( − )} ⇔ 1 = + ( − ) ⇔ = 1dan ( − ) = 0 = 1 ⇔ = dan − _{= 0 ⇔ − = 0 ⇔ =} . Dari hasil di atas diperoleh

( )= + .

Apabila disubstitusikan ke persamaan differensial (2.4) diperoleh

Dengan melakukan pengintegralan kedua ruas diperoleh

1

+ ₋ =

⇔1 1 + −1 ₋1 ( − ) = ⇔1ln| | −1ln| − | = + .

Dengan substitusi nilai _{(0) =} diperoleh

1

| | −1 | − | = +1 | | −1 | − | ⇔1 | | −1 | − | −1 | | +1 | − | =

⇔1( | | − | |) +1( | − | − | − |) = .

Karena dan keduanya positif maka diperoleh

1

+1 −₋ = ⇔1 + −₋ = ⇔ + −₋ = ⇔ −₋ =

⇔ −₋ = .

Karena − dan − mempunyai tanda yang sama maka persamaan di atas menjadi

−

− =

⇔ ( − ) = ( − ) .

Apabila dilanjutkan dengan beberapa tahap perhitungan lagi diperoleh

( − ) = − ⇔ ( − ) + = ⇔ ( − + ) = ⇔ = − + ⇔ = − + × 1 1 ⇔ = − 1 + 1 ⇔ = − + 1

⇔ =

− 1 + 1 ⇔ =

1 + − .

Untuk nilai _{→ ∞} diperoleh nilai _→ yang mempengaruhi carrying capacity

dari lingkungan (Haberman, 1977).

2.3 Model PopulasiPredator-Prey

Laju populasipreydengan tidak adanya pemangsa tumbuh cepat mendekati eksponensial dan tak terbatas dalam bentuk sebagai berikut.

( )

= ( ) , (2.5) dengan

( ) = populasi spesiesprey

= angka pertumbuhan dariprey.

Laju populasi prey menjadi fungsi logistik karena sumber daya alam yang terbatas, yang kemudian dapat menulisnya sebagaimana persamaan logistik sebelumnya yaitu sebagai berikut.

( )

= ( ) 1 − ( ) , (2.6) dengan proporsi sisa banyaknya individu dalam populasi yang belum digunakan

1 − ( ) dan (carrying capacity) adalah jumlah maksimum banyaknya

tingkat kejenuhan, karena untuk populasi besar lebih banyak kematian daripada kelahiran.

Carrying capacityatau daya dukung adalah jumlah maksimum individu

yang dapat didukung atau dilayani oleh sumber daya yang ada di dalam suatu ekosistem. Dengan kata lain, carrying capacity dapat disebut juga sebagai kemampuan lingkungan (ekosistem) dalam mendukung kehidupan semua makhluk yang ada di dalamnya secara berkelanjutan.

Dalam hal ini, carrying capacity berhubungan erat dengan ketersediaan tanaman sebagai makanan prey. Kemudian ditunjukkan suatu persamaan dimana

preydanpredatorakan saling berinteraksi yaitu sebagai berikut.

( )

= − _{( ) ( )} (2.7) dengan adalah laju penangkapan prey oleh predator dan ( ) adalah populasi spesiespredator. Dalam hal inipreyberinteraksi denganpredator. Dari beberapa penjelasan di atas maka dapat dibentuk model dinamika pertumbuhan populasi

preyadalah sebagai berikut.

( )

= ( ) 1 − ( ) − ( ) ( ). (2.8) Dalam hal ini diasumsikan , , > 0, yaitu mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk berkembang biak.

Pada persamaan di atas bersifat mengurangi jumlah populasi prey. Karena dalam hubungannya mangsa akan berinteraksi dengan predator. Akan tetapi sebaliknya pada model pertumbuhan predator maka respon ini akan bersifat menambah jumlahpredator(Timunenoet al., 2008).

2.4 Fungsi Respon

Fungsi respon dalam ekologi adalah jumlah makanan yang dimakan oleh

predator sebagai fungsi kepadatan makanan (Hunsicker et al, 2011). Dalam hal

ini fungsi respon dibagi atas tiga macam, yaitu fungsi respon Holling tipe I, tipe II dan tipe III.

1) Fungsi Respon Holling Tipe I

Fungsi respon Holling tipe I merupakan hubungan antara kepadatan spesies

prey dan tingkat konsumsi (Altwegg, 2006). Tingkat konsumsi predator

meningkat linear dengan kepadatan mangsa, tetapi akan konstan ketika predator

berhenti memangsa. Fungsi respon tipe I terjadi pada predator yang memiliki karakteristik pasif, atau lebih suka menunggu mangsanya, sebagai contoh

predator-nya adalah laba-laba. Adapun tingkat pertumbuhan prey pada fungsi

respon Holling tipe I diberikan sebagai berikut (Tsai & Pao, 2004).

( )_{( ) = , (2.9)}

di mana

( ) _{: fungsi respon Holling tipe I}

: tingkat konsumsi maksimumpredatorterhadapprey

: populasiprey

2) Fungsi Respon Holling Tipe II

Fungsi respon Holling tipe II menggambarkan rata-rata tingkat konsumsi

dari predator, ketika predator menghabiskan suatu waktu untuk mencari mangsa

dalam mencari mangsa, sebagai contoh predator-nya adalah serigala. Fungsi ini akan meningkat jika tingkat konsumsi menurun dan akan konstan jika mencapai titik kejenuhan (half saturation). Dalam hal ini, tingkat pertumbuhan prey pada fungsi respon Holling tipe II diberikan sebagai berikut (Skalski & Gilliam, 2001).

( )_{( ) = , (2.10)}

di mana

( ) _{: fungsi respon Holling tipe II}

: tingkat konsumsi maksimumpredatorterhadapprey

: waktu pencarianprey

: populasiprey

3) Fungsi Respon Holling Tipe III

Fungsi respon Holling tipe III juga menggambarkan tingkat pertumbuhan

predator. Tetapi pada tipe ini dapat terlihat mengenai penurunan tingkat

pemangsaan pada saat kepadatan prey rendah. Hal tersebut tidak dapat terlihat pada fungsi respon Holling tipe II. Fungsi respon tipe III terjadi pada predator

yang cenderung akan mencari populasi prey yang lain ketika populasi prey yang dimakan mulai berkurang. Karena predator yang cenderung akan mencari populasi preyyang lain, maka tingkat pertemuan antarapredator danprey adalah dua. Hal inilah yang menyebabkan variabel populasi prey menjadi , sehingga laju populasi menjadi lebih cepat. Adapun tingkat pertumbuhan prey pada fungsi respon Holling tipe III diberikan sebagai berikut (Ndam & Kassem, 2009).

( )_{( ) = , (2.11)}

di mana

( ) _{: fungsi respon Holling tipe III}

: tingkat konsumsi maksimumpredatorterhadapprey

: tingkat kejenuhan : populasiprey

2.5 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.1

Misalkan A matriks × dan ∈ , ≠ 0. Vektor disebut vektor eigen / vektor karakteristik dari A jika

= , (2.12)

untuk suatu . Bilangan yang memenuhi persamaan di atas disebut nilai eigen/nilai karakteristik. Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan

.

Untuk mencari nilai dan vektor eigen dari suatu matriks A berordo ×

adalah sebagai berikut.

Misalkan A matriks × dan , ≠ 0 merupakan vektor eigen dari matriks A, maka ada ∈ ∋ = .Jelas = _{⇔ ( − ) = 0}.

Tampak bahwa merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear (SPL) homogen _{( − ) = 0.} Karena ≠ 0, maka sistem persamaan homogen

det ( − ) = 0 dan adalah penyelesaian persamaan dari _{det ( − ) = 0.}

Det ( − ) = 0ini disebut persamaan karakteristik dari matriks A.

Lemma:

Misalkan A matriks n x n. ∈ adalah nilai eigen dari matriks A jika dan hanya jika adalah akar persamaan karakteristik _{det ( − ) = 0}. Sedangkan vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan adalah penyelesaian dari SPL homogen_{( − ) = 0} (Anton, 1987).

Teorema 2.1

Misalkan = det dan = dan menganggap sistem linear

̇ = (2.13)

1) Jika < 0 maka persamaan (2.13) mempunyai titik pelana (saddle point) pada titik asal.

2) Jika > 0 dan − 4 ≥ 0 maka persamaan (2.13) mempunyai titik simpul (node point) pada titik asal. Titik tersebut stabil jika < 0dan tidak stabil jika > 0.

3) Jika > 0 dan − 4 < 0 dan ≠ 0 maka persamaan (2.13) mempunyai titik fokus (focus point) pada titik asal. Titik tersebut stabil jika < 0 dan tidak stabil jika > 0.

4) Jika > 0dan > 0maka persamaan (2.13) mempunyai titik pusat (center

Karena _{̇ =} , maka titik asal sama dengan titik ekuilibrium. Catatan pada kasus 2), _{≥ 4| | > 0}, ≠ 0(Perko, 1991).

2.6 Matriks Jacobian

Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial non linier sebagai berikut.

= ( , )

= ( , ) (2.14) dengan dan adalah variabel yang bergantung pada t. Persamaan (2.14) memiliki titik kesetimbangan pada ( , ). Bila persamaan (2.14) merupakan sistem persamaan diferensial nonlinier, maka diperlukan linierisasi sistem dengan menggunakan matriks jacobian (2.15).

Bentuk matriks jacobian dari sistem persamaan (2.14) sebagai berikut.

( , ) = ( , ) ( , )

( , ) ( , ) (2.15)

(Purnamasariet al., 2008).

2.7 Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium merupakan salah satu kunci konsep dalam sistem tak linear yang menentukan semua hasil dinamik. Sistem yang lebih umum dapat dinyatakan dalam bentuk berikut.

′_{= ( , , ),} ′_{= ( , , ),}

dengan _{( , , )} dan _{( , , )} adalah suatu fungsi umum dari , dan waktu t. Sistem tersebut dapat disederhanakan lagi menjadi sistem fungsi yang tak bergantung dengan waktu (sistem autonomous) seperti bentuk berikut.

′_{= ( , ),} ′_{= ( , ),}

dengan F dan G adalah fungsi yang tak tergantung secara exsplisit dari waktu t. Kemudian sistem tersebut dianalisis dengan memikirkan konsep tentang ekuilibrium. Ekuilibrium akan terjadi apabila tidak ada gerakan dalam sistem tersebut, artinyax = 0dany′ = 0.Titik ekuilibrium akan memenuhi

( , ) = 0, ( , ) = 0,

karena = 0 dan = 0. Hal ini akan menghasilkan titik ekuilibrium yang mungkin dapat ditemukan lebih dari satu titik ekuilibrium dengan mudah. Apabila titik ekuilibrium tersebut telah diperoleh, perilaku dari sistem dapat ditentukan dengan menentukan kestabilan dari titik-titik kritiknya (Waluya,2006).

Definisi 2.2

Titik ∈ disebut titik ekuilibrium dari _{̇ = ( )} jika _{( ) = 0} (Perko, 1991).

Titik ekuilibrium _{̅ ∈} pada sistem _{̇ = ( )}dikatakan

1) Stabil lokal jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap solusi _{( )} yang memenuhi _{‖ ( ) − ̅‖ <} untuk setiap

2) Stabil asimtotik lokal jika titik ekuilibrium _{̅ ∈} stabil dan terdapat

> 0 sedemikian sehingga untuk setiap solusi _{( )} yang memenuhi

‖ ( ) − ̅‖ < berlakulim → ( ) = ̅.

3) Tidak stabil jika titik ekuilibrium _{̅ ∈} tidak memenuhi a.

(Wiggins,2003).

Jika untuk sembarang titik awal, solusi sistem persamaan diferensial _̅ berada dekat dengan titik ekuilibrium _{̅ ∈} dan untuk t membesar _̅ konvergen ke _{̅ ∈} , maka titik ekuilibrium _{̅ ∈} dikatakan stabil asimtotik global.

Kestabilan dari setiap titik-titik mungkin dengan menentukan kestabilan dekat titik-titik kritik satu demi satu. Diasumsikan

= _{+ ̅,} = + ,

dimana _̅ dan sangat kecil, sehingga keduanya sangat dengan titik kritik. Dengan substitusi akan diperoleh

̅ = ( ̅, ), = ( ̅, ),

dengan dan konstan, maka ′ = ′ = 0.

Mengingat kembali tentang formula deret Taylor. Perluasan deret Taylor di sekitar suatu titik adalah

Dengan mengambil beberapa suku awal dari deret tersebut, maka sudah cukup baik untuk mengaproksimasi _̅ yang cukup kecil. Apabila diperluas maka diperoleh

̅ = ( ) + ̅ ( ) + ( ) + ⋯, = ( ) + ̅ ( ) + ( ) + ⋯,

dimana semua suku yang lebih kecil dari _̅ , , dan _̅ . Sistem yang dilinearkan dapat ditulis dalam bentuk matriks

̅ = ( ) ( ) ( ) ( ) ̅ .

Sistem tersebut terlinearkan karena kembali dari sistem tak linear awal ke dalam sitem linear dekat titik kesetimbangan (Waluyo,2006).

2.8 Potret Phase dari Sistem Linear

Dipunyai persamaan-persamaan sebagai berikut.

̇ = + dan ̇ = + (2.16)

dengan , , dan konstanta-konstanta. Misalkan − ≠ 0, maka titik (0,0) adalah satu-satunya titik kritik dari sistem (2.16). Penyelesaian dari sistem (2.16) berbentuk = dan = , dimana adalah nilai dari matriks

,

yaitu, merupakan akar persamaan karakteristik

Potret phase dari sistem (2.17) hampir seluruhnya tergantung pada nilai-nilai eigennya ( dan ).

1) Jika nilai-nilai eigennya real tak sama dengan < < 0 ini disebutnode: semua trayektori menuju ke tak nol yang berarti titik kritik nol adalah stabil. Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.1.

Gambar 2.1 Trayektori untuknode point

2) Jika nilai-nilai eigennya real tak sama dengan > > 0ini disebutnodal

source: semua trayektori keluar dari titik kritiknya menjadi tak stabil.

Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 Trayektori untuk titiknodal source

3) Jika nilai-nilai eigennya real tak sama dengan < 0 < ini disebutsadle

eigen, ini mengakibatkan titik kritik akan selalu tak stabil. Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.3.

Gambar 2.3 Trayektori untuksadle point

4) Jika nilai-nilai eigennya sama dengan dua vektor eigen yang bebas linear, maka akan diperoleh apa yang dinamakan star pointataupropernode: bila

< 0 maka titik kritiknya akan stabil dan tak stabil untuk > 0. Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.4.

Gambar 2.4 Trayektori untukstar point

5) Jika nilai-nilai eigennya sama dengan satu vektor eigen, maka akan diperoleh apa yang dinamakan improper node: bila < 0 maka titik kritiknya akan stabil dan arah trayektorinya akan menuju ke titik nol, sedangkan untuk > 0 arah trayektorinya akan keluar meninggalkan titik

nol dan titik kritiknya akan tak stabil. Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.5 dan 2.6.

Gambar 2.5 Trayektori untukimproper nodedengan < 0

Gambar 2.6 Trayektori untukimproper nodedengan > 0

6) Jika nilai-nilai eigennya komplek _±= ± dengan < 0, maka akan menghasilkan perilaku yang disebut stabel spiral: semua trayektori akan menuju titik nol dan titik kritiknya akan stabil. Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.7.

Gambar 2.7 Trayektori untukstabel spiral

7) Jika nilai-nilai eigennya komplek _±= ± dengan > 0, maka akan menghasilkan perilaku yang disebut unstable spiral: semua trayektori akan keluar meninggalkan titik nol dan titik kritiknya akan tak stabil. Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.8.

Gambar 2.8 Trayektori untukunstable spiral

8) Jika nilai eigennya imaginer murni, dalam kasus ini nilai eigennya dapat dinyatakan sebagai _±= ± dalam hal ini solusi merupakan osilator stabil secara alami. Titik kritik dalam hal ini disebut center point. Trayektorinya berupa elips. Trayektori pada kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.9.

Gambar 2.9 Trayektori untukcenter point

Teorema 2.3

Diberikan matriks jacobian _{( ̅)} dari suatu sistem non linear, dengan nilai eigen .

1) Jika semua bagian real eigen dari matriks _{( ̅)} bernilai negatif, maka titik ekuilibrium _̅ dari suatu sistem non linear tersebut stabil asimtotik lokal. 2) Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks _{( ̅)} yang bagian

realnya positif, maka titik ekuilibrium _̅dari suatu sistem non linear tersebut tidak stabil (Olsder, 1994).

BAB III

METODE PENELITIAN

Pada penelitian ini metode yang penulis gunakan adalah studi pustaka. Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut.

3.1 Menentukan Masalah

Dalam tahap ini dilakukan pencarian sumber pustaka dan memilih bagian dalam sumber pustaka tersebut yang dapat dijadikan sebagai permasalahan yang akan dikaji.

3.2 Rumusan Masalah

Masalah yang ditemukan kemudian dirumuskan ke dalam pertanyaan yang harus diselesaikan yaitu:

(1) Bagaimana bentuk model matematika pada sistem predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III?

(2) Bagaimana analisa model matematika pada sistem predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III?

(3) Bagaimana simulasi solusi model matematika pada sistem predator-prey

dengan menggunakan program Maple?

Rumusan masalah di atas mengacu pada beberapa pustaka yang ada. Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan toeritik maka dapat ditemukan jawaban permasalahan sehingga tercapai tujuan penulisan skripsi.

3.3 Studi Pustaka

Dalam langkah ini dilakukan kajian sumber-sumber pustaka dengan cara mengumpulkan data atau informasi yang berkaitan dengan masalah, mengumpulkan konsep pendukung yang diperlukan dalam menyelesaikan masalah, sehingga didapatkan suatu ide mengenai bahan dasar pengembangan upaya pemecahan masalah.

3.4 Analisis dan Pemecahan Masalah

Dari berbagai sumber pustaka yang sudah menjadi bahan kajian, diperoleh suatu pemecahan masalah di atas. Selanjutnya dilakukan langkah-langkah pemecahan masalah sebagai berikut.

1) Membuat pemodelan matematika pada sistem predator-prey dengan fungsi respon Holling tipe III.

2) Mencari solusi dari pemodelan matematika yang telah didapat. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

a) Menentukan titik ekuilibrium. Titik ∈ disebut titik ekuilibrium dari _{̇ = ( )}jika _{( ) = 0}(Perko, 1991).

b) Menentukan matriks jacobian. Bentuk umum matriks jacobian adalah sebagai berikut.

( , ) = ( , ) ( , )

( , ) ( , ) , dengan = ( , )dan = ( , ).

c) Menentukan nilai eigen

Misalkan A matriks × dan ∈ , ≠ 0. Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A jika = , untuk suatu . Bilangan yang memenuhi persamaan di atas disebut nilai eigen atau nilai karakteristik. Vektor disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan (Anton, 1987).

d) Menganalisis titik ekuilibrium berdasarkan sifat nilai eigen.

Diberikan matriks jacobian _{( ̅)} dari suatu sistem non linear, dengan nilai eigen .

(1) Jika semua bagian real eigen dari matriks _{( ̅)} bernilai negatif, maka titik ekuilibrium _̅ dari suatu sistem non linear tersebut stabil asimtotik lokal.

(2) Jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks _{( ̅)} yang bagian realnya positif, maka titik ekuilibrium _̅dari suatu sistem non linear tersebut tidak stabil (Olsder, 1994).

3) Membuat simulasi dengan menggunakan metode fungsi respon Holling tipe III untuk model matematikapredator-prey. Simulasinya menggunakan data acak (bukan data sekunder maupun primer). Progam yang digunakan untuk simulasi adalah Maple 12. Data yang diperlukan bersifat tekstual meliputi persamaan diferensial, pemodelan matematika, dan pembahasan keduanya dalam analisis model matematika. Dalam memahami data-data yang berupa teks dalam buku-buku literatur diperlukan suatu analisa.

3.5 Penarikan Kesimpulan

Langkah terakhir dalam metode penelitian adalah penarikan kesimpulan yang diperoleh dari hasil langkah pemecahan masalah.

31

4.1 Unsur-Unsur yang Berpengaruh terhadap Model

Kelangsungan hidup spesies predator jelaslah sangat berpengaruh pada spesies prey dalam interaksi dua spesies. Jika jumlah spesies prey sadikit maka jumlah spesies predator akan mengalami penurunan, tetapi jika jumlah spesies

prey banyak maka pertumbuhan spesies predator akan cepat karena tersedianya makanan yang cukup.

Ada beberapa unsur-unsur yang berpengaruh terhadap modelpredator prey. Unsur-unsur yang mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesiespreyadalah tingkat konsumsi maksimum predator, pola pertumbuhan populasi, dan tingkat kejenuhan predator. Sedangkan unsur-unsur yang mempengaruhi laju pertumbuhan kepadatan spesies predator adalah tingkat konsumsi maksimum,

tingkat kematian dan tingkat kejenuhanpredator.

4.2

Model Matematika

Predator-Prey

Model interaksipredator-preydalam jaring makanan dua spesies terdiri dari produsenxprimer yang disebutprey(mangsa) danpredator y(pemangsa). Model ini didasarkan pada asumsi dasar sebagai berikut.

1. Jumlah pertumbuhanprey(x) memiliki pola pertumbuhan logistik.

3. Pada predator dilakukan pemanenan pada tingkat yang sebanding dengan densitas.

4. Predatormemiliki tingkat kematian secara alami.

Berdasarkan asumsi di atas diperoleh model matematika predator-prey

sebagai berikut.

(1) = 1 − −

(2) = − − (4.1)

dengan

( ) : kepadatan spesiespreysaat waktu

( ) : kepadatan spesiespredatorsaat waktu : tingkat konsumsi maksimumprey

: tingkat konsumsi maksimumpredator

: koefisien laju pertumbuhan spesiesprey, > 0

: tingkat kejenuhanpredator

: tingkat kematianpredator, > 0

: laju pemanenanpredator, > 0

Diasumsikan _{(0) > 0}dan _{(0) > 0}, yaitu mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk berkembang biak. Didefinisikan = , = , = ,

= , = , = , dan = .

Dari persamaan (1) pada sistem persamaan (4.1) diperoleh

= 1 − − ( _{( )}) ⇔ = (1 − ) − ( )_{( )} ⇔ = (1 − ) − ( ) ( ∗₎ ⇔ = (1 − ) − ( ) ( ) ⇔ = (1 − ) − , dengan = . (4.2)

Dari persamaan (2) pada sistem persamaan (4.1) diperoleh

= ( _{( )}) − − ⇔ = ( )₍ ∗₎ − −

⇔ = ( )_{( )} − − ⇔ = ∗( )_{( )} − −

⇔ = − − , dengan = . (4.3)

Jadi sistem (4.1) ekuivalen dengan sistem berikut.

(1) _{= (1 − ) −}

(2) = − − (4.4)

dengan _{(0) > 0}dan _{(0) > 0}.

4.3 Titik Ekuilibrium

Titik ekuilibrium dapat diperoleh dengan beberapa tahapan dan salah satu tahapannya yaitu dengan membuat nol ruas kiri persamaan (1) dan (2) pada sistem persamaan (4.4). Diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

(1) _{(1 − ) −} = 0

(2) − − = 0 (4.5)

Untuk memperoleh titik ekuilibrium diperoleh satu persatu kemudian ada yang disubstitusikan pada persamaan-persamaan berikutnya. Tahapan-tahapan tersebut adalah sebagai berikut.

(1 − ) − ₊ = 0 ⇔ (1 − ) − ₊ = 0.

Diperoleh = 0 (4.6) atau (1 − ) − ₊ = 0 ⇔ ₊ = 1 − ⇔ = (1 − )( + ) = ( ) (4.7)

Dapat ditulis kembali bahwa = 0atau =( ) dengan batasan = 0. Langkah selanjutnya mensubstitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (1) pada sistem (4.5). − − = 0 ⇔ ( )_{( )} − − = 0 ⇔ − − = 0 ⇔ − ( + ) = 0 Sehingga diperoleh = 0. (4.8)

Langkah selanjutnya untuk mencari titik ekuilibrium yang lainnya yaitu menyederhanakan persamaan (2) pada sistem persamaan (4.5).

− − _{= 0 ⇔} − − = 0. Diperoleh = 0 (4.9) atau − ( + ) = 0 ⇔ = + ⇔ = ( + )( + ) ⇔ = + + + ⇔ = ( + ) + ( + ) ⇔ −( + ) = + ⇔ ( −( + )) = ( + ) ⇔ = (₍ )₎ ⇔ = (₍ )₎ atau = − (₍ )₎

Diasumsikan > + .

Karena syarat > 0, maka dipilih

= _{( )}. (4.10)

Kemudian substitusikan persamaan (4.6) ke persamaan (2) pada sistem persamaan (4.5). (1 − ) − = 0 ⇔ (1 − ) − _{( )}( ) = 0 ⇔ (1 − ) = 0. Diperoleh = 0 (4.11) atau 1 − = 0 ⇔ = 1. (4.12) Jadi, diperoleh titik ekuilibrium _{( , ) = (1,0)}.

Titik ekuilibrium yang lain dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (4.7) ke persamaan (2) pada sistem persamaan (4.5).

⇔ ( ) − ( ) − ( ) = 0 ⇔ ( ₍ ) ₎ − ( ₍) ₎ − ( ₍) ₎ = 0 ⇔ (1 − )( + ) − (1 − )( + ) − (1 − )( + ) = 0 ⇔ (1 − )( + ) − ( + ) − ( + ) = 0 ⇔ − ( + ) − ( + ) = 0 ⇔ − − − − = 0 ⇔ ( − − ) − ( + ) = 0 ⇔ ( − ( + )) = ( + ) ⇔ = _{− ( + )}( + ) ⇔ = _{( )} atau⇔ = − _{( )}.

Karena syarat > 0, dipilih

= _{( )}. (4.13)

Langkah selanjutnya substitusikan persamaan (4.13) pada persamaan (4.7).

Jelas = ( ) ( )

( )

= ( ) _{( )} ( )

= ( ) ( )

( )

= ( ) ( )

( )

. (4.14)

Jadi, diperoleh titik ekuilibrium

( , ) = _{( )}, ( ) ( )

( )

.

Titik keseimbangan ada jika _{− ( + ) > 0 ⇔ > +} .

4.4 Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium

Untuk menganalisis kestabilan titik ekuilibrium model, dapat memanfaatkan sistem yang telah dilinearkan. Pelinearan sistem persamaan tersebut menggunakan matriks jacobian( )yang berordo2 × 2, karena sesuai dengan sistem persamaan (4.1).

= (4.15)

Sistem persamaan (4.5) beserta penyederhanaannya.

= (1 − ) − = − − = ( ).

Jelas = ( ) = 1 − 2 − _{( )} = 1 − 2 − _{( )} = 1 − 2 −_{( )} . (4.16) Jelas = ( ) = − _{( )} = − . (4.17) Jelas = ( ) = _{( )} − 0 = _{( )} =_{( )} . (4.18) Jelas = ( ) = _{( )} − − = _{− ( + )}. (4.19)

Pada analisis kestabilan modelpredator-preydua spesies dengan fungsi respon Holling tipe III, titik ekuilibrium yang dianalisis adalah sebagai berikut: 1) Titik Ekuilibrium _(0,0)

Hasil substitusi _(0,0)ke persamaan (4.16), (4.17), (4.18), dan (4.19) yaitu

(0,0) = 1 − 2(0) −_{( ( ) )}( )( )= 1. (0,0) = − ( )_{( )} = 0.

(0,0) =₍ ( )( )_{( ) )} = 0.

(0,0) = ( )_{( )} − ( + ) = −( + ).

Dari hasil substitusi di atas diperoleh matriks jacobian sebagai berikut:

= = 1_{0 −( + )}0 (4.20) Setelah mendapatkan persamaan (4.20) langkah selanjutnya yaitu mencari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut:

det( − ) = 0

⇔ ₀ 0 − 1_{0 −( + ) = 0}0 ⇔ − 1_{0 + ( + ) = 0}0

Pada persamaan (4.21) diperoleh nilai eigen = 1dan _{= −( + )}.

Oleh karena nilai bernilai positif dan bernilai negatif, maka dapat disimpulkan (0,0) merupakan saddle point (titik pelana). Semua trayektori akan menjauhi ke tak hingga sepanjang vektor eigen, ini mengakibatkan titik kritik akan selalu tidak stabil.

2) Titik Ekuilibrium _(1,0)

Untuk menganalisis kestabilan titik ekuilibrium tahapan-tahapannya sama seperti menganalisis kestabilan titik ekuilibrium , yaitu dengan mensubstitusikan titik ekuilibrium _(1,0) ke persamaan (4.16), (4.17), (4.18), dan (4.19).

(1,0) = 1 − 2(1) −_{( ( ) )}( )( )= −1. (1,0) = − ( )_{( )} = − .

(1,0) =₍ ( )( )_{( ) )} = 0.

(1,0) = ( )_{( )} − ( + ) = − ( + ).

Diperoleh matriks jacobian sebagai berikut.

= = −1 −

0 − ( + ) . (4.22)

Setelah mendapatkan matriks jacobian tersebut langkah selanjutnya adalah mencari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut.

det( − ) = 0

⇔ ₀ 0 − −1₀ −_{− ( + )} = 0 ⇔ + 1_{0 − − ( + )} = 0

⇔ ( + 1) − − ( + ) = 0. (4.23)

Pada persamaan (4.23) diperoleh nilai eigen = −1 dan = − ( + ). Nilai eigen bernilai negatif jika < + , sehingga titik ekuilibrium

(1,0) merupakan titik simpul (node point). Hal ini menyebabkan trayektori di sekitar nilai eigen bersifat stabil. Nilai eigen bernilai positif apabila

> + , sehingga titik ekuilibrium (1,0) merupakan titik pelana (saddle

point). Hal ini menyebabkan trayektori di sekitar nilai eigen bersifat tidak

stabil.

3) Titik Ekuilibrium

( ),

( ) ( ) ( )

Untuk menganalisis kestabilan titik ekuilibrium tahapan-tahapannya sama seperti menganalisis kestabilan titik ekuilibrium , yaitu dengan

mensubstitusikan titik ( ), ( ) ( ) ( ) ke persamaan (4.16), (4.17), (4.18), dan (4.19).

( ), ( ) ( ) ( ) = 1 − 2 _{( )} − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 − 2 _{( )} − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 − 2 _{( )} − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 − 2 _{( )} − 2 ( ) ( ) = 1 − 2 √ − 21 − √_{1 +} Dengan = _{( )}dan > ( + ). ( ), ( ) ( ) ( ) = − ( ) ( ) = − ( ) ( ) = − ( ) ( ) = − .

( ), ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 ( ) ( ) = ₍ √₎ ( ), ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) − − = ( ) ( ) − − = ( ) ( )− ( + ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ( + )

= (₍ )₎ ( )_{− ( + ) = 0}. Diperoleh matriks jacobian sebagai berikut.

= = 1 − 2 √ − 2

√ ₋

√

( ) 0

.

Setelah mendapatkan matriks jacobian tersebut langkah selanjutnya adalah mencari persamaan karakteristik dengan tahapan sebagai berikut.

det( − ) = 0 ⇔ ₀ 0 − 1 − 2 √ − 2 √ ₋ √ ( ) 0 = 0 ⇔ − 1 − 2 √ − 2 √ − ₍ √₎ = 0 ⇔ − 1 − 2 √ − 2 √ + ₍ √₎ = 0 ⇔ + −1 + 2 √ + 21 − √_{1 +} + 1 + 2 1 − √_{(1 + )} = 0

Diperoleh persamaan karakteristik + + = 0. Dengan

= ₍ √₎ = _{( )}√ , dan = _{( )}.

Akar-akar persamaan karakteristik tersebut adalah sebagai berikut.

= dan = . Kasus _{√ > 1} Jelas _{= 2 √ − 1 1 −} + 1 > 0dan = _{( )}√ < 0. Ditunjukkan − 4 > 0. Tulis4 = − dengan > 0. Jadi _{− 4 > 0 ⇔} + > 0. Ditunjukkan > 0. Jelas0 < < − 4 . ⇔ 0 < | | < − 4 . Jelas > 0. Jelas = > 0.

Jadi, titik ekuilibrium untuk _{√ > 1} bersifat tidak stabil karena bernilai positif.

Kasus _{√ < 1} Jelas = √ ( ) > 0dan = − 4 < . Kasus _{> 0 ⇔ √ > 0} ⇔ 0 < √ < | |. Jelas = √ _{< 0dan =} √ _{< 0.}

Jadi, titik ekuilibrium untuk _{√ < 1} dengan > 0 merupakan titik ekuilibrium yang stabil, karena dan bernilai negatif.

Kasus _{< 0 ⇔ √} ℂ.

Jelas = √ _{< 0dan =} √ _{< 0.}

dan mempunyai bagian real negatif, sehingga mengakibatkan titik ekuilibrium stabil.

4.5 Simulasi Numerik

Untuk lebih memperjelas mengenai pembahasan model dilakukan simulasi untuk contoh penerapan di atas. Pada bagian ini akan dibahas tentang simulasi model predator-prey dua spesies dengan fungsi respon Holling tipe III. Program

yang digunakan dalam simulasi model predator prey ini adalah program Maple 12.

Untuk menentukan solusinya dipilih nilai-nilai parameter yang diberikan sebagai berikut.

Tabel 4.1 Daftar titik ekuilibrium, nilai parameter, dan sifat trayektori

No Titik Syarat a b m q Sifat

trayektori 1. > + 0,8 2 2 0,5 0,1 Tidak stabil 2.  _{> +}  _{< +} 0,8 2 2 0,5 0,1 Stabil 3.  _{> +}  _{> +} 0,9 0,9 0,4 0,5 0,1 Tidak stabil 4.  > +  _{√ > 1} 0,8 1,5 1,3 0,5 0,1 Tidak stabil 5.  _{> +}  _{√ < 1}  _{> 0} 0,8 1,2 0,7 0,5 0,1 Stabil 6.  _{> +}  _{√ < 1}  _{< 0} 0.8 1.5 0.3 0,5 0,1 Stabil

Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik (0,0) dapat ditunjukkan pada gambar 4.1

Gambar 4.1 Trayektori untuk titik ekuilibrium (0,0)

Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 2, = 2, = 0.1

dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

(1) ⇔ = (1 − ) − .

(2) ⇔ = − 0.6 (4.25) (0) > 0, (0) > 0.

Titik ekuilibrium (0,0) dalam kondisi apapun selalu merupakan titik pelana (saddle point). Hal ini mengakibatkan titik ekuilibrium (0,0) bersifat tidak stabil karena semua trayektori menjahui titik (0,0). Gambar 4.1 juga menunjukkan bahwa titik ekuilibrium (1,0) dengan syarat > + dan

menuju titik (1,0) sehingga titik (1,0) bersifat stabil. Jadi pada titik ekuilibrium

(1,0)terjadi kestabilan jumlah spesiespredatordanprey.

Perilaku lengkap dari solusi sistempredator-preyuntuk titik (1,0) dengan syarat > + dan > + dapat dilihat pada gambar 4.2.

Gambar 4.2 Trayektori untuk titik ekuilibrium , dengan

> + dan > + , serta titik dengan

> + , _{√ < 1}, > 0dan > 0.

Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.9, = 0.9, = 0.4, = 0.1dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

(1) ⇔ = (1 − ) − _..

(2) ⇔ = .. − 0.6 (4.26)

(0) > 0, (0) > 0.

Pada kondisi ini, titik ekuilibrium (1,0) merupakan saddle point, karena semua trayektori keluar dari titik (1,0) yang berarti titik ekuilibrium (1,0) tidak

stabil. Jadi pada kondisi ini, tidak terjadi kestabilan jumlah spesies predator dan

prey. Gambar 4.2 juga memenuhi trayektori untuk titik dengan syarat > +

, _{√ < 1}, > 0 dan > 0 yang menunjukkan bahwa titik ekuilibrium merupakan spiral stabil. Titik diperoleh dengan mensubstitusikan parameter

= 0.9, = 0.9, = 0.4, = 0.1, ke titik ( ), ( ) ( ) ( ) , sehingga _{diperoleh ( , ) = (0.5656854248, 0.3295206030) ≈ (0.57,0.33)}. Jadi pada kondisi ini, titik ekuilibrium terjadi kestabilan jumlah spesies

predatordanprey.

Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik dengan syarat > + , _{√ > 1}dan > 0dapat dilihat pada gambar 4.3.

Gambar 4.3. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan syarat

Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 1.5, = 1.3, = 0.1dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

(1) ⇔ = (1 − ) − ..

(2) ⇔ = .. − 0.6 (4.27)

(0) > 0, (0) > 0.

Pada kondisi ini, titik ekuilibrium _{= (1.061445555, −0.222138610) ≈}

(1.06, −0.22) tidak memenuhi syarat (0) > 0 . Hal ini mengakibatkan titik

bukan merupakan solusi.

Perilaku lengkap dari solusi sistempredator-preyuntuk titik ekuilibrium dengan > + , _{√ < 1}, dan > 0 dapat dilihat pada gambar 4.4

Gambar 4.4 Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + ,

√ < 1, dan > 0

Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 1.2, = 0.7, = 0.1dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

(1) ⇔ = (1 − ) − _..

(2) ⇔ = _.. − 0.6 (4.28) (0) > 0, (0) > 0.

Titik diperoleh dengan mensubstitusikan parameter-parameter tersebut

ke titik

( ),

( ) ( ) ( )

, sehingga

= (0.7, 0.525). Pada kondisi ini, titik ekuilibrium merupakan titik spiral, karena semua trayektori menuju ke titik yang berarti titik ekuilibrium stabil. Jadi pada kondisi ini, terjadi kestabilan jumlah spesiespredatordanprey.

Perilaku lengkap dari solusi sistem predator-prey untuk titik ekuilibrium dengan syarat > + , _{√ < 1}, > 0 dan

< 0 dapat dilihat pada gambar 4.5

Gambar 4.5 Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + ,

Trayektori tersebut menggunakan parameter = 0.8, = 1.5, = 0.3, = 0.1dan = 0.5, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.

(1) ⇔ = (1 − ) − ..

(2) ⇔ = .. − 0.6 (4.29)

dengan _{(0) > 0}dan _{(0) > 0}.

Titik diperoleh dengan mensubstitusikan parameter-parameter tersebut

ke titik

( ),

( ) ( ) ( )

, sehingga diperoleh

= (0.244948974, 0.629923461) ≈ (0.25, 0.63). Pada kondisi ini, titik ekuilibrium merupakan titik center, karena semua trayektori menuju ke titik yang berarti titik ekuilibrium stabil. Jadi pada kondisi ini, terjadi kestabilan jumlah spesiespredatordanprey.

56

5.1 Simpulan

Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat diambil simpulan sebagai berikut:

1) Model matematika untuk persaingan predator-prey dua spesies dengan suatu batas > + adalah

= (1 − ) − dan

= − − .

2) Titik ekulibrium yang diperoleh dari model predator-preydengan suatu nilai parameter adalah sebagai berikut:

a) Titik Ekuilibrium _(0,0)

Pada saat titik ekuilibrium _(0,0) akan memberikan saddle point (titik pelana) yang bersifat tidak stabil.

b) Titik Ekuilibrium _(1,0)

Pada saat titik ekuilibrium _(1,0) dengan < + memberikan

node point (titik simpul) yang bersifat stabil. Sedangkan pada titik

ekuilibrium _(1,0)dengan > + memberikan saddle point(titik pelana) yang menyebabkan trayektori tidak stabil.

c) Titik Ekuilibrium ( ), ( ) ( ) ( ) Didefinisikan = _{( )}, = − 4 , = −1 + 2 √ + 2 √ _{= 2 √ − 1 1 − + 1, dan} = √ ( ) = √ ( ) .

Titik ekuilibrium untuk _{√ > 1} bersifat tidak stabil. Titik ekuilibrium untuk _{√ < 1} dengan > 0 bersifat stabil. Begitu pula untuk titik ekuilibrium dengan _{√ < 1}dan < 0 juga memberikan sifat stabil.

3)

Hasil simulasi numerik menunjukan kestabilan yang sama dengan hasil analisa pada titik , , dan .

5.2 Saran

Berkaitan dengan hasil-hasil penelitian, ada beberapa hal yang perlu mendapat perhatian, yaitu sebagai berikut:

1) Penelitian ini mengkaji masalah persaingan predator-preydua spesies. Untuk itu perlu penelitian lebih lanjut untuk masalah lebih dari dua spesies.

2) Untuk menerangkan lebih jelas tentang model persaingan dua spesies perlu disajikan grafik-grafik solusi dari masalah tersebut dan intrepretasi secara mendalam dari grafik-grafik tersebut.

59

Anton, H. 1987.Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.

Boyce, W.E. & DiPrima, R.C. 2000. Elementary Differential Equations and

Boundary Value Problems. New York: Department of Mathematical

Sciences Rensselaer Polytechnic Institute.

Du, N. 2007. Dynamics of Predator-Prey Population with Modified Leslie-Gower and Holling-Type II Schemes. Acta Mathematica Vietnamica, 32(1): 99-111.

Haberman, R. 1977. Mathematical Models, Mechanical Vibration, Population

Dinamic, and Traffic Flow, An Introduction to Applied Mathematic. New

Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Hunsicker, M. E., L. Ciannelli., K. M. Bailey., J.A. Buckel., J. W. White., J. S. Link., T. E. Essington., S. Gaichas., T. W. Anderson., R. D. Brodeur., K. S. Chan., K. Chen., G. Englund., K. T. Frank., V. Freitas., M. A. Hixon., T. Hurst., D. W. Jhonson., J. F. Kitchell., D. Reese., G. A. Rose., H. Sjodin., W. J. Sydeman., H. W. V. D Veer., K. Vollset., & S. Zador. 2011. Functional Responses and Scaling in Predator-Prey Interactions of Marine Fishes: Contemporary Issues and Emerging Concepts. Ecology Letters.

Liu, X. & Chen. 2003. Complex Dynamics of Holling Type II Lotka-Volterra

Predator-Prey System with Impulsive Perturbations on the Predator.

Chaos, Solutions and Fractals, 16: 311-320.

Ndam, J.N. & T.G. Kassem. 2009. A Mathematical Model for The Dynamics of Predator-Prey Interactions in A Three-Trophic Level Food Web.

Continental J. Applied Sciences, 4: 32 – 43.

Nurhamiyawan, E. N. L., Prihandono, & Helmi. 2013. Analisis Dinamika Model Kompetisi Dua Populasi yang Hidup Bersama di Titik Kesetimbangan Tidak Terdefinisi.Bimaster, 2(3):197-204.

Olsder, G. J. 1994. Mathematic System Theory. The Netherlands: Delftse Uitgevers Maatscappij.

Perko, L. 1991. Differential Equation and Dynamical System. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Purnamasari, D., Faisal., & Noor, A. J. 2009. Kestabilan Sistem Predator-Prey

Leslie.Jurnal Matematika Murni dan Terapan, 3(2):51-59.

Riberu, P. 2002. Pembelajaran Ekologi.Jurnal Pendidikan Penabur, 1: 125-132. Robinson, J. C. 2004. An Introductiont: Ordinary Differential Equation.

Cambridge: University Press Cambridge.

Ruan, S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete Delay. Math. Model Nat. Phenom,4:140-188.

Ruan, S. & D. Xiao. 2001. Global Analysis in a Predator-Prey System with Nonmonotonic Functional Response. SIAM J Appl Math, 61(4):1445– 1472.

Roat, M. 2012. Bifurkasi Hopf pada Sistem Predator Prey dengan Fungsi Respon Tipe II.Journal Universitas Negeri Yogyakarta, 3(3):1-2.

Skalski, G. T. & J. F. Gilliam. 2001. Functional Responses with Predator Interference: Viable Alternatives to The Holling Type II Model. Ecology, 82(11): 3083–3092.

Tian, X. & R. Xu. 2011. Global Dynamics Of A Predator Prey System with Holling Type II Functional Response. Modelling and Control,16 : 242– 253.

Tsai, C. H. & H. C. Pao. 2004. Global Stability for the Leslie-Gower Predator-Prey System with Time-Delay and Holling’s Type Functional Response.

Tunghai Science, 6: 43-72.

Timuneno, Henry M., R. H. Utomo., dan Widowati. 2008. Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda.Jurnal Matematika, 11(1):43-51.

Waluya, St. B. 2006.Diferensial Equation. Graha Ilmu: Yogyakarta.

Wiggins, S. 2003. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and

Chaos.New York: Springer-Verlag.

Xue, Y. & X. Duan. 2011. The Dynamic Complexity of a Holling Type-IV Predator-Prey System with Stage Structure and Double Delays. Hindawi

62

1. Analisis dan Potret Fase Titik dengan ekuilibrium (0,0) dan (1,0) dengan > + dan > + > > > > > > >

>

2. Analisis dan potret fase titik ekuilibrium , dengan > + dan

> + , serta titik dengan > + , _{√ < 1}, > 0dan > 0

>

> >

>

>

3. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan syarat > + , _{√ > 1}dan

> 0

>

> > > > > >

4. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , _{√ < 1}, dan > 0

>

>

>

>

>

>

5. Trayektori untuk titik ekuilibrium dengan > + , _{√ < 1}, > 0dan

< 0

>

> > > > > >