SIMULASI NUMERIK
Pada bagian ini akan dibahas nilai parameter dan simulasi numerik yang dilakukan untuk mengontrol penyebaran virus H1N1 dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde-4 pada perangkat lunak.
Nilai Parameter
Parameter dari model penyebaran virus H1N1 ada enam yaitu tingkat kontak individu terinfeksi dengan individu rentan , tingkat perekrutan individu baru , tingkat kematian alami , tingkat kematian yang disebabkan virus H1N1 , tingkat penyembuhan , dan total populasi .
Tingkat kefektifan kontak dipengaruhi oleh bilangan reproduksi dasar yang ditentukan dari persamaan
. Nilai bilangan reproduksi dasar yang
digunakan untuk simulasi ada dua yaitu dan . Nilai bilangan reproduksi dasar berbanding lurus dengan tingkat kontak. Semakin besar bilangan reproduksi dasar, maka tingkat kontak antara populai terinfeksi dengan populasi rentan juga akan semakin besar. Nilai kontak berturut-turut adalah dan .
Nilai parameter untuk tingkat perekrutan individu baru bersifat konstan ( ). Tingkat kematian alami individu diasumsikan berbanding terbalik dengan angka harapan hidup saat lahir. Angka harapan hidup saat lahir pada tahun 2012 di Indonesia adalah 71 tahun, sehingga tingkat kematian alami di Indonesia adalah (WHO 2013).
Tingkat kematian yang disebabkan oleh virus H1N1 berbeda untuk masing-masing negara, rata-rata berkisar antara sampai (Vaillant et al. 2009). Pada karya ilmiah ini tingkat kematian disebabkan oleh virus H1N1 adalah
. Tingkat penyembuhan ditentukan dari lamanya masa pengobatan. Pada karya ilmiah ini lamanya masa pengobatan diambil 4, 5, dan 6 hari, sehingga tingkat penyembuhan masing-masing sebesar , , dan per individu per hari. Total populasi diambil berdasarkan jumlah penduduk Kabupaten dan Kota Bogor tahun 2012 yaitu sebanyak orang (BPS Jabar 2012). Nilai-nilai parameter tersebut diberikan oleh Tabel 2.
14
Tabel 2 Nilai-nilai parameter
Parameter Definisi Nilai
Tingkat kontak individu terinfeksi dengan individu
rentan
Tingkat perekrutan (lahir dan migrasi)
Tingkat kematian alami
Tingkat kematian yang disebabkan virus H1N1
Tingkat penyembuhan , ,
ket: Nilai untuk .
Nilai untuk .
Nilai awal untuk sistem persamaan diferensial taklinear diberikan oleh Tabel 3. Tabel 3 Nilai awal untuk model penyebaran virus H1N1 Nilai awal (orang)
Hasil Simulasi
Simulasi numerik yang dilakukan ada dua yaitu membandingkan dinamika masing-masing populasi sebelum dan setelah pemberian kontrol ke dalam sistem dengan nilai bilangan reproduksi dasar yang berbeda dan membandingkan efek penyembuhan yang berbeda (bergantung pada lamanya periode pengobatan) terhadap dinamika populasi dari individu yang terinfeksi. Parameter dan nilai awal yang akan digunakan untuk simulasi numerik diberikan pada Tabel 2 dan Tabel 3. Simulasi numerik pertama akan membandingkan perubahan masing-masing populasi sebelum dan setelah pemberian kontrol dengan bilangan reproduksi dasar yang berbeda. Gambar-gambar dibawah ini membandingkan perubahan yang terjadi pada populasi terinfeksi, populasi rentan, populasi yang disembuhkan sebelum dan setelah pemberian kontrol ke dalam sistem dan menampilkan fungsi kontrol yang diperoleh.
15
Gambar 3 Dinamika populasi terinfeksi tanpa dan dengan kontrol untuk
Gambar 4 Dinamika populasi terinfeksi tanpa dan dengan kontrol untuk Dinamika populasi individu terinfeksi dengan pada Gambar 3 menunjukkan peningkatan secara drastis populasi terinfeksi tanpa kontrol sampai akhir waktu dan jumlah individu terinfeksi paling banyak sesuai durasi yang diberikan terjadi pada hari ke- sebanyak orang. Pemberian vaksin sebagai kontrol mengurangi jumlah individu yang terinfeksi lebih banyak. Jumlah
16
individu terinfeksi setelah pemberian kontrol paling banyak terjadi pada hari
sebanyak orang. Tingkat keefektifan pemberian vaksin untuk mengontrol penyebaran virus H1N1 dihitung dengan membandingkan penurunan jumlah individu terinfeksi setelah pemberian kontrol dengan jumlah individu terinfeksi tanpa kontrol saat penyakit mewabah. Tingkat keefektifan vaksin untuk bilangan reproduksi dasar adalah . Pada Gambar 4, dinamika populasi individu terinfeksi dengan menunjukan peningkatan secara drastis populasi terinfeksi tanpa kontrol dan mencapai titik puncak penyebaran penyakit H1N1 pada hari ke-78 sebanyak orang. Titik puncak penyebaran H1N1 setelah pemberian kontrol terjadi pada hari ke- sebesar orang. Tingkat keefektian pemberian kontrol ke dalam sistem untuk bilangan reproduksi dasar adalah . Penurunan signifikan jumlah individu terinfeksi setelah pemberian kontrol ke dalam sistem menunjukan bahwa fungsi kontrol yang diperoleh berhasil mengontrol penyebaran H1N1.
Bilangan reproduksi dasar sangat berpengaruh terhadap dinamika populasi individu terinfeksi. Semakin besar bilangan reproduksi dasar akan menyebabkan semakin besarnya nilai kontak antara individu terinfeksi dengan individu yang rentan, sehingga jumlah individu rentan yang dapat terinfeksi virus H1N1 juga akan semakin banyak. Dinamika populasi individu terinfeksi sebelum pemberian kontrol dengan bilangan reproduksi dasar yang berbeda diberikan pada Gambar 5.
17
Gambar 6 Dinamika populasi rentan tanpa dan dengan kontrol untuk
18
Gambar 8 Dinamika populasi disembuhkan tanpa dan dengan kontrol untuk
19
Gambar 10 Kontrol optimum
Laju berkurangnya jumlah individu rentan dengan kontrol pada Gambar 6 lebih besar dibandingkan dengan laju berkurangnya jumlah individu rentan tanpa pemberian kontrol untuk . Setelah pemberian kontrol, jumlah individu rentan jauh lebih sedikit dibandingkan dengan tanpa adanya pemberian kontrol. Penurunan populasi rentan setelah kontrol terjadi karena fungsi kontrol mentransfer individu rentan menjadi individu disembuhkan. Populasi rentan untuk
pada Gambar 7 menurun drastis sampai hari ke-77 program vaksinasi. Jumlah individu yang rentan dengan adanya kontrol lebih kecil dibandingkan dengan jumlah individu yang rentan tanpa kontrol sampai hari ke-77 program vaksinasi. Setelah itu, jumlah individu yang rentan dengan kontrol lebih besar dibandingkan dengan jumlah individu yang rentan tanpa kontrol.
Populasi rentan tanpa kontrol untuk berkurang lebih banyak dibandingkan dengan populasi rentan tanpa kontrol untuk . Hal ini disebabkan oleh tingkat kontak yang semakin besar untuk bilangan reproduksi dasar yang besar, sehingga jumlah individu rentan yang ditransfer ke dalam populasi terinfeksi juga semakin banyak.
Populasi yang disembuhkan pada Gambar 8 dengan menunjukkan terjadinya peningkatan jumlah individu yang disembuhkan setelah pemberian kontrol sampai akhir program vaksinasi. Laju bertambahnya jumlah individu yang disembuhkan dengan kontrol lebih besar dibandingkan dengan laju bertambahnya jumlah individu yang disembuhkan tanpa kontrol. Jumlah individu yang disembuhkan untuk setelah pemberian kontrol pada Gambar 9 lebih banyak dibandingkan dengan jumlah individu yang disembuhkan tanpa kontrol sampai hari ke-83 program vaksinasi. Setelah itu, jumlah individu yang disembuhkan dengan kontrol lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah individu yang disembuhkan tanpa kontrol. Hal ini disebabkan oleh nilai fungsi kontrol yang semakin mengecil seiring dengan berkurangnya jumlah individu terinfeksi
20
menuju akhir program vaksinasi. Nilai fungsi kontrol yang semakin mengecil mengakibatkan semakin sedikit jumlah individu rentan yang ditransfer ke populasi yang disembuhkan.
Gambar 10 menunjukkan perbandingan nilai fungsi kontrol dengan bilangan reproduksi dasar yang berbeda. Semakin besar bilangan reproduksi dasar yang digunakan akan menghasilkan fungsi kontrol yang lebih besar juga. Hal ini terjadi karena tingkat mewabah suatu penyakit bergantung kepada bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar yang lebih besar menyebabkan penyakit akan mewabah lebih cepat dan lebih banyak individu yang tertular penyakit. Namun, kedua fungsi kontrol yang diperoleh berhasil meminimumkan populasi yang terinfeksi virus H1N1 pada akhir program vaksinasi. Kontrol optimum mempunyai nilai maksimum pada awal program vaksinasi yaitu sebesar untuk dan untuk . Nilai fungsi kontrol turun sampai akhir program vaksinasi seiring dengan semakin berkurangnya jumlah individu yang terinfeksi. Pada waktu yang sama populasi yang rentan juga turun disebabkan oleh nilai fungsi kontrol. Nilai fungsional objektif yang dihasilkan berdasarkan nilai fungsi kontrol yang diperoleh adalah
untuk dan untuk .
Simulasi numerik yang kedua adalah membandingkan tingkat penyembuhan yang berbeda terhadap dinamika populasi individu terinfeksi. Tingkat penyembuhan individu terinfeksi bergantung pada lamanya periode pengobatan. Pada simulasi ini menggunakan tiga periode pengobatan yang berbeda yaitu 4, 5, dan 6 hari, sehingga tingkat penyembuhan masing-masing berdasarkan lamanya periode pengobatan secara berturut-turut adalah , , dan
per hari. Dinamika populasi individu terinfeksi dengan tingkat penyembuhan yang berbeda diberikan oleh Gambar 11.
Gambar 11 Dinamika populasi individu terinfeksi dengan kontrol untuk , , dan
21 Dinamika populasi individu yang terinfeksi dengan menggunakan tingkat penyembuhan mencapai titik puncaknya pada hari ke- , dengan menggunakan tingkat penyembuhan populasi individu terinfeksi mencapai titik puncaknya pada hari ke- , dan dengan menggunakan tingkat penyembuhan
populasi individu terinfeksi mencapai titik puncaknya pada hari ke- . Dinamika populasi individu terinfeksi akan turun secara drastis setelah mencapai titik puncaknya. Gambar 11 menunjukan bahwa tingkat penyembuhan yang lebih besar dapat mengurangi jumlah individu yang terinfeksi dengan lebih banyak di waktu akhir. Program Matlab untuk simulasi numerik dapat dilihat pada Lampiran 4.
SIMPULAN
Model yang digunakan untuk menggambarkan masalah penyebaran virus H1N1 adalah model Susceptible Infected Recovered (SIR). Populasi dalam model SIR dibagi menjadi tiga kelas epidemiologi yaitu kelas yang rentan , kelas yang terinfeksi , dan kelas yang disembuhkan .
Simulasi numerik yang dilakukan ada dua yaitu simulasi numerik untuk membandingkan dinamika masing-masing populasi dengan bilangan reproduksi dasar yang berbeda sebelum dan setelah pemberian kontrol dan simulasi numerik untuk melihat dinamika populasi individu terinfeksi terhadap tingkat penyembuhan yang berbeda. Populasi terinfeksi berkurang secara drastis setelah adanya pemberian kontrol ke dalam sistem. Jumlah individu yang terinfeksi dengan adanya program vaksinasi jauh lebih kecil dibandingkan dengan tanpa adanya program vaksinasi. Semakin besar nilai bilangan reproduksi dasar maka tingkat kontak antara individu terinfeksi dengan individu rentan semakin besar, sehingga individu rentan akan semakin banyak yang terinfeksi virus H1N1 dan penyakit mewabah lebih cepat. Periode pengobatan yang lebih singkat menghasilkan tingkat penyembuhan yang besar dan mengurangi jumlah individu yang terinfeksi virus H1N1 dengan lebih banyak pada waktu akhir.