HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Simulasi Perambatan Soliton
4.2 Simulasi Perambatan Soliton Akibat Gangguan pada Amplitudo
Keadaan kedua yakni karakteristik solusi hingga orde-5 yang diberi gangguan. Gangguan yang diberikan yakni terhadap amplitudonya dengan mengalikan persamaan stabil �1 ,�
dengan suatu nilai 1 + . Untuk keadaan ini nilai ɛ yang digunakan adalah 0.5. Penjelasan mengenai perubahan yang terjadi saat keadaan stabil dengan keadaan saat diberikan gangguan dapat dilihat pada Gambar 5 dan 6 sebagai berikut ini:
Gambar 5. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi I.
(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi
(b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir.
(a) (a) 10 (b) nl (pm) T (s) nl (pm) yn (p m ) nl (pm) T (s) yn (p m ) yn (p m )
Gambar 6. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi II
(a) profil soliton DNA dalam tiga dimensi
(b) plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir
Dari kedua gambar diatas terlihat perbedaan antara solusi stabil (tanpa gangguan) dengan solusi yang diberi gangguan. Pada soliton DNA yang diberi gangguan terbentuk undulasi. Pada saat undulasi terjadi penyempitan yang diiringi dengan kenaikan amplitudonya. Gambar 5 dan 6 menunjukkan bahwa amplitudo untuk solusi gangguan lebih tinggi dibandingan dengan solusi stabil sehingga menunjukkan bahwa gangguan yang diberikan pada anzatz mempengaruhi amplitudo dari soliton. Perubahan profil pada soliton itu sendiri juga terjadi, hal ini terlihat dengan perubahan amplitudo yang terjadi serta soliton yang mengalami dispersi lebih besar dari keadaan stabilnya. Hal ini dapat berarti gangguan yang diberikan juga mempengaruhi hubungan dispersi pada persamaan Hamiltoniannya.
Pada kasus ini terdapat dua keadaan yakni solusi perturbasi I dengan nilai
1 + yang dikalikan hanya pada satu parameter sedangkan pada solusi perturbasi II terdapat dua parameter yang dikalikan dengan 1 + . Dari Gambar 5 dan 6 dapat terlihat bahwa undulasi pada solusi II tampak lebih lebar daripada solusi I namun nilai amplitudo undulasi pada solusi II lebih kecil dari solusi I. Undulasi pada keadaan solusi perturbasi
ini mengakibatkan pengurangan jumlah nukleotida dalam proses denaturasi. Dalam hal ini, nukleotida pada solusi II berkurang lebih sedikit jika dibandingan dengan jumlah nukleotida pada solusi I.
Hasil numerik yang dapat dijelaskan dari solusi perturbasi I dan II yakni terjadi peristiwa undulasi pada keduanya. Peristiwa undulasi terjadi ketika soliton mengalami penyempitan karena efek nonlinier mengalami ketidakstabilan yang lebih dominan daripada efek dispersinya. Pada peristiwa ini terjadi pengurangan jumlah eksitasi nukleotida yang terlibat dalam proses denaturasi dimana nukleotida yang awalnya meregang menjadi terhalangi akibat efek nonlinier ini.
4.3 Simulasi Interaksi Dua Buah
Soliton
Bagian ini membahas mengenai simulasi dari interaksi dua buah soliton dimana persamaan yang digunakan adalah �1 ,� = (3 )1/4sech1/2 2 − �exp[�] ………... (56) (b) 11 yn (p m ) nl (pm)
Dengan membuat variasi pada nilai beda fase (θ) yakni degan nilai θ = 0, θ = �2,
dan θ = π) didapatkan hasil simulasinya yang ditunjukkan pada Gambar 7 berikut
Gambar 7. Karakteristik solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde lima Perturbasi III plot hubungan yn (pm) terhadap nl (pm), dimana grafik berwarna merah menunjukkan grafik pada saat Tawal, dan grafik biru menunjukkan grafik pada saat Takhir
(a) profil soliton DζA dalam tiga dimensi untuk θ = 0 (b) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π/2 (c) profil soliton DNA dalam tiga dimensi untuk θ = π
12 (a) (b) (c) yn (p m ) nl (pm) yn (p m ) nl (pm) yn (p m ) nl (pm)
Untuk kondisi x= 0.0005 pm dan θ = 0, artinya, jarak antara soliton satu dengan yang lain adalah 0.0005 pm dengan beda fase 0. Pada gangguan ini tampak pada gambar 7, kedua soliton yang awalnya terpisah dengan jarak 0.0005 menjalar dengan bentuk dan kecepatan yang sama, kemudian kedua soliton semakin mendekat namun masih dalam kondisi yang sama (tetap stabil).
Untuk kondisi interaksi dua soliton pada θ = �2 dan θ = π terlihat bahwa hasil yang diperoleh sama seperti pasa kondisi θ = 0 yakni pada awalnya terbentuk dua buah soliton yang terpisah dengan jarak 0.0005 pm dengan amplitudo dan kecepatan yang sama namun sampai akhir kondisi ini tetap sama dan tidak ada perubahan yang signifikan. Hal ini berarti beda fase tidak memberikan pengaruh yang cukup signifikan terhadap kondisi selanjutnya. Terlihat pula bahwa soliton mengalami undulasi, kenaikan dan penurunan amplitudo, serta dispersi yang semakin meningkat.
BAB 5
SIMPULAN
Pada penelitian sebelumnya15, telah diperoleh solusi analitik untuk persamaan NLS kubik DNA model PBD. Model PBD merupakan model yang menggambarkan denaturasi DNA. Penelitian ini dilakukan untuk mencari solusi numerik persamaan NLS kubik DNA model PBD dengan menggunakan metode finite-difference dengan interpolasi Lagrange. Hasil yang diperoleh dari solusi numerik yang dilakukan adalah bagaimana profil dari dinamika DNA saat terjadi proses denaturasi dimana DNA mengalami dinamika yang cukup stabil dari proses awal hingga akhirnya. Keadaan DNA model PBD yang ditinjau pada penelitian ini yakni keadaan stabil (tanpa gangguan), diberi gangguan serta interaksi dua buah solusi soliton. Dengan
menggunakan metode finite-difference dan interpolasi Lagrange sebagai syarat batas terkait maka akan diperoleh solusi numeriknya dalam bentuk grafik tiga dimensi dan dua dimensi.
Pada keadaan stabil (tanpa gangguan) terlihat bentuk dari profil soliton dengan amplitudo yang cukup stabil serta gambaran umum proses replikasi (denaturasi) DNA yang bergerak dominan ke arah un. Keadaan kedua yakni karakteristik solusi hingga orde lima yang diberi gangguan. Gangguan yang diberikan yakni terhadap amplitudonya dengan mengalikan persamaan stabil �1 ,� dengan suatu nilai 1 + . Kondisi ini menunjukkan bahwa amplitudo untuk solusi gangguan lebih tinggi dibandingan dengan solusi stabil sehingga menunjukkan bahwa gangguan yang diberikan pada anzatz mempengaruhi amplitudo dari soliton. Perubahan profil pada soliton itu sendiri juga terjadi, yakni pada perubahan amplitudo serta dispersi lebih besar dari keadaan stabilnya. Saat diberi gangguan terlihat pula di gambar bahwa terdapat undulasi. Peristiwa undulasi terjadi ketika soliton mengalami penyempitan karena efek nonlinier mengalami ketidakstabilan yang lebih dominan daripada efek dispersinya. Pada peristiwa ini terjadi pengurangan jumlah eksitasi nukleotida yang terlibat dalam proses denaturasi dimana nukleotida yang awalnya meregang menjadi terhalangi akibat efek nonlinier ini.
Pada interaksi dua soliton dengan jarak x telah ditinjau kasus tiga kondisi fase awal yaitu dengan membuat variasi pada beda fase diantara kedua soliton, yaitu pada saat θ = 0, �2 ,dan π. Interaksi dua soliton pada jarak x dapat diartikan sebagai proses denaturasinya, dimana nukleotida terlokalisasi dalam dua ruang. Untuk kondisi x= 0.0005 pm dan θ = 0, artinya, jarak antara soliton satu dengan yang lain adalah 0.0005 pm dengan beda fase 0. Pada gangguan ini terlihat bahwa kedua soliton yang awalnya terpisah dengan jarak 0.0005 menjalar dengan
bentuk dan kecepatan yang sama, kemudian kedua soliton semakin mendekat namun masih dalam kondisi yang sama (tetap stabil). Begitupula untuk kondisi interaksi dua soliton pada θ = �2 dan θ = π yakni pada awalnya terbentuk dua buah soliton yang terpisah dengan jarak 0.0005 pm dengan amplitudo dan kecepatan yang sama namun sampai akhir kondisi ini tetap sama dan tidak ada perubahan yang signifikan. Hal ini berarti beda fase tidak memberikan pengaruh yang cukup signifikan terhadap kondisi selanjutnya. Terlihat pula bahwa soliton mengalami undulasi, kenaikan dan penurunan amplitudo, serta dispersi yang semakin meningkat.
SARAN
Untuk pengembangan selanjutnya, ada beberapa hal yang perlu dilakukan. Metode numerik yang digunakan sebaiknya yang mempunyai tingkat akurasi yang tinggi dan mengekpansi potensial morse hingga orde yang lebih tinggi agar perhitungan solusi dapat lebih cepat dan hasilnya akurat (mendekati keadaan sebenarnya). Selain itu penelitian ini dapat dikembangkan dengan mengamati DNA model lainnya atau dapat pula meninjau untuk gerak longitudinal atau gerak torsional untuk DNA model PBD.
DAFTAR PUSTAKA
1. Yakushevich, L.V. (1998).Nonlinear Physics of DNA. Wiley Series in Nonlinear Science, John Wiley, Chichester.
2. Christiansen, P. L., Lomdahl, P.S. & Muto, V. (1990). On a Toda lattice model with a transversal degree of freedom. Nonlinearity 4, 477-501. 3. Muto, V., Scott A.C., Christiansen
P.L. (1989). Microwave and thermal
generation of solitons in DNA. J. de Phys. 50 (C3), 217-222.
4. Ichikawa, Y. H., Konno K, Wadati M. (1981). Nonlinear transverse oscillation of elastic beams under tension. J. Phys. Soc. 50, 1799. 5. Peyrard, M. and Bishop, A.R.
(1989). Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation. Phys. Rev. Lett. 62, 2755-2758.
6. E. Fermi, J. R. Pasta and S. Ulam, Los Alamos Report LA-UR-1940 (1955); reprinted in Collected Papers of Enrico Fermi, edited by E. Segr¶e, University of Chicago, Chicago (1965).
7. A. C. Scott. (1999). Nonlinear Science. Oxford University, Oxford. 8. Englander, S.W., Kalenbach, N.R.,
Heeger, A.J., Krumhansl, J.A. and Litwin, S. (1980). Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of soliton excitations. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 77, 7222-7226.
9. T. Dauxois, M. Peyrard, and A. R. Bishop. (1993). Entropy-driven DNA denaturation. Phys. Rev. E 47, R44.
10. Dauxois, T. (1991). Dynamics of breathers modes in a nonlinear “helocoidal” model of DζA. Phys. Lett. A-159, 390-395.
11. Dauxois, T. and Peyrard, M. (1991). Dynamics of Breather Modes in a Nonlinear Helicoidal Model of DNA. Lecture Notes in Physics 393, Dijon, p.79.
1β. Zdravković, S. and Satarić, ε.V. (β001). „Impact of viscosity on DNA dynamics‟, Phys. Scripta 64, 612-615.
13. Satarić, ε.V. and Tuszyński, J.A. (2002). Impact of regulatory proteins on the nonlinear dynamics of DNA. The American Physics Society. 65, 1-10.