TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Replikasi DNA

DNA atau asam deoksiribonukleat merupakan polimer yang terdiri atas tiga komponen utama, yaitu gugus fosfat, gula deoksiribosa, dan basa nitrogen¹⁹. Salah satu fungsi pokok DNA adalah menyimpan informasi genetik dan dengan tepat dapat meneruskan informasi tersebut dari tetua kepada keturunannya, dari generasi ke generasi. Fungsi ini merupakan fungsi genotipik, yang dilaksanakan melalui replikasi.

Ada tiga cara teoretis replikasi DNA yang pernah diusulkan, yaitu semikonservatif, konservatif, dan dispersif (lihat Gambar 1). Pada replikasi semikonservatif tangga berpilin mengalami pembukaan terlebih dahulu sehingga kedua untai polinukleotida akan saling terpisah, namun masing-masing untai ini tetap dipertahankan dan akan bertindak sebagai cetakan (template) bagi pembentukan untai polinukleotida baru. Pada replikasi konservatif seluruh tangga berpilin DNA awal tetap dipertahankan dan akan mengarahkan pembentukan tangga berpilin baru. Pada replikasi dispersif kedua untai polinukleotida mengalami fragmentasi di sejumlah tempat. Fragmen-fragmen polinukleotida yang terbentuk akan menjadi cetakan bagi fragmen nukleotida baru sehingga fragmen lama dan baru akan dijumpai berselang-seling di dalam tangga berpilin yang baru.

Di antara ketiga cara replikasi DNA yang diusulkan tersebut, hanya cara semikonservatif yang dapat dibuktikan kebenarannya melalui percobaan yang dikenal dengan nama sentrifugasi seimbang dalam tingkat kerapatan atau

equilibrium density-gradient centrifugation. Percobaan ini dilaporkan hasilnya pada tahun 1958 oleh M.S. Meselson dan F.W. Stahl.¹⁹

Gambar 1. Tiga cara teoritis replikasi DNA.¹⁹

2.2 Solusi Model DNA PBD

Model yang digunakan untuk mendeskripsikan dinamika molekul DNA pada penelitian ini adalah model Peyrard-Bishop-Dauxois. Bentuk B-DNA dalam model Watson-Crick merupakan helix ganda, yang terdiri atas dua alur yang digabungkan melalui ikatan hidrogen (alur s1 dan s2) seperti terlihat pada Gambar 2. Salah satu alur dapat diasumsikan sebagai sebuah massa umum m untuk semua nukleotida yang memiliki nilai sama untuk konstanta kopling k untuk interaksi longitudinalnya^5,14. Struktur helicoidal dari rantai DNA menunjukkan bahwa nukleotida dari alur yang berbeda menjadi cukup dekat sehingga alur-alur tersebut dapat berinteraksi. Ini berarti bahwa suatu nukleotida n disalah satu alur berinteraksi dengan kedua nukleotida (n+h) dan (n-h) pada alur lainnya.

2 2

Gambar 2. Representasi grafis model pegas sederhana untuk rantai DNA.¹⁰

Nukleotida mengalami gerak transversal un dan vn dari posisi kesetimbangan di sepanjang arah ikatan hidrogen. Energi nukleotida tersebut direpresentasikan melalui Hamiltonian untuk rantai DNA ^{10, 11,13}

�= ₂ 2+ 2 +

2 − −1 ²+

− −12+ 2 − + 2+ −

− 2+�[ ^ − ( _ − _ ) −1]2

………….…...….. (1)

Dimana k adalah konstanta harmonik helicoid untuk untai yang sama; K adalah konstanta harmonik helicoid untuk untai yang berbeda; H adalah Hamiltonian potensial morse yang mendekati potensial ikatan hidrogen; D adalah kedalaman potensial morse; dan a adalah jarak antar nukleotida pada rantai yang berbeda.

Dari Persamaan (1) akan lebih mudah untuk menggambarkan gerakan dua alurnya dengan membuat transformasi ke koordinat pusat massa yang mewakili gerak ke dalam dan gerakan keluar untuk

gerakan transversal, yaitu

= ⁺

2 , = −

2 ………... (2) Dengan menyubstitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1) maka akan diperoleh persamaan dinamis yang menggambarkan gelombang linear dan gelombang nonlinier. = ₊₁+ −1−2 + + + − −2 …... (3) dan = ₊₁+ −1−2 − + + − ^{+ 2 +} 2 2 �[ ^(− 2 _ )− 1] ^(− 2 _ ) ..…………. (4) Seperti dijelaskan dalam beberapa artikel^{10,11,13,16-18} dapat diterapkan transformasi

= ^1/2Φ atau Φ = _1/2 …... (5) Dimana faktor skala 0 < ɛ << 1 membolehkan kita untuk mengembangkan potensial Morse menjadi ekspansi Taylor orde lima dengan menyesuaian pada Hamiltonian sehingga didapatkan persamaan gerak untuk Φ

Φ = Φ +1+Φ ₋1−2Φ − Φ + +Φ ₋ + 2Φ − 2 Φ +∝ 1/2Φ2+ Φ3+ 3/2Φ 4 ………..…...…. (6) dimana 2=⁴ 2� , =−3 2, =⁷ 2 3 dan =−5 ³ 2 2 ...………... (7) Kita asumsikan pemecahan Persamaan (7) menggunakan pendekatan semi-diskrit sehingga solusi Φ diberikan sebagai berikut:

Φ =�1 , � _{+ . +}

1/2 �0 , +

�2 , 2� + . + ..(8)

dimana � ≡ � = � − ……….... (9) dengan parameter l, ω dan q=2π/λ dimana l merupakan jarak antara dua nukleotida tetangga pada rantai yang sama, q adalah bilangan gelombang soliton DζA, ω adalah frekuensi optik dari getaran pendekatan linear dan c.c adalah istilah conjugate-compleks dari fungsi F1 dan F2.

Untuk kasus semi-diskrit kita mengambil batas → untuk fungsi � sehingga secara umum menghasilkan pendekatan :

� ± ,ɛ → � , ± � , + 1

2

2 2 2� , ...(10) Dimana variabel kontinu z dan t telah disubtitusi = / , dan = / . Subtitusi Persamaan (8) kedalam Persamaan (6) dan dengan mengumpulkan

exp(i0) didapatkan bentuk hubungan dari ɛ1/2:

�0=� �1 ²…………...…... (11)

dengan �=−2 1 + ⁴ ₂

−1

...….. (12)

Selanjutnya dari hubungan harmonik exp(2i� ) kita dapat mengeluarkan ɛ0sehingga mengikuti relasi untuk �2 :

�2= �1² …………...…..…... (1γ)

dengan =

2

2 cos2� −1 − cos2� +1+ (4 2− 2) (14)

Berdasarkan hubungan Persamaan (11) dan (13) kita dapat mengikuti kondisi konsisten yang berasal dari ɛ3/2 dengan aturan exp(i� ):

α(μ² + β ²) + 6 (μ + ) + 6 = 0 ….... (15) Akhirnya dari hubungan harmonik exp(i� ) kita akan memperoleh persamaan :

2 ²�1

2 −2ɛ ^�1

− ²�1 = [2�1(cos� −1) + 2ɛ �1 sin� + ɛ2 2�1 cos�]− [2�1(cos� −1) + 2ɛ �1 sin� +

ɛ2 2 2�1 cos� ]− 2{�1+ ɛ[2 �+ + 3 ]|�1|²�1+ ɛ² 3 �2+ 2� + 2 ² + 4 3�+

4 |�1|⁴�1} ………... (16)

kemudian diperoleh hubungan dispersi sebagai berikut:

2=² 1−cos � +² cos � + 1+ 2 ……….…... (17) kemudian kita menerapkan transformasi koordinat baru = − � , �=

dengan Vgmerupakan kecepatan group

dari nukleotida sehingga Persamaan (16) menjadi :

� − ( sin� − sin� ) �1

=

2

2 [2 �+ + 3 ]|�1|²�1….….. (18) untuk orde ɛ, sedangkan untuk orde ɛ² :

1

2 �²− ²( cos� − 2cos� ) ^2�₂¹− ^�1 =−₂²[3 �2+ 2� + 2 ² + 4 3�+ 4 ]|�1|⁴�1……..… (19)

Dari hubungan dispersi yang diberikan oleh Persamaan (17) kita dapat menemukan hubungan kecepatan grup dari nukleotida dengan menetapkan � = / � sehingga diberikan :

� = sin� − sin� ... (20) dengan mudah dapat dilihat kecepatan grup pada Persamaan (20) menghilangkan

sisi kanan dari Persamaan (18) sehingga dari Persamaan (15) akan didapatkan:

βα(μ+ ) + γ = 0 …………... (21) dengan pemecahan secara simultan untuk kondisi Persamaan (15) dan (20) untuk μ dan :

�= − ± 10 ²−8

2 ………... (22a)

= −2 ± 10 ²−8

2 ………... (22b) dimana α, , dan telah diberikan pada Persamaan (7) sehingga untuk Persamaan (22) mudah dibuktikan selalu real pada

10 ²−8 =^{220 2}

9 > 0.

Dari penjumlahan Persamaan (22) dengan Persamaan (12) dan (14) dapat ditentukan nilai konstanta pegas k dan K dengan memasukan nilai parameter m, a, D, q, l dan h melalui hubungan berikut :

=−1 4 2 (1 +² �⁾……... (23) = 2 −3+4 [ 2� −2(cos� +1)] 4(cos� −1)² ... (24) sebagai ilustrasi, kita menganggap nilai parameter sebagai berikut¹⁶ :

l = 3.4 x 10⁻10 m, m = 5.1 x 10⁻25 kg, h = 5,

a = 0.9 x1010 −1, D = 9.6 x 10⁻21J …. (25) Akhirnya jelas bahwa Persamaan (19) tidak ada apa-apa tetapi persamaan NLS Kuintik dapat dituliskan dengan sederhana menjadi :

�1

� ⁺

²�1

² + �1 ⁴�1= 0 …...… (β6) dengan koefisien dispersi dan koefisien nonlinear : = ¹ 2 2 cos � − 2cos � − �2 ………..…….… (27) =−₂² 3 �2+ 2� + 2 ² + 4 3�+4 ………..……... (28) Agar Persamaan (26) dapat diselesaikan maka diberikan persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS kuintik �1 ,� = − � exp⁡[� − � ] (29) dengan F1 merupakan fungsi dari S dan �, Sedangkan merupakan frekuensi gelombang soliton DNA berperan sebagai varibel bebas dan − � merupakan fungsi real.

Masukan Persamaan (29) kedalam Persamaan (26) maka akan didapatkan bagian imajiner dengan hubungan:

�=

2 ………... (30) Sementara hasil bagian real mengikuti persamaan diferensial biasa :

′′ − + ⁵= 0………... (31) dimana:

= ^²−2

4 ² , = ……….... (γβ) Dengan memindahkan koordinat (S- �) dan mengalikan Persamaan (31) dengan ′ sebagai integral pertama maka akan didapatkan solusi sederhana:

− � = (³ )1/4sech1/2[2 − �] ... (33) Terakhir dengan menggabungkan Persamaan (8), (29), (30), (32) dan (33) serta mengembalikan Z  ɛnl dapat dituliskan hubungan persamaan kuintik NLS DNA model PBD semi diskrit sebagai berikut:

= 2 1/2Ʌ sech1/2 2ɛ − � cos � − � +Ʌɛ1/2 sech1/2 2ɛ −

� ^�₂+ cos2 � − � + (ɛ)……….. (34)

dengan : Ʌ= ^{3( 2}− ) 4 1/4