PERMINTAAN PADA TITIK KESETIMBANGAN
1.4 Sistematika Pembahasan
Penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen dibahas dalam lima bab. Bab I berisi latar belakang, tujuan penelitian, ruang lingkup penelitian, dan sistematika pembahasan. Bab II membahas landasan teori yaitu, percobaan acak, ruang contoh, kejadian dan peluang, peubah acak dan sebarannya, nilai harapan, simpangan baku dan ragam dari peubah acak yang diskret, teorema limit pusat, model risiko individu jangka pendek, model peubah acak klaim individu, himpunan dan fungsi konveks, kekontinuan suatu fungsi dan sifat-sifatnya, himpunan kompak dan sifat-sifatnya, fungsi banyak variabel, matriks definit dan pengoptimuman, pengoptimuman taklinear berkendala, dan titik kesetimbangan. Bab III membahas tentang penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan titik kesetimbangannya yaitu penentuan harga premi secara umum pada portfolio homogen dan heterogen, penentuan harga premi berdasarkan pendekatan dua masalah pengoptimuman, fungsi harga dan fungsi permintaan, eksistensi dan karakteristik dari titik kesetimbangan. Bab IV membahas tentang perhitungan harga premi berdasarkan fungsi permintaan pada titik kesetimbangannya, yaitu perhitungan harga premi dengan pendekatan pertama, perhitungan harga premi dengan pendekatan kedua,
dan simulasi kasus hipotetik. Bab V merupakan bagian terakhir, dikemukakan kesimpulan dari tesis ini.
Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen.
2.1 Percobaan Acak, Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan seringkali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini disebut percobaan acak.
(Hogg et al. 2005) Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang
contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.
(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya terdiri atas himpunan
bagian dari ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut: 1. Ø ℱ.
2. Jika ℱ, maka ℱ .
3. Jika , , … ℱ , maka ∞= ℱ.
(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan ℱ adalah medan- σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang P adalah suatu fungsi P : ℱ →[0,1] pada (Ω, ℱ ) yang memenuhi:
1. P(Ø) = 0 , P(Ω) = 1
2. Jika , , … ℱ adalah himpunan yang saling lepas yaitu = Ø untuk setiap pasangan i ≠j , maka P ( ∞= ) = ∑∞= ( ).
2.2 Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan ℱ adalah medan-� dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X : Ω → ℝ dengan sifat { Ω ∶ ( ) } ℱ untuk setiap x ℝ.
(Grimmett dan Stirzaker 2001) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital misalnya X,Y, atau Z, sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, atau z.
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari ℝ.
Catatan: Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung, jika C terdiri atas bilangan bulat terhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 7 (Fungsi Sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi :ℝ → [0, 1] yang dinyatakan sebagai ( ) = ( ).
(Grimmett dan Stirzaker 2001)
Definisi 8 (Fungsi Kerapatan Peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret adalah fungsi :ℝ → [0,1], yaitu ( ) = ( = ).
(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 9 (Sebaran Bernoulli)
Peubah acak diskret X disebut menyebar Bernoulli dengan parameter ,
0 < < 1, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh:
( ) =� (1− ) − 0
, = 0,1 , selainnya
Definisi 10 (Sebaran Normal)
Peubah acak dikatakan peubah acak normal, dengan parameter dan � jika fungsi kepekatan peluang bagi adalah:
( ; ,� ) = 1
�√2
−( −�) ⁄ � , − ∞< < ∞
(Ross 1996) 2.3 Nilai Harapan
Definisi 11 (Nilai Harapan)
Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi peluang ( ), maka nilai harapan dari X, yang dinotasikan dengan ( ) adalah
( ) = � ( ),
asalkan jumlah tersebut konvergen mutlak.
(Hogg et al. 2005) Teorema 2.1 (Sifat-sifat Nilai Harapan)
Misalkan dan peubah acak dengan nilai harapan berturut-turut ( ) dan
( ) maka berlaku:
1. Jika 0, maka ( ) 0.
2. Jika , ℝ maka ( + ) = ( ) + ( ).
3. Jika X adalah peubah acak konstan, dengan ( = ) = 1 untuk suatu konstanta, maka ( ) = .
4. Jika dan adalah bebas stokastik maka ( ) = ( ) ( ). Bukti pada lampiran 1.
2.4 Simpangan Baku dan Ragam dari Peubah Acak Diskret Definisi 12 (Simpangan Baku dan Ragam Peubah Acak Diskret)
Misalkan adalah peubah acak diskret dengan ( ) = adalah nilai harapan dari , dengan fungsi sebaran ( ), maka ( ) dan � masing-masing adalah ragam dan simpangan baku didefinisikan sebagai
( ) = [( − ) ] =�( − ) ( ) dan � =� [( − ) ]
2.5 Teorema Limit Pusat
Teorema 2.2 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan , , , adalah suatu barisan peubah acak yang menyebar bebas stokastik, masing-masing dengan rataan dan ragam � . Jika
=( + + + )−
�√
maka konvergen ke sebaran normal baku, dan ditulis �⎯⎯�Normal (0,1) untuk
→ ∞, atau lim →∞ ( ) = 1 √2 � − / . −∞ (Ross 1996) Bukti pada lampiran 2.
2.6 Model Risiko Individu Jangka Pendek
Dalam perhitungan asuransi, misalkan peubah acak kerugian dari tiap risiko dilambangkan dengan . Model risiko individu jangka pendek didefinisikan:
= + + +
dimana menyatakan besarnya kerugian tertanggung dari unit ke- , dan adalah banyaknya unit risiko tertanggung, dan dikatakan jangka pendek karena tidak mempertimbangkan perubahan nilai uang.
(Bowers et al. 1997) 2.7 Model Peubah Acak Klaim Individu
Pada suatu produk asuransi jiwa dalam satu jangka pembayaran, misalkan peserta membayar sebesar , peluang klaim dari peserta sebesar . Peubah acak klaim ( ) dengan fungsi massa peluang
( ) = ( = ) =� 1− 0 , = 0 , = , selainnya
( ) = ( ) =� 0 1− 1 , < 0, ,0 < , , .
Dari fungsi massa peluang didapat:
( ) =
( ) =
( ) = (1− ).
Peubah acak juga dapat ditulis dalam
= ,
dimana adalah peubah acak klaim dalam satu periode tertentu, menyatakan peubah acak klaim total dalam satu periode tersebut, dan adalah peubah acak indikator dimana = 1 jika terjadi klaim dan = 0 jika tidak terjadi klaim.
( ) dan ( ) dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan
( ) = � ( | )�, ( ) = � ( | )�+ � ( | )�, selanjutnya = [ | = 1], � = ( | = 1), dan didapat [ ] = , ( ) = (1− ) +� . (Bowers et al. 1997)
2.8 Himpunan dan Fungsi Konveks Definisi 13 (Himpunan Konveks)
Himpunan ⊂ ℝ dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap dan di , maka ruas garis yang menghubungkan dan juga terletak di .
(Peressini et al. 1988) Definisi 14 (Fungsi Konveks)
Fungsi dikatakan fungsi konveks pada selang jika dan hanya jika
( + (1− ) ) ( ) + (1− ) ( )
untuk setiap , dan untuk setiap 0 1.
Jika yang berlaku
( + (1− ) ) < ( ) + (1− ) ( ).
Untuk ≠ dan 0 < < 1 maka dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly conveks).
(Peressini et al. 1988) Definisi 15 (Ruang Metrik)
Misalkan � adalah himpunan sembarang. Fungsi :� × � → ℝdisebut metrik untuk � jika memenuhi sifat:
1. ( , ) > 0, , �, ≠ .
2. ( , ) = 0↔ = .
3. ( , ) = ( , ), , �.
4. ( , ) ( , ) + ( , ), , , �.
Jika adalah metrik untuk � maka (�, ) disebut ruang metrik.
2.9 Kekontinuan Suatu Fungsi dan Sifat-sifatnya Definisi 16 (Fungsi Kontinu)
Misalkan ( , ) dan ( , ) adalah ruang metrik. Fungsi : → dikatakan kontinu di jika dan hanya jika untuk setiap � > 0, ada �> 0 sedemikian rupa sehingga � ( ), ( )�< �, bila ( , ) <�.
Fungsi dikatakan kontinu pada jika dan hanya jika kontinu disetiap titik pada .
(Golberg 1976) 2.10 Himpunan Kompak dan Sifat-sifatnya
Definisi 17 (Selimut Buka)
Misalkan (�, ) adalah ruang metrik dan ⊂ �. Suatu koleksi himpunan buka
{ �} di � dikatakan selimut buka pada jika ⊆ � �..
(Golberg 1976) Definisi 18 (Himpunan Kompak)
Misalkan (�, ) adalah ruang metrik dan ⊂ �. Himpunan dikatakan kompak jika untuk setiap selimut buka { �} di terdapat � ,� , ,� berhingga sedemikian rupa sehingga:
⊆ � �
=
(Golberg 1976) 2.11 Fungsi Banyak Variabel
Notasi variabel untuk fungsi peubah banyak dituliskan sebagai �dengan �= � �= ( , , … , ) ℝ
dan huruf lain, misalkan y, z menyatakan hal yang serupa.
Gradien dan Matriks Hessian
Misalkan fungsi (�) = ( , , … , ) mempunyai turunan parsial orde pertama dan orde kedua yang kontinu, maka gradien fungsi f adalah
(�) =
(�) (�) (�)
dan matriks Hessian dari fungsi (�) adalah
(�) =
(�) (�) (�) (�) (�) (�)
⋱
(�) (�) (�)
Karena (�) fungsi kontinu, maka
(�)
= (�)
matriks Hessian (�) merupakan matriks simetrik.
(Peressini et al. 1988) 2.12 Matriks Definit dan Pengoptimuman
Definisi 19 (Minor Utama)
Misalkan matriks simetrik berukuran × . Minor utama ke- dari ,
dilambangkan dengan ∆ , adalah determinan dari anak matriks yang diperoleh dengan menghilangkan ( − ) baris terakhir dan ( − ) kolom terakhir dari matriks .
Teorema 2.3 (Matriks Definit)
Misalkan matriks simetrik berukuran × , dan misalkan ∆ adalah minor utama ke- dari untuk 1 , maka
1. definit positif jika dan hanya jika ∆ > 0 untuk = 1, , .
2. definit negatif jika dan hanya jika (−1) ∆ > 0, untuk = 1, , .
Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 17.
Teorema 2.4 (Minimum/Maksimum Lokal)
Misalkan (�) fungsi yang mempunyai turunan parsial pertama dan kedua yang kontinu di ⊂ ℝ . Misalkan �∗ titik interior (bukan titik batas) dari dan �∗ titik kritis dari fungsi . Misalkan (�) adalah matriks Hessian dari fungsi (�).
Maka �∗ adalah
1. Minimum lokal untuk (�) jika (�∗) definit positif. 2. Maksimum lokal untuk (�) jika (�∗) definit negatif. Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 22.
2.13 Pengoptimuman Taklinear Berkendala
Suatu permasalahan optimasi disebut taklinear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk taklinear pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan.
Bentuk umum pengoptimuman ini adalah masalah ( ) untuk memaksimumkan atau meminimumkan (�) dengan kendala (�). Misalkan � ⊂ ℝ dan (�), (�) merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pertama yang kontinu. Fungsi (�) adalah fungsi tujuan dan (�) 0, = 1, … , , adalah fungsi kendala. Daerah penyelesaian dari fungsi kendala untuk masalah ( ) disebut daerah fisibel, dan titik � yang terdapat dalam daerah tersebut disebut titik fisibel.
Definisi 20 (Titik Reguler)
Titik fisibel �∗dinamakan titik regular untuk masalah ( ), jika himpunan vektor � (�∗)| (�∗)�
adalah bebas linier dengan
(�∗) =� �1 , (�∗) = 0�
(Peressini et al. 1988) Teorema 2.5 (Kondisi Karush-Kuhn-Tucker)
Misalkan �∗ adalah titik reguler untuk masalah ( ). Jika �∗ adalah minimum lokal untuk masalah ( ), maka terdapat ∗ ℝ sehingga:
1. (�∗) +∑ = ∗ (�∗) = 0,
2. ∗ (�∗) = 0, untuk = , … ,
3. ∗ 0, untuk = , … ,
Catatan:
1. Fungsi = (�) + (�) disebut fungsi Lagrange dan ∗ ini disebut Pengali Lagrange.
2. Tiga syarat di atas dapat menjadi syarat cukup jika fungsi dan fungsi merupakan fungsi konveks.
Bukti: lihat Peressini et al. 1988 halaman 186. 2.14 Kesetimbangan
Definisi 21 (Kesetimbangan)
Kesetimbangan didefinisikan sebagai suatu konstelasi (keadaan) peubah-peubah tertentu yang saling terkait sedemikian rupa sehingga tidak ada kecenderungan dalam dirinya perubahan dalam model yang dibangun oleh peubah-peubah tersebut.
DAN TITIK KESETIMBANGANNYA
Pada penelitian ini, suatu portfolio memiliki sejumlah kelas risiko. Tiap kelas terdiri dari , = 1, , peserta dengan jumlah besar, dan telah ditetapkan, sehingga teorema limit pusat dapat diberlakukan. Risiko-risiko yang terdapat dalam portfolio diasumsikan terdistribusi secara bebas dan identik. Perusahaan asuransi menentukan harga premi untuk sejumlah risiko berdasarkan dua prinsip yaitu:
1. Peluang dari seluruh klaim melebihi premi total yang diterima (peluang kebangkrutan) ditetapkan sebesar �, 0 < �< 1.
2. Harga premi akan diperhitungkan naik pada saat perkiraan jumlah klaim naik.
Selanjutnya akan diuraikan mengenai penentuan harga premi pada portfolio homogen dan portfolio heterogen.
3.1 Penentuan Harga Premi Secara Umum pada Portfolio Homogen dan Heterogen
3.1.1 Penentuan Harga Premi pada Portfolio Homogen
Misalkan suatu portfolio yang terdiri dari sejumlah risiko yaitu
, , , dan adalah harga premi untuk risiko ke-i. Penentuan harga premi menggunakan prinsip pertama yaitu, peluang kebangkrutan kurang atau sama dengan �, 0 <� < 1, adalah �� = � = � �. (3.1)
Portfolio homogen memiliki sejumlah risiko , = 1, , yang bebas stokastik identik dengan rataan dan ragam � , dan harga premi adalah .
Misalkan
= �
=
, = [ ] = , dan � = ( ) = � ,
di mana adalah risiko total, dan � berturut-turut adalah rataan dan ragam dari risiko total. Berdasarkan parameter tersebut, maka persamaan (3.1) menjadi:
( ) �,
sehingga harga premi adalah
= + −��
√ (3.2) dimana −� adalah 1− � persentil dari sebaran normal baku.
Bukti:
Menggunakan peluang kebangkrutan maksimum sebesar �, maka persamaan (3.1) menjadi
( ) =�
1− ( ) =� ( ) = 1− �
Menggunakan teorema limit pusat, persamaan tersebut menjadi
� − ( ) � ( ) − ( ) � ( )� = 1− � − ( ) � ( ) = −� − ( ) = −�� ( ) = ( ) + −�√ �
= + −��
√ ∎
3.1.2 Penentuan Harga Premi pada Portfolio Heterogen
Portfolio yang terdiri dari kelas risiko dinamakan portfolio heterogen. Asumsi-asumsi berikut berlaku untuk portfolio ini yaitu:
(a) Risiko- risiko di dalam portfolio bersifat bebas stokastik.
(b) Pada kelas ke- yang terdiri atas sejumlah risiko bebas stokastik identik yaitu , , , , menyebar sebagai , dengan rataan dan ragam � ,
= 1, , dan =∑ = .
(c) Banyaknya , = 1, , cukup besar sehingga dapat diberlakukan teorema limit pusat. Misalkan = ∑= , dan =∑ = adalah risiko total
portfolio, nilai rataan dan ragam � adalah
= [ ] =�
=
dan � =� [ ] =� �
=
.
Untuk portfolio heterogen, penentuan harga premi menggunakan dua metode perhitungan yaitu:
1. Metode individual.
Besar premi dihitung di tiap kelas risiko ke- dengan peluang � , menggunakan persamaan (3.2), yaitu:
= + −� �
� .
Pendekatan ini hanya berlaku untuk kelas ke- , = 1, , dan tidak memperhitungkan akibatnya untuk keseluruhan besar populasi portfolio.
2. Metode global.
Menghitung harga premi untuk seluruh kelas risiko berdasarkan prinsip pertama yaitu peluang kebangkrutan sebesar� :
��
=
�
=
� �,
dan dengan teorema limit pusat, harga premi untuk seluruh kelas adalah:
� = = + −��=� = + −��� � . = (3.3)
Persamaan (3.3) dapat dituliskan dalam formula lain yaitu:
= + −� (3.4)
dimana , = 1, , adalah harga premi untuk kelas ke-j, dan , = 1, ,
> 0 dinyatakan
� =�� �
=
= �. (3.5)
=
Beberapa alternatif untuk menentukan besar , = 1, , yaitu: 1. Alokasi seragam
Standar deviasi � dari persamaan (3.6) dibagi secara seragam untuk seluruh peserta , yaitu = = =�. Harga premi untuk kelas ke- adalah
= + −��.
2. Alokasi semi seragam
Standar deviasi � dibagi secara seragam untuk seluruh kelas , yaitu = � . Harga premi untuk kelas ke- adalah
3. Alokasi proporsional
Ragam tiap kelas dibagi secara proporsional oleh ragam keseluruhan yaitu � = ∑ = � , di mana rasionya adalah = �
� sehingga = �
. Harga premi untuk kelas ke- adalah
= + −� �.
Selanjutnya dengan berdasar pada pendekatan global, penentuan harga premi di tiap kelas risiko diperoleh dari solusi pendekatan dua masalah pengoptimuman (alokasi optimum).
3.2 Penentuan Harga Premi Berdasarkan Pendekatan Dua Masalah Pengoptimuman
Penentuan harga premi dengan alokasi optimum menggunakan dua kondisi yaitu:
1. Menggunakan prinsip pertama yaitu peluang kebangkrutan ditetapkan sebesar �, 0 <�< 1.
2. Menggunakan prinsip kedua yaitu, premi wajar yang akan ditetapkan dihitung dengan meminimisasi fungsi jarak (distance function). Fungsi jarak adalah fungsi berdasarkan kuadrat selisih antara risiko total, dikurangi premi total yang terboboti.
3.2.1 Pendekatan Pertama
Menentukan vektor premi �= ( , … , ) dengan cara, meminimumkan penjumlahan nilai harapan dari kuadrat selisih antara risiko total dengan premi total yang terboboti, dengan kendala peluang dari seluruh klaim melebihi premi total (peluang kebangkrutan) di bawah nilai �, yaitu:
min � �� 1 � − � = �
dengan kendala, �� = � = � �
, … , adalah rasio dimana = �
� . Solusi untuk pendekatan pertama adalah:
= + −� �, (3.6)
dimana =∑ = dan −� adalah persentil 1− � dari sebaran normal baku. Untuk membuktikan pendekatan pertama, digunakan dua Lema mengenai matriks definit positif berikut.
Lema 1
Misalkan adalah matriks definit positif dan misalkan adalah matriks taksingular, dengan ukuran × . Misalkan adalah matriks transpos dari matriks , maka = adalah matriks definit positif.
Bukti: lihat pada lampiran 3a. Lema 2
Misalkan , , adalah bilangan positif, dan misalkan matriks adalah:
=� 1 + 1 1 1 1 + ⋱ ⋱ ⋱ 1 1 1 1 + �
maka matriks adalah matriks definit positif. Bukti: lihat pada lampiran 3b.
.
Kendala dari pendekatan pertama yaitu �∑ = ∑ = � � adalah ekuivalen dengan persamaan (3.3) yaitu ∑ = = + −��, sehingga pendekatan pertama menjadi:
min � �� 1 � − � = � dengan kendala, � = = + −��. Untuk = 1, , � = � �= � − � = � − � − � − � = � − � − � − � dan didapatkan � − � = � +� − �. (3.7)
Substitusi Persamaan (3.7) kedalam fungsi tujuan dan diperoleh
min � �� � 1 � − � � = �= = min � �� � 1 � � +� − � �� = � = min � �� � = +�1 = � − � �.
Karena ∑ = � adalah suatu konstanta terhadap , sehingga bila dieliminasi tidak mengubah solusi optimal.
Misalkan ( ) = − , 1 , maka dengan menyubstitusi ( )
pada fungsi tujuan dan kendala dari pendekatan pertama diperoleh
min � �� � 1 ( )� = �, dengan kendala, � ( ) =− −��. =
Kendala tersebut dapat ditulis menjadi:
− ( ) =� ( )
=
+ −��. (3.8)
Misalkan ( ) =∑ = ( ), substitusikan persamaan (3.8) ke dalam ( )
diperoleh ( ) = 1�� ( ) = + −��� +�1 ( ) = . (3.9)
Selanjutnya, pendekatan pertama menjadi:
min
� { ( )}.
Karena fungsi ( ) adalah suatu fungsi dengan peubah , maka turunan parsial pertama dari persamaan (3.9) adalah
= −2 �� ( )
=
+ −��� −2 ( ) = 2, , . (3.10)
Untuk mendapatkan nilai optimal, maka melalui uji turunan pertama ��
�� =0
−2 �� ( ) = + −��� −2 ( ) = 0 1 � ( ) = +1 ( ) =− −��.
Jika = ( ) maka untuk = 2, , menghasilkan suatu sistem persamaan linear ( ), , ( ) yaitu: �1 + 1� + 1� = ≠ =− −�� �1 + 1� + 1� = ≠ =− −�� �1 + 1� + 1� = ≠ =− −��
dalam bentuk perkalian matriks, sistem persamaan linear tersebut menjadi
1 + 1 1 1 1 1 + 1 1 1 1 ⋱ 1 1 ⋱ 1 1 ⋱ 1 1 1 1 + 1 = − −�� − −�� − −�� − −�� − −�� − −�� .
Baris pertamanya merupakan persamaan
�1 + 1� + 1�
=
=− −��. (3.11)
Selanjutnya dengan mengurangkan tiap baris dengan baris berikutnya dan seterusnya, dituliskan dalam bentuk matriks gandeng (augmented matrix) dan diperoleh + − −�� − − 0 0 0 0 ⋱ 0 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ 0 − 0 0 − 0 .
Untuk baris kedua sampai baris ke- berlaku
=− = 3, , . (3.12)
Substitusikan persamaan (3.12) ke persamaan (3.11) menghasilkan
�
=
= − −��
karena =∑ = , maka
=− −�� (3.13)
substitusikan persamaan (3.13) ke persamaan (3.12) menghasilkan
=− −��, = 3, , (3.14)
substitusikan persamaan (3.13) dan (3.14) ke dalam persamaan (3.8) menghasilkan
Akhirnya, dari persamaan (3.13), (3.14), (3.15) diperoleh
= − −��, = 1, , . (3.16)
Karena = ( ) dan ( ) = − maka diperoleh
∗ = +
−� �, = 1, ,
dan vektor �∗ = ( ∗, , ∗) adalah titik kritisnya.
Selanjutnya akan dibuktikan matriks Hessian dari persamaan (3.9) pada �∗ merupakan matriks definit positif. Turunan parsial kedua dari persamaan (3.9)
terhadap adalah = 2 +2 =2 ( + ), = 2, , = 2 2 < . Matriks Hessiannya: = 2 ( + ) 2 2 2 2 2 ( + ) 2 2 ⋱ ⋱ ⋱ 2 2 2 − 2 ( + )
Karena matriks definit positif tidak berubah jika matriks tersebut dikalikan dengan bilangan skalar positif, sehingga matriks Hessian jika dikalikan dengan
� = ( + ) ( + ) ⋱ ⋱ ⋱ − − ( + )
� adalah sebuah matriks simetris yang memenuhi kesamaan:
� =� 0 ⋱ 0 � 1 + 1 ⋱ 1 1 + � 0 ⋱ 0 � .
Dengan menggunakan Lema 1 dan 2, � adalah matriks definit positif begitu juga dengan matriks Hessian , sehingga �∗ adalah solusi optimum untuk pendekatan pertama ∎
3.2.2 Pendekatan kedua
Penentuan vektor premi �= ( , … , ), dengan cara meminimumkan peluang kebangkrutan dan sebagai kendala adalah nilai harapan dari ∑ � −=
� yang terboboti di bawah suatu nilai yang telah ditentukan, yaitu:
min � � �� < � = = ��, dengan kendala: � �1 � − � � =
Solusi untuk pendekatan kedua adalah:
= + � = 1, , (3.17)
dimana =∑= , =∑= , , = ∑ = , dengan menggunakan asumsi alokasi proporsional ditentukan nilai =∑ = � − � dan
=∑ = � +∑ = � − � .
Untuk membuktikan pendekatan kedua, dengan asumsi jumlah besar sehingga berlaku teorema limit pusat, dari peluang kebangkrutan diperoleh
� >� = � = � − � > ∑ = − ∑ = � �. (3.18) Pada persamaan (3.18), meminimalkan −�
� adalah sama dengan memaksimumkan
∑ = �� −� �
� atau memaksimumkan ∑ = � − � (karena �> 0 adalah konstanta terhadap ).
Dengan menggunakan asumsi alokasi proporsional ditentukan nilai dan yaitu ∑ = � dan = − ∑ = � , dimana = ∑ = � − �
sehingga kendala pada pendekatan kedua adalah =∑ = � +∑ = � −
� , selanjutnya pendekatan kedua menjadi
maks � �� � − � = � dengan kendala: � � = +� � − � = =
Misalkan = � − �, dan karena = − ∑ = � , dengan menyubstitusi dan , diperoleh maks � �� = � dengan kendala: � − = = 0.
Untuk menemukan solusi pengoptimuman tersebut dengan menggunakan kondisi karush-kuhn-tucker dengan fungsi lagrange
( , ) =�
=
+ �� −
=
�,
turunan parsialnya adalah
( , ) = + 2 = 0 = 1, , (3.19) dan ( , ) = � − = = 0 (3.20)
dari persamaan (3.19) diperoleh
= −
2 = 1, , . (3.21)
Karena 0 dan bernilai negatif, dengan menyubstitusi persamaan (3.21) kedalam persamaan (3.20) diperoleh
��−2 � = 1 4 = � = = , (3.22)
karena < 0, menyubstitusi nilai dari persamaan (3.22) ke persamaan (3.21) menghasilkan
∗ = −
2 = � = 1, , . (3.23)
Selanjutnya akan dinyatakan bahwa titik ∗ = ( ∗, , ∗) adalah titik optimum, misalkan � , ,� ℝ adalah buah bilangan skalar. Titik ∗ adalah solusi dari pendekatan kedua jika dan hanya jika:
�
=
< � ∗
=
,
untuk setiap titik = ( , , ) ℝ dengan 0, = 1, , berlaku
�1 −
=
= 0. (3.24)
Misalkan nilai = ∗+ � = 1, , , maka persamaan (3.24) menjadi:
�1� ∗+ � � = . =
(3.25)
Menyubstitusi nilai ∗ dari persamaan (3.23) ke persamaan (3.25) menghasilkan
�1� � + � � =
=
� � + 2� � +� �=
2� � = � +� = � = 0 � = � = −1 2� � = � < 0 sehingga, � = = �� ∗+ � � = = � ∗ = +� = � < � ∗ = .
Karena ∗ adalah titik optimum, menurut persamaan (3.23) dan dari asumsi
= � − �, maka premi optimum untuk kelas ke- adalah:
= + � = 1, , ∎
3.3 Fungsi Harga dan Fungsi Permintaan
Solusi untuk dua pendekatan tersebut yaitu persamaan (3.7) dan (3.16), dapat dituliskan dalam formula lain. Misalkan diberikan vektor = ( , … , ) yang menyatakan banyaknya peserta asuransi dalam tiap kelas risiko = 1, , , maka untuk kelas ke- j harga premi yaitu ( ) adalah:
= ( ) = + (3.26)
dimana untuk pendekatan pertama nilai adalah −��, dan untuk pendekatan kedua nilai adalah � . Sehingga ( ) = � ( ), … , ( )� disebut fungsi harga (the pricing function).
Misalkan harga premi untuk tiap kelas risiko = 1, , telah ditetapkan yaitu vektor premi �= ( , … , ), akan berpotensi untuk menghasilkan vektor lainnya yaitu = (�) =� ( ), … , ( )�, dimana ( ) adalah banyaknya potensi peserta asuransi pada kelas ke- dengan vektor premi �. Dikatakan bahwa
3.4 Eksistensi dan Karakteristik dari Titik Kesetimbangan 3.4.1 Eksistensi Titik Kesetimbangan
Misalkan dalam pasar asuransi, pada saat sejumlah perusahaan asuransi menentukan harga premi bagi para pemegang polis (policyholders) untuk sejumlah produk yang diluncurkan, pasar bereaksi dengan pembaruan (updating) jumlah pemegang polis. Hal ini menyebabkan pembaruan harga premi, dan seterusnya.
Pada penentuan harga premi pada portfolio heterogen untuk sejumlah
= 1, , kelas risiko, misalkan jumlah peserta pada kelas tersebut adalah , dimana = ( , , ). Harga premi ditentukan dengan menggunakan fungsi harga (persamaan 3.21), sehingga didapatkan vektor harga preminya untuk seluruh kelas risiko yaitu � = � ( ), , ( )�. Pembaruan vektor premi ini, menyebabkan perubahan jumlah pemegang polis pada tiap kelas karena adanya fungsi permintaan yaitu = (� ) dan seterusnya. Misalkan sampai pada langkah ke- harga premi ditetapkan �� =� � − �, , � − �� lalu banyaknya peserta berubah menjadi � = (��), vektor harga premi menjadi ��+ = � � �, , � �� dan seterusnya.
Vektor �∗ dikatakan pada titik kesetimbangan pada saat �∗ = � (�∗)�, dimana ∗ = (�∗) yaitu penentuan banyaknya peserta asuransi di tiap kelas sebagai fungsi dari �∗. Penentuan keberadaan titik kesetimbangan menggunakan teorema:
Teorema 3.1 Teorema Titik Tetap (Teorema Brouwer)
Misalkan ⊂ ℝ adalah gugus tak kosong, kompak, dan konveks. Fungsi
: → kontinu, maka terdapat titik tetap (fixed point) yaitu , = ( ). Bukti:
Untuk membuktikan teorema titik tetap (teorema Brouwer), digunakan dua Lema yaitu:
Lema 3
Misalkan ( , ) dan ( , ) adalah ruang metrik. Fungsi : → dikatakan kontinu pada titik jika dan hanya jika lim →∞ ( ) = ( ) untuk setiap barisan { } di dengan lim →∞ = .
Bukti pada lampiran 3c. Lema 4 (Heine-Borel)
Misalkan gugus � ⊆ ℝ ,� dikatakan kompak jika dan hanya jika tertutup dan terbatas.
Bukti pada lampiran 3d.
Misalkan sebarang dan didefinisikan
= ( ), = ( ), , + = ( )
Diketahui kompak, maka menurut Lema 4 tentang kekompakan tertutup. Misalkan { } barisan di , → , dan � > 0 sebarang. Menurut Lema 3 terdapat � sedemikian rupa sehingga � ( ), ( )�<�, bila
( , ) <�, untuk asli, atau
lim
→∞ ( ) = ( ) (∗)
Di pihak lain berdasarkan konstruksi di atas, diperoleh
lim
→∞ ( ) = lim→∞ + = (∗∗)
dari (∗) dan (∗∗) diperoleh = ( ).
Pada perhitungan penentuan besar premi ( ) dan jumlah peserta ( ) di tiap kelas risiko, menggunakan asumsi batasan intervalnya yaitu:
(a) � , �, = 1, , , di mana 0 < (�)
(b) � , �, = 1, , , di mana �( ) .
Dengan menggunakan teorema (3.1) dan asumsi batasan interval, maka fungsi harga pada persamaan (3.24) menjadi
Teorema 3.2
Misalkan fungsi permintaan adalah fungsi kontinu, dengan menggunakan asumsi batasan interval diperoleh (�) = �� (�)�= � �� ( ), , ( )��, maka pada titik kesetimbangan terdapat vektor premi �∗ = ( ∗ , , ∗) yang memenuhi:
(�∗) = ( ∗ , , ∗) =�∗ (3.28)
Bukti:
Karena fungsi �( ) dan (�) adalah fungsi kontinu, dengan menggunakan asumsi batasan interval yang mengakibatkan bahwa adalah kontinu dari ke , dimana = [ , ] × × [ , ], di mana hasilnya didapat berdasarkan teorema titik tetap.
Teorema 3.2 membuktikan eksistensi titik kesetimbangan. Ketunggalan dari titik kesetimbangan tidak dibuktikan, karena berkenaan dengan masalah irisan antara dua fungsi peubah banyak. Pada perhitungan secara numerik, dapat diperoleh beberapa titik kesetimbangan. Untuk beberapa kasus yang menggunakan iterasi, proses tercapainya titik kesetimbangan bergantung pada penetapan titik awalnya.
3.4.2 Karakteristik dari Titik Kesetimbangan
Fungsi harga pada persaman (3.24) di titik kesetimbangan berdasarkan teorema titik tetap menjadi persamaan (3.25), sedangkan fungsi permintaan pada titik kesetimbangan menggunakan teorema berikut.
Teorema 3.3
Suatu vektor �∗ = ( ∗, , ∗) adalah titik tetap dari (�) jika dan hanya jika, untuk = 1, , memenuhi:
�(�∗) =� ∗− � (3.29)
Bukti:
Syarat perlu: asumsikan bahwa �∗ titik kesetimbangan, sehingga:
∗ = +
oleh karena
(�∗) =
� ∗− � ,
syarat cukup: akan diperlihatkan bahwa persamaan (3.27) mengakibatkan persamaan (3.26), dengan menyubstitusikannya ke dalam persamaan (3.24) diperoleh
+
(�∗) = + ⁄� ∗− �= �∗
PERMINTAAN PADA TITIK KESETIMBANGAN
Berdasarkan asumsi batasan interval pada bab III, untuk simulasi perhitungan harga premi pada titik kesetimbangan, maka fungsi permintaan untuk kelas ke- ,
= 1, , dan batasan intervalnya adalah
� �=
− <
− −
(4.1)
dimana � � adalah fungsi permintaan, = , , adalah batas atas dan bawah interval dari harga premi ( ).
Pada titik kesetimbangan untuk kelas ke- , = 1, , , dengan rataan dan ragam � , sedangkan ragam total pada titik kesetimbangan adalah
� =� (�∗)� . (4.2)
=
Selanjutnya, akan dikemukakan dua kasus perhitungan harga premi di tiap kelas risiko berdasarkan fungsi permintaan pada titik kesetimbangan. Kasus pertama, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan pertama, dan kasus kedua, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan kedua.
4.1 Perhitungan Harga Premi dengan Pendekatan Pertama
Pada kasus ini, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan pertama melalui persamaan (3.6) dengan parameter = −�� �∑ = ( ∗)� dan =
−� , = 1, , .
Harga premi pada titik kesetimbangan adalah
∗ = +
dalam interval + −� � , = 1, , . Bukti:
Untuk membuktikan bahwa persamaan (4.3) adalah titik keseimbangan, dengan menyubstitusi persamaan ( 4.2) dan = ( ∗) dalam persamaan (3.6) diperoleh
� � ( ∗)�= + ( ∗) −��� ( ∗)� = = + −� −� � −� �� −� −� � � = = + −�� �� = = + −�� √ (4.4) Persamaan (4.4) menyatakan bahwa ∗ dalam persamaan (4.3) adalah titik kesetimbangan, jika dan hanya jika = 1⁄√ , dan + −�� √⁄ , = 1, , sehingga persamaan (4.3) dapat ditulis menjadi
∗ = +
−��
√ , = 1, , (4.5) dengan menyubstitusikan persamaan (4.5) ke dalam persamaan (4.1) menghasilkan
( ∗) =
� (4.6) 4.2 Perhitungan Harga Premi dengan Pendekatan Kedua
Pada kasus ini, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan kedua melalui persamaan (3.17) dengan parameter yaitu
=��� (
∗)� =
di mana �> 0 dan = � , = 1, , , dengan konstanta = √ √ �⁄ , = 1, , , sehingga didapatkan harga premi pada titik kesetimbangan yaitu
∗ = +� � , = 1, , , dalam interval +� � . (4.8)
Selanjutnya dengan menyubstitusi ∗− = � � ke persamaan (4.1) diperoleh
( ∗) =
� (4.9) kemudian menyubstitusi persamaan (4.7) dan (4.9) ke dalam persamaan (3.17) menghasilkan ∗ = + � √ �� �� = � = +� � � , (4.10)
karena = = = = √ √ �⁄ , maka harga premi pada titik kesetimbangan adalah
∗= +� � = +√ �
√ � untuk setiap = 1, , (4.11)
4.3 Simulasi Kasus Hipotetik
Misalkan suatu perusahaan asuransi menawarkan suatu produk yang berjangka