BAB I PENDAHULUAN
H. Metodologi Penelitian
I. Sistematika Penulisan
Sistem penulisan skripsi ini akan terdiri dari 5 bab dengan urutan bab sebagai berikut:
Bab 1 PENDAHULUAN
Bab ini akan menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut akan berisikan tentang latar belakang masalah, identifikasi masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, batasan istilah, manfaat penulisan, metodologi penulisan, dan sistematika penulisan.
Bab 2 LANDASAN TEORI
Bab ini akan berisikan mengenai penjelasan secara singkat beberapa dasar pengetahuan yang digunakan, yaitu mengenai pemodelan matematika, program linear, program linear bilangan bulat, metode dalam program linear bilangan bulat, penggunaan Python modul PuLP, kajian pustaka, dan kerangka berpikir.
Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini akan membahas mengenai hasil dari penelitian ini yang berupa gambaran singkat subjek penelitian, tahapan pembuatan produk, bahan baku serta takaran produk, yang kemudian akan dilanjutkan ke pembahasan yang berisikan tahapan memodelkan masalah, menyelesaikan masalah bantuan Python, lalu akan dilanjutkan dengan melakukan evaluasi untuk perencanaan produksi kedepannya.
Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini akan berisikan mengenai beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.
10 BAB II LANDASAN TEORI A. Model Matematika
Model matematika menurut Suyitno (2017:4) merupakan ekspresi matematika dari permasalahan yang ada yang biasanya didapatkan dari kehidupan hari-hari. Menurut Ang (2001) dalam Wulandari, dkk (2016) pemodelan matematika adalah proses yang dilakukan mengubah bentuk permasalahan kehidupan sehari-hari ke dalam bentuk matematik sebagai langkah awal untuk menentukan hasil dari permasalahan tersebut. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pemodelan matematika merupakan upaya merepresentasikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari ke bentuk bahasa matematika yang memiliki tujuan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Pemodelan matematika dapat menjadi jembatan antara konsep matematika yang abstrak ke masalah dari dunia nyata. Masalah dalam dunia nyata dapat diubah terlebih dahulu menjadi bahasa matematika, lalu diselesaikan secara matematis, kemudian hasilnya dapat diterjemahkan kembali menjadi solusi masalah dari dunia nyata yang ada.
Salah satu masalah yang ada dalam kehidupan sehari-hari yang mungkin bisa dibantu dengan pemodelan matematika ialah permasalahan optimalisasi. Berikut adalah petunjuk dalam menyusun model matematika dalam permasalahan optimalisasi:
1. Menentukan tipe dari masalah yaitu masalah maksimum atau minimum, a. Jika masalah didapatkan berkaitan dengan permasalahan keuntungan,
biasanya merupakan masalah memaksimalkan.
b. Jika masalahnya didapatkan berkaitan dengan permasalahan biaya dan waktu, biasanya merupakan masalah meminimalkan. .
2. Mendefinisikan variabel keputusan.
Yang dimaksud dengan variabel keputusan ialah lambang yang digunakan sebagai pengandaian dari suatu jenis produk tertentu. Biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.
3. Merumuskan fungsi tujuan.
Sesudah menentukan tipe masalah dan variabel keputusan, selanjutnya ialah menuliskan fungsi tujuan.
4. Merumuskan kendala.
Penyusunan pada langkah ini merupakan tahapan paling sulit dalam memodelkan masalah program linear. Untuk mempermudah memformulasikan dapat digunakan tabel sebagai cara menuliskan informasi yang didapatkan. Informasi yang ada bisa disajikan ke dalam bentuk tabel begitu pula dengan nilai ruas kanan atau batasan. Batasan atau nilai ruas kanan dalam infromasi yang ada merupakan besaran maksimum dalam penyediaan sumber daya (masalah memaksimalkan) atau besaran minimum dalam penyediaan sumber daya (masalah meminimalkan).
Hubungan kendala dengan batasan dengan diberikan tanda ketidaksamaan dengan arah ketidaksamaan didasarkan pada nilai maksimal sumber daya atau nilai minimal sumber daya.
5. Persyaratan non negatif.
Pada setiap variabel diberikan nilai non-negatif. Syarat ini menjadi perlu, sebab sebagai perwakilan banyaknya unit dari beberapa produksi dan sebagai penunjuk bahwa tidak mungkin didapatkan hasil negatif dalam masalah produksi.
B. Linear Programming 1. Sejarah Singkat
Menurut George B. Dantzing yang sering disebut “Bapak Program Linear”, di dalam bukunya: Linear Programming and Extension, menyebutkan bahwa ide dari Program Linear muncul dari sebuah karangan pada tahun 1939 yang memiliki judul “Mathematical Methods In the Organization And Planning of Production” (judul telah diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris), yang ditulis oleh seseorang ahli matematikawan asal Russia bernama L.V. Kantorivich. Pada karangan ini telah dirumuskan pertama kalinya persoalan program linear, akan tetapi ide ini tidak diterima oleh masyarakat luas di Rusia dengan baik. Sebelumnya,
pada tahun 1826 seorang matematikawan dari Prancis bernama Fourier juga pernah memperkenalkan tentang program linear ke masyarakat luas.
Pada tahun 1947 seorang matematikawan dari Amerika Serikat yang bernama George B. Dantzing mengembangkan sebuah cara yang sampai sekarang sering digunakan untuk memecahkan permasalahan program linear yang bernama “simplex method” yang sebelumnya telah dirintis oleh Leontieff. Setelahnya, Program Linear menjadi sangat berkembang pesat dalam penggunaannya. Awalnya, Program Linear sangat sering digunakan di bidang kemiliteran seperti untuk menentukan strategi perang, persoalan bombing pattern dan menghitung kerugian akibat perang. Bahkan pada tahun 1958, rintisan sebagian besar dasar-dasar konsep jaringan kerja dikerjakan oleh Kantor Proyek Khusus Angkatan Laut Amerika dilakukan dengan program linear. Selain di bidang kemiliteran, penggunaan program linear juga dulu sering digunakan di bidang bisnis untuk menentukan keuntungan maksimal, meminimalkan biaya produksi, dan lain sebagainya.
Sekarang, penggunaan Program Linear bukan saja terbatas dalam bidang militer dan ekonomi perusahaan yang bersifat mikro saja, namun juga bisa digunakan dalam berbagai permasalahan, seperti: penjadwalan, masalah transportasi atau logistik, teori “Comparative Advantage”, persoalan bahan makanan, keputusan investasi, periklanan, perkebunan dan sebagainya. (Supranto, J. 1980:33-34)
2. Pengertian Program Linear
Program Linear merupakan cabang riset operasi yang langkah-langkahnya tersusun sistematis untuk mencari nilai optimal atau terbaik yang mungkin dalam suatu keterbatasan sumber daya, seperti: tenaga, biaya, material, waktu, mesin, energi, ruang, dan sebagainya (Suyitno, 2017:2). Sedangkan menurut Ruminta (2014:327) dalam Saryoko (2016) mendefinisikan Pemrograman Linier (PL) adalah metode yang dapat digunakan dalam menentukan luaran terbaik dari fungsi tujuan yang ada
dalam suatu keterbatasan. Sedangkan menurut Aminudin (2005) program linear adalah suatu proses perencanaan analitik yang dalam prosesnya digunakan model matematika dengan tujuan untuk menemukan satu atau beberapa kombinasi produk yang terbaik untuk mencapai hasil optimum dari suatu permasalahan. Jadi dapat disimpulkan bahwa, program linear adalah salah satu prosedur dalam riset operasi yang menggunakan model matematika sebagai langkah penyelesaiannya dalam menentukan pemecahan optimum dalam keterbatasan yang ada.
Pemecahan masalah dalam program linear melalui tahap-tahap berikut ini:
a. Memahami masalah di bidang yang bersangkutan.
b. Menyusun model matematika (menuliskan variabel keputusan, fungsi tujuan, kendala)
c. Mencari jawaban dari model matematika yang telah dibuat dengan menggunakan metode yang ada.
d. Menafsirkan jawaban yang didapat menjadi jawaban atas masalah yang nyata.
(Suyitno, 2017:2) Suatu persoalan dapat dikatakan persoalan program linear, apabila memenuhi beberapa prinsip berikut ini:
a. Adanya tujuan. Tujuan yang dimaksud ialah memaksimalkan atau meminimalkan suatu permasalahan. Infromasi yang ada akan dituliskan menjadi sebuah fungsi linear bernama fungsi tujuan / fungsi objektif. Fungsi ini yang akan dijadikan sasaran dengan mencari nilai optimalnya. Dapat berupa manfaat, biaya, jarak, waktu, dsb.
b. Adanya tindakan alternatif. Artinya terdapat beberapa hasil luaran dari penyelesaian kendala dalam batasan yang akhirnya memberikan nilai yang optimal sesuai dengan tujuan permasalahan yang sudah ditetapkan.
c. Adanya keterbatasan sumber daya. Ciri ini merupakan ciri yang paling khusus dalam permasalahan program linear. Sumber daya dapat berupa
waktu, tenaga, biaya, bahasa, dsb. Pembatasan sumber daya disebut dengan fungsi kendala. Pembatasan harus dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan yang linear. Misalnya keterbatasan modal, bahan, tenaga, dsb.
(Supranto, 1980:6) 3. Bentuk Baku Program Linear
Bentuk baku dari model Program Linear ialah sebagai berikut:
Permasalahan Memaksimalkan Baku:
𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 Dengan batasan
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑎23𝑥3+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2+ 𝑎33𝑥3+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏3
⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥𝑗 ≥ 0 Permasalahan Meminimalkan Baku:
𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 Dengan batasan
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑎23𝑥3+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2+ 𝑎33𝑥3+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏3
⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥𝑗 ≥ 0 Keterangan simbol:
𝑍 = Fungsi tujuan yang akan dicari nilai optimalnya. Dapat maksimal maupun minimal
𝑐𝑗 = Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan 𝑥𝑗 dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap Z.
𝑛 = Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia.
𝑚 = Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
𝑥𝑗 = Tingkat kegiatan ke-j atau pemisalan sejumlah j.
𝑎𝑖𝑗 = Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j.
𝑏𝑖 = Kapasitas sumber I yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan.
(Aminudin, 2005:11-12)
Dalam pemakaiannya, juga ditemukan permasalahan yang tidak sesuai dengan bentuk baku yang ada. Misalkan, pada permasalahan meminimalkan terdapat kendala yang menggunakan tanda ≤ , sehingga permasalahan tersebut disebut permasalahan meminimalkan tidak baku.
Istilah umum dalam Program Linear ialah sebagai berikut:
1. Fungsi tujuan adalah fungsi yang akan dicari nilai terbaiknya, biasanya dilambangkan dengan huruf Z, baik nilai minimal maupun nilai yang maksimal.
2. Fungsi batasan atau fungsi kendala adalah fungsi yang menjadi batasan dalam menentukan nilai optimal yang akan dicari. Dibedakan menjadi 2 macam, yaitu:
a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi yang batasannya ada atau terdapat batasan dalam bentuk jumlah maksimal atau minimal dari fungsi tersebut.
b. Fungsi non negatif, yaitu variabel yang menunjukkan bahwa produksi tidak akan negatif, biasanya ditulis dengan 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2,3, …
3. Variabel keputusan atau pemisalan merupakan bentuk pemisalan atas suatu produk, biasanya dilambangkan dengan huruf tidak kapital.
4. Parameter model yaitu masukan konstan atau nilai ruas kanan.
(Aminudin, 2005:12)
Agar penggunaan model program linear memuaskan dan tidak terbentur pada berbagai hal, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar program linear menurut Abdillah (2013: 9) , sebagai berikut:
1. Proportionality atau kesebandingan yang berarti naik turunnya fungsi tujuan dan pemakaian sumber daya yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
Misal:
a. 𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
Setiap pertambahan 1 unit di 𝑥1 akan menaikkan Z sebesar 𝑐1. Setiap pertambahan 1 unit di 𝑥2 akan menaikkan Z sebesar 𝑐2, dan seterusnya.
b. 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1 atau 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
Setiap pertambahan 1 unit di 𝑥1 akan menaikkan penggunaan sumber daya atau fasilitas ke 1 sebesar 𝑎11.
2. Additivity atau penambahan berarti nilai fungsi tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi sebab kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Divisibility atau dapat dibagi berarti luaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan, tidak harus berupa bilangan bulat begitu pula dengan fungsi tujuan yang dihasilkan.
4. Certainty atau kepastian berarti bahwa fungsi kendala dan fungsi tujuan yang ada dalam program linear diketahui secara pasti dan tidak berubah-ubah meskipun tidak sama persis dengan kenyataan.
CONTOH PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR
Contoh 2.1 Seorang pengrajin kue memproduksi 2 macam kue camilan, yaitu: bolang-baling, dan cakue. Kedua kue tersebut memakai bahan dasar utama yang harga dan ketersediaan di pasaran seringkali terbatas, yaitu: terigu dan gula-pasir. Setiap kue bolang-baling memerlukan 40 gr terigu dan 120 gr gula pasir, sedangkan kue cakue memerlukan 100 gr terigu dan 60 gr gula pasir. Pengrajin tersebut menyiapkan setiap harinya tepung terigu dan gula pasir sebanyak 4 kg dan 7,2 kg. Kue bolang-baling dijual dengan harga 3 ribu per-biji, sedangkan cakue dijual dengan harga 2 ribu per-biji. Bantulah pengrajin kue tersebut untuk merencanakan produksi kue mereka, agar diperoleh penghasilan maksimum jika diketahui memiliki daerah penyelesaian seperti dibawah ini! (dengan asumsi: semua produk habis terjual, sesuai harga).
Pembahasan Contoh 2.1
Permasalahan diatas merupakan contoh permasalahan program linear.
Dalam soal, biasanya soal-soal program linear memang berbentuk soal cerita.
Dijelaskan pada subbab sebelumnya, bahwa permasalahan program linear memiliki 3 karakteristik, yaitu adanya sasaran, alternatif jawaban, dan terdapat batasan. Akan ditunjukkan alasan mengapa contoh 2.1 merupakan permasalahan program linear, sebagai berikut: 1) adanya sasaran, pada soal terdapat kata “agar diperoleh penghasilan maksimal”, hal tersebutlah yang menunjukkan pada soal memang ada sasaran atau tujuan, dan tujuan dari permasalahan tersebut ialah memaksimalkan penghasilan; 2) adanya alternatif jawaban, karena adanya tujuan maka pasti akan ada alternatif jawaban yang paling tidak akan ada 1 yang menghasilkan keuntungan maksimal. Meskipun belum terlihat secara eksplisit, sebab perlu diselesaikan terlebih dahulu sebelum melihat hasilnya, tetapi pasti ada 1 jawaban yang memenuhi; 3) adanya batasan, pada soal diatas terdapat batasan untuk setiap produknya, ditunjukkan dengan batasan penggunaan tepung dan gula dalam satu jenis produk, kemudian untuk nilai kanan atau batasan sumber daya juga sudah muncul pada soal.
C. Metode Simpleks
1. Pengantar dan Pengertian Metode Simpleks
Seperti yang dipaparkan pada subbab sebelumnya, bahwa metode simpleks ditemukan di tahun 1947 oleh seorang matematikawan Amerika Serikat bernama George Bernard Dantzig. Beliau merupakan Profesor Riset Operasi dan Ilmu Komputer di Stanford. Teknik ini sampai sekarang pun tetap menjadi teknik standar yang digunakan dalam menyelesaikan persoalan program linear. Penemuan metode ini menjadi penemuan yang sangat membantu berkembangnya penggunaan program linear, sebab metode yang sangat membantu terselesaikan permasalahan program linear. Diketahui bahwa persoalan program linear dalam kehidupan sehari-hari bukanlah persoalan yang simpel, sehingga penggunaan metode analisis grafik terkadang tidak bisa mengakomodasi penemuan solusi atas persoalan tersebut. Metode ini menjadi metode yang tepat dalam membantu menyelesaikan permasalahan program linear yang bersangkutan dengan masalah dunia nyata. Gagasan metode simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris atau grafik pada titik ekstrem atau titik sudut menjadi metode aljabar. Sehingga kadang metode simpleks juga sering disebut juga sebagai metode aljabar.
Metode simpleks menurut Supranto (1980:39) ialah suatu cara sistematis yang dilakukan secara berulang dengan mencari pemecahan dasar yang layak ke pemecahan dasar layak lainnya sehingga pada akhirnya didapatkan pemecahan dasar optimal yang membuat besarnya nilai fungsi tujuan akan semakin besar atau sama dengan pengulangan sebelumnya. Sedangkan menurut Suyitno (2017:27) metode simpleks adalah suatu langkah perhitungan yang dilakukan dengan berulang kali namun terbatas yang diawali dari suatu penyelesaian dasar fisibel, apabila penyelesaian itu tidak menghasilkan nilai optimal, maka akan dilakukan pencarian penyelesaian dasar fisibel lainnya yang lebih baik sehingga akan menghasilkan penyelesaian dasar fisibel yang paling optimal..
Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode simpleks adalah metode atau algoritma yang dilakukan secara berulang-ulang dengan membenarkan bentuk penyelesaian dasar fisibel (PDF) pada setiap langkahnya dan berhenti ketika sudah menemukan nilai PDF yang maksimal atau minimal, biasanya menggunakan bantuan tabel untuk membantu atau merapikan jalannya menemukan PDF yang diperlukan.
Metode simpleks merupakan basis dari menentukan solusi optimal dari permasalahan program linear, karena menurut Sitinjak (2006) dalam Christian (2013), metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari model program linier terbagi menjadi 2, yaitu: Metode Grafik dan Metode Simpleks. Metode grafik digunakan jika banyaknya variabel keputusan di dalam model program linier sejumlah dua variabel keputusan (= 2 variabel). Metode simpleks digunakan jika banyaknya variabel keputusan di dalam model program linier minimal dua variabel keputusan (≥ 2 variabel). Sebelum melaju ke langkah penyelesaian program linear dengan metode simpleks, ada baiknya mengenal istilah-istilah yang digunakan dalam metode ini.
a. Algoritma merupakan suatu langkah dalam matematika yang dilakukan secara terus menerus untuk menyelesaikan permasalahan.
b. Variabel non basis merupakan istilah yang digunakan dalam menandai variabel-variabel yang memiliki nilai nol pada suatu titik sudut.
c. Variabel basis merupakan istilah yang digunakan dalam menandai variabel-variabel yang memiliki nilai positif tak-nol pada suatu titik sudut.
d. Solusi atau nilai kanan merupakan batasan suatu permasalahan yang berupa nilai sumber daya yang diketahui. Perlu diingat, bahwa persoalan program linear akan selalu memiliki batasan sumber daya yang disediakan dan solusi awal nilai kanan akan sama dengan jumlah sumber daya yang diketahui sebab aktivitas belum dilakukan.
e. Variabel pengetat atau variabel slack merupakan suatu nilai yang akan diberikan atau ditambahkan pada ruas kiri pertidaksamaan kendala yang diketahui untuk mengubah tanda ≤ menjadi =. Hal ini berarti kita menambahkan sesuatu untuk membuat ketidaksamaan seolah-olah menjadi sama besarnya dengan nilai kanan yang diberikan.
Untuk selanjutnya, S digunakan sebagai tanda menuliskan variabel pengetat.
f. Variabel semu atau variabel surplus merupakan suatu nilai yang digunakan sebagai pengurang pada ruas kiri pertidaksamaan kendala agar seakan-akan membuat nilai kiri sama dengan nilai kanan, sehingga akan mengubah tanda ≥ menjadi =. Selanjutnya, variabel semu akan bertanda negatif.
g. Variabel artifisial atau variabel buatan merupakan variabel yang ditambahkan yang hanya dapat bernilai nol (0) dan ditambahkan ke dalam kendala persamaan (serta ke kendala ≤ saat permasalahan meminimalkan dan ke kendala ≥ saat permasalahan memaksimalkan) supaya diperhitungkan pada metode simpleks serta pada parameter fungsi tujuan diberi nilai M yang merupakan nilai yang sangat besar, sehingga apabila dikurangi bilangan apapun dia tidak akan berubah.
h. Variabel masuk adalah variabel bukan basis yang terpilih untuk menggantikan variabel basis pada algoritma berikutnya. Variabel ini pada langkah berikutnya akan bernilai positif.
i. Variabel keluar adalah variabel basis yang akan terganti oleh variabel non basis pada langkah berikutnya. Hal ini disebabkan karena memiliki nilai terkecil saat dibagi oleh nilai kanan. Variabel ini akan bernilai nol pada algoritma berikutnya.
j. Kolom pivot atau kolom sumbu merupakan kolom yang memuat variabel masuk. Yang dimaksud dengan variabel masuk ialah variabel yang digunakan untuk menggantikan nilai variabel basis pada kolom basis. Kemudian, koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi
pada nilai paling kanan untuk menentukan baris pivot atau baris sumbu.
k. Baris sumbu atau baris pivot adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar atau variabel basis yang tergantikan.
l. Elemen kunci atau elemen pivot merupakan perpotongan antara kolom sumbu dan baris sumbu. Elemen kunci akan menjadi basis perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
2. Bentuk Baku Metode Simpleks
Sebelum melangkah lebih jauh dalam menggunakan metode simpleks, langkah pertama yang dilakukan ialah mengubah persoalan ke dalam bentuk kendala-kendala program linear yang berbentuk pertidaksamaan-pertidaksamaan. Setelahnya, harus diubah terlebih dahulu kendala-kendala tersebut ke dalam bentuk baku atau bentuk standar program linear, yang mana mengubah bentuk kendala yang bermula dari bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel pengetat, variabel semu, atau variabel artifisial. Untuk membantu memahami penggunaan penambahan variabel dalam mengubah bentuk program linear ke dalam bentuk baku kendala persamaan.
1. Tambahkan variabel pengetat atau variabel slack pada kendala pertidaksamaan kurang dari atau kurang dari sama dengan. Pada fungsi tujuan jangan lupa menambahkan parameter nol sebagai nilai dari variabel ini.
Contoh: Terdapat kendala 𝑥1 + 3𝑥2+ 5𝑥3 ≤ 45.
Kita dapat mengubah bentuk kendala pertidaksamaan tersebut ke bentuk baku dengan menambahkan variabel pengetat, menjadi 𝑥1+ 3𝑥2+ 5𝑥3+ 𝑆 = 45, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑆 > 0. Variabel S diandaikan menjadi sumber daya yang sisa atau dapat dibaca sebagai penambahan sembarang angka supaya menjadi sama nilainya antara ruas kanan dan ruas kiri. Nilai S tidak berpengaruh pada fungsi tujuan karena memiliki nilai koefisien nol.
2. Tambahkan variabel semu atau variabel surplus pada kendala pertidaksamaan lebih dari atau lebih dari sama dengan. Pada fungsi tujuan jangan lupa untuk menambahkan parameter nol sebagai nilai dari variabel ini pada fungsi tujuan.
Contoh: Terdapat kendala 2𝑥1− 3𝑥2+ 𝑥3 ≥ 50.
Kita dapat mengubah bentuk kendala pertidaksamaan tersebut ke bentuk baku dengan menambahkan variabel pengetat, menjadi 2𝑥1− 3𝑥2+ 𝑥3− 𝑆 = 50. Dapat dibaca sebagai pengurangan sembarang angka pada ruas kiri supaya menjadi sama nilainya antara ruas kanan dan ruas kiri. Nilai S tidak berpengaruh pada fungsi tujuan karena memiliki nilai koefisien nol
3. Tambahkan variabel atau variabel buatan pada kendala yang berbentuk persamaan, dilambangkan dengan huruf “a” dan menambahkan parameter –M, dengan M adalah bilangan yang sangat besar ke fungsi tujuan.
Contoh: Terdapat kendala 𝑥1 + 3𝑥2+ 5𝑥3 = 45.
Agar nilai persamaan tersebut menjadi kendala yang diperhitungkan maka dapat ditambahkan nilai variabel buatan yang memiliki input nol, menjadi 𝑥1+ 3𝑥2 + 5𝑥3 + 𝐴 = 45. Kemudian, pada nilai parameter fungsi tujuan ditambahkan nilai M.
Aminudin (2005:26) mengatakan bahwa ada beberapa aturan yang menjadi ketentuan bentuk baku atau bentuk standar program linear:
a. Semua batasan atau kendala adalah persamaan dengan sisi kanan merupakan input non negatif.
b. Semua variabel keputusan adalah non negatif
c. Fungsi tujuan dapat berupa masalah maksimal atau masalah minimal.
Setelah mengetahui syarat dari bentuk baku, Siswanto (1988:20) menyatakan bahwa bentuk baku atau bentuk standar program linear dapat dirumuskan ke dalam bentuk sebagai berikut ini:
Memaksimalkan atau meminimalkan:
𝑍 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
Dengan batasan
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛± 𝑆1 = 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑎23𝑥3+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛± 𝑆2 = 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2+ 𝑎33𝑥3+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛± 𝑆3 = 𝑏3
⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛± 𝑆𝑚 = 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥𝑗 ≥ 0 3. Tablo Simpleks dan Langkah Penyelesaiannya
Setelah mengetahui bentuk umum dari bentuk baku program linear, maka dapat melanjutkan ke langkah berikutnya ialah menyusun program awal atau tabel simpleks awal. Bentuk tabelnya dapat disajikan ke dalam bentuk berikut ini:
Tabel 2. 1 Tablo mula-mula
𝑐𝑗 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑛 0 0 …. 0 𝑏𝑖 𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑘
𝑐𝑖 𝑉𝑏 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑆1 𝑆2 …. 𝑆𝑚
0 𝑆1 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 1 0 0 𝑏1
0 𝑆2 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 0 1 0 𝑏2
… …. ….. …. … …. ….
0 𝑆𝑚 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 0 0 1 𝑏𝑚
𝑧𝑗 0 0 …. 0 0 0 ….. 0 Z
𝑧𝑗− 𝑐𝑗 −𝑐1 -𝑐2 −𝑐𝑛 0 0 0
Dengan,
𝑧𝑗 = ∑ 𝑐𝑖 × 𝑎𝑚𝑛
𝑚
1
𝑧 = ∑ 𝑐𝑖 ×
𝑚
𝑖−1
𝑏𝑖
Keterangan:
𝑎𝑚𝑛 : Koefisien variabel keputusan 𝑐𝑗 : Koefisien fungsi tujuan
𝑧𝑗 : Jumlah perkalian koefisien variabel basis dengan koefisien variabel keputusan
𝑐𝑖 : Koefisien variabel basis 𝑉𝑏 : Variabel basis
𝑥𝑛 : Variabel keputusan 𝑏𝑖 : Nilai ruas kanan kendala
𝑆𝑚 : Variabel slack atau variabel surplus 𝑎𝑖𝑘 : Kolom sumbu
Z : Fungsi Tujuan
(Siswanto, 1988:21)
Pada tampilan awal tabel simpleks seperti yang ada pada tabel di atas, seluruh nilai dari variabel slack atau variabel surplus akan bernilai nol, yang membuat nilai Z atau fungsi tujuannya juga nol. Hal ini juga menunjukkan bahwa ada tahap awal tabel atau awal algoritma , suatu
Pada tampilan awal tabel simpleks seperti yang ada pada tabel di atas, seluruh nilai dari variabel slack atau variabel surplus akan bernilai nol, yang membuat nilai Z atau fungsi tujuannya juga nol. Hal ini juga menunjukkan bahwa ada tahap awal tabel atau awal algoritma , suatu