DONETA DI MOJOKERTO BERBANTU PYTHON
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Disusun oleh:
ANDREAS RAGIL DANA WAHYUDI NIM: 171414092
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2021
i
IMPLEMENTASI PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DALAM MENENTUKAN OPTIMASI DAN EVALUASI KEUNTUNGAN HOME
INDUSTRY DONETA DI MOJOKERTO BERBANTU PYTHON
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2021 Disusun oleh:
ANDREAS RAGIL DANA WAHYUDI NIM: 171414092
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
SKRIPSI
ii
IMPLEMENTASI PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DALAM MENENTUKAN OPTIMASI DAN EVALUASI KEUNTUNGAN HOME
INDUSTRY DONETA DI MOJOKERTO BERBANTU PYTHON
Oleh:
Andreas Ragil Dana Wahyudi
NIM 171414092
Yogyakarta, 31 Juni 2021
Dosen Pembimbing
Dewa Putu Wiadnyana Putra, S.Pd., M.Sc.
SKRIPSI
iii
IMPLEMENTASI PROGRAM LINEAR BILANGAN BULAT DALAM MENENTUKAN OPTIMASI DAN EVALUASI KEUNTUNGAN HOME
Susunan Panitia Penguji
Nama Lengkap Tanda Tangan
Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ……….
Sekretaris : Beni Utomo, M.Sc. ……….
Anggota 1 : Dewa Putu Wiadnyana Putra, S.Pd., M.Sc. ……….
Anggota 2 : Dr. Hongki Julie, M.Si. ……….
Anggota 3 : Beni Utomo, M.Sc. ……….
INDUSTRY DONETA DI MOJOKERTO BERBANTU PYTHON Dipersiapkan dan ditulis oleh
Andreas Ragil Dana Wahyudi NIM 171414091
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tanggal 12 Juli 2021
dan dinyatakan memenuhi syarat
Yogyakarta, 12 Juli 2021
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma
Dekan,
Dr. Yohanes Harsoyo, S,Pd., M.Si.
iv
HALAMAN PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur dan penuh kerendahan hati, saya persembahkan karya ini untuk Tuhan Yesus, diri saya sendiri, orang tua, keluarga.
Saya persembahkan untuk Diva, Erra, dan Ruth yang sudah menemani saya selama penulisan skripsi ini, serta untuk teman-teman PPJW.
Kemudian untuk Herlan, Anna, Itin, Melva, Jarot, Kelvin, dan Mentari yang menjadi teman baru saya untuk bertukar pikiran selama akhir masa studi saya.
Terakhir untuk teman 17C dan almamater saya Universitas Sanata Dharma.
v
HALAMAN MOTTO
“Berjalanlah, walau sambil menangis. Jangan sesekali berhenti.”
“Setiap pemberian yang baik dan setiap anugerah yang sempurna, datangnya dari atas, diturunkan dari Bapa segala terang; padanya tidak ada perubahan atau
bayangan karena pertukaran.”
Yakobus 1:17
“Hanya pada Allah saja kiranya aku tenang, sebab dari padaNyalah harapanku”
Mazmur 62:6
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
Yogyakarta, 12 Juli 2021 Peneliti
Andreas Ragil Dana Wahyudi tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.
vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Saya yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma
Nama : Andreas Ragil Dana Wahyudi NIM : 171414092
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
“Implementasi Program Linear Bilangan Bulat dalam Menentukan Optimasi dan Evaluasi Keuntungan Home Industry Doneta di Mojokerto Berbantu Python”
Dengan demikian, saya memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya, Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 12 Juli 2021 Yang menyatakan,
Andreas Ragil Dana Wahyudi
viii ABSTRAK
Andreas Ragil Dana Wahyudi. 2021. Implementasi Program Linear Bilangan Bulat dalam Menentukan Optimasi dan Evaluasi Keuntungan Home Industry Doneta di Mojokerto Berbantu Python. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.
Di masa pandemi, persaingan bisnis makin ketat. Sehingga perlu dilakukan efisiensi penggunaan sumber daya sebagai langkah untuk tetap bisa bersaing. Salah satu cabang ilmu matematika yang bisa digunakan ialah program linear bilangan bulat. Sehingga, penelitian ini akan difokuskan dalam implementasi program linear bilangan bulat yang dalam perhitungannya dibantu Python. Tentunya dalam melakukan penelitian terdapat beberapa tujuan yang akan diraih, yaitu: 1) menentukan pemodelan matematika dari permasalahan yang ada, 2) menghitung keuntungan maksimal menggunakan Python, dan 3) melakukan evaluasi terhadap hasil yang ada supaya menghasilkan kombinasi produk yang lebih optimal lagi.
Jenis penelitian yang digunakan ialah studi kasus. Langkah-langkah penelitian ini ialah sebagai berikut: 1) membaca dan mengumpulkan literatur mengenai implementasi program linear bilangan bulat dalam menentukan keuntungan maksimal; 2) melakukan wawancara untuk memperoleh data yang dibutuhkan yang berupa: takaran adonan donat, harga jual, harga beli bahan baku, batasan stok, serta cara pembuatan donat; 3) melakukan pemodelan terhadap masalah yang ada; 4) menghitung hasil luaran masalah dengan menggunakan Python; 5) evaluasi terhadap hasil yang didapatkan; 6) penelitian ditutup dengan melakukan penarikan kesimpulan atas hasil yang didapatkan.
Setelah melakukan prosedur penelitian, maka didapatkan hasil penelitian sebagai berikut: 1) fungsi tujuan yang memenuhi ialah memaksimalkan keuntungan 𝑍 = 16030𝑥1+ 19862,5𝑥2− 136000 dengan 𝑥1 untuk jumlah donat kentang reguler per kotak yang diproduksi dalam seminggu dan 𝑥2 untuk jumlah donat kentang baby per kotak yang diproduksi dalam seminggu. 2) untuk memperoleh keuntungan maksimal, maka Doneta harus memproduksi 30 donat kentang reguler setiap minggunya dengan hasil keuntungan sebesar Rp344.900. 3) evaluasi dilakukan sebab hasil perhitungan pertama menunjukkan bahwa Doneta hanya perlu memproduksi 1 jenis donat saja, padahal Doneta mempunyai 2 jenis donat yang ditawarkan. Maka, dilakukan perbaikan data terhadap masalah yang ada, dengan memperbaiki jumlah stok, penurunan harga jual, dan perbaikan takaran donat yang ada. Setelahnya, didapatkan bahwa produsen harus memproduksi 26 kotak donat reguler dan 8 kotak donat baby per minggunya agar menghasilkan keuntungan sebesar Rp404.292.
Kata kunci: Memaksimalkan keuntungan, program linear bilangan bulat, evaluasi, Python.
ix ABSTRACT
Andreas Ragil Dana Wahyudi. 2021. Implementation of the Linear Integer Programming in Determining Optimization and Evaluation the Profits of Home Industry Doneta in Mojokerto Assisted by Python. Undergraduate Thesis.
Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and Natural Sciences Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma University.
During the pandemic, business competition is getting tougher. So it is necessary to use efficient resources as a step to remain competitive. One of the branches of mathematics that can be used is linear integer programming. Thus, this research will focus on implementing integer linear programs which are assisted by a Python in the calculations. Of course, in conducting research there are several goals to be achieved, namely: 1) determining the mathematical modeling of the existing problems, 2) calculating the maximum profit using Python, and 3) evaluating the existing results to produce a more optimal product combination.
The type of research used is a case study. The steps of this research are as follows: 1) reading and collecting literature on the implementation of integer linear programming in determining the maximum profit; 2) conducting interviews to obtain the required data in the form of: the measurement of donut dough, the purchase price of materials, stock limits, and how to make donuts; 3) modeling the existing problems; 4)calculate the output of the problem using Python; 5) evaluation of the results obtained; 6) the study was closed by concluding the results obtained.
After carrying out the research procedure, the following research results are obtained: 1) the objective function that fulfills is to maximize profit with regular potato donuts per box produced in a week and for baby potato donuts per box produced in a week; 2) to get the maximum profit, Doneta must produce 30 regular potato donuts every week with a profit of Rp344.900; 3) the evaluation was carried out because the results of the first calculation showed that Doneta only needed to produce 1 type of donut, even though Doneta had 2 types of donuts on offer. Then the data was corrected to the existing problems, by improving the amount of stock, decreasing the selling price, and improving the existing donuts dosage. After that, it was found that the producer had to produce 26 boxes of regular donuts and 8 boxes of baby donuts per week to generate a profit of Rp404.292.
Keywords: Maximizing profit, integer linear programming, evaluation, Python.
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan yang Maha Esa atar berkat dan karunia-Nya, sehingga peneliti dapat menyelesaikan penulisan skripsi yang memiliki judul
“Implementasi Program Linear Bilangan Bulat dalam Menentukan Optimasi dan Evaluasi Keuntungan Home Industry Doneta di Mojokerto Berbantu Python” dengan baik serta tepat waktu.
Penulisan skripsi ini dilakukan sebagai salah satu syarat bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika untuk memperoleh gelar Sarjana Pendidikan. Peneliti menyadari bahwa banyak pihak yang membantu dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Peneliti ingin mengucapkan banyak terima kasih kepada pihak-pihak tersebut, yaitu:
1. Tuhan Yesus yang memberikan kesempatan serta memberikan rahmat anugerah-Nya sehingga peneliti dapat menyelesaikan masa studi serta penulisan skripsi dengan baik dan tepat waktu.
2. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo S.Pd.,M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma
3. Bapak Dr. Marcellinus Andy Ruditho S.Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
4. Bapak Beni Utomo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika.
5. Bapak Dewa Putu Wiadnyana Putra S.Pd., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing yang bersedia meluangkan waktunya dan kesabarannya dalam membimbing peneliti selama menyelesaikan penulisan skripsi peneliti.
6. Bapak Drs. Sugiarto Pudjohartono M.T., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah membimbing peneliti dalam hal akademik selama masa studi.
7. Segenap dosen, karyawan dan civitas Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik dan memberikan ilmunya kepada peneliti selama masa studi.
xi
8. Kepada orang tua, ibu Aloysia Sri Isnani yang sudah damai di surga dan Bapak Ignatius Triyono, wali peneliti, ibu Sri Utari, yang sudah memberikan kesempatan bagi peneliti untuk belajar di jenjang yang lebih tinggi dan yang selalu memberikan semangat, masukan, dukungan baik dalam bentuk moril maupun materi. Peneliti sangat bersyukur akan kesempatan besar ini.
9. Kakak-kakak serta adik peneliti dan saudara yang selalu mendoakan peneliti.
10. Ibu Tutik dan Christin selaku pemilik usaha Doneta yang sudah memberikan izin untuk dijadikan subjek penelitian.
11. Diva dan Erra serta PPJW yang selalu mendengarkan segala celotehan tidak jelas, kemarahan, gurauan, menjadi teman kerja kelompok yang sangat mendukung keberhasilan peneliti dalam menyelesaikan masa studi peneliti.
12. Teman-teman HMPS masa bakti 2018/2019 dan masa bakti 2019/2020 yang sudah memberi kesempatan bagi peneliti untuk merasakan dunia organisasi.
13. Teman-teman kelas 17C dan almamater Universitas Sanata Dharma.
Peneliti menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, peneliti mengharapkan kritik dan saran yang membangun melalui penulisan karya lain agar menjadi lebih bermanfaat dan peneliti berharap hasil penelitian ini dapat menjadi referensi bagi penelitian lainnya.
Yogyakarta, 12 Juli 2021
Andreas Ragil Dana Wahyudi
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL………i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR TABEL ... xv
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Identifikasi Masalah ... 5
C. Rumusan Masalah ... 5
D. Tujuan Penelitian ... 6
E. Batasan Masalah... 6
F. Batasan Istilah ... 6
G. Manfaat Penelitian ... 7
H. Metodologi Penelitian ... 8
I. Sistematika Penulisan ... 8
BAB II LANDASAN TEORI ... 10
A. Model Matematika ... 10
B. Linear Programming ... 11
C. Metode Simpleks ... 18
D. Program Linear Bilangan Bulat ... 34
E. Metode Penyelesaian dalam PBB ... 37
F. Penggunaan Python Modul PuLP ... 43
G. Penelitian Relevan ... 58
... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
HALAMAN MOTTO ... v
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN KARYA...vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI... vii
ABSTRAK ... viii ABSTRACT
xiii
H. Kerangka Berpikir ... 60
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ... 62
A. Gambaran Umum Objek Penelitian ... 62
B. Tahapan Proses Produksi ... 63
C. Data Penelitian ... 64
D. Pemodelan Permasalahan Ke Bentuk Matematika ... 66
E. Penyelesaian Permasalahan Produksi Menggunakan Python ... 70
F. Perencanaan Produksi Untuk Hasil Produk yang Lebih Baik. ... 78
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN... 91
A. KESIMPULAN ... 91
B. SARAN ... 92
DAFTAR PUSTAKA ... 93
LAMPIRAN ... 96
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Perintah print dalam Python ... 44
Gambar 2. 2 Tampilan Awal Thonny ... 46
Gambar 2. 3 Contoh penggunaan kata kunci yang salah ... 47
Gambar 2. 4 Penulisan naskah program menggunakan Gauss-Seidell ... 49
Gambar 2. 5 Lanjutan penulisan naskah program menggunakan Gauss-Seidell .. 50
Gambar 2. 6 Lanjutan penulisan naskah program menggunakan Gauss-Seidell .. 50
Gambar 2. 7 Luaran dari Contoh 2.2 Menggunakan Metode Gauss-Seidell ... 51
Gambar 2. 8 Tampilan menu Manage Package pada Thonny ... 56
Gambar 2. 9 Library PuLP pada Thonny ... 56
Gambar 2. 10 Perintah untuk menguji PuLP ... 57
Gambar 2. 11 Luaran untuk menguji PuLP 1 ... 57
Gambar 2. 12 Luaran untuk menguji PuLP 2 ... 57
Gambar 2. 13 Diagram alir kerangka berpikir ... 61
Gambar 3. 1 Memanggil library dan penggunaan LpProblem ... 72
Gambar 3. 2 Penulisan variabel dalam PuLP ... 73
Gambar 3. 3 Penulisan fungsi tujuan dan kendala dalam PuLP ... 74
Gambar 3. 4 Penulisan perintah menampilkan output dalam PuLP... 76
Gambar 3. 5 Tampilan luaran program yang disusun. ... 77
Gambar 3. 6 Gambar daerah penyelesaian permasalahan ... 80
Gambar 3. 7 Tampilan program perencanaan produksi ... 87
Gambar 3. 8 Perintah memanggil luaran ... 88
Gambar 3. 9 Luaran hasil program perencanaan produksi ... 88
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2. 1 Tablo mula-mula ... 23
Tabel 2. 2 Tablo mula-mula untuk contoh 2.2 ... 27
Tabel 2. 3 Tablo Kolom dan Baris Sumbu Iterasi ke-1 ... 28
Tabel 2. 4 Tablo iterasi pertama contoh 2.2 ... 29
Tabel 2. 5 Tablo Kolom dan Baris Sumbu Iterasi ke-2 ... 30
Tabel 2. 6 Tablo Iterasi Kedua Contoh 2.2 ... 31
Tabel 2. 7 Tablo Kolom dan Baris Sumbu Iterasi Ke-3 ... 32
Tabel 2. 8 Tablo Iterasi ke-3 Contoh 2.2 ... 33
Tabel 2. 9 Kata Kunci dalam Python ... 47
Tabel 2. 10 Daftar operator aritmetika dalam Python ... 48
Tabel 2. 11 Operator pembanding dalam Python... 48
Tabel 2. 12 Kumpulan PuLP Classes ... 54
Tabel 2. 13 Luaran dokumentasi PuLP Constant ... 55
Tabel 3. 1 Tabel persediaan bahan ... 65
Tabel 3. 2 Tabel kendala produksi ... 68
Tabel 3. 3 Persediaan bahan baku untuk perencanaan produksi. ... 82
Tabel 3. 4 Tabel kendala perencanaan produksi ... 84
Tabel 3. 5 Perbandingan sisa bahan baku ... 90
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Saat ini persaingan bisnis semakin ketat, apalagi dengan bertambahnya perusahaan yang makin menjamur setiap harinya. Hal ini tentunya menyebabkan setiap perusahaan harus berlomba untuk menjadi yang terbaik dalam bidangnya. Oleh karena itu, setiap perusahaan harus mengembangkan dan meningkatkan kinerja agar mencapai efektivitas dan efisien pada tahap produksi barang perusahaan mereka. Serta pengusaha harus bisa mengembangkan peluang untuk perkembangan bisnis mereka dengan melihat kebutuhan masyarakat di sekitar. Dengan demikian, setiap pengusaha harus berpikir kreatif untuk menghasilkan barang atau jasa yang hebat di kelasnya, namun perlu juga sesuai dengan kebutuhan masyarakat sekitar. Selain itu, pengusaha juga harus mencapai keuntungan maksimal untuk mempertahankan usaha mereka.
Selain persaingan yang semakin ketat, tantangan baru pada masa ini ialah pandemi. Masa pandemi ini membuat semakin banyak muncul pelaku- pelaku usaha baru yang siap bersaing. Seperti yang diketahui belakangan ini, banyak sekali orang berlomba-lomba untuk menambah penghasilan mereka di masa sulit ini dengan menjajakan keahlian mereka dalam memproduksi barang atau jasa yang bisa dirasakan olah khalayak ramai. Hal ini tentunya membuat pelaku usaha harus bisa bertahan dan menyesuaikan diri dengan perkembangan
yang terjadi pada masa kini. Perlu dilakukan pembaharuan dalam melakukan bisnis di ikuti dengan perhitungan yang tepat pada tahap produksi agar mencapai keuntungan yang maksimal supaya tidak terjadi kerugian.
Meminimalkan biaya produksi dan memaksimalkan keuntungan merupakan salah satu hal paling penting dalam berusaha. Keuntungan dapat terjadi apabila pemasukan lebih besar dari pengeluaran. Keuntungan bisa dijadikan tanda keberhasilan perusahaan dalam menjaga arus keuangan mereka. Dengan perhitungan yang tepat, dapat menghindarkan perusahaan dari defisit.
Seperti halnya dengan Doneta (Donat Kentang Endolita), home industry yang berasal dari Mojokerto, Jawa Timur, ini merupakan produsen donat kentang dengan berbagai macam varian rasa. Usaha ini merupakan usaha mikro yang berjalan di bidang makanan. Makanan yang produksi berupa donat kentang yang mulanya dijual satuan dan dititipkan di sekolah anak pemilik usaha. Namun karena adanya pandemi, membuat pengusaha harus melakukan penyesuaian dengan menjualkan dagangannya melalui bantuan penyedia jasa online, yaitu dengan bantuan ojek online dan sistem COD (cash on delivery).
Akan tetapi, penurunan pemasukan tetap terjadi. Hal pertama yang mungkin terjadi ialah menurunnya daya beli masyarakat. Sesuai dengan data dari Badan Pusat Statistik (BPS) yang tertulis dalam laman berita daring investor.id ditunjukkan bahwa terjadi deflasi pada bulan Juli, Agustus, dan September yang diakibatkan menurunnya daya beli masyarakat di masa pandemi meskipun pasokan kebutuhan masyarakat terpenuhi.
Selanjutnya, hal yang memungkinkan terjadinya penurunan pemesanan ialah karena ketatnya persaingan usaha donat di Mojokerto. Menurut data yang diambil dari aplikasi Gojek pada bulan Juli 2021 yang mana merupakan tempat Doneta juga dipasarkan terdapat paling tidak terdapat 12 toko donat yang bekerja sama dengan aplikasi tersebut. Yang rata-rata donat dijualkan dengan hitungan box bukan dijualkan secara satuan. Dengan adanya ini membuat Doneta juga membuat pembaharuan dengan mengikuti trend yang ada.
Sehingga, menurut hasil wawancara pada tanggal 17 Oktober 2020 mengatakan bahwa pengusaha melakukan pembaharuan produk dengan
memproduksi 1 jenis donat kentang yang berukuran mini yang diberi nama donat kentang baby. Sehingga, Doneta sekarang ini menjualkan donat kentang reguler yang berisikan 6 donat dan donat baby berisikan 12 donat. Untuk saat ini proses penjualan masih mengikuti pesanan dari pasar karena produsen masih belum berani untuk memproduksi donat secara massal karena adanya penurunan penjualan saat pandemi.
Usaha ini masih menghitung keuntungan secara manual. Penghitungan keuntungan dihitung menggunakan cara mengurangkan hasil penjualan donat per dos dengan pengeluaran dalam sekali produksi. Selain itu, pengusaha juga menuturkan bahwa pernah terjadi pembuangan bahan yaitu kentang, dikarenakan salah perhitungan dalam penyediaan bahan setelah memasuki masa pandemi. Sebab pada awal masa pandemi produsen masih menggunakan perhitungan seperti pada masa sebelumnya dalam pengadaan stok bahan sehingga sering dijumpai sisa stok bahan yang masih banyak. Selain itu, dari data yang didapatkan pada bulan Maret 2021 menunjukkan bahwa data penjualan antara kedua produk sangat berbeda jauh. Bahkan pada awal minggu bulan Maret 2021, produsen hanya memproduksi donat kentang reguler saja karena pesanan yang ada hanya pada produk tersebut. Padahal, produsen memiliki 2 jenis donat yang dijajakan sehingga apabila hanya menjualkan 1 jenis donat saja memungkinkan keuntungan mengecil. Untuk membantu pelaku usaha mendapatkan keuntungan maksimal dan menyelesaikan beberapa masalah yang ada maka dapat digunakan salah satu cabang yang ada dalam matematika untuk membantu memecahkan masalah yang ada. Sebab dalam matematika terdapat ilmu yang biasa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan produksi, yaitu program linear, terkhusus ialah program linear bilangan bulat karena produk yang dihasilkan memiliki besaran nilai bilangan bulat.
Program linear merupakan salah satu cabang riset operasi yang digunakan untuk membantu menentukan perencanaan serta pembuatan keputusan dalam pemakaian sumber daya yang terbatas melalui proses memodelkan permasalahan sehari-hari ke bentuk matematika untuk mencapai
tujuan yang diinginkan. Dalam artian di samping, ditunjukkan bahwa program linear memiliki ciri khas, yaitu adanya keterbatasan, keterbatasan yang dimaksud ialah keterbatasan dalam penyediaan sumber daya atau keterbatasan dalam penggunaan alat. Program linear mengasumsikan bahwa barang dan sumber daya dapat dibagi-bagi bahkan ke dalam bentuk pecahan, sehingga solusi optimal yang diperoleh bisa dihasilkan dalam bentuk bilangan pecahan.
Padahal terkadang dalam kehidupan nyata, produk yang dihasilkan tidak bisa berbentuk pecahan, misalkan perhitungan banyaknya donat yang harus diproduksi, solusi optimal yang pecahan adalah tidak praktis dan tidak memiliki arti. Adanya masalah ini, perlu menggunakan kasus khusus dalam program linear yang bisa mendapatkan hasil bilangan bulat, yaitu program linear bilangan bulat atau integer programming.
Berangkat dari pembahasan diatas, akan digunakan metode dalam program linear bilangan bulat sebagai langkah untuk menyelesaikan masalah penentuan kombinasi produk yang akan di produksi oleh Doneta dalam setiap minggunya. Untuk mempersingkat perhitungan akan digunakan aplikasi. Alat bantu yang akan digunakan ialah bahasa pemrograman Python dengan aplikasi penulisan script akan dituliskan di aplikasi Thonny. Alat bantu ini dipilih karena bahasa pemrogram ini merupakan bahasa pemrograman yang paling mudah digunakan dibandingkan dengan bahasa pemrograman lainnya. Selain itu, ternyata di dalam Python disediakan beberapa library gratis yang bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan program linear bilangan bulat.
Sehingga, alat bantu ini tidak hanya terfokus pada penyelesaian permasalahan program linear saja, namun bisa juga untuk menyelesaikan permasalahan riset operasi lainnya. Hal ini dijadikan alasan pemilihan Python sebagai alat bantu hitung dalam menentukan optimasi keuntungan produksi.
Dengan adanya masalah yang didapatkan di lapangan, yang berupa pengusaha masih menghitung secara manual, penyediaan bahan baku yang belum disesuaikan, serta penentuan kuantitas banyaknya jenis donat yang harus diproduksi. Yang mana permasalahan di titik beratkan pada belum efektifnya pengusaha dalam menentukan kuantitas setiap produk yang akan diproduksi,
maka peneliti tertarik untuk melakukan penelitian di home industry tersebut, yang diharapkan dengan adanya penelitian ini dapat membantu menyelesaikan permasalahan yang ada dan juga melakukan penerapan ilmu matematika yang didapatkan di bangku kuliah di kehidupan sehari-hari. Sehingga, penulis akan melakukan penelitian dengan judul penelitian ialah “Implementasi Program Linear Bilangan Bulat dalam Menentukan Optimasi dan Evaluasi Keuntungan Home Industry Doneta di Mojokerto Berbantu Python.”
B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka dapat diidentifikasi permasalahan yang ada sebagai berikut.
1. Belum optimalnya penentuan kuantitas setiap jenis donat yang akan diproduksi.
2. Home industry Doneta masih menggunakan proses perhitungan manual dalam menentukan keuntungan seminggu produksi.
3. Doneta mengalami penurunan produksi akibat pandemi.
4. Terdapat banyak bahan sisa dalam sekali produksi akibat dari terlalu besarnya penyediaan bahan dalam satu minggu produksi yang mengakibatkan Doneta pernah membuang bahan baku.
C. Rumusan Masalah
Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi implementasi program linear bilangan bulat dalam menentukan optimasi dan evaluasi keuntungan home industry Doneta di Mojokerto berbantu Python dapat ditulis ke dalam bentuk pertanyaan sebagai berikut:
1. Bagaimana memodelkan masalah penentuan kuantitas tiap jenis donat kentang Doneta untuk mengoptimalkan keuntungan tiap produksi ke dalam bentuk model matematika?
2. Bagaimana menyelesaikan masalah produksi donat kentang Doneta dengan bantuan Python?
3. Bagaimana evaluasi atau perbaikan data yang bisa dilakukan agar mendapatkan kombinasi produk yang lebih optimal dari solusi awal yang telah didapatkan?
D. Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini, maka terdapat tujuan dari penelitian ini ialah:
1. Untuk mengetahui bentuk model matematika dalam masalah penentuan kuantitas tiap jenis donat kentang Doneta untuk mendapatkan keuntungan maksimal tiap produksi.
2. Untuk mengetahui penyelesaian dari masalah produksi donat kentang Doneta dengan bantuan Python.
3. Untuk mengetahui evaluasi atau perbaikan data yang bisa dilakukan agar mendapatkan kombinasi produk yang lebih optimal dari solusi awal yang telah didapatkan
E. Batasan Masalah
Berdasarkan identifikasi masalah yang ada pada home industry Doneta serta agar masalah yang dikaji dalam penelitian ini menjadi sistematis dan tidak melebar jauh, penelitian akan memiliki batasan masalah sebagai berikut.
1. Penelitian akan dibatasi pada 1 pelaku usaha saja, yaitu home industry Doneta di Mojokerto.
2. Program linear bilangan bulat dengan 2 variabel
3. Penghitungan akan dibantu dengan menggunakan Python.
4. Optimasi dan evaluasi dalam proses produksi.
5. Data yang digunakan merupakan banyaknya bahan baku dan takaran adonan yang hanya menyangkut biaya eksplisit yang dimiliki home industry Doneta diambil pada bulan Maret 2021.
F. Batasan Istilah
Istilah-istilah dalam rumusan masalah diatas didefinisikan sebagai berikut.
1. Pemodelan matematika merupakan upaya merepresentasikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari ke bentuk bahasa matematika yang memiliki tujuan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
2. Program linear adalah salah satu prosedur dalam riset operasi yang menggunakan model matematika sebagai langkah penyelesaiannya dalam menentukan pemecahan optimum dalam keterbatasan yang ada
3. Program linear bilangan bulat adalah kasus khusus dari program linear yang mana luaran yang didapatkan harus semua (atau sebagian) merupakan bilangan bulat dengan menambahkan kendala bulat ke permasalahan yang ada.
G. Manfaat Penelitian
Penelitian mengenai implementasi program linear bilangan bulat dalam menentukan optimasi dan evaluasi keuntungan berbantu Python diharapkan memberikan manfaat bagi beberapa pihak yang dijelaskan sebagai berikut ini:
1. Bagi Doneta
Penelitian ini dimaksudkan untuk membantu pelaku usaha (Doneta) dalam menentukan kombinasi produk yang akan diproduksi agar memperoleh hasil yang lebih maksimal daripada sebelumnya.
2. Bagi peneliti
Penelitian ini diharapkan dapat dijadikan pengetahuan dan pengalaman yang lebih dalam mengaplikasikan program linear bilangan bulat.
3. Bagi pembaca
Menambah referensi bagi pembaca atau peneliti lain untuk lebih dikembangkan lagi dengan baik dan bisa dikembangkan dengan algoritma lainnya.
4. Bagi pendidik
Penelitian ini dapat digunakan sebagai referensi dalam pembuatan soal kontekstual dalam kehidupan sehari-hari.
H. Metodologi Penelitian
Penelitian ini menggunakan jenis penelitian studi kasus, yang akan dibarengi dengan studi pustaka yang dilakukan dengan mengkaji jurnal atau buku yang berkaitan dengan bidang yang diteliti. Untuk memperoleh data yang relevan untuk penelitian ini, digunakan 1 teknik pengambilan data yaitu dengan wawancara terhadap pelaku usaha. Proses wawancara dilakukan kepada anak dari pemilik home industry “Doneta”. Tujuan wawancara tersebut adalah untuk mengetahui asal-usul munculnya usaha ini, masalah yang muncul dalam memproduksi, jenis-jenis produk yang diproduksi, proses produksi yang dijalankan, harga bahan baku dan jenis bahan baku yang digunakan, harga produk yang ditawarkan, serta jumlah produksi yang dihasilkan dalam sekali produksi. Kemudian, untuk prosedur pelaksanaan penelitian ini, ialah sebagai berikut:
1. Membaca dan mengumpulkan literatur mengenai pemanfaatan program linear bilangan bulat dalam menentukan optimasi dan evaluasi keuntungan.
2. Melakukan wawancara untuk mendapatkan data yang dibutuhkan, yang berupa jenis produk, batasan bahan baku, takaran bahan baku, harga jual, dan harga bahan baku.
3. Melakukan pemodelan terhadap data yang didapatkan.
4. Menyusun program menggunakan Python untuk membantu perhitungan dari permasalahan yang ada.
5. Melakukan analisis data secara deskriptif dari hasil yang didapatkan.
6. Melakukan evaluasi atas hasil yang didapatkan dan menyusun perencanaan produksi untuk produsen kedepannya.
7. Menarik kesimpulan dan menuliskan saran bagi peneliti selanjutnya.
I. Sistematika Penulisan
Sistem penulisan skripsi ini akan terdiri dari 5 bab dengan urutan bab sebagai berikut:
Bab 1 PENDAHULUAN
Bab ini akan menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut akan berisikan tentang latar belakang masalah, identifikasi masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, batasan istilah, manfaat penulisan, metodologi penulisan, dan sistematika penulisan.
Bab 2 LANDASAN TEORI
Bab ini akan berisikan mengenai penjelasan secara singkat beberapa dasar pengetahuan yang digunakan, yaitu mengenai pemodelan matematika, program linear, program linear bilangan bulat, metode dalam program linear bilangan bulat, penggunaan Python modul PuLP, kajian pustaka, dan kerangka berpikir.
Bab 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini akan membahas mengenai hasil dari penelitian ini yang berupa gambaran singkat subjek penelitian, tahapan pembuatan produk, bahan baku serta takaran produk, yang kemudian akan dilanjutkan ke pembahasan yang berisikan tahapan memodelkan masalah, menyelesaikan masalah bantuan Python, lalu akan dilanjutkan dengan melakukan evaluasi untuk perencanaan produksi kedepannya.
Bab 4 KESIMPULAN DAN SARAN
Bab ini akan berisikan mengenai beberapa kesimpulan dan saran berdasarkan hasil pembahasan dan keseluruhan proses penyusunan skripsi.
10 BAB II LANDASAN TEORI A. Model Matematika
Model matematika menurut Suyitno (2017:4) merupakan ekspresi matematika dari permasalahan yang ada yang biasanya didapatkan dari kehidupan hari-hari. Menurut Ang (2001) dalam Wulandari, dkk (2016) pemodelan matematika adalah proses yang dilakukan mengubah bentuk permasalahan kehidupan sehari-hari ke dalam bentuk matematik sebagai langkah awal untuk menentukan hasil dari permasalahan tersebut. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pemodelan matematika merupakan upaya merepresentasikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari ke bentuk bahasa matematika yang memiliki tujuan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Pemodelan matematika dapat menjadi jembatan antara konsep matematika yang abstrak ke masalah dari dunia nyata. Masalah dalam dunia nyata dapat diubah terlebih dahulu menjadi bahasa matematika, lalu diselesaikan secara matematis, kemudian hasilnya dapat diterjemahkan kembali menjadi solusi masalah dari dunia nyata yang ada.
Salah satu masalah yang ada dalam kehidupan sehari-hari yang mungkin bisa dibantu dengan pemodelan matematika ialah permasalahan optimalisasi. Berikut adalah petunjuk dalam menyusun model matematika dalam permasalahan optimalisasi:
1. Menentukan tipe dari masalah yaitu masalah maksimum atau minimum, a. Jika masalah didapatkan berkaitan dengan permasalahan keuntungan,
biasanya merupakan masalah memaksimalkan.
b. Jika masalahnya didapatkan berkaitan dengan permasalahan biaya dan waktu, biasanya merupakan masalah meminimalkan. .
2. Mendefinisikan variabel keputusan.
Yang dimaksud dengan variabel keputusan ialah lambang yang digunakan sebagai pengandaian dari suatu jenis produk tertentu. Biasanya dilambangkan dengan huruf kecil.
3. Merumuskan fungsi tujuan.
Sesudah menentukan tipe masalah dan variabel keputusan, selanjutnya ialah menuliskan fungsi tujuan.
4. Merumuskan kendala.
Penyusunan pada langkah ini merupakan tahapan paling sulit dalam memodelkan masalah program linear. Untuk mempermudah memformulasikan dapat digunakan tabel sebagai cara menuliskan informasi yang didapatkan. Informasi yang ada bisa disajikan ke dalam bentuk tabel begitu pula dengan nilai ruas kanan atau batasan. Batasan atau nilai ruas kanan dalam infromasi yang ada merupakan besaran maksimum dalam penyediaan sumber daya (masalah memaksimalkan) atau besaran minimum dalam penyediaan sumber daya (masalah meminimalkan).
Hubungan kendala dengan batasan dengan diberikan tanda ketidaksamaan dengan arah ketidaksamaan didasarkan pada nilai maksimal sumber daya atau nilai minimal sumber daya.
5. Persyaratan non negatif.
Pada setiap variabel diberikan nilai non-negatif. Syarat ini menjadi perlu, sebab sebagai perwakilan banyaknya unit dari beberapa produksi dan sebagai penunjuk bahwa tidak mungkin didapatkan hasil negatif dalam masalah produksi.
B. Linear Programming 1. Sejarah Singkat
Menurut George B. Dantzing yang sering disebut “Bapak Program Linear”, di dalam bukunya: Linear Programming and Extension, menyebutkan bahwa ide dari Program Linear muncul dari sebuah karangan pada tahun 1939 yang memiliki judul “Mathematical Methods In the Organization And Planning of Production” (judul telah diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris), yang ditulis oleh seseorang ahli matematikawan asal Russia bernama L.V. Kantorivich. Pada karangan ini telah dirumuskan pertama kalinya persoalan program linear, akan tetapi ide ini tidak diterima oleh masyarakat luas di Rusia dengan baik. Sebelumnya,
pada tahun 1826 seorang matematikawan dari Prancis bernama Fourier juga pernah memperkenalkan tentang program linear ke masyarakat luas.
Pada tahun 1947 seorang matematikawan dari Amerika Serikat yang bernama George B. Dantzing mengembangkan sebuah cara yang sampai sekarang sering digunakan untuk memecahkan permasalahan program linear yang bernama “simplex method” yang sebelumnya telah dirintis oleh Leontieff. Setelahnya, Program Linear menjadi sangat berkembang pesat dalam penggunaannya. Awalnya, Program Linear sangat sering digunakan di bidang kemiliteran seperti untuk menentukan strategi perang, persoalan bombing pattern dan menghitung kerugian akibat perang. Bahkan pada tahun 1958, rintisan sebagian besar dasar- dasar konsep jaringan kerja dikerjakan oleh Kantor Proyek Khusus Angkatan Laut Amerika dilakukan dengan program linear. Selain di bidang kemiliteran, penggunaan program linear juga dulu sering digunakan di bidang bisnis untuk menentukan keuntungan maksimal, meminimalkan biaya produksi, dan lain sebagainya.
Sekarang, penggunaan Program Linear bukan saja terbatas dalam bidang militer dan ekonomi perusahaan yang bersifat mikro saja, namun juga bisa digunakan dalam berbagai permasalahan, seperti: penjadwalan, masalah transportasi atau logistik, teori “Comparative Advantage”, persoalan bahan makanan, keputusan investasi, periklanan, perkebunan dan sebagainya. (Supranto, J. 1980:33-34)
2. Pengertian Program Linear
Program Linear merupakan cabang riset operasi yang langkah- langkahnya tersusun sistematis untuk mencari nilai optimal atau terbaik yang mungkin dalam suatu keterbatasan sumber daya, seperti: tenaga, biaya, material, waktu, mesin, energi, ruang, dan sebagainya (Suyitno, 2017:2). Sedangkan menurut Ruminta (2014:327) dalam Saryoko (2016) mendefinisikan Pemrograman Linier (PL) adalah metode yang dapat digunakan dalam menentukan luaran terbaik dari fungsi tujuan yang ada
dalam suatu keterbatasan. Sedangkan menurut Aminudin (2005) program linear adalah suatu proses perencanaan analitik yang dalam prosesnya digunakan model matematika dengan tujuan untuk menemukan satu atau beberapa kombinasi produk yang terbaik untuk mencapai hasil optimum dari suatu permasalahan. Jadi dapat disimpulkan bahwa, program linear adalah salah satu prosedur dalam riset operasi yang menggunakan model matematika sebagai langkah penyelesaiannya dalam menentukan pemecahan optimum dalam keterbatasan yang ada.
Pemecahan masalah dalam program linear melalui tahap-tahap berikut ini:
a. Memahami masalah di bidang yang bersangkutan.
b. Menyusun model matematika (menuliskan variabel keputusan, fungsi tujuan, kendala)
c. Mencari jawaban dari model matematika yang telah dibuat dengan menggunakan metode yang ada.
d. Menafsirkan jawaban yang didapat menjadi jawaban atas masalah yang nyata.
(Suyitno, 2017:2) Suatu persoalan dapat dikatakan persoalan program linear, apabila memenuhi beberapa prinsip berikut ini:
a. Adanya tujuan. Tujuan yang dimaksud ialah memaksimalkan atau meminimalkan suatu permasalahan. Infromasi yang ada akan dituliskan menjadi sebuah fungsi linear bernama fungsi tujuan / fungsi objektif. Fungsi ini yang akan dijadikan sasaran dengan mencari nilai optimalnya. Dapat berupa manfaat, biaya, jarak, waktu, dsb.
b. Adanya tindakan alternatif. Artinya terdapat beberapa hasil luaran dari penyelesaian kendala dalam batasan yang akhirnya memberikan nilai yang optimal sesuai dengan tujuan permasalahan yang sudah ditetapkan.
c. Adanya keterbatasan sumber daya. Ciri ini merupakan ciri yang paling khusus dalam permasalahan program linear. Sumber daya dapat berupa
waktu, tenaga, biaya, bahasa, dsb. Pembatasan sumber daya disebut dengan fungsi kendala. Pembatasan harus dinyatakan dalam bentuk ketidaksamaan yang linear. Misalnya keterbatasan modal, bahan, tenaga, dsb.
(Supranto, 1980:6) 3. Bentuk Baku Program Linear
Bentuk baku dari model Program Linear ialah sebagai berikut:
Permasalahan Memaksimalkan Baku:
𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 Dengan batasan
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑎23𝑥3+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2+ 𝑎33𝑥3+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏3
⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥𝑗 ≥ 0 Permasalahan Meminimalkan Baku:
𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2 + 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛 Dengan batasan
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑎23𝑥3+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2+ 𝑎33𝑥3+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏3
⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥𝑗 ≥ 0 Keterangan simbol:
𝑍 = Fungsi tujuan yang akan dicari nilai optimalnya. Dapat maksimal maupun minimal
𝑐𝑗 = Kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan 𝑥𝑗 dengan satu satuan unit atau sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap Z.
𝑛 = Macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia.
𝑚 = Macam batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
𝑥𝑗 = Tingkat kegiatan ke-j atau pemisalan sejumlah j.
𝑎𝑖𝑗 = Banyaknya sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan j.
𝑏𝑖 = Kapasitas sumber I yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan.
(Aminudin, 2005:11-12)
Dalam pemakaiannya, juga ditemukan permasalahan yang tidak sesuai dengan bentuk baku yang ada. Misalkan, pada permasalahan meminimalkan terdapat kendala yang menggunakan tanda ≤ , sehingga permasalahan tersebut disebut permasalahan meminimalkan tidak baku.
Istilah umum dalam Program Linear ialah sebagai berikut:
1. Fungsi tujuan adalah fungsi yang akan dicari nilai terbaiknya, biasanya dilambangkan dengan huruf Z, baik nilai minimal maupun nilai yang maksimal.
2. Fungsi batasan atau fungsi kendala adalah fungsi yang menjadi batasan dalam menentukan nilai optimal yang akan dicari. Dibedakan menjadi 2 macam, yaitu:
a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi yang batasannya ada atau terdapat batasan dalam bentuk jumlah maksimal atau minimal dari fungsi tersebut.
b. Fungsi non negatif, yaitu variabel yang menunjukkan bahwa produksi tidak akan negatif, biasanya ditulis dengan 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2,3, …
3. Variabel keputusan atau pemisalan merupakan bentuk pemisalan atas suatu produk, biasanya dilambangkan dengan huruf tidak kapital.
4. Parameter model yaitu masukan konstan atau nilai ruas kanan.
(Aminudin, 2005:12)
Agar penggunaan model program linear memuaskan dan tidak terbentur pada berbagai hal, maka diperlukan asumsi-asumsi dasar program linear menurut Abdillah (2013: 9) , sebagai berikut:
1. Proportionality atau kesebandingan yang berarti naik turunnya fungsi tujuan dan pemakaian sumber daya yang tersedia akan berubah secara sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
Misal:
a. 𝑍 = 𝑐1𝑥1+ 𝑐2𝑥2+ 𝑐3𝑥3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛
Setiap pertambahan 1 unit di 𝑥1 akan menaikkan Z sebesar 𝑐1. Setiap pertambahan 1 unit di 𝑥2 akan menaikkan Z sebesar 𝑐2, dan seterusnya.
b. 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≥ 𝑏1 atau 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
Setiap pertambahan 1 unit di 𝑥1 akan menaikkan penggunaan sumber daya atau fasilitas ke 1 sebesar 𝑎11.
2. Additivity atau penambahan berarti nilai fungsi tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi sebab kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.
3. Divisibility atau dapat dibagi berarti luaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan, tidak harus berupa bilangan bulat begitu pula dengan fungsi tujuan yang dihasilkan.
4. Certainty atau kepastian berarti bahwa fungsi kendala dan fungsi tujuan yang ada dalam program linear diketahui secara pasti dan tidak berubah-ubah meskipun tidak sama persis dengan kenyataan.
CONTOH PERMASALAHAN PROGRAM LINEAR
Contoh 2.1 Seorang pengrajin kue memproduksi 2 macam kue camilan, yaitu: bolang-baling, dan cakue. Kedua kue tersebut memakai bahan dasar utama yang harga dan ketersediaan di pasaran seringkali terbatas, yaitu: terigu dan gula-pasir. Setiap kue bolang-baling memerlukan 40 gr terigu dan 120 gr gula pasir, sedangkan kue cakue memerlukan 100 gr terigu dan 60 gr gula pasir. Pengrajin tersebut menyiapkan setiap harinya tepung terigu dan gula pasir sebanyak 4 kg dan 7,2 kg. Kue bolang-baling dijual dengan harga 3 ribu per-biji, sedangkan cakue dijual dengan harga 2 ribu per-biji. Bantulah pengrajin kue tersebut untuk merencanakan produksi kue mereka, agar diperoleh penghasilan maksimum jika diketahui memiliki daerah penyelesaian seperti dibawah ini! (dengan asumsi: semua produk habis terjual, sesuai harga).
Pembahasan Contoh 2.1
Permasalahan diatas merupakan contoh permasalahan program linear.
Dalam soal, biasanya soal-soal program linear memang berbentuk soal cerita.
Dijelaskan pada subbab sebelumnya, bahwa permasalahan program linear memiliki 3 karakteristik, yaitu adanya sasaran, alternatif jawaban, dan terdapat batasan. Akan ditunjukkan alasan mengapa contoh 2.1 merupakan permasalahan program linear, sebagai berikut: 1) adanya sasaran, pada soal terdapat kata “agar diperoleh penghasilan maksimal”, hal tersebutlah yang menunjukkan pada soal memang ada sasaran atau tujuan, dan tujuan dari permasalahan tersebut ialah memaksimalkan penghasilan; 2) adanya alternatif jawaban, karena adanya tujuan maka pasti akan ada alternatif jawaban yang paling tidak akan ada 1 yang menghasilkan keuntungan maksimal. Meskipun belum terlihat secara eksplisit, sebab perlu diselesaikan terlebih dahulu sebelum melihat hasilnya, tetapi pasti ada 1 jawaban yang memenuhi; 3) adanya batasan, pada soal diatas terdapat batasan untuk setiap produknya, ditunjukkan dengan batasan penggunaan tepung dan gula dalam satu jenis produk, kemudian untuk nilai kanan atau batasan sumber daya juga sudah muncul pada soal.
C. Metode Simpleks
1. Pengantar dan Pengertian Metode Simpleks
Seperti yang dipaparkan pada subbab sebelumnya, bahwa metode simpleks ditemukan di tahun 1947 oleh seorang matematikawan Amerika Serikat bernama George Bernard Dantzig. Beliau merupakan Profesor Riset Operasi dan Ilmu Komputer di Stanford. Teknik ini sampai sekarang pun tetap menjadi teknik standar yang digunakan dalam menyelesaikan persoalan program linear. Penemuan metode ini menjadi penemuan yang sangat membantu berkembangnya penggunaan program linear, sebab metode yang sangat membantu terselesaikan permasalahan program linear. Diketahui bahwa persoalan program linear dalam kehidupan sehari- hari bukanlah persoalan yang simpel, sehingga penggunaan metode analisis grafik terkadang tidak bisa mengakomodasi penemuan solusi atas persoalan tersebut. Metode ini menjadi metode yang tepat dalam membantu menyelesaikan permasalahan program linear yang bersangkutan dengan masalah dunia nyata. Gagasan metode simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris atau grafik pada titik ekstrem atau titik sudut menjadi metode aljabar. Sehingga kadang metode simpleks juga sering disebut juga sebagai metode aljabar.
Metode simpleks menurut Supranto (1980:39) ialah suatu cara sistematis yang dilakukan secara berulang dengan mencari pemecahan dasar yang layak ke pemecahan dasar layak lainnya sehingga pada akhirnya didapatkan pemecahan dasar optimal yang membuat besarnya nilai fungsi tujuan akan semakin besar atau sama dengan pengulangan sebelumnya. Sedangkan menurut Suyitno (2017:27) metode simpleks adalah suatu langkah perhitungan yang dilakukan dengan berulang kali namun terbatas yang diawali dari suatu penyelesaian dasar fisibel, apabila penyelesaian itu tidak menghasilkan nilai optimal, maka akan dilakukan pencarian penyelesaian dasar fisibel lainnya yang lebih baik sehingga akan menghasilkan penyelesaian dasar fisibel yang paling optimal..
Jadi, dapat disimpulkan bahwa metode simpleks adalah metode atau algoritma yang dilakukan secara berulang-ulang dengan membenarkan bentuk penyelesaian dasar fisibel (PDF) pada setiap langkahnya dan berhenti ketika sudah menemukan nilai PDF yang maksimal atau minimal, biasanya menggunakan bantuan tabel untuk membantu atau merapikan jalannya menemukan PDF yang diperlukan.
Metode simpleks merupakan basis dari menentukan solusi optimal dari permasalahan program linear, karena menurut Sitinjak (2006) dalam Christian (2013), metode yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari model program linier terbagi menjadi 2, yaitu: Metode Grafik dan Metode Simpleks. Metode grafik digunakan jika banyaknya variabel keputusan di dalam model program linier sejumlah dua variabel keputusan (= 2 variabel). Metode simpleks digunakan jika banyaknya variabel keputusan di dalam model program linier minimal dua variabel keputusan (≥ 2 variabel). Sebelum melaju ke langkah penyelesaian program linear dengan metode simpleks, ada baiknya mengenal istilah-istilah yang digunakan dalam metode ini.
a. Algoritma merupakan suatu langkah dalam matematika yang dilakukan secara terus menerus untuk menyelesaikan permasalahan.
b. Variabel non basis merupakan istilah yang digunakan dalam menandai variabel-variabel yang memiliki nilai nol pada suatu titik sudut.
c. Variabel basis merupakan istilah yang digunakan dalam menandai variabel-variabel yang memiliki nilai positif tak-nol pada suatu titik sudut.
d. Solusi atau nilai kanan merupakan batasan suatu permasalahan yang berupa nilai sumber daya yang diketahui. Perlu diingat, bahwa persoalan program linear akan selalu memiliki batasan sumber daya yang disediakan dan solusi awal nilai kanan akan sama dengan jumlah sumber daya yang diketahui sebab aktivitas belum dilakukan.
e. Variabel pengetat atau variabel slack merupakan suatu nilai yang akan diberikan atau ditambahkan pada ruas kiri pertidaksamaan kendala yang diketahui untuk mengubah tanda ≤ menjadi =. Hal ini berarti kita menambahkan sesuatu untuk membuat ketidaksamaan seolah- olah menjadi sama besarnya dengan nilai kanan yang diberikan.
Untuk selanjutnya, S digunakan sebagai tanda menuliskan variabel pengetat.
f. Variabel semu atau variabel surplus merupakan suatu nilai yang digunakan sebagai pengurang pada ruas kiri pertidaksamaan kendala agar seakan-akan membuat nilai kiri sama dengan nilai kanan, sehingga akan mengubah tanda ≥ menjadi =. Selanjutnya, variabel semu akan bertanda negatif.
g. Variabel artifisial atau variabel buatan merupakan variabel yang ditambahkan yang hanya dapat bernilai nol (0) dan ditambahkan ke dalam kendala persamaan (serta ke kendala ≤ saat permasalahan meminimalkan dan ke kendala ≥ saat permasalahan memaksimalkan) supaya diperhitungkan pada metode simpleks serta pada parameter fungsi tujuan diberi nilai M yang merupakan nilai yang sangat besar, sehingga apabila dikurangi bilangan apapun dia tidak akan berubah.
h. Variabel masuk adalah variabel bukan basis yang terpilih untuk menggantikan variabel basis pada algoritma berikutnya. Variabel ini pada langkah berikutnya akan bernilai positif.
i. Variabel keluar adalah variabel basis yang akan terganti oleh variabel non basis pada langkah berikutnya. Hal ini disebabkan karena memiliki nilai terkecil saat dibagi oleh nilai kanan. Variabel ini akan bernilai nol pada algoritma berikutnya.
j. Kolom pivot atau kolom sumbu merupakan kolom yang memuat variabel masuk. Yang dimaksud dengan variabel masuk ialah variabel yang digunakan untuk menggantikan nilai variabel basis pada kolom basis. Kemudian, koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi
pada nilai paling kanan untuk menentukan baris pivot atau baris sumbu.
k. Baris sumbu atau baris pivot adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar atau variabel basis yang tergantikan.
l. Elemen kunci atau elemen pivot merupakan perpotongan antara kolom sumbu dan baris sumbu. Elemen kunci akan menjadi basis perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
2. Bentuk Baku Metode Simpleks
Sebelum melangkah lebih jauh dalam menggunakan metode simpleks, langkah pertama yang dilakukan ialah mengubah persoalan ke dalam bentuk kendala-kendala program linear yang berbentuk pertidaksamaan-pertidaksamaan. Setelahnya, harus diubah terlebih dahulu kendala-kendala tersebut ke dalam bentuk baku atau bentuk standar program linear, yang mana mengubah bentuk kendala yang bermula dari bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk persamaan dengan menambahkan variabel pengetat, variabel semu, atau variabel artifisial. Untuk membantu memahami penggunaan penambahan variabel dalam mengubah bentuk program linear ke dalam bentuk baku kendala persamaan.
1. Tambahkan variabel pengetat atau variabel slack pada kendala pertidaksamaan kurang dari atau kurang dari sama dengan. Pada fungsi tujuan jangan lupa menambahkan parameter nol sebagai nilai dari variabel ini.
Contoh: Terdapat kendala 𝑥1 + 3𝑥2+ 5𝑥3 ≤ 45.
Kita dapat mengubah bentuk kendala pertidaksamaan tersebut ke bentuk baku dengan menambahkan variabel pengetat, menjadi 𝑥1+ 3𝑥2+ 5𝑥3+ 𝑆 = 45, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑆 > 0. Variabel S diandaikan menjadi sumber daya yang sisa atau dapat dibaca sebagai penambahan sembarang angka supaya menjadi sama nilainya antara ruas kanan dan ruas kiri. Nilai S tidak berpengaruh pada fungsi tujuan karena memiliki nilai koefisien nol.
2. Tambahkan variabel semu atau variabel surplus pada kendala pertidaksamaan lebih dari atau lebih dari sama dengan. Pada fungsi tujuan jangan lupa untuk menambahkan parameter nol sebagai nilai dari variabel ini pada fungsi tujuan.
Contoh: Terdapat kendala 2𝑥1− 3𝑥2+ 𝑥3 ≥ 50.
Kita dapat mengubah bentuk kendala pertidaksamaan tersebut ke bentuk baku dengan menambahkan variabel pengetat, menjadi 2𝑥1− 3𝑥2+ 𝑥3− 𝑆 = 50. Dapat dibaca sebagai pengurangan sembarang angka pada ruas kiri supaya menjadi sama nilainya antara ruas kanan dan ruas kiri. Nilai S tidak berpengaruh pada fungsi tujuan karena memiliki nilai koefisien nol
3. Tambahkan variabel atau variabel buatan pada kendala yang berbentuk persamaan, dilambangkan dengan huruf “a” dan menambahkan parameter –M, dengan M adalah bilangan yang sangat besar ke fungsi tujuan.
Contoh: Terdapat kendala 𝑥1 + 3𝑥2+ 5𝑥3 = 45.
Agar nilai persamaan tersebut menjadi kendala yang diperhitungkan maka dapat ditambahkan nilai variabel buatan yang memiliki input nol, menjadi 𝑥1+ 3𝑥2 + 5𝑥3 + 𝐴 = 45. Kemudian, pada nilai parameter fungsi tujuan ditambahkan nilai M.
Aminudin (2005:26) mengatakan bahwa ada beberapa aturan yang menjadi ketentuan bentuk baku atau bentuk standar program linear:
a. Semua batasan atau kendala adalah persamaan dengan sisi kanan merupakan input non negatif.
b. Semua variabel keputusan adalah non negatif
c. Fungsi tujuan dapat berupa masalah maksimal atau masalah minimal.
Setelah mengetahui syarat dari bentuk baku, Siswanto (1988:20) menyatakan bahwa bentuk baku atau bentuk standar program linear dapat dirumuskan ke dalam bentuk sebagai berikut ini:
Memaksimalkan atau meminimalkan:
𝑍 = ∑ 𝑐𝑗𝑥𝑗
𝑛
𝑗=1
Dengan batasan
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ 𝑎13𝑥3+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛± 𝑆1 = 𝑏1 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ 𝑎23𝑥3+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛± 𝑆2 = 𝑏2 𝑎31𝑥1+ 𝑎32𝑥2+ 𝑎33𝑥3+ ⋯ + 𝑎3𝑛𝑥𝑛± 𝑆3 = 𝑏3
⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ 𝑎𝑚3𝑥3+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛± 𝑆𝑚 = 𝑏𝑚
𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥𝑗 ≥ 0 3. Tablo Simpleks dan Langkah Penyelesaiannya
Setelah mengetahui bentuk umum dari bentuk baku program linear, maka dapat melanjutkan ke langkah berikutnya ialah menyusun program awal atau tabel simpleks awal. Bentuk tabelnya dapat disajikan ke dalam bentuk berikut ini:
Tabel 2. 1 Tablo mula-mula
𝑐𝑗 𝑐1 𝑐2 … 𝑐𝑛 0 0 …. 0 𝑏𝑖 𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑘
𝑐𝑖 𝑉𝑏 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑆1 𝑆2 …. 𝑆𝑚
0 𝑆1 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 1 0 0 𝑏1
0 𝑆2 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 0 1 0 𝑏2
… …. ….. …. … …. ….
0 𝑆𝑚 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛 0 0 1 𝑏𝑚
𝑧𝑗 0 0 …. 0 0 0 ….. 0 Z
𝑧𝑗− 𝑐𝑗 −𝑐1 -𝑐2 −𝑐𝑛 0 0 0
Dengan,
𝑧𝑗 = ∑ 𝑐𝑖 × 𝑎𝑚𝑛
𝑚
1
𝑧 = ∑ 𝑐𝑖 ×
𝑚
𝑖−1
𝑏𝑖
Keterangan:
𝑎𝑚𝑛 : Koefisien variabel keputusan 𝑐𝑗 : Koefisien fungsi tujuan
𝑧𝑗 : Jumlah perkalian koefisien variabel basis dengan koefisien variabel keputusan
𝑐𝑖 : Koefisien variabel basis 𝑉𝑏 : Variabel basis
𝑥𝑛 : Variabel keputusan 𝑏𝑖 : Nilai ruas kanan kendala
𝑆𝑚 : Variabel slack atau variabel surplus 𝑎𝑖𝑘 : Kolom sumbu
Z : Fungsi Tujuan
(Siswanto, 1988:21)
Pada tampilan awal tabel simpleks seperti yang ada pada tabel di atas, seluruh nilai dari variabel slack atau variabel surplus akan bernilai nol, yang membuat nilai Z atau fungsi tujuannya juga nol. Hal ini juga menunjukkan bahwa ada tahap awal tabel atau awal algoritma , suatu perusahaan belum memproduksi apapun. Kemudian, untuk menentukan penyelesaian optimal dari permasalahan tersebut dengan bantuan metode simpleks ialah dengan memperbaiki tabel tersebut dengan menentukan kolom dan baris sumbu, kemudian melakukan pembenaran tabel pada langkah berikutnya.
Menurut Suyitno (2017:42) garis besar langkah-langkah menentukan penyelesaian optimal program linear menggunakan metode simpleks dalam bentuk n variabel dan m kendala ialah sebagai berikut:
1. Ubahlah permasalahan dalam soal cerita ke bentuk model matematika.
Pastikan persoalan memenuhi syarat program linear, seperti adanya batasan, tujuan, dan tindakan alternatif.
2. Selanjutnya, ubah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk baku program linear supaya bisa dilakukan perhitungan menggunakan metode simpleks, dengan memunculkan variabel tambahan seperti variabel pengetat, variabel semu, maupun variabel artifisial.
3. Susunlah program awal dalam tabel simpleks dengan semua nilai variabel basisnya ialah nol.
4. Langkah awal untuk melakukan perhitungan menggunakan simpleks ialah melakukan pengujian keoptimalan program dengan menyelidiki nilai 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 (dalam beberapa buku ada yang 𝑐𝑗− 𝑧𝑗). Nilai 𝑧𝑗 didapatkan dari penjumlahan dari perkalian antara koefisien variabel basis dengan koefisien variabel keputusan.
Jika permasalahan memaksimumkan, program dikatakan belum optimal jika masih ada nilai 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 ≤ 0.
Jika permasalahan meminimumkan, program dikatakan belum optimal jika masih ada nilai 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 ≥ 0.
5. Jika program belum optimal, maka pilih elemen 𝑎𝑖𝑘 dengan aturan sebagai berikut:
a. Menentukan kolom sumbu dengan memilih nilai 𝑧𝑗− 𝑐𝑗negatif terkecil bagi masalah memaksimalkan dan nilai 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 positif terbesar bagi masalah meminimalkan.
b. Menghitung nilai 𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑘 dengan 𝑎𝑖𝑘 merupakan elemen dari setiap kolom sumbu yang bersesuaian.
c. Menentukan baris sumbu dengan melihat nilai 𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑘 paling kecil dengan mengabaikan hasil yang negatif, nol, dan tidak terdefinisi.
