BAGIAN III TINGKAT NASIONAL
SOAL PEMBAHASAN
Waktu 120 Menit
SOAL URAIAN
1. A adalah suatu himpunan bilangan. Himpunan A memiliki sifat tertutup terhadap pengurangan, artinya hasil pengurangan dua bilangan di A akan menghasilkan bilangan di A juga. Jika diketahui dua anggota dari A adalah 4 dan 9, tunjukan bahwa
a. 0 A b. – 13 A c. 74 A
d. Selanjutnya, daftarlah semua anggota himpunan A!
2. (2, 0, 4, 1) adalah salah satu solusi dari x1 + x2 + x3 + x4 = 7. Jika semesta pembicaraan pada persamaan ini adalah himpunan semua bilangan bulat tidak negative, tentukan banyaknya solusi yang mungkin dari x1 + x2 + x3 + x4 = 7 !
3. Adi adalah karyawan pada salah satu perusaan tekstil yang bertugas menyimpan data tentang kenaikan produksi selama lima periode. Setelah dicari Adi hanya menemukan empat data kenaikan, yaitu 4 %, 9 %, 7 %, dan 5 %. Satu data lagi, yaitu data ke-5, tidak ditemukan. Selidaiki data kenaikan yang ke-5, bila Adi hanya ingat bahwa rata-rata hitung dan median dari lima data tersebut adalah sama!
4. Tentukan semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi sistem persamaan berikut : 2
2 x(y +1) = y -1 y(x +1) = x -1
5. Perhatikan gambar di bawah ini. ABCD adalah persegi dan E adalah titik sembarang di luar persegi ABCD. Selidiki apakah berlaku hubungan AE + CE = BE + DE2 2 2 2 pada gambar di bawah tersebut?
A B
C E D
6. Sebuah akuarium berbentuk balok dengan ukuran panjang 100 cm, lebar 60 cm dan tinggi 40 cm berisi air cukup banyak. Tino baru saja membersihkan akuarium tersebut, kemudian menumpahkan sebagian airnya yang dilakukan dengan cara memiringkan akuarium dan bertumpu pada sisi 60 cm. Ia menghentikan kegiatannya ketika garis permukaan air tepat berada pada pertengahan dasar akuarium (Lihat gambar). Bila Ia mengembalikan akuarium ke posisi semula (tegak), berapa ketinggian air yang tersisa sekarang?
40 cm
100 cm
7. Tina diminta menyusun bilangan-bilangan asli lebih besar dari 1 ke dalam tabel yang berisi 5 kolom (a, b, c, d,e) dengan masing-masing baris berisi 4 bilangan saja seperti pada tabel berikut a b c d e 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 16 15 14 17 ...
Dengan pola tersebut, pada kolom manakah bilangan 2007 akan diletakkan?
8. Suatu survey rumah tangga di Surabaya memberikan laporan sebagai berikut: 40 % rumah tangga memiliki 2 anak atau lebih. Di antara keluarga dengan 1 anak, 30 % nya adalah anak laki-laki. Bila terdapat 10 % keluarga yang tidak memiliki anak, berapa persenkah keluarga di Surabaya yang memiliki tepat 1 anak perempuan?
9. Diberikan segitiga ABC yang memiliki sudut siku-siku di B, dengan panjang sisi AB = BC = 2 cm. Lengkungan BD dan BE masing-masing adalah busur lingkaran yang berpusat pada C dan A (lihat gambar). Jika luas lingkaran berjari-jari r adalah r2, dengan adalah konstanta. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut (nyatakan dalam ).
A
B C
D
E
10.Di antara 7 buah titik dengan koordinat A(9, 17), B(6, 11), C(3, 5), D(7, 12), E(7
2, 6), F(5,
11), G(5, 9), lima di antaranya terletak pada garis lurus. Dua titik manakah yang tidak terletak pada garis tersebut?
PEMBAHASAN
1. a. Karena 4 A , Maka 4 – 4 = 0 A b. Karena 9 dan 4 anggota A Maka 9 – 4 = 5 A 4 – 9 = - 5 A 4 – 5 = - 1 A - 5 – 5 = - 10 A - 10 – 4 = - 14 A - 14 – (- 1) = - 13 A c. 9 A dan (– 1) A
Jika 9 dikurangi oleh ( – 1) terus menerus sampai 65 kali pengurangan, maka hasilnya adalah 74.
Jadi, 74 A
d. Dari bagian (a) dan (b) diperoleh bahwa 0 A dan (– 1) A , kemudian dari pengurangan oleh 4 diperoleh bahwa 1 A.
Jika 1 dikurangkan oleh (– 1) terus menerus, masing-masing akan menghasilkan 2, 3, 4, …
Jadi, {2, 3, 4, …} A.
Kemudian jika (– 1) dikurangkan oleh 1 terus menerus masing-masing akan menghasil kan -2, - 3, - 4, …
Jadi, {… , - 4, - 3, -2} A
Karena {- 1, 0, 1} A, {2, 3, 4, …} A dan {… , - 4, - 3, -2} A Maka A = {… , - 4, - 3, -2} {- 1, 0, 1} {2, 3, 4, …}
= {… , - 2, - 1, 0, 1, 2, …}
Jadi, seluruh anggota A adalah himpunan semua bilangan bulat.
2. Akan dikelompokkan semua bilangan mulai dari yang berdigit 1 sampai yang berdigit 4 tetapi jumlah digit-digitnya 7.
Berdigit 1 0 0 0 7 --- 1
Hanya terdapat 1 kemungkinan
Berdigit 2 0 0 1 6 0 0 2 5 0 0 6 1 0 0 7 0 --- 7 Terdapat 7 kemungkinan Berdigit 3 0 1 0 6 0 2 0 5 0 7 0 0 0 1 1 5 0 2 1 4 0 1 5 1 0 2 4 1 0 1 6 0 0 2 5 0 --- --- --- 7 6 1
Banyaknya kemungkinan adalah (7 + 6 + 5 + … + 1) yang merupakan jumlah deret aritmatika (Sn) dengan n = 7, U1 = 7, Un = 1, b = - 1
Sn =n 2( U1 + Un) = 7 2(7 + 1) = 7 2(8)
= 28 Berdigit 4 1 0 0 6 1 1 0 5 1 6 0 0 1 0 1 5 1 1 1 4 1 0 5 1 1 1 4 1 1 0 6 0 1 1 5 0 --- --- --- 7 6 1 2 0 0 5 2 1 0 4 2 5 0 0 2 0 1 4 2 1 1 3 2 0 4 1 2 1 3 1 2 0 5 0 2 1 4 0 --- --- --- 6 5 1 7 0 0 0 --- 1
Banyaknya kemungkinan adalah
(7 + 6 + … + 1) + (6 + 5 + … + 1) + … + 1 = 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 84
Jadi, banyaknya solusi yang mungkin adalah (1 + 7 + 28 + 84) = 120
3. Misalkan X adalah rata-rata kelima data tersebut dan y adalah data kenaikan ke-5 yang hilang. Maka X = 4 + 9 + 7 + 5 + y 5 = 25 + y 5 = 5 + y 5
Karena rata-rata kelima data tersebut sama dengan mediannya Maka Median = 5 + y
5
Karena banyaknya data adalah 5, maka median adalah data yang ke-3 setelah diurutkan. Kelima data yang telah diurutkan itu adalah
4, 5, 5 + y 5, 7, 9 Akibatnya 5 ≤ 5 +y 5 ≤ 7 0 ≤ y 5 ≤ 2 0 y 10
Jadi, kenaikan produksi pada periode ke-5 berkisar antara 0 % sampai 10 %.
4. Akan dicari semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi sistem persamaan (1) dan (2).
x(y + 1) = y2–1 … (1) y(x + 1) = x2–1 … (2) Dari persamaan (1) diperoleh:
x(y + 1) = y2– 1 x(y + 1) = (y +1)(y – 1)
Agar kedua ruas pada persamaan terakhir sama, maka y = - 1 atau jika y- 1 mengharuskan x = y – 1
Jika y = - 1
Maka pada uraian persamaan (1) tidak berlaku hukum pencoretan (y + 1) pada kedua ruas karena nilai (y + 1) adalah 0. Oleh karena itu nilai y = - 1 disubstitusikan ke persamaan (2) y(x + 1) = x2– 1 (- 1)(x + 1) = x2– 1 - x – 1 = x2– 1 x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 x = 0 atau x = - 1
Jadi, pasangan bilangan bulatnya adalah (- 1, - 1) dan (0, - 1)
Jika y- 1
x = y – 1 y = x + 1 … (3)
Kemudian substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) y(x + 1) = x2– 1 (x + 1) (x + 1) = x2– 1
x2 + 2x + 1 = x2– 1 2x = - 2
x = - 1
Substitusikan nilai x = - 1 ke persamaan (3) y = x + 1 y = - 1 + 1
= 0
Jadi, pasangan bilangan bulatnya adalah (- 1, 0).
Jadi, seluruh pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan (1) dan (2) adalah (- 1, - 1), (- 1, 0) dan (0, - 1).
5. Perhatikan bahwa titik E terletak di sembarang tempat di Luar persegi ABCD. Karena ABCD persegi, maka kita cukup menempatkan titik E di titik sebelah luar salah satu sisi persegi, misalnya di sebelah luar sisi DC .
A B C D E F G
Dari segitiga DEF diperoleh EF2 = DE2– DF2 … (1) Dari segitiga CEF diperoleh EF2 = CE2– CF2 … (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh
DE2– DF2 = CE2– CF2 CF2 - DF2 = CE2– DE2 … (3) Dari segitiga AEG diperoleh
EG2 = AE2– AG2 … (4) Dari segitiga BEG diperoleh EG2 = BE2– BG2 … (5)
Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh
AE2– AG2 = BE2– BG2 AE2– DF2 = BE2– CF2
CF2 - DF2 = BE2– AE2 … (6) Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh
CE2– DE2 = BE2– AE2 AE2 + CE2 = BE2 + DE2
Jadi, terbukti bahwa pada persegi ABCD dengan E sebarang titik di luar persegi tersebut, akan berlaku hubungan AE2 + CE2 = BE2 + DE2.
6. Perhatikan bahwa volume air setelah akuarium dikembalikan ke posisi semula sama dengan volume air pada saat akuarium dalam posisi miring. Volume air pada saat akuarium miring adalah volume sebuah prisma yang tingginya sama dengan lebar akuarium, sedangkan alas prisma berupa segitiga siku-siku yang panjang alasnya sama dengan setengah dari panjang akuarium dan tingginya sama dengan tiggi akuarium. Misalkan: P = Panjang akuarium
= 100 cm
L = Lebar akuarium = 60 cm
T1 = tinggi air pada akuarium Semula = 40 cm
T2 = tinggi air setelah akuarium dikembalikan ke posisi semula V1 = Volume air setelah akuarium dikembalikan ke posisi semula V2 = Volume prisma segitiga siku-siku
V1 = V2 P × L × T2 = 1
2 × ( 1
2P) × T1 × L (Kedua ruas dibagi dengan PL)
T2 = 1
4 T1
T2 = 1
4 (40 cm)
= 10 cm
Jadi, tinggi air setelah akuarium dikembalikan ke posisi semula adalah 10 cm.
7. Perhatikan tabel pada soal!
Dari semua kolom, hanya kolom c yang mempunyai keteraturan pada setiap barisnya. Setiap baris pada kolom c merupakan kelipatan 4. Perhatikan bahwa khusus untuk bilangan kelipatan 4 yang juga merupakan kelipatan 8, pergerakan bilangan selanjutnya berarah ke sebelah kiri, sedangkan yang lainnya berarah ke sebelah kanan.
Selanjutnya akan dicari suatu bilangan kelipatan 4 terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 2007 yaitu 2004. Karena 2004 bukan kelipatan 8, maka 2 bilangan asli selanjutnya setelah 2004 yaitu 2005 dan 2006 bergerak ke arah kanan sehingga masing-masing menempati kolom d dan kolom e. Jadi, bilangan 2007 menempati kolom d. 8. Misalkan A = Persentase banyaknya rumah tangga yang memiliki 2 anak atau lebih
= 40 %
B = Persentase banyaknya rumah tangga yang memiliki tepat 1 anak C = Persentase banyaknya rumah tangga yang tidak memiliki anak = 10 %
T = Persentase banyaknya rumah tangga total di Surabaya = A + B + C
= B + 50 % = 100 % Akibatnya B = 50 %
Kemudian karena 30 % dari B memiliki anak perempuan, maka persentase rumah tangga yang memiliki tepat satu anak perempuan adalah 70 % dari B yaitu 70 % × 50 % = 35 %. Jadi, persentase rumah tangga yang memiliki tepat satu anak di Surabaya adalah 35 %.
Pada segitiga ABC, BF tegaklurus AC dan AG tegaklurus BE. A B C D E 20 cm 20 cm F G
Perhatikan juring ABE !
Karena AB = BC, maka BAD = BCE = 450. Akibatnya juring ABE = juring CBD . Luas juring ABE =
0 2 0 45 πr 360 = 1π(AB)2 8 = 1
2 π 20cm 8 = 50πcm2.Dari segitiga ABC diperoleh AC2 = AB2 + BC2 = (202 + 202) cm = (400 + 400) cm = 800 cm AC = 800 cm = 20 2 cm AF = 1 2 AC = 1 2(20 2) cm = 10 2 cm
Karena BF tegak-lurus dengan AC maka pada segitiga ABF berlaku ABF = BAF = 450. Akibatnya BF = AF = 10 2 cm. Perhatikan bahwa CD = AB = r = 20 cm. DF = CD – CF
= CD – AF
= (20 - 10 2) cm = 10(2 - 2) cm
Luas segitiga BDE = 1
2 (DE)(BF) = 1 2 (2 × DF)(BF) = (DF)(BF) = 10(2 - 2)(10 2) cm2 = 100 2(2 - 2) cm2 = [200 2 - 200] cm2 = 200( 2 - 1) cm2 Dari segitiga BEF diperoleh
BE2 = BF2 + EF2 = [(10 2)2 + (20 - 10 2)2] cm = [200 + 400 + 200 - 400 2] cm = [800 - 400 2] cm = 400(2 - 2) BE = 400 2
2
cm = 20 2 2 cm BG = 1 2 BE = 1 2(20 2 2) cm = 10 2 2 cmKemudian dari segitiga ABG diperoleh AG2 = AB2– BG2 = (20)2– (10 2 2)2 cm = [400 – 100(2 - 2)] cm = (400 – 200 + 100 2) cm = (200 + 100 2) cm = 100(2 + 2) cm AG = 100 2
2
cm = 10 2 2 cmLuas segitiga ABE = 1 2 (BE)(AG) = 1 2 (20 2 2 cm)( 10 2 2 cm) = 100
2 2
2 2
cm2 = 100 4 2 cm2 = 100 2cm2Luas tembereng BE = (Luas juring ABE ) – (Luas segitiga ABE) = (50- 100 2) cm2
= 50(- 2 2) cm2
Luas daerah diarsir pada segitiga ABC = 2 × (Luas diarsir pada juring)
= 2 × [(Luas juring ABE ) – 2 × (Luas tembereng BE ) - (Luas segitiga BDE)] = 2[50 - (2)50(- 2 2) - 200( 2 - 1)] cm2
= 2[50 - 100 + 200 2 - 200 2 + 200] cm2
= 2[200 - 50] cm2 = 100(4 -) cm2
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 100(4 -) cm2. Catatan :
Untuk mencari luas sebarang segitiga yang diketahui ketiga sisinya dapat digunakan juga rumus
L = s(s - a)(s - b)(s - c) Dimana L = Luas segitiga
a, b, c = Panjang sisi-sisinya s = Setengah keliling
= a + b + c
2
10.Pertama-tama akan dipilih sembarang dua titik dari 7 titik yang diketahui untuk dibuat suatu persamaan garis. Selanjutnya substitusikan ketujuh titik tersebut ke persamaan garis yang telah dibuat sehingga tepat 5 titik memenuhi persamaan garis. Apabila tidak tepat 5 titik memenuhi persamaan garis artinya kita telah salah memilih 2 titik sebarang.
Misalkan 2 titik yang dipilih adalah titik A = (x1, y1) = (9, 17) dan B = (x1, y1) = (6, 11). Persamaan garis lurus yang melalui A dan B adalah
1 1 2 1 2 1 y - y x - x y -17 x - 9 = = y - y x - x 11-17 6 - 9 y -17= x - 9 -6 -3 y -17= x - 9 2 y -17 = 2x -18 2x – y – 1 = 0
Titik A, B, C, E dan G memenuhi persamaan terakhir di atas sedangkan titik D dan F tidak memenuhi.
Jadi, 2 titik yang tidak terletak pada garis yang ditempati kelima titik lainnya adalah titik D(7, 12) dan titik F(5, 10).
LATIHAN
BIDANG MATEMATIKA
SOAL URAIAN
1. Bentuk paling sederhana dari 2 2 4 12 = …
2. Ada berapa banyak bilangan bulat positif 3 angka, dimana angka ketiga merupakan jumlah kedua angka di depannya?
3. Diketahui ada bilangan 5 digit dengan ciri sebagai berikut: digit puluhan adalah dua kali lipat digit ribuan, serta apabila digit ratusan dan satuan dipertukarkan maka nilai bilangan tersebut tidak berubah. Terdapat berapa banyakkah bilangan tersebut?
4. Tiga sahabat Ani, Ina, dan Nia sedang membicarakan uang saku bulanan yang mereka terima dari orang tua mereka masing-masing. Ani merasa heran, karena uang sakunya hanya setengah dari uang saku Ina, bahkan Nia mendapatkan lebih banyak lagi, karena selisihnya dengan uang saku Ina adalah dua kali lipat dari uang saku Ani. Diketahui jumlah uang saku ketiganya adalah Rp. 350.000. Berapa besarnya uang saku Ani?
5. Tentukan semua pasangan bilangan asli (x,y) sehingga 1+1 =1
x y 3!
6. Diketahui x = 0, 1234567891011 … 998999. Perhatikan bahwa angka-angka di belakang tanda koma adalah bilangan-bilangan asli kurang dari 1.000 yang disusun berurutan . Berikan angka ke-2007 di belakang tanda koma!
7. Terdapat berapa banyakkah bilangan bulat positif tak lebih dari 2007 yang merupakan kelipatan 3 atau 4 tetapi bukan kelipatan 5?
8. Diberikan pola bilangan sebagai berikut 1, 2, 4, 7, 11, 16, …
9. Jika diketahui n adalah kuadrat suatu bilangan asli, maka tentukan bilangan kuadrat berikutnya yang dinyatakan dalam n!
10.Lima titik A, B, C, D dan E terletak berurutan pada suatu garis lurus. Diketahui bahwa jarak A ke E adalah 20 cm, A ke D 15 cm, B ke E 10 cm, dan titik C terletak di tengah-tengah antara B dan D. Berapakah jarak B ke D?
KUNCI JAWABAN
