CARA JITU MENGUASAI OLIMPIADE MATEMATIKA UNTUK SMP

CARA JITU MENGUASAI

OLIMPIADE MATEMATIKA

UNTUK SMP

z

x

y

0

Bimmo Dwi Baskoro, S.Si.

KATA PENGANTAR

Buku ini dirancang untuk melengkapi siswa-siswi SMP dengan penalaran konsep dasar serta kemahiran dalam menyelesaikan soal-soal olimpiade matematika yang sifatnya tidak rutin. Perlu disadari bahwa tidak semua materi soal yang muncul pada kompetisi sekelas Olimpiade Matematika tercakup dalam kurikulum regular SMP. Oleh karena itu diperlukan upaya lebih besar dalam mengenalkan soal Olimpiade Matematika dengan berbagai solusi yang sifatnya dapat merangsang siswa untuk berfikir secara kreatif.

Buku ini diharapkan dapat dipelajari untuk digunakan sebagai alat bantu dalam menghadapi kompetisi matematika khususnya olimpiade matematika. Rincian pembahasan dalam buku ini terdiri atas soal olimpiade tingkat Kabupaten / Kota, Provinsi dan Nasional, serta lampiran Canadian Mathematics Olympiad. Penulis sengaja memisahkannya supaya siswa dapat dengan mudah mempelajari buku ini secara bertahap. Kemudian setelah siswa dibekali taktik dan strategi pemecahan masalah, penulis sertakan pula latihan soal tanpa pembahasan di akhir bab untuk mengevaluasi pemahaman siswa. Sasaran yang ingin dicapai setelah siswa mempelajari buku ini dengan baik adalah,

 Memperoleh pengetahuan dasar dan pola pikir bermatematika;

 Memperoleh daya nalar dan kreatifitas yang tinggi setelah diberikan taktik dan strategi dalam pemecahan soal olimpiade matematika;

 Dapat dengan mudah menerjemahkan suatu kasus ke dalam bahasa matematika;

 Siswa mendapatkan prestasi yang tinggi dalam kompetisi matematika khusususnya dalam olimpiade matematika.

Penulis menyadari bahwa dengan segala keterbatasan dan kompleksitas dalam pengerjaan buku ini, tentu saja masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu masukan dari pembaca sangat penulis hargai dan penulis tunggu di bimmo.dwi@gmail.com.com. Dengan segala kelebihan dan kekurangannya, penulis berharap semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca.

Jakarta, April 2015

Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ………...... i

Daftar Isi ………. ii

BAGIAN I TINGKAT KABUPATEN / KOTA ……….………... 1

Petunjuk ……….. 1

Soal Pembahasan I ………..………. 2

Soal Pembahasan II ………..……… 22

Latihan I ……… 37

Latihan II ……….. 43

BAGIAN II OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI/NASIONAL ………. 48

Petunjuk tahap I ……….. 48

Soal Pembahasan Tahap I ………. 49

Petunjuk tahap II ……… 73

Soal Pembahasan Tahap II ……… 74

Latihan Tahap I ………. 86

Latihan Tahap II ……….. 90

BAGIAN III TINGKAT NASIONAL.. ………..………. ..……… 93

Soal Pembahasan ………. 93

Latihan ………. 105

BAGIAN IV LAMPIRAN CANADIAN MATHEMATICAL OLIMPIADE ………. 106

Fryer Contest ……….. 106

Pascal Contest ………. ?

BAGIAN I TINGKAT KABUPATEN / KOTA

OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN / KOTA

DIREKTORAT PENDIDIKAN LANJUTAN PERTAMA

DIREKTORAT JENDRAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

BIDANG STUDI: MATEMATIKA

PETUNJUK

1. Ada 2 jenis soal yang perlu anda jawab di dalam lomba ini, yaitu soal pilihan ganda dan soal isian singkat

2. Untuk soal pilihan ganda (bobot 1)

a. Pilihlah jawaban yang paling benar dari pilihan yang tersedia.

b. Berdasarkan pilihan tersebut, silanglah huruf yang bersesuaian padan lembar jawaban.

c. Jika anda mengubah jawaban yang sudah terlanjur anda lakukan, lingkari tanda silang yang salah dan silanglah jawaban yang seharusnya.

3. Untuk soal isian singkat (bobot 2)

a. Isilah pada lembar yang disediakan jawabannya saja (tidak perlu prosesnya).

b. Kalau memerlukan satuan ukuran, berikan pula satuan ukurannya.

SOAL PEMBAHASAN I

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

SMP

SOAL

PILIHAN GANDA

1. Berapa digit terakhir dari (2002)2002? a. 4

b. 2 c. 8 d. 0 e. 1

2. Suatu pentagon mempunyai sudut-sudut yang sama. Pentagon seperti pada gambar dikelilingi oleh lima persegi dan lima segitiga. Berapakah besar sudut x pada pentagon seperti yang diperlihatkan pada gambar?

x

a. 75o b. 108o c. 90o d. 720 e. 750

3. Jika a, b, dan c adalah tiga biilangan bulat positif berbeda yang memenuhi abc = 16, berapakah nilai terbesar yang mungkin dari ab– bc + ca?

4. Seseorang pengendara mobil dalam suatu perjalanan, mempunyai catatan jarak (km) dan waktu (jam) yang ditempuh sebagai berikut.

Berapakah kecepatan rata-rata mobil tersebut?

a. 40 km/jam b. 60 km/jam c. 80 km/jam d. 35 km/jam e. 30 km/jam

5. Jika diberikan suatu barisan bilangan 3, 5, 9, 15, 23, …, berapakah suku ke-16? a. 212

b. 243 c. 214 d. 178 e. 170

6. Dua puluh empat anak dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 90 jam. Setelah mereka bekerja selama 46 jam, mereka istirahat selama 12 jam. Jika pekerjaan tersebut harus selesai pada waktunya, berapa banyak anak harus ditambah?

a. 6 b. 9 c. 11 d. 5 e. 7

7. Jika X = {a, b, c} dan Y = {1,2} maka himpunan pasangan berurutan dari X × Y adalah …

a. {(2, a), (2, b), (2, c), (a, 1), (b, 1), (c, 1)}

b. {(a, 2), (b, 2), (c, 2), (1, a), (1, b), (1, c)}

c. {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

d. {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

e. {(a, 1), (a, 2), (b, 2), (b, 1), (c, 2), (c, 3)}

Waktu 07.30 08.00 08.30 09.00 09.30 10.00

8. Perhatikan gambar roda seperti pada gambar. Panjang jari-jari roda 22 cm dan tebal roda 6 cm. Apabila roda tersebut menggelinding lurus 7 kali putaran dan π =22

7 , berapakah panjang lintasan roda tersebut?

22 cm

a. 968 cm b. 1.137 cm c. 1.232 cm d. 924 cm e. 824 cm

9. Berapakah luas daerah yang diarsir pada gambar?

1 cm 1 cm 1 cm

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm

a. 15 3

2 2 cm

2

b. 17 3

2 4cm

2

c. 9 3

24 cm

2

d. 7 3

24 cm

2

e. 7

2cm

2

10.Empat bilangan pertama dari barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, …

b. 45 c. 66 d. 78 e. 70

ISIAN SINGKAT

1. Misalkan titik A terletak pada garis L yaitu y = 5x + 3. Koordinat titik B adalah (3,-2). Jika T adalah titik tengah dari AB sehingga AB tegak lurus dengan garis L, tentukan persamaan garis yang sejajar L dan melalui titik T!

2. Suatu angkutan kota mempunyai aturan pembayaran sebagai berikut. Pada saat naik setiap penumpang harus membayar Rp. 600, setelah 4 km pertama harus membayar Rp. 1.400, dan setiap menempuh 2 km berikutnya harus membayar Rp. 150 dan membayar Rp 100 setelah 1 km. Budi menaiki angkutan kota tersebut sejauh 21 km, berapakah Budi minimal harus membayar jasa angkutan kota tersebut?

3. Lingkaran dengan pusat A berjari-jari 3 dan lingkaran dengan pusat B berjari-jari 1 seperti pada gambar. Berapakah jarak dari O ke D?

A

B

O C

D

x y

L

A

B C

E F

G H

5. Jika gambar di bawah ini menunjukan lipatan untuk membuat kubus, huruf apakah yang berhadapan dengan huruf G?

G H

I J

K

S

6. Dalam bujur sangkar ajaib seperti pada gambar, jumlah angka pada setiap baris, kolom dan diagonal adalah sama. Berapakah jumlah tiga angka dari sembarang barisnya?

2x 3 2

-3

0 x

7. Jika panjang sisi persegi ABCD 1 cm, berapakah luas bangun yang diarsir?

A _B

8. Jika x dan y dua bilangan positif dan rata-rata dari 4, 20, dan x adalah sama dengan rata-rata dari y dan 16. Berapakah rasio dari x dan y?

9. Jika -2 ≤ x ≤ 5, -3 ≤ y ≤ 5, 4 ≤ z ≤ 8 dan w = xy – z, berpakah nilai terkecil dari w yang memenuhi?

10.Suatu daerah dibatasi oleh persamaan y = 2x + 2, y = 1

2x + 1 dan y = 3 4

 x + 7.

Berapakah nilai maksimum y pada daerah tersebut?

PEMBAHASAN

PILIHAN GANDA

1. Perhatikan bahwa digit terakhir dari 2002

2002 sama dengan digit terakhir dari22002_. Kemudian perhatikan bilangan 2n di mana n adalah bilangan asli.

21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64

Ternyata sifat dari digit terakhir pada bilangan 2n berulang dengan periode 4. Artinya digit terakhir pada 25 sama dengan digit terakhir pada 21 , digit terakhir pada 26 sama dengan digit terakhir pada 22 , begitulah seterusnya.

Dengan demikian kita dapat merumuskan bahwa Digit terakhir dari 2( 4k + 1 ) adalah 2,

Digit terakhir dari 2( 4k + 2 ) adalah 4, Digit terakhir dari 2( 4k + 3 ) adalah 8 dan Digit terakhir dari 2( 4k + 4 ) adalah 6.

Dimana 4k adalah kelipatan 4 untuk k = 0, 1, 2, 3, …

Kemudian karena digit terakhir dari 2002n sama dengan digit teraklhir dari 2n maka dapat disimpulkan bahwa

= 2002( 4k + 2 ).

Jadi, digit terakhir dari 20022002 adalah 4 Jawaban (a)

2. Pandang segi 5 beraturan pada bangun di bawah ini!

O X

A B

C E D

Kita bagi bangun segi 5 di atas menjadi, 5 buah segitiga yang sama, masing-masing seperti segitiga AOB. Karena kelima segitiga tersebut sama, maka

 AOB = BOC

0

0 360

5 72

 

Perhatikan bahwa segitiga AOB adalah segitiga sama kaki dimana AO = BO. Akibatnya ABO =  BAO

=

0 0

180 72

2



₌

0 108

2

_{= 54}0

Oleh karena itu OBC = 540.

ABO + OBC + ABD + CBE +  X = 3600

 540 + 540 + 900 + 900 +  X = 3600

 2880 +  X = 3600

  X = 3600 - 2880 = 720

Jawaban (d)

3. Jika abc = 16 dan a, b dan c adalah bilangan bulat positif (bilangan asli) yang berbeda, maka a, b dan c masing-masing haruslah merupakan faktor positif yang berbeda dari 16.

Jadi, bilangan-bilangan yang dipebolehkan untuk a, b dan c adalah faktor positif dari 16 yaitu 1, 2, 4, 8 dan 16.

( a ) ( b ) ( c ) ( ab ) ( bc ) ( ca ) ( ab - bc + ca )

1 2 8 1 256 8 -247

1 8 2 1 64 2 -61

2 1 8 2 1 64 65

2 8 1 256 8 1 249

8 1 2 8 1 256 263

8 2 1 64 2 1 63

Jadi, nilai terbesar yang mungkin dari ab - bc + ca adalah 263 Jawaban (d)

4. Kecepatan rata- rata = Jarak tempuh total

Waktu total

= 200 km 2,5 jam

= 80 km/jam Jawaban (c)

5. Sebelum membahas soal, akan dipelajari terlebih dahulu Barisan Aritmatika. Barisan Aritmatika adalah suatu barisan yang mempunyai sifat

(Suku ke-2) – (Suku ke-1) = (Suku ke-3) –(Suku ke2) = … = (Suku ke-n) – (Suku ke-(n-1)).

(Suku ke-n) – (Suku ke-(n-1)) biasa disebut dengan b (beda).

Jika banyaknya suku ada n buah, maka Barisan Aritmatika dapat disajikan sebagai U1 , (U1 + b) , (U1+ 2b) , … , (U1 + (n - 1)b).

Jika setiap suku pada barisan aritmatika dijumlahkan, maka akan membentuk deret aritmatika dan jumlah n suku pertamanya disebut Sn.

Misalkan Sn adalah jumlah n suku pertama dan Un adalah suku ke-n. Secara umum, bentuk deret aritmatika adalah

Sn = U1 + U2+ … + U(n - 1) + Un

Karena selisih setiap 2 suku yang berurutan sama dan kita nyatakan selisihnya itu sebagai b atau beda, maka

U2 = U1 + b

U3 = U2 + b = (U1 + b) + b = U1 + 2b U4 = U3 + b = (U1 + 2b) + b = U1 + 3b

Dengan melihat keteraturan di atas, kita bisa merumuskan nilai Un. Un = U1` + (n - 1)b

Perhatikan kembali deret

Sn = U1 + U2+ … + U( n – 1 ) + Un

Tugas kita sekarang adalah menjumlahkan setiap 2 suku dengan aturan sebagai berikut

Suku ke-1 dijumlahkan dengan suku ke-n, suku ke-2 dijumlahkan dengan suku ke-(n -1), suku ke-3 dijumlahkan dengan suku ke-(n -2) dan seterusnya.

Sn = (U1 + Un) + (U2 + U( n – 1 )) + …

Perhatikan bahwa banyaknya suku sekarang menjadi, setengah dari banyaknya suku sebelumnya. Selain itu, nilai dari setiap suku sekarang menjadi, sama yaitu sama dengan U1 + Un.

Sehingga

Sn =

n

2(U1 + Un)

Sekarang kita bahas soal no. 4. Perhatikan barisan berikut ini!

3 5 9 15 23 ... 2 4 6 8

2 2 2

Barisan di atas bukan barisan aritmatika karena bedanya tidak konstan (tetap). Namun coba perhatikan bahwa jarak antar bedanya konstan yaitu 2.

U1 = 3

U2 = U1 + 2 = U1 + 1.2

U3 = U2 + 4 = U1 + 2 + 4 =U1 + 1.2 + 2.2 U4 = U3 + 6 = U1 + 1.2 + 2.2 + 3.2

Un = U1+ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 = 3 + [ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 ]

[ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 ] merupakan deret aritmatika dengan beda 2 dan banyak sukunya (n - 1) buah.

[ 1.2 + 2.2 + 3.2 + … + (n - 1).2 ] = [2 + 4 + 6 + … + (n - 1). 2]

=



n -1





2 + n -1 2







2

=



n -1

  

2n 2

= n (n - 1) Jadi, Un = 3 + n(n - 1)

= n2– n + 3

Solusi alternatif

Jika beda pertamanya tidak konstan sedangkan beda ke-2 nya konstan, dengan menggunakan formula di atas, sudah bisa dipastikan bahwa rumus ke-n nya (Un) merupakan polinom (suku banyak ) berderajat 2.

Jadi, kita bisa mencari solusi alternatif sebagai berikut Un = an2 + bn + c

U1= a + b + c = 3 … (1) U2= 4a + 2b + c = 5 … (2) U3= 9a + 3b + c = 9 … (3)

Dari (1) dan (2) diperoleh 4a + 2b + c = 5

a + b + c = 3 --- --

3a + b = 2 … (4)

Dari (1) dan (3) diperoleh 9a + 3b + c = 9

a + b + c = 3 --- --

8a + 2b = 6 atau 4a + b = 3 … (5)

Dari (4) dan (5) diperoleh 4a + b = 3

3a + b = 2 --- -- a = 1

Dari persamaan (4) diperoleh b = 2 – 3a

= 2 – 3 = - 1

Dari persamaan (1) diproleh 3 = 3 – a – b

= 3 – 1 + 1 = 3

Jadi, Un = n2– n + 3

Dengan cara yang sama kita bisa mencari formula Un pada barisan yang mempunyai beda konstannya pada beda ke-3 (beda pertama dan keduanya tidak konstan). Barisan yang seperti itu mempunyai formula

Un = an3 + bn2 + cn + d

Jadi, untuk mengetahui nilai a, b ,c dan d setidaknya perlu diketahui 4 persamaan berbeda.

Jawaban (b)

6. Perhatikan tabel di bawah ini!

(No) (Jumlah Anak) (Waktu (Jam)) 1 24 90 2 48 45 3 12 180

Apabila kita cermati, ternyata semakin banyak jumlah anak akan semakin sedikit waktu yang diperlukan begitupun sebaliknya. Hal ini biasa disebut sebagai perbandingan berbalik nilai. Sehingga kita bisa menuliskan hubungan tabel No. 1 dan 2 sebagai berikut

1 1 48 24

48 : 24 :

1 1

45 90

45 90

  

 48 24

1 1

45 90



 48 24

9045

Bentuk terakhir adalah suatu pernyataan yang benar.

Kembali ke permasalahan pada soal, ke 24 anak menginginkan pekerjaan selesai tepat waktu yaitu 90 jam (termasuk waktu istirahat selama 12 jam). Karena mereka telah bekerja selama 46 jam, maka sisa waktu menyelesaikan tepat waktu adalah (90 - 46) jam = 44 jam, dengan catatan mereka tidak beristirahat. Karena mereka beristirahat selama 12 jam, akibatnya sisa waktu menjadi, (44 - 12) jam = 32 jam, oleh karena itu harus ditambah jumlah anak.

Misalkan x adalah banyaknya anak yang ditambahkan, maka tabelnya sebagai berikut.

Menurut aturan perbandingan berbalik nilai, diperoleh

24 24 + x 24 24 + x

= =

1 1 _{32 44}

44 32



3 = 24 + x

4 44



 24 + x = 33 _{x = 9}

Jadi, jumlah anak yang harus ditambahkan adalah 9 orang. Jawaban (b)

7. Himpunan pasangan terurut dari X × Y adalah himpunan semua (x, y) di mana x  X dan y  Y.

Jadi, jika X = { a, b, c} dan Y = {1, 2} maka himpunan pasangan terurut dari X × Y adalah {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

Jawaban (d)

8. Karena mempunyai ketebalan 6 cm, maka jari-jari total roda adalah (22 + 6) cm = 28 cm.

Jika roda menggelinding 7 kali putaran artinya roda tersebut menempuh jarak sejauh 7 kali keliling roda.

Misalkan K adalah keliling total roda, maka 7K = 7( 2 r )

= 7 (2)( 22

7 )(28)

= 1.232 Jawaban (c)

9. Perhatikan gambar berikut ini!

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm 1 cm 1 cm 1 cm I

II

D C

B

A

Bangun II)

= [32 – 3(1 2

1 4 ) -

1 (1)(3)

2 ] cm

2

= [9 - 3

4 - 3 2] cm

2

= [15 3

2 4 ] cm

2

Jawaban (a)

10.Pandang barisan segitiga pada soal sebagai barisan bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah titik pada bilangan segitiga tersebut. Seperti pada soal No. 5, barisan 1, 3, 6, 10, … mempunyai beda yang tidak konstan, masing-masing yaitu 2, 3, 4, …, tetapi jarak antar bedanya tetap yaitu 1.

U1 = 1

U2 = U1 + 2 = 1 + 2 U3 = U2 + 3 = 1 + 2 + 3 U4 = U3 + 4 = 1 + 2 + 3 + 4

Un= 1 + 2 + 3 + 4 + … + n

Bentuk terakhir di atas merupakan deret aritmatika dengan beda b = 1

Un =





n 1+ n 2

Jadi,

U10 =





10 1 10

2 

= 5(11) = 55

Soal ini bisa juga diselesaikan dengan solusi alternatif seperti pada soal No. 4 pilihan ganda.

Jawaban (a)

ISIAN SINGKAT

y

x 0

C _{D B}

A

Garis L

Garis M

T

-1 3

3

-2 1 y = 5x + 3

Misalkan garis yang sejajar dengan garis L dan melalui titik T itu disebut sebagai garis M.

Dari gambar di atas, kita mempunyai segitiga siku ABC dengan sudut siku-siku di A. Karena T tepat terletak di tegah garis AB dan garis M memotong garis AB di T, maka garis M juga akan memotong garis BC di D dengan BD = CD. Sekarang akan dicari panjang BC.

Karena nilai y di B dan di C sama (yaitu y = -2) dan garis y = 5x + 3 (garis L) melalui titik C,

Maka -2 = 5x + 3  5x = -5  x = -1 Jadi, BC = 3 – (-1)

= 4

Akibatnya CD = 1

2BC

= 1

2(4)

= 2

Jadi, garis M adalah garis L yang digeser sebesar 2 satuan ke kanan yaitu y = 5(x - 2) + 3  y = 5x – 7

2. Berikut adalah rincian pembayaran Budi jika jarak yang ditempuh adalah 21 km.

 Pembayaran saat naik = Rp. 600

 Pembayaran 4 km pertama = Rp. 1.400

 Pembayaran 16 km berikutnya = Rp. 1.200 (yaitu 16

2 × Rp. 150)

--- +

 Pembayaran 21 km (total) = Rp. 3.300

3. Perhatikan gambar di bawah ini!

O C

D

F G

E A

H I

J B

AB = (Jari-jari lingkaran besar) + (Jari-jari lingkaran kecil) = 3 + 1

= 4

AE = AF – EF = AF – BG = 3 – 1 = 2

BE = AB - AE 2 2

= 4222 = 16 4 = 12

= 2 3

Perhatikan bahwa segitiga ABE dan ABH kongruen (semua sudut dan sisi yang bersesuaian sama).

Misalkan ABE = ABH = 

Maka sin = AE

AB

= 2

4

= 1

2

Akibatnya EBH = 2 = 600

Karena CI dan BH sejajar, begitu juga CF dan BA sejajar, maka GCJ = EBH

= 600 Akibatnya GCB = 300.

Perhatikan juga bahwa segitiga ACF dan ABE sebangun, sehingga berlaku

CF AF CF 3

= =

BE AE  2 3 2

 CF = 3 3 CO = CF + FO

= 3 3 + 3

tan 600 = DO 3 = DO

CO  3 3 + 3

 DO = 3 3 9 _.

4. Perhatikan gambar di bawah ini!

A

B C

E F

H G

I

12 cm 30 cm

BH = CG

= 30 12

2



= 9 cm

Perhatikan bahwa segitiga AFI dan FCG sebangun

dimana FI = 1

2GH

= 6 cm

Akibatnya AI = FI AI =6 cm

FG CG 12 cm 9 cm

Luas segitiga AEF = 1

2(EF)(AI)

= 1

2(12 cm)(8 cm)

= 48 cm2

5. Jika J ditetapkan sebagai sisi alas, maka H, I, K dan S adalah sisi-sisi samping sedangkan G adalah sisi atas. Jadi, J adalah sisi yang berhadapan dengan sisi G.

6. Perhatikan gambar di bawah ini!

2x 3 2

-3

0 x y

Jika baris ke-3 kolom ke-3 diisi dengan y, maka 0 + x + y = 2 – 3 + y  x = - 1

Substitusikan x = -1 pada baris pertama 2x + 3 +2 = - 2 + 3 + 2

= 3

Jadi, jumlah angka pada setiap baris, kolom maupun diagonalnya sama dengan 3. Jika kita lengkapi semua kotak pada bujur sangkar ajaib tersebut, akan diperoleh

-2 3 2

-3

0 -1 4

5 1

7. Perhatikan gambar berikut ini!

A _B

C D

F E

Bangun ABD = BAC merupakan bangun 1

4 lingkaran. Misalkan E adalah titik

perpotongan busur lingkaran _{AC dan AC .}

Karena AB, AE dan BE semuanya jari-jari lingkaran yang sama, maka segitiga ABE sama sisi.

Oleh karena itu BAE = ABE = 600 Akibatnya DAE = CBE = 900– 600 = 300

Luas bangun yang diarsir = (Luas persegi ABCD) - (Luas 2 × juring ADE) – (Luas segitiga ABE)

 Luas persegi ABCD = 1 cm2

 Luas 2 × juring ADE = 2( 30 π(1cm )2

360 )

= 1

6 cm

2

 Luas segitiga ABE = 1

2(AB)(EF)

= 1

2(AB)

2 2

AE - AF

= 1

2(1 cm)(

1 1

4

 cm)

= 1 3

4 cm

2

Luas bangun yang diarsir = (1 3

6 4



  ) cm2

8. 4 + 20 + x = y +16 8 + 40 + 2x = 3y + 48

3 2 

2x + 48 = 3y + 48

2x = 3y

x = 3

y 2



x : y = 3: 2

9. Diketahui

-3 ≤ y ≤ 5 4 ≤ z ≤ 8 w = xy - z

Perhatikan bahwa w bernilai minimum jika xy bernilai minimum dan z bernilai maksimum.

Karena x dan y keduanya memiliki nilai positif dan negatif, maka agar xy mencapai nilai paling minimum syaratnya x dan y harus berbeda tanda. Pada saat x = 5 dan y = -3 terJadi, xy paling minimum, yaitu xy = -15.

Kemudian karena z harus maksimum maka haruslah z = 8. Jadi, nilai w minimum adalah

w = xy – z = 5(-3) – 8 = -23

10.Pertama-tama akan digambar daerah yang dibatasi ketiga persamaan tersebut.

A

O x

y

C

B y = 2x +2

y = -¾ x + 7

y = ½ x + 1

Untuk mencari nilai maksimum dari daerah ABC, cukup dengan melihat titik dari daerah ABC yang tertinggi.

Dari persamaan y = -3

4x + 7 dan persamaan y = 2x + 2 diperoleh

3 11

- x + 7 = 2x + 2 x = 5

4  4

x =20 11



Jadi, y = 2x + 2 y = 2 20 + 2 11

 

 _{ }

 

y =62 11

Jadi, nilai maksimum dari daerah yang dibatasi oleh ketiga persamaan tersebut

adalah 62

SOAL PEMBAHASAN II

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

SMP

SOAL

PILIHAN GANDA

1. 5050249502 ... a. 10

b. 100 c. 1.000 d. 10.000 e. 100.000

2. Diketahui persegi panjang ABCD berukuran 9 cm × 5 cm. Hanya DGHJ yang bukan merupakan persegi pada persegi panjang ABCD tersebut. Berapa luas daerah DGHJ?

A B

C D

E F G

H J

I

a. 1,5 cm2 b. 2 cm2 c. 3 cm2 d. 3,5 cm2 e. 4 cm2

3. Jika a = b

1- b maka b dinyatakan dalam a adalah ...

a. 2

b = 1+ a

b.

2

2 1+ a b =

a

c.

2

2 a b =

d.

2

2 1- a b =

a

e.

2

2 a b =

1- a

4. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk n(n +1)

2 , dengan n adalah

bilangan asli. Berapakah banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100? a. 8

b. 9 c. 10 d. 13 e. 15

5. Joko mengalikan tiga bilangan prima berbeda sekaligus. Ada berapa faktor berbeda dari bilangan yang dihasilkan?

a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 8

6. Persegi ABCD pada gambar di bawah ini memiliki luas 1 satuan luas. AE = BE dan BE = BF. Pecahan yang menyatakan luas dari daerah DEF adalah ... satuan luas.

A B

C D

E

F

a. 1

3

b. 2

5

c. 3

5

d. 3

e. 3

8

7. Pecahan s

t adalah pecahan sejati, jika s < t dan faktor persekutuan terbesar dari s

dan t adalah 1. Jika t memiliki nilai mulai dari dari 2 sampai dengan 9, dan s bilangan bulat positif, maka banyaknya pecahan sejati berbeda yang dapat dibuat adalah ...

a. 26 b. 27 c. 28 d. 30 e. 36

8. 3 % dari 81 sama dengan 9 % dari ... a. 27

b. 54 c. 72 d. 90 e. 243

9. Jumlah 101 bilangan bulat berurutan adalah 101. Berapakah bilangan bulat terbesar di dalam barisan bilangan tersebut?

a. 51 b. 56 c. 100 d. 101 e. 150

10.Dengan menggunakan uang koin Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200, ada berapa carakah kita menyatakan uang sebesar Rp. 2.000?

ISIAN SINGKAT

1. Perhatikan gambar di bawah ini!

P

S R

T

Q

X

Diketahui SPT = 830 dan PQT = 410. Garis PQ dan RS sejajar, demikian juga garis PS dan QT sejajar. Berapakah besar X?

2. Alex selalu berbohong pada hari-hari Kamis, Jumat dan Sabtu. Pada hari-hari lain Alex selalu jujur. Di lain pihak, Frans selalu berbohong pada hari-hari Minggu, Senin dan Selasa, dan selalu jujur pada hari-hari lain. Pada suatu hari, keduanya berkata : "Kemarin saya berbohong". Hari mereka mengucapkan perkataan tersebut adalah hari …

3. Semua n sehingga n dan n + 3

n -1 keduanya merupakan bilangan bulat adalah …

4. Misalkan N = 1 + 2₂ + 3₃ + ... + 11₁₁

10 10 10 10 . Dalam bentuk desimal, nilai dari N

adalah ...

5. Diberikan tempat air berbentuk kerucut (lihat gambar di bawah). Untuk mengisi

air sampai pada ketinggian 1t

2 diperlukan air sebanyak 38,5 liter. Berapa liter lagi

air yang diperlukan untuk memenuhi tempat tersebut?

t t/2

6. 13

2 jika dibagi dengan 13 akan memberikan sisa sama dengan ...

8. Rata-rata sembilan bilangan adalah 6. Satu di antara kesembilan bilangan

dibuang. Rata-rata delapan bilangan yang tinggal adalah 61

2. Bilangan yang

dibuang adalah ...

9. Banyaknya angka (digit) pada bilangan 22004 × 52003 adalah ...

10.Perhatikan gambar berikut!

3

5

A B

C D

P

Jika panjang BP = 160 , maka panjang CP = …

PEMBAHASAN

PILIHAN GANDA

1. Ingat bahwa a2– b2 = (a + b)(a - b) Maka

2 2

4 2

6

1

6 ₂ 3

5050 4950 (5050 4950)(5050 4950)

(10.000)(100)

(10 )(10 )

10

(10 ) 10 1000

   

  

  

Jawaban (c)

A B C D

E F G

H J

4 cm 5 cm

5 cm I

4 cm

Luas DGHJ = (Luas ABCD) – (Luas BCFE) – (Luas AEIJ) – (Luas FGHI) = (9 cm × 5 cm) – (5 cm)2– (4 cm)2– (1 cm)2

= 45 cm2– 25 cm2– 16 cm2– 1 cm2 = 3 cm2

Jawaban (c)

3. a = b

1- b

2 b

a = 1- b



_{a 1- b = b}2

 

_{a - a b = b}2 2

2 2

a b + b = a



_{b a +1 = a}



2



2

2

2 a b =

a +1



Jawaban (c)

4. Misalkan n adalah bilangan asli.

Akan dicari banyaknya bilangan segitiga yang nilainya kurang dari 100.

n(n +1)

2 < 100 n n +1 < 200





Nilai n terbesar yang memenuhi ketaksamaan di atas adalah n = 13.

Jawaban (d)

5. Bilangan prima adalah bilangan asli yang mempunyai tepat 2 faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri.

Misalkan ketiga bilangan prima yang dikalikan Joko masing-masing adalah X, Y dan Z.

Akibatnya bilangan baru yang dihasilkan mempunyai faktor 1, X, Y, Z, XY, XZ, YZ dan XYZ.

Jadi, terdapat tepat 8 faktor baru yang dihasilkan dari perkalian 3 bilangan prima X, Y, dan Z.

Jawaban (e)

6. Perhatikan gambar di bawah ini!

A B

C D

E

F

Luas ABCD = 1 Satuan Luas

AB × BC = 1 Satuan Luas Karena AB = BC, maka (AB)2 = 1 Satuan Luas AB = BC = 1 Satuan Panjang

AE = BE = BF = CF = 1

2 Satuan Panjang

Luas DEF = (Luas ABCD) – (Luas ADE) – (Luas DCF) – (Luas BEF)

= [1 - (1

2× AE × AD) – ( 1

2× CF × CD) – ( 1

2× BE × BF)] Satuan Luas

= [1 – (1

2× 1

2× 1) – ( 1 2×

1

2× 1 ) – ( 1 2×

1 2×

1

2)] Satuan Luas

= [1 - 1

4 - 1 4 -

1

8] Satuan luas

= 3

8 Satuan Luas.

Jawaban (e)

7. Kita kelompokkan untuk s = 1 sampai s = 9

 Untuk s = 1

Nilai yang mungkin dari s

t adalah

1 1 1 1 1 1 1

, , , , , ,

2 3 4 5 6 7 8 dan

1 9

Terdapat 8 pecahan sejati.

 Untuk s = 2

Nilai yang mungkin dari s

t adalah

2 2 2

, ,

3 5 7 dan

Terdapat 4 pecahan sejati.

 Untuk s = 3

Nilai yang mungkin dari s

t adalah

3 3 3

, ,

4 5 7 dan

3 8

Terdapat 4 pecahan sejati.

 Untuk s = 4

Nilai yang mungkin dari s

t adalah 4 4

,

5 7 dan 4 9

Terdapat 3 pecahan sejati

 Untuk s = 5

Nilai yang mungkin dari s

t adalah

5 5 5

, ,

6 7 8 dan

5 9

Terdapat 4 pecahan sejati.

 Untuk s = 6

Nilai yang mungkin dari s

t adalah 6 7

Terdapat 1 pecahan sejati.

 Untuk s = 7

Nilai yang mungkin dari s

t adalah 7 8 dan

7 9

Terdapat 2 pecahan sejati.

 Untuk s = 8

Nilai yang mungkin dari s

t adalah 8 9

Terdapat 1 pecahan sejati.

Jadi, seluruhnya terdapat 27 pecahan sejati.

Jawaban (b)

8. 3 % × 81 = 9 % × Y (kedua ruas dibagi dengan 3 %) 81 = 3Y

Y = 27 Jawaban (a)

9. Misalkan suku pertama dari bilangan yang berurutan itu adalah X. X + (X + 1) + (X + 2) + … + (X + 100) = 101

n = 101 U1 = X

Un = U101 = X + 100

Jadi, X + (X + 1) + (X + 2) + … + (X + 100) = Sn

Sn =

n

2(U1 + Un)  S101 = 101

2 (X + X + 100)

 101 = 101

2 (2X + 100)

 101 = 101 (X + 50) (Kedua ruas dibagi 101)  1 = X + 50

 X = - 49 Jadi, barisan itu adalah -49, -48, …, 50, 51

Oleh karena itu, bilangan terbesar pada barisan itu adalah 51. Jawaban (a)

10.Banyak cara untuk menyatakan uang Rp. 2.000 dengan menggunakan koin Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200.

 Dengan uang Rp. 50 saja. Terdapat 1 cara.

 Dengan uang Rp. 100 saja Terdapat 1 cara.

 Dengan uang Rp. 200 saja. Terdapat 1 cara.

 Dengan uang Rp. 50 dan Rp. 100

Yaitu dengan memakai sebuah uang Rp. 100 , 2 buah uang Rp. 100 sampai memakai 19 buah uang Rp. 100.

Jadi, terdapat 19 cara berbeda.

 Dengan uang Rp. 50 dan Rp. 200

Yaitu dengan memakai sebuah uang Rp. 200, 2 buah uang Rp. 200 sampai 9 buah uang Rp. 200.

Jadi, terdapat 9 cara berbeda.

 Dengan uang Rp. 100 dan Rp. 200

Yaitu dengan memakai sebuah uang Rp. 200, 2 buah uang Rp. 200 sampai 9 buah uang Rp. 200.

Jadi, terdapat 9 cara berbeda.

 Dengan uang Rp 50, Rp. 100 dan Rp. 200

 Mengandung sebuah uang Rp. 200

Uang Rp. 1.800 dapat dinyatakan dengan cara memakai sebuah uang Rp. 100, 2 buah uang Rp. 100 sampai 17 buah uang Rp. 100

 Mengandung 2 buah uang Rp. 200 Sehingga uang bersisa Rp. 1.600

Uang Rp. 1.600 dapat dinyatakan dengan cara memakai sebuah uang Rp. 100, 2 buah uang Rp. 100 sampai 15 uang Rp. 100 Dengan cara yang sama proses tersebut dilakukan sampai mengandung 9 uang Rp. 200,

Jadi, dengan uang Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200 diperoleh (17 + 15 + 13 + … + 1) cara.

1 + 3 + … + 15 + 17 adalah deret aritmatika dengan b = 2

U1 = 1 Un = 17

Un = U1 + (n - 1)b = 17  1 + (n - 1)2 = 17  1 + 2n – 2 = 17  2n = 18

 n = 9 Sn =

n

2(U1 + Un)

= 9

2(1 + 17)

= 81

Jadi, terdapat 81 cara yang berbeda.

Total cara menyatakan uang Rp. 2.000 oleh Rp. 50, Rp. 100 dan Rp. 200 adalah

1 + 1 + 1 + 19 + 9 + 9 + 81 = 121 cara berbeda.

Catatan :

Lihat pembahasan barisan aritmatika pada pembahasan soal pilihan ganda Versi

I tingkat Kabupaten / Kota.

Jawaban (e)

ISIAN SINGKAT

P Q

R S

T U

X

Diketahui SPT = 830 dan PQT = 410.

Karena PQ dan RS sejajar begitu juga PS dan QR sejajar maka

PSR = PQT = 410 Pada segitiga PSU,

SPU + PSU + PUS = 1800  830 + 410 + PUS = 1800  PUS = 560

PUS + X = 1800  560 + X = 1800  X = 1240

2. Dengan cara inspeksi (memeriksa), hari yang tepat keduanya berkata: “Kemarin saya berbohong” adalah hari Minggu.

3. Akan dicari setiap bilagan bulat n sehingga n + 3

n -1 merupakan bilangan bulat. n + 3

n -1 =

(n -1) + 4 (n -1)

= 1 + 4

1

n

Akibatnya 4

n -1 harus bilangan bulat.

Supaya 4

n -1 merupakan bilangan bulat, maka (n - 1) haruslah merupakan faktor

dari 4 yaitu -1, -2, -4, 1, 2 dan 4.

 Jika n- 1 = -1 Maka n = 0

 Jika n – 1 = -2 Maka n = -1

 Jika n – 1 = -4 Maka n = -3

 Jika n – 1 = 1 Maka n = 2

 Jiaka n – 1 = 4 Maka n = 5

Jadi, semua bialangan bulat n yang mengakibatkan n + 3

n -1 bilangan bulat adalah

-3, -1, 0, 2, 3 dan 5.

4. N = 1 + 2₂ + 3₃ + ... + 10₁₀ + 11₁₁

10 10 10 10 10

= 0,123456789 + 10₁₀ 11₁₁

10 10

= 0,123456789 + 1₉ 1,1₁₀

10 10

Jadi,

0,123456789 0,000000001 0,00000000011 --- + N = 0,12345679011

5. Soal ini dapat diselesaikan dengan 2 cara.

Cara I

Misalkan V1 adalah volume kerucut yang tingginya

1

2t dan jari-jari alasnya 1 2r,

sedangkan V2 adalah volume kerucut yang tingginya t dan jari-jar alasnya t.

V1 =

2

1 1 1

π r t

3 2 2

   

   

     38,5 liter =

2

1

πr t

24

πr t = 9242 liter

V2 = 2

1

πr t

3

= 1

3 × 924 liter

= 308 liter

Jadi, banyaknya air yang harus ditambahkan adalah V2– V1 = (308 – 38,5) liter

Cara II

Dengan cara yang praktis, kita bisa langsung membandingkan volum kerucut besar dan kecil, karena keduanya sebangun.

2 2 1 2 2 2 2

1 1 1 ₁

π r t _{πr t}

V 3 2 2 38,5 liter ₈

= =

1

V _{πr t} V πr t

3            _{ } 2

38,5 liter 1 =

V 8



V = 8 38,5 liter₂





V =₂ 308 liter

Jadi, banyaknya air yang harus ditambahkan adalah V2– V1 = (308 – 38,5) liter

= 269,5 liter

6. Sebelum membahas soal, akan dipelajari terlebih dahulu materi tentang Kongruen Modulo.

Bilangan bulat P kongruen dengan Q modulo n atau ditulis P Q (mod n) apabila P dan Q menghasilkan sisa yang sama jika keduanya dibagi oleh bilangan bulat n. Contoh 5 dan 3 adalah kongruen modulo 2 atau ditulis 5  3 (mod 2) , karena 5 dan 3 keduanya bersisa 1 jika dibagi oleh 2.

Sifat bilangan kongruen modulo.

Misalkan a = (bn + c)m dengan n, m bilangan asli dan c bilangan bulat (perhatikan bahwa c boleh merupakan bilangan negatif) maka berlaku

a  cm (mod n) Contoh

5 = (1 × 2 + 3)1 = (2 × 2 + 1)1 maka 5  31 (mod 2)  11 (mod 2) atau 5  3 (mod 2)  1 (mod 2) Metode di atas berlaku juga untuk m > 1.

Sekarang akan dibahas soal No. 6 213 = 2( 4 × 3 + 1 )

= 2 × 2( 4 × 3 )

Perhatikan, mengapa 13 diuraikan menjadai (4 × 3 + 1)? Karena pembaginya 13, Jadi, diusahakan harus mengandung suku yang mendekati 13 yaitu 24 = 16.

213 = 2 × (24)3 = 2 × (16)3

= 2 × (1 × 13 + 3)3

213  2 × 27 (mod 13) = 2(2 × 13 + 1) (mod 13)  2 × 1 (mod 13) Jadi, 213 2 (mod 13).

Artinya, 213 dan 2 jika dibagi 13 akan menghasilkan sisa yang sama. Karena 2 dibagi 13 sisanya 2, maka jika 213 dibagi 13 akan bersisa 2 juga.

Catatan : Perhatikan waktu penggunaan pemakaian lambing ‘ = ’ dan ‘  _‘ , karena keduanya memiliki makna yang berbeda.

7. Misalkan kesembilan bilangan itu adalah x , x ,..., x _{1 2 9}

Maka 1 2 9

1 2 9

x + x + ... + x

= 6 x + x + ... + x = 54

9 

Kemudian misalkan bilangan yang dibuang adalah x₉

Maka 1 2 8

1 2 8

x + x + ... + x

= 6,5 x + x + ... + x = 52

8 

Akibatnya

1 2 8 9

x + x +... + x + x = 54

1 2 8

x + x +... + x 52

--- --

x = 2 ₉

Jadi, bilangan yang dibuang adalah 2.

8. 7 ekor kambing menghabiskan rumput seluas 7 kali ukuran lapangan sepakbola dalam 7 hari.

Artinya

1 ekor kambing menghabiskan rumput seluas 1 kali ukuran lapangan sepakbola dalam 7 hari.

Jadi,

3 ekor kambing menghabiskan rumput seluas 3 kali ukuran lapangan sepakbola dalam 7 hari.

9. 22004× 52003 = 2 × 22003× 52003 = 2(2 × 5)2003

= 2(10)2003

Bentuk terakhir adalah suatu bilangan yang berdigit 2004 buah terdiri atas digit 2 di awal (sebanyak 1 buah) dan digit 0 untuk seterusnya (sebanyak 2003 buah). Jadi, banyaknya digit pada bilangan 22004. 52003 adalah sebanyak 2004 buah. Catatan:

10.Perhatikan gambar di bawah ini!

160

A B

C D

P

E

F G

H 3

5

HP2 + AH2 = HP2 + EP2 = 25 HP2 + DH2 = HP2 + GP2 = 9 --- -- EP2– GP2= 16 … (1) Kemudian

EP2 + BE2 = EP2 + CG2= 160 … (2)

Dari persamaan (2) dan persamaan (1) diperoleh EP2 + CG2 = 160

EP2– GP2 = 16 --- -- CG2 + GP2 = 144

Karena CG2 + GP2 = CP2 maka CP2 = 144

CP = 12

LATIHAN I

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

SMP

SOAL

PILIHAN GANDA

1. Titik E terletak di dalam persegi ABCD, dan segitiga ABE merupakan segitiga sama sisi. Tentukan BEC!

a. 30° b. 60° c. 70° d. 75° e. 80°

2. Dalam suatu segitiga ABC diketahui A = 550, C = 750, D terletak pada sisi AB dan E pada sisi BC. Jika DB = BE, maka BED = ...

a. 50° b. 55° c. 60° d. 65° e. 75°

3. Suatu keluarga mempunyai 4 orang anak, anak termuda berumur 1

2 dari anak

tertua, anak kedua 3 tahun lebih tua dari anak yang termuda dan anak ketiga 5 tahun lebih muda dari anak yang tertua. Bila rata-rata umur mereka 16 tahun, maka umur anak tertua adalah … tahun.

4. Jika pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 3, maka

hasilnya 3

4 . Jika pembilang dikurangi 1 dan penyebutnya ditambah 4, maka

hasilnya 1

3. Pecahan itu adalah …

a. 2

3

b. 3

5

c. 3

4

d. 4

5

e. 5

6

5. Sebuah saluran air seharusnya dibuat dengan menggunakan pipa berdiameter 10 cm. Akan tetapi yang tersedia hanyalah pipi-pipa kecil yang berdiameter 3 cm. Supaya kapasitas saluran tidak lebih kecil daripada yang diinginkan, berapa banyaknya pipa berdiameter 3 cm yang perlu dipakai sebagai pengganti 1 pipa berdiameter 10 cm?

a. 3 b. 5 c. 7 d. 11 e. 12

6. Diketahui a + b = 1 dan a2 + b2 = 2. Nilai a4 + b4= …

a. 31

2



b. - 3

c. 1

2



d. 1

2

7. Misalkan m dan n adalah bilangan positif yang memenuhi 1 +1 = 4

m n 7 .

Nilai m2 + n2 adalah … a. 121

b. 200 c. 212 d. 232 e. 256

8. Banyaknya diagonal yang dapat dibuat pada sebuah segi banyak dengan 100 sisi adalah …

a. 4.650 b. 4.750 c. 4.850 d. 4.950 e. 5.150

9. Jika perbandingan 2X – Y terhadap X + Y adalah 2

3, maka perbandingan X

terhadap Y adalah … a. 1 : 5

b. 4 : 5 c. 1 : 1 d. 5 : 1 e. 5 : 4

10.Diketahui salah satu akar persamaan x2– 5x + p = 0 adalah 2. Nilai p adalah … a. -6

b. -3 c. -2 d. 2 e. 6

ISIAN SINGKAT

1. Panjang rusuk sebuah kubus 9 cm. Luas bola yang menyinggung sisi-sisi dalam kubus adalah …

3. Perhatikan gambar di bawah ini!

A B C

D

Jika panjang BC = 10 cm, besar CBD = 450, CAD = 300. Maka panjang AB = … cm

4. Himpunan 20 buah bilangan mempunyai rata-rata 20. Sembilan di antara bilangan tersebut rata-ratanya 9. Rata-rata dari 11 bilangan yang tersisa adalah …

5. Selisih 2 bilangan positif adalah 5, sedangkan jumlah kuadratnya 2.100 kurangnya dari kuadrat jumlah kedua bilangan itu. Jumlah kedua bilangan tersebut adalah …

6. Selisih panjang rusuk dari 2 kubus adalah 2 cm. Selisih volumenya 218 cm3. Panjang rusuk kubus yang besar adalah …

7. Diketahui keliling persegi ABCD = 112 cm.

( 22

7

  )

A B

D C

Luas daerah yang diarsir adalah …

8. Anton mengendarai motor dari Kota X ke Kota Y pada pukul 09:30 dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam, sedangkan Tony mengendarai mobil dari Kota Y ke Kota X pada pukul 10:15 dengan kecepatan 40 km/jam. Jika jarak Kota X dan Y 345 km, pada pukul berapa kedua pengendara berpapasan?

10.Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dan AB = BC = 4 cm

A _B C

KUNCI JAWABAN

PILIHAN GANDA

1. d 2. d 3. d 4. d 5. e 6. e 7. b 8. c 9. e 10.e

ISIAN SINGKAT

1. 81 cm2 2. 40

3. 10



3 1



4. 29

5. 65 6. 7 cm 7. 448 cm2 8. 13:15 9. 6 jam

LATIHAN II

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KABUPATEN / KOTA

SMP

SOAL

PILIHAN GANDA

1. Besar pelurus sudut A adalah 4 kali penyikunya, maka besar sudut A adalah … a. 72°

b. 84° c. 104° d. 108° e. 60°

2. Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah 15 cm dan kelilingnya 36 cm. Luas segitiga tersebut adalah … cm2

a. 24 b. 48 c. 54 d. 90 e. 108

3. Seorang anak merahasiakan 3 buah bilangan, kemudian ia menjumlahkan setiap 2 bilangan itu dan hasilnya sama dengan 15, 17, dan 20. Jumlah ketiga bilangan itu adalah …

a. 25 b. 26 c. 27 d. 30 e. 35

4. X dan Y bersama-sama menyelesaikansuatu pekerjaan memerlukan waktu 4 jam 48 menit. Jika X menyelesaikan pekerjaan sendiri, memerlukan waktu 8 jam. Waktu yang diperlukan Y untuk menyelesaikan pekerjaan dengan sendiri adalah … jam.

d. 14 e. 16

5. Matematikawan August Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1.800-an. Pada tahun terakhir dalam masa hidupnya dia mengatakan bahwa: “Dulu aku berusia P tahun pada tahun P2”. Pada tahun berapa ia dilahirkan?

a. 1806 b. 1822 c. 1849 d. 1851 e. 1853

6. Pada suatu segitiga ABC, sudut C adalah 3 kali lebih besar dari sudut A dan sudut B adalah 2 kali leih besar dari sudut A. Berapa perbandingan antara panjang sisi AB dan BC?

a. 1 : 1 b. 1 : 2 c. 2 : 3 d. 2 : 1 e. 3 : 2

7. Misalkan:

A = Segitiga sama kaki B = Segitiga sama sisi C = Persegi panjang D = Persegi

E = Lingkaran

Jika keliling kelima bangun di atas sama, maka bangun yang terluas adalah … a. A

b. B c. C d. D e. E

8. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 13x + 36 = 0 adalah P2 dan Q2. Nilai dari P + Q = …

e. 13

9. Dari 25 orang yang melamar suatu pekerjaan diketahui bahwa 7 orang berumur lebih dari 30 tahun dan 15 orang bergelar sarjana. Di antara pelamar yang bergelar sarjana 5 orang berumur lebih dari 30 tahun. Banyaknya pelamar yang bukan sarjana dan umurnya kurang dari 30 tahun adalah … orang.

a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9

10.Pedagang ayam mempunyai 6 ekor ayam jantan dan 4 ekor ayam betina. Ia akan menjual 5 ekor dari ayamnya. Berapa peluang yang terjual 3 diantaranya ayam betina?

a. 5

21

b. 10

21

c. 1

70

d. 1

40

e. 3

40

ISIAN SINGKAT

1. Dalam trapesium ABCD, sisi AB dan CD sejajar. Diagonal BD dan sisi AB sama panjang. Jika BCD = 110° dan CBD = 30°, maka BAD = …

A B

C D

2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

3 4 5 6 7 8

 _  _  _  _  _  _ _

      

3. Luas sisi sebuah balok berturut turut 9 cm2, 6 cm2, dan 3 cm2. Panjang diagonal ruang balok tersebut adalah … cm.

4. X dan Y merupakan bilangan asli yang memenuhi sistem persamaan: X2 + 2XY = 40

Y2 + 1

2 XY = 15 Niali X2– Y2= …

5. Selisih uang A dan B adalah Rp. 60.000. Jika A memberikan 1

5 uangnya kepada B, maka uang mereka menjadi sama. Berapa jumlah uang mereka mula-mula?

6. Lima ekor kambing memakan rumput sebanyak 5 keranjang dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput sebanyak 3 keranjang?

7. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 7,5 m dan selalu mematul kembali

dengan ketinggian 4

5kali tinggi semula. Pantulan terJadi, terus menerus sampai

bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan yang ditempuh oleh bola adalah …

8. Diketahui keliling lngkaran 176 cm2 dimana = 22

7 dan sudut BAC = 45

0 .

A

B C

Luas daerah yang diarsir adalah …

9. Sebuah limas T. ABCD alasnya berbentuk persegi dengan keliling alas 64 cm. Jika panjang setiap rusuk yang lainnya adalah 17 cm, maka luas permukaan limas adalah …

10.Suatu kerucut diameter alasnya 20 cm dan volumnya 2.512 cm3. Berapa luas

permukaan kerucut bila = 22

KUNCI JAWABAN

PILIHAN GANDA

1. e 2. c 3. b 4. c 5. a 6. d 7. e 8. c 9. d 10.a

ISIAN SINGKAT

1. 700

2. 1

4

3. 7 2

2 4. 7

BAGIAN II TINGKAT PROVINSI

OLIMPIADE SAINS TINGKAT PROVINSI

DIREKTORAT PENDIDIKAN LANJUTAN PERTAMA

DIREKTORAT JENDRAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

BIDANG STUDI : MATEMATIKA

PETUNJUK

TES ISIAN SINGKAT (TAHAP I)

1. Tes terdiri atas 25 soal. Waktu yang disediakan 150 menit.

2. Skor setiap butir soal yang dijawab benar adalah 1 dan bobot setiap soal nilainya sama.

3. Tuliskan nama, asal sekolah dan nomor peserta anda di sebelah kanan atas pada setiap lembar jawaban.

4. Tuliskan jawaban pada lembar jawaban yang telah disediakan.

5. Segala macam bentuk buram yang dilakukan oleh Anda harap dikumpulkan pada pengawas untuk diJadi,kan tinjauan penilaian.

6. Jawaban hendaknya anda tuliskan dengan menggunakan tinta bukan pensil.

7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan dan alat bantu hitung (kalkulator). Anda jugaaa tidak diperkenankan bekerjasama.

8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah pengawas memberi tanda.

9. Ukuran pada gambar tidak mewakili pada ukuran sebenarnya.

[1] [2] [3]

SOAL PEMBAHASAN TAHAP I

TINGKAT PROVINSI

TAHAP I

SOAL ISIAN SINGKAT

1. Nilai dari 3  82 ... 2. Didefinisikan bahwa

2 2

a + 4ab + b (a * b) =

a + b . Maka nilai dari 4*( 3) ...

3. Sisa pembagian dari 7100oleh 16 adalah …

4. Yanti menghabiskan Rp. 2.000 untuk membeli 3 bungkus kacang dan 4 bungkus keripik, sedangkan Triana membeli 6 bungkus kacang dan 2 bungkus kripik dengan menghabiskan Rp. 2.350 pada warung Anda. Maka harga sebungkus keripik adalah …

5. Diketahui a dan b adalah bilangan asli dimana faktor persekutuan terbesar dari a

dan b adalah 3, dan a = 0, 4

b . Hasil dari ab = ...

6.

Diberikan pola barisan dari kiri ke kanan. Banyak bulatan pada gambar ke-n adalah ...

7. Suatu keluarga mempunyai 5 orang anak. Anak termuda berumur setengah dari anak tertua sedang 3 anak lainnya berturut-turut berumur lebih dari 2 tahun dari termuda, lebih 4 tahun dari termuda dan kurang 3 tahun dari tertua. Bila rata-rata hitung umur mereka adalah 16, maka umur anak tertua adalah ...

tidak membayar. Untuk menutupi kekurangannya siswa yang lainnya harus menambah iurannya masing-masing Rp. 2.000. Jumlah siswa yang membayar adalah ...

9. Dari 100 siswa, 39 diantaranya gemar olahraga. Diantara penggemar olah raga tersebut 11 siswa juga gemar bermain musik. Jika ternyata 32 siswa tidak gemar olah raga maupun musik, maka banyaknya penggemar musik di antara 100 siswa tersebut adalah ...

10.Bila penduduk Jawa Tengah adalah 25 % dari penduduk pulau Jawa dan 15 % dari penduduk Indonesia. Penduduk Indonesia yang tinggal di luar pulau jawa ... %.

11.Gambar dibawah adalah penampang sebuah saluran air yang berbentuk lingkaran dengan diameter 10 cm dan lebar permukaan airnya adalah 5 cm. Tinggi permukaan air dan luas penampang air berturut-turut adalah ...

tinggi Lebar

13.Ketika menghitung volum suatu tabung, Sunardi melakukan kesalahan. Ia memasukan diameter alas ke dalam rumus volum tabung, padahal seharusnya jari-jari alasnya yang dimasukan. Berapa rasio hasil perhitungan Sunardi terhadap hasil yang seharusnya?

14.Diketahui AB sejajar dengan EC. Jika BAD = 75° dan CDE = 50°, maka BCE = …

A

B C

D

E

15.Luas A, B dan C berturut-turut adalah 90 m2, 120 m2 dan 36 m2. Luas daerah D adalah …

B

A _C

D

16.Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan AC = 40 cm dan BC = 24 cm. Titik D terletak pada AB sedemikian sehingga CD = 25 cm. Jika AD = x, maka nilai x adalah ...

A _D B

C

17.Pola ABCCDEABCCDEABCCDE ... berulang sampai tak terhingga. Huruf yang akan menempati urutan ke 2753 adalah ...

18.Sebuah bola berjari-jari 7

22 m menggelinding dari tembok A ke tembok B. Ternyata bola

A B

19.Dari segitiga ABC diketahui bahwa titik A adalah perpotongan garis 2x + y – 6 = 0 dan garis 2x + 2y – 3 = 0. Koordinat B dan C berturut-turut adalah (0,1) dan (1,2). Tentukan persamaan garis tinggi dari sudut A pada segitiga tersebut!

20.Dari 6 buah kartu bernomor 1 sampai 6 diambil dua kartu secara acak. Berapakah peluang terambilnya dua kartu yang jumlah nomornya adalah 6?

21.Misalkan x dan y adalah bilangan real tidak nol. Diketahui 1+1 = 10

x y dan x + y = 40.

Berapakah nilai xy?

22.Misalkan ABCD adalah sebuah persegi. Titik E terletak dalam persegi sedemikian sehingga segitiga ABE sama sisi. Maka besar sudut dalam AEC pada segi-4 ADCE adalah ...

23.Bentuk sederhana dari a - (b - c)_{2 2}

(a - b) - c adalah ...

24.Suatu bujur sangkar sisinya 6 cm berputar pada titik O yang merupakan titik pusat bujursangkar lain yang bersisi 4 cm. Luas bidang yang diarsir adalah ...

4 cm

6 cm

PEMBAHASAN

1. 3 _{-8 = -(2 )}2 3 3 2

₌

1 3 2 3

(- (2 ) )

₌

1 6 3 (- (2) )

_{= - (2)}2

= - 4

2.

2 2

a + 4ab + b (a * b) =

a + b

2 2

4 + 4(4)(-3) + (-3) (4*(-3)) =

4 + (-3)



_{= - 23}

3. Akan dicari bilangan perpangkatan 7 yang nilainya mendekati kelipatan 16. 72 = 49 mendekati 3 × 16 = 48

7100 = 7(2 × 50)

= 4950

= (48 + 1)50

_

150 (mod 16)

= 1 (mod 16)

Jadi, sisa pembagian dari 7100 oleh 16 adalah 1.

4. Misalkan Sebungkus kacang = x Sebungkus keripik = y

3x + 4y = 2.000 … (1)

6x + 2y = 2.350 atau

3x + y = 1.175 … (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

3x + 4y = 2.000

--- --

3y = 825

y = 275

Jadi, harga sebungkus keripik adalah Rp. 275.

5. Akan dicari suatu pecahan a

b yang paling sederhana sehingga FPB dari a dan b adalah 1. a

= 0, 4 b

2 =

5

Karena FPB dari a dan b harus 3, maka

a 2 3

= ×

b 5 3

6 =

15

Jadi, a = 6 dan b = 15

Akibatnya ab = 6(15)

= 90

6. Soal ini bisa diselesaikan dengan 2 cara.

Cara I

Jumlah titik pada gambar di soal mengikuti pola barisan 6, 10, 15, 21, ...

Perhatikan bahwa beda setiap suku tidak konstan yaitu

4, 5, 6, ...

Tetapi jarak antar bedanya konstan yaitu 1.

U1 = 6

U3 = U2 + 5 = U1 + 4 + 5

U4 = U3 + 6 = U1 + 4 + 5 + 6

Un = U1+ 4 + 5 + 6 + … + (n + 2)

4 + 5 + 6 + … + (n + 2) adalah deret aritmatika dengan suku pertama 4, suku terakhir (n +2), beda b = 1 dan banyaknya suku (n -1) buah.

Jadi, 4 + 5 + 6 + … + (n + 2) =



n -1





4 + n + 2







2

=



n -1

  

n + 6 2

= 2

n 5n

+ - 3

2 2

Un = U1 + 2

n 5n

+ - 3

2 2

= 6 + 2

n 5n

+ - 3

2 2

= 2

n 5n

+ + 3

2 2

Jadi, banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-n adalah 2

n 5n

+ + 3

2 2

. Cara II

Karena setiap beda pertamanya tidak konstan sedangkan beda ke-2 nya konstan maka formula untuk Un nya berupa polinom berserajat 2.

Un = an2 + bn + c

U1= a + b + c = 6 … (1)

U2 = 4a + 2b + c = 10 … (2)

U3= 9a + 3b + c = 15 … (3)

4a + 2b + c = 10

a + b + c = 6

--- --

3a + b = 4 … (4)

Dari persamaan (1) dan (3) diperoleh

9a + 3b + c = 15

a + b + c = 6

--- --

8a + 2b = 9 … (5)

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh

8a + 2b = 9

6a + 2b = 8

--- --

2a = 1

a = 1

2

Dari persamaan (4) diperoleh

b = 4 – 3a

= 4 - 3

2

= 5

2

Dari persamaan (1) diperoleh

c = 6 – a – b

= 6 - 1

= 3

Jadi, Un = an2 + bn + c

= 2

n 5n

+ + 3

2 2

Jadi, banyaknya bulatan hitam pada gambar ke-n adalah 2

n 5n

+ + 3

2 2

.

7. Misalkan urutan umur dari yang tertua sampai yang termuda adalah

a, b, c, d dan e

1

e = a

2

1 d = e + 2 = a + 2

2 1 c = e + 4 = a + 4

2 b = a - 3

Karena rata-rata hitung umur mereka 16, maka

a + b + c + d + e = 16 5

1 1 1

a + (a - 3) + ( a + 4) + ( a + 2) + a

2 2 2 _{= 16}

5 7

a + 3 = 80 2

7 a = 77 2 a = 22









Jadi, umur anak yang tertua adalah 22 tahun.

8. Misalkan n adalah banyaknya murid dan x adalah besarnya iuran yang dibebankan kepada setiap murid.

Jadi, model persamaan matematika yang bisa dibuat dari kasus ini adalah

96.000 = (n - 4)(x) + (n - 4)(2.000) ... (1)

Kemudian jumlah uang yang tidak dibayar oleh 4 murid itu harus ditanggung oleh (n - 4) murid masing-nasing Rp. 2.000, maka:

4x = (n - 4)(2.000)  x = (n - 4)(500) …(2)

Dari persamaan (2) dan persamaan (1) diperoleh

96.000 = (n - 4)(n - 4)(500) + (n - 4)(2.000)

 96.000 = 500(n - 4)2 + 2.000(n - 4)

 192 = (n - 4)2+ 4(n - 4)

 (n - 4)2+ 4(n - 4) – 192 = 0

Misalkan (n - 4) = p, maka persamaannya menjadi,

 p2+ 4p – 192 = 0

 (p - 12)(p + 16)

 p = 12 atau p = -16

 n – 4 = 12 atau n – 4 = - 16

 n = 16 atau n = - 12

Karena banyaknya murid selalu positif, nilai yang memenuhi adalah n = 16.

Jadi, banyaknya murid yang membayar adalah (n - 4) = 12 orang.

9. Misalkan

O = Banyaknya siswa yang gemar olahraga. M = Banyaknya siswa yang gemar musik. X = Banyaknya siswa yang gemar musik saja.

11 X 28

M O

Karena total siswa 100 orang, maka: 32 + 28 + 11 + x = 100  71 + x = 100  x = 29

Jadi, banyaknya siswa yang gemar musik saja adalah 29 orang Akibatnya banyaknya siswa yang gemar musik adalah

M = 11 + x = 11 + 29 = 40 orang.

10.Misalkan

X = Banyaknya penduduk Indonesia Y = Banyaknya penduduk Jawa

Z = Banyaknya penduduk Jawa Tengah

X Y Z

Z = 25 % Y = 15 % X  Y =15%

X 25%

 Y

X = 0,6

 Y

X = 60 %

 Y = 60 % X

Jadi, banyaknya penduduk yang berada di luar Jawa adalah X - Y = X – 60 % X = 40 % X yaitu 40 % dari penduduk Indonesia.

O

A B

C

D 5 cm 5 cm

Karena DO jari-jari, maka DO = 5 cm CD = DO – CO

= DO - AO + AC 2 2

= 2 2 5 5 5 2  _{ }    _{  }        cm

= 5 125 4

 



 

 

  cm

= 5 5 3 2

 _ 

 

  cm

= 5 1 1 3 2

 _ 

 

  cm

Luas penampang air = Luas tembereng AB

= (Luas juring OAB ) - (Luas segitiga ABO)

Karena ABO adalah segitiga sama sisi, maka AOB = 600.

= [ 60 π OA

 

2

360 -

 

1

AB (CO)

2 ] cm

2

= [1π OA

 

2

6 -

 



1

AB DO - CD

2 ] cm

2

= [1π 25

 

6 -

 

1 5

5 3

2 2

 

 

 ] cm

2

= [25π -25 3

6 4 ] cm

2

= 25 2 [

π 3

-3 2 ] cm

Jadi, tinggi penampang air dan luas penampang air berturut –turut adalah 5 5 3 2

 _ 

 

  cm

dan 25 2 [

π 3

-3 2 ] cm

2 .

12.Perhatikan gambar berikut ini!

A

B C r r

r

r r

r

Karena ABC segitiga sama sisi, maka besar ketiga sudutnya adalah 600. Kemudian pandang segitiga ABC!

A B

C

D 2r 2r

r r

Luas daerah yang diarsir = (Luas Segitiga ABC) – _{(3 × Luas juring} A)

= 1

  

AB CD - 3 60 πr2

2 360

     

= 12r 4r - r -2 2 1πr2

2 2

= r2 3 -1πr2 2

= r2 3 -π 2

 

 

 

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah r2 3 -π 2

 

 

13.Hasil perhiitungan volum yang salah adalah π 2r t = 4πr t

 

2 2 , sedangkan hasil perhitungan volum yang sebenarnya adalah πr t2 .

Jadi, rasio perhitungan volum yang salah terhadap perhitungan yang sebenarnya adalah 2

2

4πr t = 4 :1

πr t .

14.Perhatikan gambar pada soal!

Diketahui BAD = 75°, CDE = 50°

Karena segitiga ABD dan segitiga ECD sebangun maka CED = BAD = 750 akibatnya dari segitiga ECD diperoleh

CED + CDE + DCE = 180°  75° + 50° + DCE = 180°  DCE = 55°

Kemudian karena DCE dan BCE saling berpelurus, maka: DCE + BCE = 180°  55° + BCE = 180°

 BCE + 55° = 180°  BCE = 125°

15.Perhatikan gambar berikut ini!

B

A _C

D

P Q

R S

Luas daerah A = P.R = 90  R = 90

P … (1)

Luas daerah B = Q.R = 120  R = 120

Q … (2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

90 P =

120

Q 

4

Q = P

3

Luas daerah C = P.S = 36  S =36 P

Luas daerah D = Q.S = 4P 36

3 P

     

Jadi, luas daerah D adalah = 48 cm2.

16.Perhatikan segitiga ABC di bawah ini!

A B

C

D

x y

40

24 25

Misalkan BD = y, maka dari segitiga siku-siku BCD diperoleh

y = 252242 = 625 576 = 49 = 7

Kemudian dari segitiga siku-siku ABC diperoleh

x + y = 402252  x + 7 = 1600 576  x + 7 = 1024  x + 7 = 32  x = 25 Jadi, nilai x adala;h 25 cm.

17.Perhatikan bahwa pola ABCCDEABCCDEABCCDE … berulang setiap kelipatan 6 (mempunyai periode 6). Jadi, huruf yang menempati urutan ke- 2753 adalah huruf yang menempati sisa pembagian 2753 oleh 6 pada deretan huruf ABCCDE. Untuk mencari sisa pembagian dari bilangan yang besar, kita gunakan konsep kongruen modulo.

2753 = 2( 3. 2 + 1 ) 53

= 2(23)2 53

= 2 (8)2 5

Sisa pembagian 2753 oleh 6 adalah 4.

Urutan ke-4 dari deretan huruf ABCCDE adalah huruf C.

Jadi, karena 2753 kongruen dengan 4 (mod 6) maka huruf yang menempati urutan ke-2753 adalah huruf C.

Catatan :

Untuk bilangan yang masih relatif kecil, kita bisa mencari sisa pembagian tersebut secara langsung

7 3

2 5 16.000

6 6

4 2.666

6



 

Jadi, sisa pembagiannya adalah 4.

18.Perhatikan gambar di bawah ini!

A C D B

AB = Jarak dari tembok A ke tembok B AC = BD

= Jari-jari bola

= 7

22 cm

CD = Jarak yang ditempuh bola =10 Keliling

= 10(2) 22 7

7 22 cm

= 20 cm

AB = 2AC + CD

= [ 2( 7

22 ) + 20 ] cm

= 20 7

11 cm

19.Soal ini dapat diselesaikan dengan 2 cara.

Cara I

Perhatikan bahwa untuk menggambar segitiga ABC pada koordinat kartesius diperlukan titik A yaitu perpotongan garis 2x + y - 6 = 0 dan garis 2x + 2y – 3 = 0. Dari kedua persamaan garis tersebut diperoleh:

2x + 2y – 3 = 0 2x + y – 6 = 0 --- --

y + 3 = 0  y = - 3 2x + y – 6 = 0  2x = - y + 6  2x = 3 + 6 2x = 9

 x = 9

2

Sehingga titik A adalah (9

2 , - 3)

Selanjutnya kita gambar segitiga ABC dengan titik B = (0, 1) dan titik C = (1, 2) pada koordinat kartesius.

0 2

1

9/2

- 3 1 B

A C

D

x y

Akan dicari persamaan garis AD yaitu persamaan garis yang tegak lurus dengan garis BC.

Kemudian , kedua persamaan dikatakan tegak lurus jika perkalian gradiennya adalah – 1. Misalkan gradien dari garis BC adalah m1 dan gradien dari garis AD adalah m2.

Dari persamaan garis BC diperoleh y = x + 1 maka m1 = 1

m1.m2 = 1  m2(- 1) = 1  m2 = - 1

Persamaan AD melalui titik (x1, y1) = (

9

2 , - 3) dan gradiennya m2 = - 1.

Suatu persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan gradien m2 dirumuskan sebagai

y – y1 = m2(x – x1)  y – (- 3) = - 1(x -

9 2)

 y + 3 = - x + 9 2 2y + 6 = - 2x + 9 2x + 2y – 3 = 0

Jadi, persamaan garis AD adalah 2x + 2y – 3 = 0.

Cara II

Cara kedua adalah dengan jalan mencari koordinat titik D sehingga bisa dicari persamaan garis AD, karena koordinat titik A sudah diketahui.

Pandang segitiga ABC pada gambar (cara I)

A

B C _D

AB =





2

2 9

1 3 2

       

= 145 4

AC =





2

2 9

1 2 3

2

 _  _{ }

 

= 149 4

BC =





2 2

2 1 1

= 2

BC = BD + CD  2 = BD + CD

 CD = 2 - BD Dari segitiga ACD diperoleh

AD2 = AC2– CD2  AD2 = 149

4 - ( 2 - BD)

2_{… (1)}

Dari segitiga ABD diperoleh

AD2 = AB2 – BD2  AD2 = 145

4 – BD

2_{… (2)}

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

149

4 - ( 2 - BD)

2 = 145