Solusi Analitik

Bab 4. Hasil dan Pembahasan

4.2. Solusi Analitik

Dengan menggunakan metode deret pangkat, kita memperoleh solusi dari persamaan (D.2) sebagai berikut:

y(x) = x^k (�0 + �1� + �2x² + �3x³ + …) y(x) = ∑∞ ����+�

�=0 , a0≠ 0 (D.5) dimana eksponen k dan koefisien koefisien am sudah ditentukan. Dengan menurunkan persamaan (D.5) sebanyak dua kali, maka kita peroleh:

�� �� ⁼ ∑∞ �_� (�+�)��+�−1 �=0 , �2� ��2 = ∑∞ �_� (�+�)(�+� −1)��+�−2 �=0 (D.6)

Dengan mensubstitusikan persamaan (D.6) kedalam persamaan (D.2) maka kita peroleh: ∑∞ �� ⁽�+�)(�+� −1)��+�−2 �=0 – 2∑∞ �� ⁽�+�)��+� �=0 + 2n∑∞ �_� �=0 ��+� ₊ ∑∞ �_���+�+2 �=0 - ∑∞ �_���+�+4 �=0 = 0 (D.7)

Pangkat x terendah pada persamaan (D.7) adalah: x^k-2, untuk m=0 pada penjumlahan pertama. Keunikan dari deret pangkat memerlukan penghilangan koefisien yang menghasilkan:

�0k(k-1) = 0 Dimana �0 ≠ 0.

Jika �0 = 1, maka kita peroleh:

persamaan (D.8) ini merupakan persamaan indisial yang menghasilkan nilai k-0 atau k-1.

Jika kita tinjau kembali persamaan (D.7) dan menetapkan m = j+2 pada penjumlaham yang pertama, kemudian m = j,m = j, m = j-2, m = j-4 berturut turut pada penjumlahan kedua, ketiga, keempat dan kelima maka kita peroleh:

aj+2 (k+j+2)(k+j+1) – 2aj (k+j-n)+aj-2 – aj-4 = 0

a

j+2

=

�_�−4−�_�−2+ 2�_� (�+� −�) (�+�+2)(�+�+1) (D.9)

dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan (D.8) untuk k = 0 dan j = bilangan genap, kita peroleh:

a2 = �0 2! 2(-n) a4 = �0 4! [-2! + 2² (-n)(2-n)] a6 = �0 6! [4! – ^4! 2! 2(-n) – 2² (4-n) + 2³ (-n)(2-n)(4-n)] dan untuk k = 1 dan j = bilangan genap, kita peroleh: a₂ = �0

3! 2(1-n) a₄ = �0

5! [-3! + 2² (1-n)(3-n)]

Pada kasus k = 0, semua nilai koefisiennya kita masukkan kedalam persamaan (D.5), maka kita peroleh:

ygenap = a0 [1+ ¹ 2! (2(-n))x² + ¹ 4! (-2! + 2² (-n)(2-n))x⁴ + ¹ 6!(4! – ^4! 2! 2(-n) – 2² (4-n) + 2³(-n)(2-n)(4-n))x⁶ + …] (D.10)

melalui persamaan (D.10), kita tentukan Polynomial Hermite untuk n = genap dan menghasilkan beragam parameter sebagai berikut:

y_genap = a₀ [1+ ¹ 2! (2(-n))x² + ¹ 4!(2²(-n)(2-n))x⁴ + ¹ 6!(2³(-n)(2-n)(4-n))x⁶ + …] + a₀ [−^2!_4! x⁴ + ¹ 6! (4! – ^4! 2! 2(-n) – 2²(4-n))x⁶ + …] (D.11)

dengan cara yang sama kita juga dapat menetukan Polinomial Hermite untuk n = ganjil dan k = 1 sebagai berikut:

yganjil = a0 [x + ¹ 3!(2(1-n))x³ + ¹ 5!( 2²(1-n)(3-n))x⁵ + ¹ 7!(2³(1-n)(3-n)(5-n))x⁷ + …] + a0 [- ^3! 5!x⁵ + ¹ 7!(5! – ^5! 3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x⁷ + …] (D.12)

Tanda kurung siku pertama dari ruas kanan ygenap dan yganjil hanya menunjukkan bentuk dari polynomial hermite yang kemudian kita masukkan nilainya kedalam persamaan (D.3).

Maka untuk n = genap kita peroleh:

��^{(x) =} �−�2/2 {H_n(x) + �0�4 [- ^2!

4! + ¹

6! (4! – ^4!

2! 2(-n) – 2² (4-n)) x² + …]} (D.13)

Untuk n = ganjil kita peroleh:

�_�(x) = �−�2/2 {Hn(x) + �0�5 [- ^3!

5! + ¹

7! (5! – ^5!

3! 2(1-n) – 3!2 (5-n)) x² +…]}(D.14)

4.3. Fungsi fungsi gelombang dan tingkat tingkat energi

Persamaan fungsi gelombang Schrodinger dengan energy potensial V(x) = Ax⁴, Dituliskan sebagai berikut:

−_��^ħ�Ψ’’(x) + Ax⁴ Ψ(x) = E Ψ(x), dimana m = massa partikel dan E = energy total.

Dengan mengggunakan kuantitas tidak berdimensi sebagai berikut:

x = αz dimana ∝6 = 2��

ħ2 (D.15)

λ = ^2��_ħ2�2 = E(2�

ħ2 )^2/3(A)^1/3 (D.16)

nilai λ diatas merupakan periode gerak untuk partikel klasik yang sesuai dengan V(x) = Ax⁴, diberikan melalui persamaan (D.4) dan persamaan (D.5).

τ = 1

2�^2��_� ( ^� � ⁾

1/4г(1/4)

г(3/4) (D.17)

Dengan [Ψ(z) = Ψ(x/α) = ѱ(x)], maka persamaan (D.1) menjadi:

�2ѱ

��2 + (λ – x⁴) ѱ(x) = 0 (D.18) Persamaan (D.18) ini merupakan persamaan (D.4) dengan λ = 2n+1.

Maka untuk n = genap kita peroleh:

Ѱn(x) = K�−�2/2{H_n(x) + a₀x⁴ [- ^2!

4! + ¹

6!(4! – ^4!

2! 2(-n) – 2²(4-n))x² + …]} (D.19)

Untuk n = ganjil kita peroleh:

Ѱn(x) = K�−�2/2{Hn(x) + a0x⁵ [- ^3!

5! + ¹

7!(5! – ^5!

3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x² + …]} (D.20)

Persamaan (D.19) dan persamaan (D.20) merupakan fungsi fungsi gelombang Osilator Anharmonik mekanika kuantum untuk genap Ѱ 0, Ѱ2,… dan ganjil Ѱ 1, Ѱ3,…

Dengan menggunakan persamaan (D.16) dan persamaan (D.17) dan diketahui nilai г(1/4) = 4.(1

4)! = 4 dan г(3/4) = �^√₄² maka kita peroleh Energi: En = (�

4)^3/4. г(1/4) √2�г(3/4)ħ�

E_n = (2n+1)^3/4 . ⁴

�√2�ħ� (D.21) Untuk Energy tingkat dasar dengan n = 0 adalah:

E0 = ⁴

�√2� ħ� = 0,5079ħ�≅ ¹₂ħ� (D.22) E1 = 2,28 E0, E2 = 3,343 E0, E3 = 4,3 E0

LAMPIRAN E

FUNGSI GAMMA (г)

DEFENISI:

1. Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut

2. Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu menyelesaikan integral-integral khusus yangsulit dalam pemecahannya dan banyak digunakan dalammenyelesaikan permasalahan di bidang fisika maupunteknik.

3. Pada dasarnya dapat didefinisikan pada bidang real dankompleks dengan beberapa syarat tertentu.

Fungsi gamma dinyatakan oleh г (x)yang didefenisikan sebagai berikut ini:

Г(x) = _{∫ �}^∞ �−1�−�

0 �� (E.1) x dan r adalah bilangan real.

Rumus ini merupakan integral yang konvergen untuk x > 0. Rumus rekursif untuk fungsi gamma adalah:

г(x+1) = xг(x) (E.2) melalui persamaan (E.2) dapat ditentukan harga г(x) untuk semua x>0 bila nilai nilai untuk 1≤ � ≤2.

Jika x adalah bilangan bulat maka: г(x+1) = x!

jika di kombinasikan persamaan (E.1) dan persamaan (E.2) maka diperoleh bentuk:

Г(x) = ^г(x+1)

� ^(E.3)

Sifat dasar fungsi gamma real

a. Г(x) tidak terdefenisi untuk setiap x = 0 atau bilangan bulat negatif

Pembuktian:

Dari persamaan (E.1) dengan x = 0, diperoleh: Г(0) = _{∫ �}^∞ −1�−�

0 ��

Bukti tersebut merupakan integral divergen sehingga Г(0) tidak terdefinisi.

Untuk x = n bilangan bulat negatif dan dengan mensubstitusikan x kedalam persamaan (E.3), maka diperoleh:

Г(n) = ^Г(0)

�(�+1)(�+2)…(−2)(−1) (E.4)

Karena Г(0) tidak terdefinisi, maka Г(n) tidak terdefenisi pula untuk n bilangan bulat negatif.

n! ~√2���_.�−� _(E.5)

LAMPIRAN F

PERIODE OSILATOR NONLINEAR

Sebuah partikel dengan massa m yang pada hakekatnya berosilasi secara nonlinear dibawah pengaruh fungsi energi potensial memberikan:

V(x) = Axⁿ (F.1)

(Dimana A adalah konstanta positif dan n adalah sebuah bilangan bulat genap yang lebih besar atau sama dengan 4).

Sistem ini, tentu saja konservatif, sehingga diperoleh:

1

2�ẋ2+ �(�) =� (F.2) Dimana total Energi selalu konstan positif sehingga persamaan (K.2) dapat dituliskan sebagai berikut:

��= ±(^� 2�⁾ 1 2 . ^�� �1−�(�) � (F.3)

Untuk memperoleh nilai periode osilasi maka persamaan (K.3) kita integrasikan sehingga diperoleh: T = 4(^� 2�⁾ 1/2∫ _{�1−��}^���_/� � 0 (F.4)

Dimana A adalah Amplitudo osilasi yang berhubungan dengan nilai Energi total

E= bAⁿ lalu substitusikan nilai x = (^� �⁾

1

Sehingga persamaan (F.4) menjadi: T = ⁸ � ^{. (} � 2�⁾ 1 2 . ( ^�_�) 1 �∫₀^�/2���2��−1��� (F.6) Setelah mengintegrasikan persamaan (K.6), maka diperoleh T dalam bentuk yang lebih ssederhana sebagai berikut ini:

T = 4

(

^�� 2

)

^1/2

. (

�1−�/2 �

⁾

1/�

_.

^г( �¹⁺¹⁾ г( ¹�⁺ 1 2 )(F.7)

Dimana pada persamaan (K.7) ini kita menggunakan bentuk identitas dari fungsi gamma (г) sebagai berikut ini:

Г(z+1) = z г(z) (F.8) Jika kita substitusi syarat syarat dari amplitude untuk total energi, maka diperoleh bentuk periode sebagai berikut ini:

�= 2√2� . г( ¹�⁺¹⁾

г(¹�⁺2 ¹)

. �

1−�/2

�

^�_�(F.9) Dengan n > 0

Persamaan (F.9) ini merupakan periode osilasi dari osilator yang terdapat dalam energy potensial pada persamaan (F.1).dalam persamaan ini, n tidak perlu harus merupakan bilangan bulat. Persamaan (F.9) menunjukkan bahwa periode dan frekuensi osilasi tidak bergantung pada amplitude dan energi total nya hanya jika n = 2 (merupakan osilator harmonik sederhana).

Dalam hal ini, dengan b = k/2 maka persamaan (F.9) mengurangi nilai periode osilasi sistem massa pegas, T = 2л _�^�_� . meskipun setiap osilator linear memiliki sebuah periode yang tidak bergantung amplitude, namun itu tidak benar. Karena hal itu akan mengakibatkan osilator nonlinear.

LAMPIRAN G

LISTING PROGRAM MATLAB FUNGSI GELOMBANG

OSILATOR ANHARMONIK

clear; clc; disp('Plot Grafik'); disp('---'); xMin=input('masukkan x minimum = '); xMax=input('masukkan x maksimum = '); x=xMin:0.1:xMax; y1=zeros(1, length(x)); y2=zeros(1, length(x)); y3=zeros(1, length(x)); y4=zeros(1, length(x)); y5=zeros(1, length(x)); y6=zeros(1, length(x)); for i=1:length(y1) y1(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*(1+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)(fakt orial(4)/faktorial(2))*2*0-2^2*(4-2))*x(i)^2)); end for i=1:length(y2)

y2(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*(2*x(i)+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5) (faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-1)-faktorial(3)*2*(5-1))*x(i)^2)); end for i=1:length(y3) y3(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*(((4*x(i)^2)2)+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(fakt orial(4)(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-2)-2^2*(4-2))*x(i)^2)); end for i=1:length(y4) y4(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((8*x(i)^3-12*x(i))+(x(i)^5)*(- faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)-(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-3) faktorial(3)*2*(5-3))*x(i)^2)); end for i=1:length(y5) y5(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((16*x(i)^4-48*x(i)^2+12)+(x(i)^4)*(- faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)-(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-4)-2^2*(4-4))*x(i)^2)); end for i=1:length(y6) y6(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((32*x(i)^5-160*x(i)^3+120*x(i))+(x(i)^5)*(- faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)-(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-5)-faktorial(3)*2*(5-5))*x(i)^2)); end subplot(3,2,1) plot(x,y1)

title('Grafik n=0') subplot(3,2,2) plot(x,y2) title('Grafik n=1') subplot(3,2,3) plot(x,y3) title('Grafik n=2') subplot(3,2,4) plot(x,y4) title('Grafik n=3') subplot(3,2,5) plot(x,y5) title('Grafik n=4') subplot(3,2,6) plot(x,y6) title('Grafik n=5')

LAMPIRAN H

LAMPIRAN I

LAMPIRAN J

Daftar Pustaka

Beiser, Arthur.1987. Konsep Fisika Modern.Edisi Keempat. Jakarta: Penerbit Erlangga

Eisberg, R, dan Resnick, R, 1970, Quantum Physics, Jhon wiley & Sons,New York,California.

Fitri, Sari Rachma dkk.Makassar Fisika Dasar ii. 2012. Balikpapan: universitas Balikpapan press.

Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika. Edisi Kelima Jilid 1. Erlangga. Jakarta. J. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Third Edition Academic Press,

Harcourt Brace Jovanovich, Publisher (1985) p. 564

Krane, Kenneth. 1992. Fisika Modern. Jakarta: Penerbit Universitas Indonesia (UI Press)

Nicolaide, Andre. 2012. General Theory of the Electromagnetic Field. Transilvania University Press. Braşov, Romania.

P.M. Morse, H. Feshbach, Methods of Theoritical Physics, Mc Graw-Hill Book Company(1993)

P . Mohazzabi, Am.J.Phys. 72, 492(2004)

Ruwanto, Bambang. Fisika II. 2007. Yogyakarta: Yudhi Tira. Said. L, M. Fisika Dasar I. 2007. Makassar.UIN press.

Sugiyarni, Anik. 2010. Mekanika Kuantum. Universitas Sebelas Maret. Surakarta. Stolze,Joachim dan Dieter, 2007, Quantum Computing, University Of Dartmond,

Institute Of Physics,Weinheim,Germany

Suwana, Wayan. Osilator harmonic. Pendidikn Fisika universitas lampung S. James, Single Variable Calculus, Early Transcendental. Fourth Edition. New

York: Brooks/Cole Publishing Company, 1999 Tjia,M.O.1999. Mekanika Kuantum. Bandung: Penerbit ITB

Halaman: 80-84

Wiley and Sons Ltd Singh,Kamal,2006, Element Of Quantum Mechanics, S.Chand & Company LTD

Zettili, Nouredine.2009. Quantum Mechanics Concepts and Applications. John Ram Nagar, New Delhi

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Tempat Penelitian

Tempat dilakukannya penelitian dengan judul: “Kajian Teoritik Osilator Anharmonik dengan Potensial Kuartik” adalah:

1. Perpustakaan Umum USU

2. Perpustakaan LIDA FMIPA USU

3. Laboratorium Fisika Komputasi FMIPA USU

3.2. Waktu Penelitian

Penelitian ini akan dilakukan pada Januari 2016 – Juni 2016.

NO Nama kegiatan Januari 2016 Februari 2016 Maret 2016 April 2016 Mei 2016 Juni 2016 1 Studi literatur 2 Seminar proposal 3 Pengolahan Data 4 Analisa Data 5 Seminar hasil 6 Meja Hijau/ SIDANG

3.3. Rancangan Penelitian

Adapun rancangan penelitian judul “Kajian Teoritik Tingkat Energi Osilator Anharmonik dengan Potensial Kuartik” adalah sebagai berikut:

1. Menyelesaikan persoalan Fisika dengan persamaan diferensial orde kedua yang mengarah kepada persamaan diferensial Osilator Anharmonik Mekanika kuantum.

2. Mengembangkan solusi analitis berdasarkan metode deret pangkat dan kemudian dilanjutkan dengan Polinomial Hermite.

3. Menggunakan koefisien dalam deret pangkat yang dihasilkan untuk memperkenalkan fungsi gelombang dan tingkat energi Osilator Anharmonik.

3.4. Diagram Alir Penelitian

Gambar 3.1.Diagram Alir Kajian Teoritik Tingkat Energi Osilator Anharmonik dengan Potensial Kuartik.

MULAI Persamaan Schrodinger EΨ = -ħ� ���^′′ +�� Potensial, V= Ax⁴ Persamaan Anharmonik Deret pangkat Polinom Hermit Ganjil Polinom Hermit Genap Tingkat Energi STOP

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Persamaan Awal

Persamaan Schrodinger untuk osilator anharmonik adalah sebagai berikut:

−_��^ħ�Ψ’’(x) + Ax⁴Ψ(x) = E Ψ(x) (4.1) Persamaan (4.1) ini dikalikan dengan [−²_ħ^�2 ], sehingga diperoleh:

−_��^ħ�Ψ’’(x) + Ax⁴Ψ(x) - E Ψ(x) = 0 Ψ’’(x)- ²� ħ2 (��4) Ψ(x) +^2� ħ2 (�) Ψ(x) = 0 Ψ’’(x)- ²� ħ2 [��4+ �] Ψ(x) = 0 Ψ’’(x)+ ²_ħ^�₂ [� − ��4] Ψ(x) = 0 (4.2) Persamaan (4.2) merupakan persamaan linear dua variabel yang dapat dituliskan bentuknya sebagai berikut ini:

�′′ − 2��′ _{+ (2}�+�2− �4)�= 0 (4.3) Dimana persamaan (4.3) ini bukan merupakan adjoin dari persamaan (4.2) melainkan hanya untuk mempermudah memperkenalkan serangkaian fungsi ��

berikut ini:

Persamaan (4.4) ini dikalikan dengan ��2/2 �_�, maka akan diperoleh: (�� ^{) (}��2/2 ��^{) =} �−�2/2 y(x) (��2/2 ��⁾

y(x) = ��2/2 �� ^(4.5)

Turunan pertama untuk persamaan (4.5) adalah sebagai berikut:

�′₍�) = ���2/2�� ⁺ ��2/2 ��^′

�′₍�) = ��2/2 (��_� + �_�′₎

(4.6)

Turunan kedua untuk persamaan (4.5) adalah sebagai berikut:

�′′₍�) = ���2/2��_� +��2/2 �_� + ��2/2 ��_�′ ₊ ���2/2 �_�′ ₊��2/2 �_�′′

= �2��2/2 �_� + 2���2/2 �_�′ ₊ ��2/2 �_� + ��2/2 �_�′′

= �2��2/2 �� ⁺ ��2/2 �� ^{+ 2}���2/2 ��^{′ +} ��2/2 ��^′′

= ��2/2�� ⁽�2+ 1) + 2���2/2 ��^{′ +} ��2/2 ��^′′

�′′₍�) = ��2/2{ �� ⁽�2+ 1) + 2���^{′ +} ��^{′′} (4.7)}

Lalu kita substitusi persamaan (4.5), persamaan (4.6), persamaan (4.7) kedalam persamaan persamaan (4.3) maka akan diperoleh:

�′′ − 2��′ _{+ (2}�+�2− �4)�= 0 ��2/2{ �� ⁽�2+ 1) + 2���^{′ +} ��^{′′} – 2x {} ��2/2 (��� ⁺ ��^{′)} + (2}�+�2− �4){��2/2 �_�} = 0 ��2/2 { (�2+ 1) �_� + 2��_�′ ₊ �_�′′_{} – 2x}2�_� − 2��_�′ _{+ 2}��_� +�2�_� − �4�_� } = 0 �2�� ⁺ �� ^{+ 2}���^{′ +} ��^{′′ – 2x2}�� − 2���^{′ + 2}��� ⁺�2�� − �4�� ^{= 0}

�_�′′ _{+ 2}��_� + �_� − �4�_� = 0

��^{′′ + (2}�+ 1 − �4) �� ^{= 0 (4.8)}

Persamaan (4.8) ini merupakan persamaan diferensial untuk osilator anharmonik pada mekanika kuantum dengan energi potensial, V(x) = Ax⁴.

4.2 Solusi Analitik

Prosedur baku untuk memecahkan persamaan diferensial seperti persamaan (4.3) adalah dengan menganggap bahwa y(x) dapat diuraikan dengan deret pangkat x sebagai berikut:

y(x) = x^k (�0 + �1� + �2x² + �3x³ + …)

y(x) = ∑∞ �_���+�

�=0 , a₀≠ 0 (4.9)

Turunan pertama dari y(x) adalah:

�′₍�) =∑∞ �� ⁽�+�)��+�−1

�=0 (4.10)

Turunan kedua dari y(x) adalah:

�′′₍�)∑∞ �_� (�+�)(�+� −1)��+�−2

�=0 (4.11)

Kemudian kita substitusikan kembali persamaan (4.9), persamaan (4.10), persamaan (4.11) ke dalam persamaan (4.3) sehingga akan diperoleh:

�′′ − 2��′ _{+ (2}�+�2− �4)�= 0 ∑∞ �� ⁽�+�)(�+� −1)��+�−2 �=0 - 2x {∑∞ �� ⁽�+�)��+�−1 �=0 } + (2�+�2− �4)∑∞ �_���+� �=0 = 0 ∑∞ �_� (�+�)(�+� −1)��+�−2 �=0 – 2∑∞ �_� (�+�)��+� �=0 + 2n∑^∞�=0����+� ₊ ∑∞ ����+�+2 �=0 − ∑∞ ����+�+4 �=0 = 0 (4.12)

Dari persamaan (4.12) ini, kita substitusi; m = j + 2 untuk penjumlahan pertama m = j untuk penjumlahan kedua m = j untuk penjumlahan ketiga m = j - 2 untuk penjumlahan keempat m = j – 4 untuk penjumlahan kelima Sehingga akan diperoleh:

∑∞ �_�+2 (�+�+ 2)(�+�+ 2−1)��+�+2−2 �=0 – 2∑∞ �_� (�+�)��+� �=0 + 2n∑∞ �_� �=0 ��+� ₊ ∑∞ �_�−2��+�−2+2 �=0 − ∑∞ �_�−4��+�−4+4 �=0 = 0 ∑∞ �_�+2 (�+�+ 2)(�+� −1)��+� �=0 – 2∑∞ �_� (�+�)��+� �=0 + 2n∑^∞�=0����+� ₊ ∑∞ ��−2��+� �=0 − ∑∞ ��−4��+� �=0 = 0 ∑^∞_�=0[�_�+2 (�+�+ 2)(�+�+ 1)– 2�_�(�+�)+ 2n�_� + �_�−2− �_{� −}4]��+� _{= 0} ∑^∞_�=0[�_�+2 (�+�+ 2)(�+�+ 1)–2�_�(�+�-n)+ �_{� −}2− �_�−4]��+� _{= 0 (4.13)}

Supaya persamaan (4.13) ini berlaku untuk setiap x, maka kuantitas dalam tanda kurung harus nol untuk setiap harga n, sehingga kita dapatkan persyaratan sebagai berikut:

�_�+2 (�+�+ 2)(�+�+ 1) – 2�_�(�+� - n)+ �_�−2− �_{� −}4 = 0

�_�+2 (�+�+ 2)(�+�+ 1) = 2�_�(�+� - n)−�_{� −}2+ �_{� −}4

�_�+2 = ��−4−��−2+ 2�� (�+� −�) (�+�+2)(�+�+1) (4.14)

Persamaan (4.14) adalah merupakan rumus rekursi untuk koefisien �_�.

Rumus rekursi ini memungkinkan kita untuk mencari koefisien �2, �3, �4, �5, … Tetapi sebelumnya kita perhatikan persamaan (4.12), pangkat terendah dari x adalah x^k-2 untuk m = 0 pada penjumlahan yang pertama.

Penjumlahan pertama dipilih karena hanya pada penjumlahan pertama yang dapat menghasilkan 2 nilai k yang berfungsi untuk memperoleh fungsi genap dan fungsi ganjil dalam rumus rekursi.

Kita substitusi nilai m = 0 pada penjumlahan pertama persamaan (4.12) maka diperoleh:

�_�(�+�)(�+�+ 1) = 0

�0(�)(� −1) = 0

Sehingga kita peroleh nilai : k = 0 untuk j_genap

k = 1 untuk j_ganjil.

• untuk k = 0 dan jgenap dimulai dari 0, 2, 4, … pada persamaan (4.14) kita peroleh: Rumus dasar: ��+2 = �_�−4−�_�−2+ 2�_� (�+� −�) (�+�+2)(�+�+1) j = 0

→

a₂ = �₋4−�₋2+ 2�0 (−�) (2.1) = ²�0 (−�) 2! a2 = �0 2! 2(-n) j = 2

→

a4 =�₋2−�0+ 2�2 (2−�)

(4.3)

;

kita substitusi nilai a2, sehingga di peroleh: = −�0+2 �^�0 2! . 2(−�)�(2−�) 4! ¹ 2 x ² 2 a₄ = �0 4! [-2! + 2² (-n)(2-n)] j = 4

→

a6 =�0−�2+ 2�4 (4−�)

(4.5)

;

kita substitusi nilai a2 dan nilai a3, diperoleh: = �0−^�0 2! . 2(−�)+ 2 �0 4! [−2!+ 2²(−�)(2−�)](4−�) 6! . _4!¹

.

^4! 4! a6 =�0 6! [4! – ^4! 2! 2(-n) – 2² (4-n) + 2³ (-n)(2-n)(4-n)]

Catatan:

Nilai a terendah yang diijinkan adalah a₀ (nilai a negative dianggap tidak ada) karena dari persamaan awal: ∑^∞_�=0�_�(�+�)(�+� −1) …dst, nilai a terkecil adalah a₀.

Kemudian nilai koefisien �2, �4, �6 ini kita substitusikan kedalam persamaan (4.9) sehingga diperoleh: y(x) = ∑∞ �_���+� �=0 y_genap = (�0�� ₊ �2��+2 + �4x^�+4 + �6x^�+6 + …) untuk k = 0, diperoleh: ygenap = (�0 + �2�2 + �4x⁴ + �6x⁶ + …) ygenap = �0 + �0 2! 2(-n) �2 + �0 4! [-2! + 2² (-n)(2-n)] x⁴ + �0 6! [4! – ^4! 2! 2(-n) – 2² (4-n) + 2³ (-n)(2-n)(4-n)] x⁶ + …) ygenap = a0 [1+ ¹ 2! (2(-n))x² + ¹ 4! (-2! + 2² (-n)(2-n))x⁴ + ¹ 6!(4! – ^4! 2! 2(-n) – 2² (4-n) + 2³(-n)(2-n)(4-n))x⁶ + …] (4.15)

Melalui persamaan (4.15) kita akan memperoleh beragam parameter yang disebut dengan Polinomial Hermite untuk n = genap sebagai berikut:

ygenap = a0 [1+ ¹ 2! (2(-n))x² + ¹ 4!(2²(-n)(2-n))x⁴ + ¹ 6!(2³(-n)(2-n)(4-n))x⁶ + …] + a0 [−^2!_4! x⁴ + ¹ 6! (4! – ^4! 2! 2(-n) – 2²(4-n))x⁶ + …] (4.16)

Tanda kurung siku pertama pada persamaan (4.16) merupakan bentuk Polinomial Hermite untuk n = genap, maka diperoleh bentuk sederhana persamaan (4.16) adalah sebagai berikut:

y_genap= {H_n(x) + �0�4 [- ^2!

4! + ¹

6! (4! – ^4!

2! 2(-n) – 2² (4-n)) x² + …]}

Kemudian nilai y(x) untuk genap kita subtitusikan kedalam persamaan (4.4) sehingga diperoleh persamaan baru sebagai berikut:

��^{(x) =} �−�2/2 {Hn(x) + �0�4 [- ^2!

4! + ¹

6! (4! – ^4!

2! 2(-n) – 2² (4-n)) x² + …]} (4.17) • untuk k = 1 dan j_ganjil dimulai dari 1, 2, 3, … pada persamaan (4.14) kita

peroleh: j = 1

→

a3 = �0

3! 2(1-n) j = 3

→

a5 = �0

5! [-3! + 2² (1-n)(3-n)]

Kemudian nilai koefisien �3, �5, ini kita substitusikan kedalam persamaan (4.9) sehingga diperoleh: y(x) = ∑∞ �_���+� �=0 y_ganjil = (�1��+2 + �3��+4 +… ) untuk k = 1, diperoleh: y_genap = (�1�3 + �3�5 + … )

Dengan melakukan cara yang sama seperti mencari ygenap kita juga dapat menentukan Polinomial Hermite untuk n = ganjil dan k = 1 sebagai berikut:

yganjil = a0 [x + ¹ 3!(2(1-n))x³ + ¹ 5!( 2²(1-n)(3-n))x⁵ + ¹ 7!(2³(1-n)(3-n)(5-n))x⁷ + …] + a₀ [- ^3! 5!x⁵ + ¹ 7!(5! – ^5! 3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x⁷ + …] (4.18)

Tanda kurung siku pertama pada persamaan (4.18) merupakan bentuk Polinomial Hermite untuk n = ganjil, maka diperoleh bentuk sederhana persamaan (4.18) adalah sebagai berikut:

yganjil= {Hn(x) + a0 [- ^3!

5!x⁵ + ¹

7!(5! – ^5!

3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x⁷ + …]

Kemudian nilai y(x) untuk ganjil kita subtitusikan kedalam persamaan (4.4) sehingga diperoleh persamaan baru sebagai berikut:

��^{(x) =} �−�2/2 {H_n(x) + �0�5 [- ^3!

5! + ¹

7! (5! – ^5!