Alit Kartiwa1), Sukono2)
1,2 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Padjadjaran email: [email protected]; [email protected]
Abstrak
Pertumbuhan ekonomi model Solow secara matematis adalah berupa persamaan diferensial. Paper ini membahas persoalan tentang solusi persamaan diferensial pada pertumbuhan ekonomi model Solow. Model Solow yang dibahas di sini diasumsikan bahwa tingkat pertumbuhan populasi adalah konstan sepanjang waktu. Sehingga, untuk mencari solusi persamaan diferensial dari pertumbuhan ekonomi model Solow ini, perlu dikaji beberapa bentuk persamaan diferensial biasa. Berdasarkan kajian, menunjukkan bahwa pertumbuhan ekonomi model Solow, merupakan bentuk persamaan diferensial linier tingkat satu, yang berupa persamaan diferensial Bernoulli. Sebagai ilustrasi dari pertumbuhan ekonomi model Solow di sini dibahas model produksi Cobb-Douglas. Berdasarkan pembahasan menggambarkan bahwa persamaan diferensial linier tingkat satu dapat diterapkan untuk mencari solusi pertumbuhan ekonomi model Solow.
Kata Kunci: model Solow, persamaan diferensial Bernoulli, Cobb-Douglas.
1. PENDAHULUAN
Dalam analisis sistem ekonomi dikenal suatu model neoklasik (the neo-clasical model) yang dikenal sebagai model Solow-Swan. Menurut Filho et al. (2005), model Solow-Swan pertama kali dikembangkan oleh Robert Solow dan Trevor Swan pada tahun 1950, dan secara matematis analisis merupakan model pertumbuhan pertama yang dikenal sebagai model pertumbuhan jangka panjang (long-run growth model). Dalam model pertumbuhan Solow diasumsikan bahwa negara-negara yang menggunakan sumberdaya secara efisien, dan terdapat pendapatan yang selalu berkurang (dimising retuns) relatif terhadap peningkatan modal dan tenaga kerja (Parra et al., 2015). Berdasarkan asumsi tersebut, terdapat esensi penting. Pertama, peningkatan modal per tenaga kerja menciptakan pertumbuhan ekonomi, selama masyarakat dapat terus berkontribusi modal produktif. Kedua, negara-negara terbelakang yang memiliki modal per kapita rendah, akan tumbuh lebih cepat karena setiap investasi, akan menghasilkan pendapatan yang lebih tinggi dibandingkan dengan negara-negara yang memiliki modal lebih besar.
Ketiga, disebabkan adanya dimising returns
terhadap modal, tingkat ekonomi akan mencapai suatu keadaan di mana penambahan modal baru tidak akan menyebabkan pertumbuhan ekonomi. Kondisi seperti ini disebut sebagai keadaan tunak (steady state) (Filho et al., 2005).
Ditinjau secara matematis, model pertumbuhan Solow adalah merupakan bentuk persamaan diferensial (Parra et al., 2015). Menurut Asfiji et al. (2012), menyatakan bahwa pertumbuhan populasi model Solow berupa persamaan diferensial linier tingkat satu. Merujuk Busse & Koniger (2011), menuliskan pertumbuhan ekonomi model Solow dalam bentuk persamaan linier tingkat satu. Minoiu & Reddy (2009) melakukan analisis pertumbuhan ekonomi dengan menggunakan persamaan diferensial linier tingkat satu.
Berdasarkan uraian pendahuluan dan studi empiris tersebut di atas, dalam paper ini dikaji tentang penentuan solusi persamaan diferensial pada pertumbuhan ekonomi model Solow. Kajian ini cukup menarik dilakukan, untuk menunjukkan bahwa persamaan diferensial
206
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Internalisasi Nilai-nilai Berfikir Matematis Dalam Perannya di Era Masyarakat Ekonomi ASEAN (MEA) dapat diterapkan dalam analisis ekonomi,khususnya pertumbuhan ekonomi model Solow. Dalam kajian ini pembahasan meliputi: kajian tentang persamaan diferensial linier tingkat satu, persamaan diferensial Bernoulli, pertumbuhan ekonomi model Solow, dan penerapan model Solow pada fungsi produksi Cobb-Douglas.
2. PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Persamaan diferensial (differential equation) adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya terhadap variabel-variabel bebas. Terdapat beberapa bentuk persamaan diferensial, namun dalam bagian ini hanya dibahas tentang persamaan diferensial linier tingkat satu.
2.1 PD Linier Tingkat Satu
Menurut definisi, suatu persamaan diferensial tingkat satu disebut linier dalam y
jika tidak memuat hasil kali, pangkat atau kombinasi nonlinier lainnya dari y atau y'. Bentuk umum persamaan diferensial linier tingkat satu adalah:
)
(
)
(
x y Q x P dx dy
. (2.1) Jika P(x)0, maka persamaan dapat diselesaikan dengan integrasi langsung, dan jika Q(x)0, maka persamaan adalah terpisahkan (Batiha, 2011; Camporesi, 2011).Jika ruas kiri dan kanan persamaan (2.1) dikalikan dengan exp
P(x)dx
, maka diperoleh persamaan:
yeP xdx
Q xeP xdx dx d ( ) ( ) ) ( ,dan mempunyai solusi:
e Q xe dx k
y P(x)dx ( ) P(x)dx . (2.2) Adapun prosedur untuk mencari solusi persamaan (2.1) adalah sebagai berikut:
Langkah 1.
Dihitung faktor pengintegralan
Langkah 2.
Ruas kanan persamaan yang diberikan dikalikan dengan factor tersebut, dan ruas kiri ditulis sebagai derivastif dari y kali faktor pengintegralan.
Langkah 3.
Diintegralkan dan diselesaikan persamaan untuk y.
2.2 PD Bernoulli
Bentuk dari persamaan diferensial Bernoulli adalah sebagai berikut:
n y x Q y x P dx dy ) ( ) ( . (2.3) Jika n0 atau n1, maka (2.3) merupakan persamaan diferensial linier. Sedangkan jika nilai lainnya, maka (2.3) merupakan persamaan diferensial nonlinier (Batiha, 2011; Camporesi, 2011).
Adapun langkah-langkah untuk mencari solusi PD Bernoulli adalah sebagai berikut:
Langkah 1.
Definisikan variabel baru zy1n dengan n
y n z'(1 ) .
Langkah 2.
Ruas kiri dan kanan persamaan (2.3) dikalikan dengan (1 )n yn, sehingga menjadi:
) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ' ) 1 ( n yny n P x y1n n Q x . Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan di langkah 1, diperoleh persamaan:
) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ' n P x z n Q x z . (2.4) Langkah 3.
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo,
Ruang Seminar UMP, Sabtu, 28 Mei 2016
207
Berdasarkan (2.3), diperoleh solusi untuk (2.4),yaitu: e nQ xe dx k z (1 n)P(x)dx (1 ) ( ) (1 n)P(x)dx Langkah 4.
Solusi umum dari persamaan (2.3) dapat ditentukan dengan mensubstitusikan y1n untuk z. Jika n0, maka persamaan (2.3) juga mempunyai solusi y0.
3. SOLUSI PD MODEL PERTUMBUH-AN SOLOW
Dalam bagian ini dibahas tentang model pertumbuhan Solow, dan ilustrasi penentuan solusi persamaan diferensial model Solow.
3.1 Model Pertumbuhan Solow
Merujuk Parra et al. (2015), misalkan diperhatikan model pertumbuhan Solow dari ekonomi makro. Misalkan K capital, L tenaga kerja, dan Q luaran (output) produksi dari suatu ekonomi. Asumsikan bahwa pertumbuhan ini adalah merupakan permasalahan dinamis, sehingga K(t), L(t), dan Q(t)merupakan fungsi waktu. Biasanya dalam ekonomi diasumsikan bahwa Q adalah sebagai fungsi dari K dan L, yaitu:
) , (K L f
Q ; f(bK,bL)bf(K,L). (3.1) Misalkan bahwa proporsi konstanta dari
Q adalah diinvestasikan dalam capital. Berarti
tingkat perubahan dari K adalah proporsional terhadap Q, atau dapat dinyatakan sebagai:
sQ dt dK
, (3.2)
di mana s0 adalah konstanta proporsionalitas. Juga dimisalkan bahwa laju pertumbuhan tenaga kerja berdasarkan pada persamaan: L dt dL , (3.3)
di mana 0 adalah tingkat pertumbuhan per kapita. Ini adalah persamaan order pertama untuk L, yang dapat diselesaikan untuk mendapatkan L L et
0
Jika persamaan (3.1), (3.2), dan (3.3) dikombinasikan ke dalam satu persamaan, agar memudahkan dalam analisis. Cara pertama adalah mensubtitusikan (3.1) ke dalam (3.3) diperoleh persamaan: ) , (K L sf dt dK (3.4)
Karena L(t) suatu fungsi yang diketahui, yang tidak diketahui hanya fungsi K(t). Jadi ini adalah persamaan diferensial order pertama untuk K(t). Hal ini, adalah nonautonomous.
t
e L
L
0
, sehingga ruas kanan secara eksplisit bergantung pada t. Masih bisa dicoba untuk menganalisis persamaan ini, tetapi akan lebih baik jika bisa menemukan persamaan diferensial order pertama autonomous. Ternyata dapat diperoleh persamaan
autonomous untuk rasio
L
K bukannya K.
Pertama, karena f adalah constant return to scale, maka dapat ditulis sebagai:
) 1 , ( ) , ( ) , ( L K Lf L L K L f L K f . (3.5)
Jika dibagi oleh L, persamaan (3.5) menjadi:
) 1 , ( 1 L K sf dL dK L . (3.6) Selanjutnya, perhatikan turunan dari KL diberikan oleh aturan hasilbagi, dan gunakan persamaan (3.4): L K dt dK L dt dL L K dt dK L L K dt d 1 1 2 . (3.8)
208
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Internalisasi Nilai-nilai Berfikir Matematis Dalam Perannya di Era Masyarakat Ekonomi ASEAN (MEA) Jika ruas kiri dan kanan persamaan (3.8)dikurangi oleh L K , sehingga diperoleh: L K L K sf L K dt d ( ,1) . (3.9)
Oleh karena itu, persamaan yang tidak diketahui fungsi L K . Misalkan didefinisikan bahwa: L K k , (3.10) dan ) 1 , ( ) (k f k g . (3.11) Sehingga persamaan (3.9) menjadi:
k k sg dt dk ( ) . (3.12)
Ini adalah model pertumbuhan Solow, yang merupakan model-model di bawah asumsi rasio kapital terhadap tenaga kerja.
3.2 Solusi PD Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Sebagai ilustrasi bentuk pertumbuhan ekonomi model Solow, di sini dibahas tentang fungsi produksi Cobb-Douglas sebagai berikut:
3 / 2 3 / 1 ) , (K L K L f , (3.13) di mana K kapital (capital) dan L tenaga kerja (Labor). Merujuk persamaan (3.12), persamaan (3.13) dapat dinyatakan sebagai:
3 / 1 ) 1 , ( ) (k f k k g , (3.14) dan persamaan diferensial untuk k adalah:
k sk dt dk 1/3 . (3.15)
Grafik persamaan (3.15) diberikan seperti pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1: Grafik dari ruas kanan (3.15)
Pada kondisi equilibrium:
sk1/3 k0
dt dk
,
Terjadi apabila nilai k0atau k(s/)3/2. Mengubah atau
s
akan mengubah skala (dan nilai numerik dari equilibrium tak nol), namun grafik dk/dt terhadap k akan selalu memiliki bentuk kualitatif seperti grafik yang ditunjukkan Gambar 3.1.Perhatikan bahwa jika k0 adalah kecil, 0
dt
dk , sehingga k akan meningkat; kesetimbangan k0 tidak stabil. Grafik k(t)
akan memiliki titik belok ketika k mencapai 2
/ 3
)
(s (di mana sisi kanan (3.15) mencapai maksimum). k akan konvergen asimtotik untuk kesetimbangan tak nol.
Kesetimbangan k(s)3/2 adalah stabil asimtotik: solusi yang dimulai di dekat kesetimbangan akan konvergen untuk kesetimbangan untuk t. Bahkan, semua solusi dengan k(0)0akan konvergen asimtotik untuk kesetimbangan ini.
Apa artinya ini dalam hal K modal dan L
tenaga kerja? Dengan k(t)K(t)/L(t), dan
t e L t L 0 ) ( , jika k(t)konvergen ke
Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo,
Ruang Seminar UMP, Sabtu, 28 Mei 2016
209
kesetimbangan k stabil asimtotik, maka 1 K(t)haruslah asimtotik seperti k1L(t). Ini berarti bahwa, dalam jangka panjang, K(t) harus tumbuh secara eksponensial, dengan eksponen sama dengan L(t). Model ini memprediksi bahwa dalam jangka panjang, modal akan tumbuh secara eksponensial bersama dengan tenaga kerja. Jika, misalnya, modal terlalu rendah, dengan cepat akan meningkatkan menjadi sebanding dengan tenaga kerja, dan kemudian akan menetap (settle) menjadi perilaku jangka panjang di mana modal tetap sebanding dengan tenaga kerja.
4. KESIMPULAN
Dalam paper ini telah dibahas permasalaha menentukan persamaan diferensial pada pertumbuhan ekonomi model Solow. Berdasarkan pembahasan, menunjukkan bahwa pertumbuhan ekonomi model Solow dapat ditentukan solusinya dengan menggunakan persamaan diferensial linier tingkat satu, khususnya persamaan diferensial Bernoulli. Demikian pula, dalam pembahasan ilustrasi juga menunjukkan bahwa fungsi produksi Cobb-Douglas juga merupakan salah satu bentuk pertumbuhan ekonomi model Solow, sehingga solusinya juga dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan diferensial linier tingkat satu, persamaan diferensial Bernoulli.
UCAPAN TERIMA KASIH
Ucapan terima kasih disampaikan kepada program academic leadership grant (ALG), Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Padjadjaran, yang telah memberikan fasilitas untuk melakukan penelitian dan publikasi ini.
5. REFERENSI
Asfiji, N.S., Isfahani, R.D., Dastjerdi, R.B. & Fakhar, M. (2012). Analyzing the Population Growth Equation in the Solow Growth Model Including the Population Frequency:Case Study: USA. International Journal of Humanities and Social Science,
Vol. 2 No. 10 [Special Issue – May 2012]. Batiha, K. & Batiha, B. (2011). A New
Algorithm for Solving Linear Ordinary Differential Equations. World Applied Sciences Journal 15 (12): 1774-1779, 2011, ISSN 1818-4952.
Busse, M. & Königer, B. (2011). Trade and Economic Growth: A Re-examination of the Empirical Evidence. HWWI Research Paper 123. Hamburg Institute of International Economics (HWWI) | 2012, ISSN 1861-504X.
Camporesi, R. (2011). Linear ordinary differential equations with constant coefficients. Revisiting the impulsive response method using factorization.
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Access details: Access Details: [subscription number 936142537].
Minoiu, C. and Reddy, S.G. (2009). Development Aid and Economic Growth: A Positive Long-Run Relation. Working Paper. © 2009 International Monetary Fund.
Parra, G.G., Charpentier, B.C., Arenas, A.J. & Rodriguez, M.D. (2015). Mathematical modeling of physical capital using the spatial Solow model. Working Paper.
Department of Mathematics, University of Texas at Arlington, Arlington, TX 76019, USA.
Filho, M.B., Silva, R.G. & Diniz, E.M. (2005). The Empirical of the Solow Growth Model: Long-Term Evidence. Journal of Applied Economics, Vol. VIII, No. 1 (May 2005), 31-5