HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Persamaan NLS Soliton DNA Model
4.2 Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD
Agar persamaan (30) dapat diselesaikan ma ka diberikan persamaan (14) sebagai persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS k ubik -kuintik, dengan F1 merupakan fungsi dari S dan , sedangkan merupakan frekuensi gelo mbang soliton DNA berperan sebagai varibe l bebas dan me rupakan fungsi real. Substitusi persamaan (14) ke persamaan (30) ma ka d iperoleh persamaan
….…...(31) kalikan persamaan (31) dengan ma ka diperoleh persamaan yang mengindikasikan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.2)- (C.5)):
…....(32) dimana c me rupakan sebuah konstanta. Selanjutnya ke mba li me mbatasi diri pada solusi yang me miliki kondisi 0 dan u 0 pada S ± ∞ dan mengimp likasikan untuk nilai c = 0. Persamaan (32) dapat diatur ke mba li men jadi bentuk yang lebih sederhana men jadi
...……....(33) Integrasi pada persamaan (33) diselesaikan sehingga diperoleh persamaan (34) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.8)- (C.15))
………...………... (34)
Substitusi persamaan (34) ke persa maan (30) sehingga diperoleh solusi untuk anzats (tebakan) dari persa maan NLS k ubik -k uintik ( persamaan (35a ) ) dan untuk k onjugat (
persamaan (35b ) ) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran C yaitu persamaan (C.16a) dan (C.16b))
8
………....…...(35a)
dan
..………...(35b)
Fungsi gelombang ( ) dari nuk leotida dinyatakan dalam fungsi F0, F1, F2 dan F3, karena persamaan NLS k ubik -k uintik hanya dinyatakan dalam fungsi F1 maka la kukan substitusi persamaan (18a), (19a ) dan (20a ) ke persamaan (12)
…………...(36) Solusi persamaan gelombang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (35) ke persamaan (36) ma ka d iperoleh
………..………..……(37)
9
persamaan (38) tersebut dapat di sederhanakan men jadi
……….. (39)
Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD dapat ditulis sebagai berikut:
2 cos3( + ) ...(40) Kasus amplitudo besar substitusi persamaan (40) ke persamaan (7) dengan me misalkan koefisien untuk persamaan (7) adalah 1 yang mempengaruhi pada koefisien F0 dan F2. Apabila solusi pada penyelesaian persamaan (12) dita mbah F3 ma ka koefisien dari F3 adalah , artinya atau
karena 1 nila inya sangat kecil ma ka nila i 2 akan lebih besar dari pada 1 yang mengindikasikan untuk persamaan (7) bisa menggunakan nilai yang besar, maka diperoleh persamaan gelombang dala m bentuk
2 cos3( + )…… (41)
dimana dan t me rupakan variabel bebas, sedangkan , , , , dan n merupakan variabel terikat yang artinya nila i dari
variabel tersebut bergantung pada variabel bebas. Berdasarkan persa maan (40) dan persamaan (41) je las terlihat agar solusi dari real ma ka ha rus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2>0. n itu sendiri menyatakan beda fase antara nuk leotida yang berada pada rantai yang sama.
4.3 Analisa Hasil Perhitungan Analitik
Bagian in i me mbahas hasil-hasil analisa numerik yang berkaitan dengan karakteristik solusi hingga orde-3 dan hingga orde-4. Progra m yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan tersebut dibuat dengan menggunakan parameter yang sudah ada pada literatur.
Ga mbaran umu m dari proses replikasi (denaturasi) DNA mera mbat dari tengah hingga ke ujung rantai atas dan ujung rantai bawah (dapat dilihat pada Ga mbar 1), dengan bertambahnya waktu maka perambatan denaturasi DNA akan berpindah terlihat seperti gelo mbang pada Ga mbar 3, Ga mbar 4, Ga mba r 5 dan Ga mba r 6.
Kasus pertama, ka rakteristik solusi hingga orde-3, pada kasus ini hanya menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-3 dan hanya terdapat satu koefisien nonlinear. Ga mbar 3 dan Ga mba r 4 merupakan representasi umu m proses replikasi DNA dengan ekspansi potensial morse hingga orde-3 dengan nilai para meter a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3. ) (pm y n ) (pm nl
Gambar 3. Kara kteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD h ingga orde- 3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 plot yn (p m) terhadap nl(pm) pada saat T=0 .
10
Kasus kedua, karakteristik Solusi hingga orde-4. Pada kasus ini menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-4 dan terdapat dua koefisien nonlinear. Ga mbar 5 merupakan representasi umu m
proses replikasi DNA dengan ekspansi potensial morse hingga orde-4 dengan nila i parameter a= 2.8 x 1010 m-1 (ja rak antar nukleotida rantai yang berbeda), = 1010 dan = 10-3. ) (pm y n ) (pm nl ) (ps T ) (pm nl ) (ps T (a)
Gambar 4. Karakte ristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 (a) profil soliton DNA dala m tiga dimensi (b) profil soliton DNA ta mpak atas .
11
Pada Ga mbar 3, Ga mbar 4 dan Ga mba r 5 terlihat ada beberapa faktor yang me mpengaruhi model dari replikasi DNA, diantaranya jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda dan ekspansi deret taylor pada potensial mo rse. Potensial morse
itu sendiri me rupakan ikatan hidrogen antar nuk leotida untuk rantai yang berbeda pada DNA, sedangkan jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda mempengaruhi lebar dari potensial morse. Perbedaan terlihat ketika menggunakan potensial morse
(b) ) (ps T ) (pm nl ) (pm y n ) (pm nl ) (pm y n ) (pm nl T(ps)
Gambar 5. Ka rakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde- 4 pada saat = 1010, a = 2.8 x 1010 m-1 dan = 10-3 (a) plot yn (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0, kurva me rah ket ika a = 2.8 x 1010 m-1 dan kurva hita m ketika a = 3 x 1010 m-1 (b) p rofil soliton DNA dala m tiga d imensi (c ) profil soliton DNA ta mpak atas.
(c) (a)
12
hingga orde-3 dan hingga orde-4 pada panjang gelombang yang dihasilkan dala m satu siklus, semakin besar orde potensial morse yang dipakai ma ka sema kin kecil panjang gelombang yang terbentuk oleh suatu nukleotida.
Ga mbar 3 dan Ga mbar 5a me miliki amp litudo (simpangan) yang berbeda, terlihat ekspansi potensial morse hingga orde-3 me miliki a mplitudo yang positif dan ekspansi potensial morse hingga orde-4 me miliki a mp litudo yang negatif. Art inya pada saat ekspansi potensial morse hingga
orde-3 pergerakan denaturasi DNA lebih dominan ke a rah un, sedangkan pada saat potensial morse hingga orde-4 pergerakan denaturasi DNA leb ih do minan ke arah vn. Pada Ga mbar 5a terdapat dua grafik dengan amp litudo yang berbeda. Grafik warna me rah untuk nilai a = 2.8 x 1010 m-1 dan grafik wa rna hitam untuk nila i a = 3 x 1010 m-1. Ha l tersebut disebabkan oleh lebar dari potensial morse. Se ma kin lebar potensial morse maka a mp litudo yang terbentuk akan semakin besar. Pengaruh lebar potensial morse dapat dilihat pada Ga mbar 6.
Lebar potensial morse me mpengaruhi amp litudo dari nukleotida, sedangkan lebar potensial mo rse itu sendiri bergantung pada jara k antar nuk leotida pada rantai yang berbeda. Berdasarkan Ga mba r 6 terlihat semakin besar jarak antar nukleotida rantai
yang berbeda, ma ka a mp litudo denaturasi semakin kecil. Art inya lebar potensial morse berbanding terbalik dengan jarak antar nuk leotida rantai yang berbeda.
) (ps T ) (pm nl ) (ps T ) (pm nl
Gambar 6. Kara kteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde- 4 pada saat = 1010 dan = 10-2 (a) pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 (b) pada saat a = 7 x 1010 m-1 .
(a)
13