Efek osilasi anharmonik pada soliton deoxyribo nucleic acid peyrard-bishop-dauxois

(1)

De de Her manudi n. Efek Osilasi Anhar monik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid Peyrar d-Bishop-Dauxois. Dibimb ing oleh : Dr. Husin Alatas, S. Si, M. Si.

Abstrak

Tulisan ini menje laskan ma kna fisis dari solusi analitik mode l PBD (perpanjangan dari mode

Peyrard- Bishop) hingga orde-4 dala m dina mika DNA dan efe k Osilasi Anharmonik orde-4 pada

gelombang soliton DNA. Pengaruh dari beberapa parameter model tersebut, terutama pengaruh

koefisien anharmonik orde-4 pada ekspansi potensial mo rse terhadap gelombang soliton traveling.

Pada saat ekspansi potensial morse hingga orde-4 diperoleh panjang gelo mbang soliton traveling

yang terbentuk lebih rapat dari pada ekspansi potensial morse hingga orde -3. Ekspansi potensial

morse hingga orde-3 pada proses replikasi (denaturasi) DNA lebih dominan ke arah un, sedangkan pada saat ekspansi poensial morse hingga orde-4 pada proses denaturasi DNA lebih do minan ke

arah vn.

(2)

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belak ang

Deoxyribo nucleic acid (DNA) adalah salah satu biomolek ul yang paling penting dala m sel. Stru ktur helix ganda DNA mengala mi d ina mika yang sangat komple ks yang berhubungan dengan proses biologis seperti pada proses replikasi. Permasalahan utama dala m b iofisika adalah bagaimana sifat fungsional yang berhubungan dengan struktur DNA dan kara kteristik fisik dinamika. Efe k getaran nonlinear soliton DNA perta ma ka li dije laskan oleh Englander et al [1]. Su mber lain [2-9] telah menyebutkan bahwa bentuk topologi k ink soliton atau bell-shaped breathers me rupakan kandidat utama da la m d inamika nonlinear DNA. Na mun, sebuah hirarki model yang paling penting bagi dinamika nonlinear DNA disajikan oleh Yakushevich [10].

Soliton adalah gelombang soliter (sebuah paket gelombang atau pulsa) yang me mpe rtahankan bentuknya dan menjala r dengan kecepatan konstan [11]. Soliton disebabkan oleh efek nonlinear dan efek dispersif dala m mediu m. Efe k dispersif me rujuk pada hubungan dispersi, hubungan antara frekuensi dan kecepatan gelombang dala m med iu m.

Proses pembukaan dari DNA (denaturasi) merupakan proses dengan amp litudo kecil, sela ma dapat mera mbat sepanjang rantai yang memungkinkan pembukaan ikatan hidrogen dan pembentukan gelombang denaturasi. Gelo mbang soliton pada DNA model PBD mengga mbarkan me kanis me peregangan pada ikatan hidrogen. Model dinamika DNA pertama ka li diaju kan oleh Peyrard dan Bishop [7] dan dike mbangkan oleh Dau xo is [12-16] dengan potensial morse berperan mengga mbarkan ikatan hidrogen antar nuk leotida dalam strand (rantai) yang berbeda. Model Peyrard-Bishop-Dauxo is selanjutnya disebut sebagai model PBD.

Model PBD juga bisa didekatkan pada gelombang soliton, karena soliton me rupakan solusi persamaan dife rensial nonlinear yang me miliki energ i total berhingga, terloka lisasi dala m ruang, bersifat

stabil, dan tidak menyebar. Pro fil sebaran rapat energinya menyerupai gundukan yang terpusat dalam rentang ruang berhingga. Setiap gelombang soliton dicirikan oleh sifat tidak berubahnya topologi yang menunjukkan sifat kestabilannya.

1.2 Tujuan Peneliti an

Studi ini bertujuan untuk mengkaji pendekatan hingga orde-4 dalam ekspansi potensial morse, sehingga memungkinkan me mpe la jari me kanisme denaturasi dengan amp litudo yang relatif leb ih besar dan pengaruh orde-4 terhadap gelombang soliton DNA mode l PBD.

1.3 Rumusan Masalah

Ru musan masalah yang ditinjau dala m tugas akhir ini me liputi pe mecahan persamaan gelo mbang soliton DNA model PBD dengan aproksimasi taylor potensial morse hingga orde-4. Se lanjutnya hasil yang diperoleh dibandingkan dengan solusi orde-3.

1.4 Hi potesis

Pada penelitian ini a kan diperoleh persamaan gelo mbang soliton DNA dengan efek anharmonik untuk e kspansi potensial morse hingga orde-4 dan perbandingan kara kteristik ga mbar solusi ekspansi potensial morse hingga orde-3 dengan solusi ekspansi potensial morse hingga orde-4.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Re plikasi DNA

(3)

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.2 Tujuan Peneliti an

1.4 Hi potesis

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

(4)

2

Replikasi DNA bersifat semik onservatif, yaitu kedua rantai tunggal DNA bert indak sebagai cetakan untuk pembuatan rantai-rantai DNA baru, seluruh rantai-rantai tunggal cetakan dipertahankan dan rantai yang baru dibuat dari nuk leotida-nukleotida [17].

Pada sel proses replikasi DNA terjadi sebelum pembelahan sel. Sel prok ariot terus-menerus mela kukan replikasi DNA, sedangkan sel euk ariot waktu terjadinya replikasi DNA sangat teratur, yaitu pada fase S daur sel, sebelu m mitosis atau me iosis I. Penggandaan tersebut me manfaatkan enzim DNA polimerase yang me mbantu pembentukan ikatan antara nuk leotida-nuk leotida penyusun polime r DNA. Proses

replikasi DNA dapat pula dila kukan in vitro dala m proses yang disebut reaksi berantai polimerase (PCR) [17].

2.2 Solusi Soliton DNA Model PB D

Bentuk B-DNA da la m model Watson-Cric k me rupakan helix ganda, yang terdiri atas dua alur s1 dan s2 seperti terlihat pada Ga mbar 2, dihubungkan oleh interaksi secara harmonik dengan tetangga terdekat di sepanjang rantai. Alur yang digabungkan satu sama la in mela lui ikatan hydrogen yang seharusnya untuk perpindahan transversal nuk leotida.

Gambar 2. Representasi grafis model sederhana untuk rantai DNA [16]

Gambar 1. (a) Rantai double helix DNA sebelum mengala mi rep likasi [18] (b) Rantai double helix DNA pada saat terjadi replikasi [19] (c ) Rep likasi Semik onservatif [17]

(a) _(b) _(c)

K

(5)

3

Berdasarkan literatur mengasumsikan m me rupakan massa untuk nuk leotida, kopling k konstan di sepanjang rantai yang sama dan kopling K konstan di sepanjang rantai yang berbeda [7,12,13]. Pada model PBD yang me mpe rhitungkan fakta bahwa mo leku l DNA mengala mi gera k me mutar. St ruktur helicoid dari rantai nuk leotida DNA menunjukkan bahwa dari alur yang berbeda men jadi cu kup dekat sehingga mere ka berinteraksi me lalu i fila men air, art inya bahwa nuk leotida n salah satu rantai berinteraksi dengan (n+h) dan (n-h) nuk leotida lainya. Nuk leotida mengala mi perpindahan transversal un dan vn dari posisi kesetimbangan di sepanjang arah ikatan hidrogen, diberikan Ha miltonian untuk rantai DNA [12, 13,15]

……….(1)

Keterangan:

k adalah konstanta harmonik helicoid untuk rantai yang sama

K adalah konstanta harmonik helicoid untuk rantai yang berbeda

H adalah Ha miltonian potensial morse yang mendekat i potensial ikatan hydrogen

D adalah kedala man potensial mo rse

a adalah jarak antar nuk leotida pada rantai yang berbeda

Hal in i lebih mudah untuk mengga mbarkan gerakan dua alur dengan me mbuat transformasi ke koordinat pusat massa yang mewa kili gera k ke dala m dan gerak keluar untuk gerakan transversal,

yaitu

, ……….(2)

substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) ma ka dipero leh persamaan dina mis yang mengga mbarkan ge lo mbang linear dan gelombang nonlinear ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran A)

………...(3)

dan

. ……….(4)

dari hubungan persamaan (3) dan persamaan (4) diperoleh persamaan dina mika DNA yang menggambarkan gelo mbang linear dan gelombang nonlinear ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran A yaitu persamaan (A.5)- (A.17))

…………(5)

dan

….(6)

Seperti dijelaskan dengan asumsi DNA bergerak dengan amp litudo sangat kecil dala m beberapa artike l dapat menerapkan transformasi [11-13, 14, 19, 20]

atau ……….…….(7)

Substitusi persamaan (6) ke persa maan (7) ma ka d iperoleh persamaan

…..(8)

(6)

4

………..(9)

dimana , , dan

……….(10)

substitusi persamaan (10) ke persa maan (9) ma ka dipero leh persamaan gelo mbang soliton DNA model PBD

………...(11)

agar persamaan (11) dapat dipecahkan sehingga harus diterapkan pendekatan semi-disk rit yang artinya bahwa mencari solusi dala m bentuk gelombang soliton DNA model PBD [22]

…………... (12)

dengan …………..(13)

di sini, l adalah jara k antara dua nukleotida tetangga pada rantai yang sama, adalah frekuensi optik dari getaran pendekatan linear, q adalah bilangan gelombang soliton DNA, c.c adalah istilah conjugate-complek s dari fungsi F1, F2 dan F3.

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Te mpat Penelitian

Penelit ian ini dila kukan di Laboratoriu m Fisika Teori Departe men Fisika Faku ltas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor mu lai bulan Ju li 2010 sampa i bulan Desember 2010.

3.2 Peralatan

Peralatan yang digunakan adalah alat tulis, laptop, software maple 11 dan software MATLAB 2008b yang bertujuan menganalisa hasil solusi secara ko mputasinya dan simulasi dari hasil perhitungan analitik.

3.3 Studi Pustaka

Studi pustaka dilakukan untuk me maha mi p roses dalam mencari solusi soliton DNA model PBD dan me maha mi konsep perhitungan secara mate matis, ke mudian me lihat hubungan segi fisis yang diperoleh sehingga me mberi kesan bahwa tidak hanya persoalan mate matis saja yang dibahas mela inkan me mbahas hubungan antar variabel.

3.4 Penur unan S olusi Secara Analitik

Metode ini dilaku kan dengan metode mate mat is untuk mendapatkan persamaan NLS model PBD dengan ekspansi potensial morse hingga orde-4 yang kemudian mensubstitusikan anzats (tebakan solusi) traveling persamaan (14) ke persamaan (30)

………(14)

3.5 Analisa Hasil Perhitungan Analitik

Metode ini menggunakan metode plot yaitu dengan cara me mbuat plot antara variabel bebas (waktu) dengan variabel terikat (yn) pada software MATLAB dala m me mbuat gambar dan menganalisis solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD.

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Persamaan NLS Soliton DNA Model

PBD

Persamaan (12) merupakan persamaan untuk kasus disk rit dan untuk menyelesaikannya harus diubah ke batas k ontinu dengan menga mbil batas

dan menerapkan transformasi [16, 21, 22]

, ………..(15)

(7)

4

………..(9)

dimana , , dan

……….(10)

………...(11)

…………... (12)

dengan …………..(13)

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.2 Peralatan

………(14)

3.5 Analisa Hasil Perhitungan Analitik

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

PBD

, ………..(15)

(8)

4

………..(9)

dimana , , dan

……….(10)

………...(11)

…………... (12)

dengan …………..(13)

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.2 Peralatan

………(14)

3.5 Analisa Hasil Perhitungan Analitik

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

PBD

, ………..(15)

(9)

5

……...….(16)

dengan mengubah fungsi F0, F1, F2 dan F3 pada persamaan (12) menjad i bentuk k ontinu seperti persamaan (16) dan kemudian

mensubstitusikan persamaan hasil modifikasi tersebut ke persamaan (11), sehingga diperoleh persamaan (17) yang mengga mbarkan koefisien , dan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persa maan (B.3a)-(B.6))

………...…………(17)

Persamaan (17) merupakan bentuk k ontinu hasil transformasi untuk koefisien F1 dari persamaan (11), dengan menya makan koefisien untuk berbagai gerak harmonik, bisa diperoleh hubungan penting untuk menyatakan F0, F2, F3 dalam F1 [12-14,22]. Misal menya makan koefisien untuk ke mudian diperoleh hubungan dispersi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.7a) dan (B.7d))

1+ 2………..…...(18)

dengan cara yang sama menya makan koefisien untuk yang artinya maka d iperoleh hubungan F0 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.7e)- (B.7g))

……….……..(19a)

dengan .……....(19b)

Asumsikan merupakan koefisien untuk ma ka d iperoleh hubungan F2 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.7h)- (B.7j))

………..….(20a) dengan

..(20b )

Asumsikan untuk koefisien ma ka dipero leh hubungan F3 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persa maan (B.7k)- (B.7n))

………...(21a)

dengan

(21b)

(10)

6

……...(22)

Agar persamaan NLS ( persamaan (22) ) lebih sederhana maka diterapkan transformasi koordinat baru [16, 21, 22]

………...(23)

dengan merupakan kecepatan group dari nuk leotida. Berdasarkan persamaan (23) ma ka persa maan (22) d ila kukan transformasi men jadi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.11a)- (B.11c ) )

………...(24a )

……….(24b)

… (24c )

Substitusi persamaan (24b) dan (24c ) ke persamaan (22) menghasilkan persamaan (25) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B ya itu persamaan (B.12))

………...(25)

karena nilai <<1, dapat diasumsikan orde 3 _O( 4₎ _{0 sehingga}

……….(26)

agar terbentuk persamaan NLS ma ka kecepatan group dari nuk leotida harus berbentuk:

…….(27)

substitusi persamaan (26) ke persamaan (25) menghasilkan persamaan NLS ( persamaan (28)) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.14) - (B.17))

(11)

7

Persamaan (28) dapat diubah mejad i lebih sederhana dalam penulisannya dengan menerap kan pemisalan untuk koefisien dispersi dan koefisien nonlinear

2

……….(29a )

………....(29b )

…………....(29c)

Sehingga diperoleh persamaan NLS k ubik -k uiti-k soliton DNA model PBD

..(30)

Persamaan (30) merupakan persamaan NLS k ubik -k uintik untuk fungsi F1 dan untuk menyelesaikannya harus menggunakan anzats (tebakan). Berdasarkan persamaan tersebut terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 ya itu terdapat nilai konstanta R yang me rupakan koefisien nonlinear atau dengan kata la in potensial morse hingga orde-4 me mpuyai dua koefisien nonlinear. Nila i R itu sendiri dipengaruhi oleh yang me rupakan koefisien dari ekspansi deret taylor potensial morse hingga orde-4 ( 4). Jika diambil nilai sama dengan nol maka nila i koefisien nonlinear sama dengan nol (R=0), art inya persamaan (30) men jadi persamaan dengan ekspansi potensial mo rse hingga orde-3. Persamaan (12) jika diganti dengan anzats (tebakan) solusi dengan orde epsilon yang lebih tinggi ma ka dipero leh koefisian nonlinear R me mpunyai orde ( 2), sedangkan untuk nila i itu sendiri sangat kecil sekali ( <<1),

artinya anzats (tebakan) pada persamaan (12) sudah tepat.

4.2 Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD

Agar persamaan (30) dapat diselesaikan ma ka diberikan persamaan (14) sebagai persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS k ubik -kuintik, dengan F1 merupakan fungsi dari S dan , sedangkan merupakan frekuensi gelo mbang soliton DNA berperan sebagai varibe l bebas dan me rupakan fungsi real. Substitusi persamaan (14) ke persamaan (30) ma ka d iperoleh persamaan

….…...(31)

kalikan persamaan (31) dengan ma ka

diperoleh persamaan yang mengindikasikan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.2)- (C.5)):

…....(32)

dimana c me rupakan sebuah konstanta. Selanjutnya ke mba li me mbatasi diri pada solusi yang me miliki kondisi 0

dan u 0 pada S ± ∞ dan mengimp likasikan untuk nilai c = 0. Persamaan (32) dapat diatur ke mba li men jadi bentuk yang lebih sederhana men jadi

...……....(33)

Integrasi pada persamaan (33) diselesaikan sehingga diperoleh persamaan (34) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.8)- (C.15))

………...………... (34)

Substitusi persamaan (34) ke persa maan (30) sehingga diperoleh solusi untuk anzats (tebakan) dari persa maan NLS k ubik -k uintik ( persamaan (35a ) ) dan untuk k onjugat (

(12)

8

………....…...(35a)

dan

..………...(35b)

Fungsi gelombang ( ) dari nuk leotida dinyatakan dalam fungsi F0, F1, F2 dan F3, karena persamaan NLS k ubik -k uintik hanya dinyatakan dalam fungsi F1 maka la kukan substitusi persamaan (18a), (19a ) dan (20a ) ke persamaan (12)

…………...(36)

Solusi persamaan gelombang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (35) ke persamaan (36) ma ka d iperoleh

………..………..……(37)

(13)

9

persamaan (38) tersebut dapat di sederhanakan men jadi

……….. (39)

Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD dapat ditulis sebagai berikut:

2 cos3( + ) ...(40) Kasus amplitudo besar substitusi persamaan (40) ke persamaan (7) dengan me misalkan koefisien untuk persamaan (7) adalah 1 yang mempengaruhi pada koefisien F0 dan F2. Apabila solusi pada penyelesaian persamaan (12) dita mbah F3 ma ka koefisien dari F3 adalah , artinya atau

karena 1 nila inya sangat kecil ma ka nila i 2 akan lebih besar dari pada 1 yang mengindikasikan untuk persamaan (7) bisa menggunakan nilai yang besar, maka diperoleh persamaan gelombang dala m bentuk

2 cos3( + )…… (41)

dimana dan t me rupakan variabel bebas, sedangkan , , , , dan n merupakan variabel terikat yang artinya nila i dari

variabel tersebut bergantung pada variabel bebas. Berdasarkan persa maan (40) dan persamaan (41) je las terlihat agar solusi dari real ma ka ha rus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2>0. n itu sendiri menyatakan beda fase antara nuk leotida yang berada pada rantai yang sama.

4.3 Analisa Hasil Perhitungan Analitik

Bagian in i me mbahas hasil-hasil analisa numerik yang berkaitan dengan karakteristik solusi hingga orde-3 dan hingga orde-4. Progra m yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan tersebut dibuat dengan menggunakan parameter yang sudah ada pada literatur.

Ga mbaran umu m dari proses replikasi (denaturasi) DNA mera mbat dari tengah hingga ke ujung rantai atas dan ujung rantai bawah (dapat dilihat pada Ga mbar 1), dengan bertambahnya waktu maka perambatan denaturasi DNA akan berpindah terlihat seperti gelo mbang pada Ga mbar 3, Ga mbar 4, Ga mba r 5 dan Ga mba r 6.

Kasus pertama, ka rakteristik solusi hingga orde-3, pada kasus ini hanya menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-3 dan hanya terdapat satu koefisien nonlinear. Ga mbar 3 dan Ga mba r 4 merupakan representasi umu m proses replikasi DNA dengan ekspansi potensial morse hingga orde-3 dengan nilai para meter a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3.

) (pm y n ) (pm nl

(14)

10

Kasus kedua, karakteristik Solusi hingga orde-4. Pada kasus ini menggunakan pendekatan potensial morse hingga orde-4 dan terdapat dua koefisien nonlinear. Ga mbar 5 merupakan representasi umu m

proses replikasi DNA dengan ekspansi potensial morse hingga orde-4 dengan nila i parameter a= 2.8 x 1010 m-1 (ja rak antar nukleotida rantai yang berbeda), = 1010 dan = 10-3.

) (pm y n

) (pm nl

) (ps

T

) (pm nl

) (ps

T

(a)

Gambar 4. Karakte ristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 (a) profil soliton DNA dala m tiga dimensi (b) profil soliton DNA ta mpak atas .

(15)

11

Pada Ga mbar 3, Ga mbar 4 dan Ga mba r 5 terlihat ada beberapa faktor yang me mpengaruhi model dari replikasi DNA, diantaranya jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda dan ekspansi deret taylor pada potensial mo rse. Potensial morse

itu sendiri me rupakan ikatan hidrogen antar nuk leotida untuk rantai yang berbeda pada DNA, sedangkan jarak antar nukleotida untuk rantai yang berbeda mempengaruhi lebar dari potensial morse. Perbedaan terlihat ketika menggunakan potensial morse

(b)

) (ps

T

) (pm nl

) (pm y n

) (pm nl

) (pm y n

) (pm

nl T(ps)

Gambar 5. Ka rakteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-4 pada saat = 1010, a = 2.8 x 1010 m-1 dan = 10-3 (a) plot yn (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0, kurva me rah ket ika a = 2.8 x 1010 m-1 dan kurva hita m ketika a = 3 x 1010 m-1 (b) p rofil soliton DNA dala m tiga d imensi (c ) profil soliton DNA ta mpak atas.

(16)

12

hingga orde-3 dan hingga orde-4 pada panjang gelombang yang dihasilkan dala m satu siklus, semakin besar orde potensial morse yang dipakai ma ka sema kin kecil panjang gelombang yang terbentuk oleh suatu nukleotida.

Ga mbar 3 dan Ga mbar 5a me miliki amp litudo (simpangan) yang berbeda, terlihat ekspansi potensial morse hingga orde-3 me miliki a mplitudo yang positif dan ekspansi potensial morse hingga orde-4 me miliki a mp litudo yang negatif. Art inya pada saat ekspansi potensial morse hingga

orde-3 pergerakan denaturasi DNA lebih dominan ke a rah un, sedangkan pada saat potensial morse hingga orde-4 pergerakan denaturasi DNA leb ih do minan ke arah vn. Pada Ga mbar 5a terdapat dua grafik dengan amp litudo yang berbeda. Grafik warna me rah untuk nilai a = 2.8 x 1010 m-1 dan grafik wa rna hitam untuk nila i a = 3 x 1010 m-1. Ha l tersebut disebabkan oleh lebar dari potensial morse. Se ma kin lebar potensial morse maka a mp litudo yang terbentuk akan semakin besar. Pengaruh lebar potensial morse dapat dilihat pada Ga mbar 6.

Lebar potensial morse me mpengaruhi amp litudo dari nukleotida, sedangkan lebar potensial mo rse itu sendiri bergantung pada jara k antar nuk leotida pada rantai yang berbeda. Berdasarkan Ga mba r 6 terlihat semakin besar jarak antar nukleotida rantai

yang berbeda, ma ka a mp litudo denaturasi semakin kecil. Art inya lebar potensial morse berbanding terbalik dengan jarak antar nuk leotida rantai yang berbeda.

) (ps T ) (pm nl ) (ps T ) (pm nl

Gambar 6. Kara kteristik So lusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD hingga orde-4 pada saat = 1010 dan = 10-2 (a) pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 (b) pada saat a = 7 x 1010 m-1 .

(a)

(17)

13

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpul an

Model PBD merupakan model yang mengga mbarkan denaturasi DNA. Pada penelitian ini telah ditunjukan semakin banyak orde pada deret taylor yang dipakai untuk mengekspansi potensial morse ma ka hasil yang diperoleh lebih telit i atau akan diperoleh hasil yang mendekati nila i sebenarnya. Persamaan NLS k ubik -k uintik terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 yaitu terdapat nilai konstanta R yang me rupakan koefisien nonlinear. Nila i R itu sendiri dipengaruhi oleh yang merupakan koefisien dari ekspansi potensial morse untuk orde-4 ( 4). Jika diganti dengan anzats (tebakan) solusi dengan orde epsilon yang lebih tinggi maka dipero leh koefisian nonlinear R terdapat orde ( 2), sedangkan untuk nilai itu sendi ri sangat kecil sekali ( <<1).

Ekspansi potensial morse hingga orde-4 juga dapat me mperbolehkan a mplitudo denaturasi relatif lebih besar. Berdasarkan persamaan (40) dan persamaan (41) je las terlihat agar solusi dari real ma ka harus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2>0.

Telah ditunjukkan pula pengaruh suku osilasi anharmonik hingga orde-4 terhadap replikasi (denaturasi) nuk leotida di dala m DNA. Ekspansi potensial mo rse hingga orde-3 terlihat bahwa denaturasi DNA lebih dominan ke arah un, pada ekspansi potensial morse hingga orde-4 terlihat bahwa denaturasi DNA leb ih do minan ke arah vn. Sela in itu koefisien ekspansi potensial morse hingga orde-4 juga me mpengaruhi panjang gelombang yang terbentuk lebih rapat atau semakin pendek dibandingkan ekspansi potensial morse hingga orde-3. Lebar potensial morse dapat mempengaruhi kara kteristik denaturasi yang cukup signifikan teruta ma pada a mplitudo (simpangan) gelombang soliton traveling.

5.2 Saran

Untuk pengembangan penelitian selanjutnya, ada beberapa hal yang perlu dila kukan. Metode numerik yang digunakan

sebaiknya yang mempunyai tingkat akurasi yang tinggi, mengekspansi potensial morse hingga orde yang lebih tinggi, dan dapat men injau untuk gerak longitudinal atau gerak torsional. Selain itu bisa meninjau pengaruh suhu terhadap denaturasi DNA.

DAFTAR PUSTAKA

1. Englander, S.W., Ka lenbach, N.R., Heeger, A.J., Kru mhansl, J.A. and Litwin, S..‟Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of soliton excitations’. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 77, 7222-7226 (1980).

2. Yomosa, S., „Solitary excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices‟. Phys. Rev. A 30, 474-480 (1984).

3. Homma, S. and Takeno, S., „A coupled base-rotator model for structure and dynamics of DNA‟, Prog. Theor. Phys.

72, 679-693 (1984).

4. Zhang, Ch.T., „Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices‟, Phys. Rev. A-35, 886-891 (1987).

5. Muto, V., Scott, A.C. and Christiansen, P.L., „Thermally generated solitons in a Toda lattice model of DNA‟, Phys. Lett.

A-136, 33-36 (1989).

6. Volkov, S.N., „Conformational transition, Dynamics and mechanism of long-range effects in DNA‟, J . Theor. Biol. 143, 485-496 (1989).

7. Peyrard, M. and Bishop, A.R., „Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation‟, Phys. Rev. Lett. 62, 2755-2758 (1989).

8. Zhang, Ch.T., „Harmonic and subharmonic resonances of microwave absorption in DσA’, Phys. Rev. A-40, 2148-2153 (1989).

9. Yakushevich, L.V., „Nonlinear DNA dynamics: a new model‟, Phys. Lett. A-136, 413-417 (1989).

(18)

EFEK OSILASI ANHARMONIK PADA

SOLITON

DEOXYRIBO

NUCLEIC ACID

PEYRARD-BISHOP-DAUXOIS

DEDE HERMANUDIN

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(19)

13

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpul an

Model PBD merupakan model yang mengga mbarkan denaturasi DNA. Pada penelitian ini telah ditunjukan semakin banyak orde pada deret taylor yang dipakai untuk mengekspansi potensial morse ma ka hasil yang diperoleh lebih telit i atau akan diperoleh hasil yang mendekati nila i sebenarnya. Persamaan NLS k ubik -k uintik terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 yaitu terdapat nilai konstanta R yang me rupakan koefisien nonlinear. Nila i R itu sendiri dipengaruhi oleh yang merupakan koefisien dari ekspansi potensial morse untuk orde-4 ( 4). Jika diganti dengan anzats (tebakan) solusi dengan orde epsilon yang lebih tinggi maka dipero leh koefisian nonlinear R terdapat orde ( 2), sedangkan untuk nilai itu sendi ri sangat kecil sekali ( <<1).

Ekspansi potensial morse hingga orde-4 juga dapat me mperbolehkan a mplitudo denaturasi relatif lebih besar. Berdasarkan persamaan (40) dan persamaan (41) je las terlihat agar solusi dari real ma ka harus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2>0.

Telah ditunjukkan pula pengaruh suku osilasi anharmonik hingga orde-4 terhadap replikasi (denaturasi) nuk leotida di dala m DNA. Ekspansi potensial mo rse hingga orde-3 terlihat bahwa denaturasi DNA lebih dominan ke arah un, pada ekspansi potensial morse hingga orde-4 terlihat bahwa denaturasi DNA leb ih do minan ke arah vn. Sela in itu koefisien ekspansi potensial morse hingga orde-4 juga me mpengaruhi panjang gelombang yang terbentuk lebih rapat atau semakin pendek dibandingkan ekspansi potensial morse hingga orde-3. Lebar potensial morse dapat mempengaruhi kara kteristik denaturasi yang cukup signifikan teruta ma pada a mplitudo (simpangan) gelombang soliton traveling.

5.2 Saran

Untuk pengembangan penelitian selanjutnya, ada beberapa hal yang perlu dila kukan. Metode numerik yang digunakan

sebaiknya yang mempunyai tingkat akurasi yang tinggi, mengekspansi potensial morse hingga orde yang lebih tinggi, dan dapat men injau untuk gerak longitudinal atau gerak torsional. Selain itu bisa meninjau pengaruh suhu terhadap denaturasi DNA.

DAFTAR PUSTAKA

1. Englander, S.W., Ka lenbach, N.R., Heeger, A.J., Kru mhansl, J.A. and Litwin, S..‟Nature of the open state in long polynucleotide double helices: possibility of soliton excitations’. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 77, 7222-7226 (1980).

2. Yomosa, S., „Solitary excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices‟. Phys. Rev. A 30, 474-480 (1984).

3. Homma, S. and Takeno, S., „A coupled base-rotator model for structure and dynamics of DNA‟, Prog. Theor. Phys.

72, 679-693 (1984).

4. Zhang, Ch.T., „Soliton excitations in deoxyribonucleic acid (DNA) double helices‟, Phys. Rev. A-35, 886-891 (1987).

5. Muto, V., Scott, A.C. and Christiansen, P.L., „Thermally generated solitons in a Toda lattice model of DNA‟, Phys. Lett.

A-136, 33-36 (1989).

6. Volkov, S.N., „Conformational transition, Dynamics and mechanism of long-range effects in DNA‟, J . Theor. Biol. 143, 485-496 (1989).

7. Peyrard, M. and Bishop, A.R., „Statistical mechanics of a nonlinear model for DNA denaturation‟, Phys. Rev. Lett. 62, 2755-2758 (1989).

8. Zhang, Ch.T., „Harmonic and subharmonic resonances of microwave absorption in DσA’, Phys. Rev. A-40, 2148-2153 (1989).

9. Yakushevich, L.V., „Nonlinear DNA dynamics: a new model‟, Phys. Lett. A-136, 413-417 (1989).

(20)

14

11. J. S. Russel, Report On Waves, Rep. 14th Meet. British. Assoc. Adv. Sci.311-390, John Murray, 1844.

12. Dauxois, T., „Dynamics of breathers modes in a nonlinear “helocoidal” model of DNA‟, Phys. Lett. A-159, 390-395 (1991).

13.Dauxois, T. and Peyrard, M., „Dynamics of Breather Modes in a Nonlinear

Helicoidal Model of DσA’, Lecture

Notes in Physics 393, Dijon (1991),p.79.

14. Zdravković, S. and Satarić, M.V., „Impact of viscosity on DNA dynamics‟, Phys. Scripta 64, 612-615 (2001).

15. Satarić, M.V. and Tuszy ski, J.A., „Impact of regulatory proteins on the nonlinear dynamics of DNA‟, The American Physics Society. 65, 1-10 (2002).

16. Zdravković, S., Tuszy ski, J.A. and Satarić, M.V., „Peyrard-Bishop-Dauxois model of DNA dynamics and impact of viscosity‟, J. Comput. Theor. Nanosci.1, 171-179 (2004).

17. Charles, C., Sylvia, S., “Prime r on Molek ular Genetik s Available at:

www.orn l.gov/hgmis/publicat/primer/toc

”, Accessed on: August 10, 2009.

18. Anonim, “At:

http://www.bio logy.unm.edu/ccouncil/Bi ology_124/Images/transcription.gif”,

Dia kses pada: 19 nove mber 2010.

19. Anonim, “At:

http://www.quantumholographichealing. com/images/snp_dna.jpg”, Diakses pada:

19 november 2010.

20. Zdravković, S., Tuszy ski, J.A. and Satarić, M.V., „Peyrard-Bishop-Dauxois model of DNA dynamics and impact of viscosity‟,J. Comput. Theor. Nanosci.2, 171-179 (2005).

21.Remoissenet, M., „Low-a mplitude breather and envelope solitons in quasi-one dimentional physical models‟, Phys. Rev. B-33, 2386-2392 (1986).

(21)

EFEK OSILASI ANHARMONIK PADA

SOLITON

DEOXYRIBO

NUCLEIC ACID

DEDE HERMANUDIN

DEPARTEMEN FISIKA

(22)

EFEK OSILASI ANHARMONIK PADA

SOLITON

DEOXYRIBO NUCLEIC

ACID

DEDE HERMANUDIN

DEPARTEMEN FISIKA

(23)

De de Her manudi n. Efek Osilasi Anhar monik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid Peyrar d-Bishop-Dauxois. Dibimb ing oleh : Dr. Husin Alatas, S. Si, M. Si.

Abstrak

Tulisan ini menje laskan ma kna fisis dari solusi analitik mode l PBD (perpanjangan dari mode

Peyrard- Bishop) hingga orde-4 dala m dina mika DNA dan efe k Osilasi Anharmonik orde-4 pada

gelombang soliton DNA. Pengaruh dari beberapa parameter model tersebut, terutama pengaruh

koefisien anharmonik orde-4 pada ekspansi potensial mo rse terhadap gelombang soliton traveling.

Pada saat ekspansi potensial morse hingga orde-4 diperoleh panjang gelo mbang soliton traveling

yang terbentuk lebih rapat dari pada ekspansi potensial morse hingga orde -3. Ekspansi potensial

morse hingga orde-3 pada proses replikasi (denaturasi) DNA lebih dominan ke arah un, sedangkan pada saat ekspansi poensial morse hingga orde-4 pada proses denaturasi DNA lebih do minan ke

arah vn.

(24)

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi yang berjudul Efek Osilasi Anhar monik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid Peyrar d-Bishop-Dauxois adalah benar-benar hasil karya saya

sendiri di ba wah bimb ingan Dr. Husin Alatas, S. Si, M . Si, dan belu m pernah digunakan sebagai

karya ilmiah pada perguruan tinggi atau lembaga manapun. Sumber informasi yang berasal atau

dikutip dari ka rya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan

dala m teks dan dicantumkan dala m Da ftar Pustaka di bagian a khir skripsi ini.

Bogor, Feb ruari 2011

(25)

Judul : Efe k Osilasi Anharmonik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid

Peyrard-Bishop-Dau xois

Na ma : Dede He rmanudin

NRP : G74070007

Menyetujui,

Pe mbimb ing

Dr. Husin Al atas, S. Si, M. Si NIP : 19710604 199802 1 001

Mengetahui,

Ketua Departe men Fisika

Dr. Ir . Irz aman, M. Si NIP : 19630708 199512 1 001

(26)

EFEK OSILASI ANHARMONIK PADA

SOLITON

DEOXYRIBO NUCLEIC ACID

Dede Hermanudin

G74070007

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Bogor

(27)

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

Penulis lah ir di Garut pada 19 Oktober 1988 anak kedua

dari dua saudara pasangan ayah Maman dan ibu Asmanah.

Penulis mula i mengenyam pendidikan pada tahun 1995 di SDN

Pangrumasan 2 Ga rut, tahun 2001 di SMP KH. Zaenal Musthafa

Suka manah Tasikma laya, tahun 2004 di SMA Negeri 4 Kota

Tasikma laya dan tahun 2007 d i Institut Pertanian Bogor dengan

jalur USMI (PM DK).

Sela ma mengenyam pendidikan di IPB, penulis aktif di

Organisasi Mahasiswa Daerah (OM DA) Tasikmalaya sebagai anggota pada tahun 2007-sekarang.

Sela in itu penulis juga mengaja r sebagai asisten praktiku m Fisika Dasar untuk mahasiswa TPB,

asisten dosen Fisika Nonlinear se mester ganjil dan sebagai pengajar di te mpat bimb ingan belaja r

(28)

KATA PENGANTAR

Segala puji hanya milik Allah SWT dan shalawat serta salam semoga tercurah kepada Nabi

Muhammad SAW. Atas rahmat dan hidayah Allah SWT, akhirnya penulis dapat menyelesaikan

penulisan skripsi ini dengan judul ” Efek Osilasi Anhar monik pada Soliton Deoxyribo Nucleic Acid Peyrar d-Bishop-Dauxois”.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-p ihak yang telah me mbantu dalam

penyelesaian penulisan skripsi in i, ya itu kepada :

1. Dr. Husin Alatas selaku dosen pembimb ing yang telah memberikan bimbingan, masukan,

dan semangat kepada penulis.

2. Ayah dan ibu selaku orang tua yang selalu me mberi dorongan baik secara materi maupun

spiritual.

3. Kaka k dan saudara yang selalu me mberi se mangat dan dukungan.

4. Teman-te man satu lab Fisika Teori Subiyanto, Adam Su kma Putra, Putra Wira

Kurnia wan, Switenia Wana Putri, Izzatu Ya zidah, Nuru llae li, Ika Ikrima , Ka k Rudy, Ka k

Mardanih, Ka k Teguh, te man-te man satu angkatan fisika 44 dan fisika 45, te man satu

kost “MH Kost” serta semua ka kak dan adik ke las yang selalu me mbe ri masukan dan dorongan.

Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini jauh dari sempurna, o leh karena itu, saran dan

kritik yang bersifat me mbangun sangat diperlukan bagi penulis. Se moga skripsi ini berman faat

bagi semuanya.

Bogor, Januari 2011

(29)

DAFTAR ISI

Hala man

DAFTAR GAM BAR……….………..……….. iii

DAFTAR LAMPIRAN……….……….……… iv

BAB 1 PENDAHULUA N……….……… 1

1.1 Latar Be la kang ………..….……… 1

1.2 Tu juan Penalit ian ……….………...……… 1

1.3 Ru musan Masalah ……….……….……… 1

1.4 Hipotesis ……….……… 1

BAB 2 TINJAUA N PUSTAKA……… 1

2.1 Replikasi DNA……….……… 1

2.2 So lusi SolitonDNA Model PBD ……….……….………... 2

BAB 3 M ETODE PENELITIAN……….………..………… 4

3.1 Waktu dan Te mpat Penalitian……….………. 4

3.2 Pe ralatan ………..………..…………. 4

3.3 Studi Pustaka ……….. 4

3.4 Penurunan Solusi Secara Analitik…….……..………..……….. 4

3.5 Analisa Hasil Perh itungan Analitik …….……….………..…… 4

BAB 4 HASIL DAN PEM BAHASA N……….……….……… 4

4.1 Pe rsamaan NLS Soliton Model PBD…………...……….…….. 4

4.2 So lusi Persa maan NLS Soliton Model PBD…..…….………. 7

4.3 Analisa Hasil Perh itungan Analitik ..………..……….... 9

BAB 5 KESIM PULA N DAN SARA N……….…. 13

5.1 Kesimpulan ………..………..…. 13

5.2 Sa ran ……….………..… 13

DAFTAR PUSTA KA……….……….……….. 13

(30)

DAFTAR GAMBAR

Hala man

Ga mbar 1. Proses repikasi DNA (a) Rantai double helix DNA sebelum mengala mi

replikasi (b) Rantai double helix DNA pada saat terjadi replikasi (c)

Replikasi Semik onservatif…..………. 2

Ga mbar 2. Representasi grafis model sederhana untuk rantai DNA……… 2

Ga mbar 3. Kara kteristik Solusi traveling Persamaan NLS soliton DNA model PBD

hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 plot yn (pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0………..……. 9

hingga orde-3 pada saat a = 2.8 x 1010 m-1 , = 1010 dan = 10-3 (a) profil

soliton DNA dala m tiga d imensi (b) profil soliton DNA ta mpak atas……….. 10

hingga orde-4 pada saat = 1010, a = 2.8 x 1010 m-1 dan = 10-3 (a) plot yn

(pm) terhadap nl(pm) pada saat T=0, kurva me rah ket ika a = 2.8 x 1010 m-1

dan kurva hita m ket ika a = 3 x 1010 m-1 (b) profil soliton DNA dala m t iga

dimensi (c) profil soliton DNA ta mpak atas.……….. 11

hingga orde-4 pada saat = 1010 dan = 10-2 (a) pada saat a = 2.8 x 1010

[image:30.596.88.516.73.795.2]

(31)

DAFTAR LAMPIRAN

Hala man

La mp iran A. Diagra m Alir Penelit ian ….………..……….… 16

La mp iran B. Solusi Soliton DNA Model PBD ….……….… 17

La mp iran C. Penurunan Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD ………... 21

La mp iran D. Penurunan Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD……….. 29

(32)

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.2 Tujuan Peneliti an

1.4 Hi potesis

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

(33)

2

Replikasi DNA bersifat semik onservatif, yaitu kedua rantai tunggal DNA bert indak sebagai cetakan untuk pembuatan rantai-rantai DNA baru, seluruh rantai-rantai tunggal cetakan dipertahankan dan rantai yang baru dibuat dari nuk leotida-nukleotida [17].

Pada sel proses replikasi DNA terjadi sebelum pembelahan sel. Sel prok ariot terus-menerus mela kukan replikasi DNA, sedangkan sel euk ariot waktu terjadinya replikasi DNA sangat teratur, yaitu pada fase S daur sel, sebelu m mitosis atau me iosis I. Penggandaan tersebut me manfaatkan enzim DNA polimerase yang me mbantu pembentukan ikatan antara nuk leotida-nuk leotida penyusun polime r DNA. Proses

replikasi DNA dapat pula dila kukan in vitro dala m proses yang disebut reaksi berantai polimerase (PCR) [17].

2.2 Solusi Soliton DNA Model PB D

Bentuk B-DNA da la m model Watson-Cric k me rupakan helix ganda, yang terdiri atas dua alur s1 dan s2 seperti terlihat pada Ga mbar 2, dihubungkan oleh interaksi secara harmonik dengan tetangga terdekat di sepanjang rantai. Alur yang digabungkan satu sama la in mela lui ikatan hydrogen yang seharusnya untuk perpindahan transversal nuk leotida.

Gambar 2. Representasi grafis model sederhana untuk rantai DNA [16]

Gambar 1. (a) Rantai double helix DNA sebelum mengala mi rep likasi [18] (b) Rantai double helix DNA pada saat terjadi replikasi [19] (c ) Rep likasi Semik onservatif [17]

(a) _(b) _(c)

K

[image:33.596.117.509.95.281.2] [image:33.596.205.468.570.719.2]

(34)

3

Berdasarkan literatur mengasumsikan m me rupakan massa untuk nuk leotida, kopling k konstan di sepanjang rantai yang sama dan kopling K konstan di sepanjang rantai yang berbeda [7,12,13]. Pada model PBD yang me mpe rhitungkan fakta bahwa mo leku l DNA mengala mi gera k me mutar. St ruktur helicoid dari rantai nuk leotida DNA menunjukkan bahwa dari alur yang berbeda men jadi cu kup dekat sehingga mere ka berinteraksi me lalu i fila men air, art inya bahwa nuk leotida n salah satu rantai berinteraksi dengan (n+h) dan (n-h) nuk leotida lainya. Nuk leotida mengala mi perpindahan transversal un dan vn dari posisi kesetimbangan di sepanjang arah ikatan hidrogen, diberikan Ha miltonian untuk rantai DNA [12, 13,15]

……….(1)

Keterangan:

k adalah konstanta harmonik helicoid untuk rantai yang sama

K adalah konstanta harmonik helicoid untuk rantai yang berbeda

H adalah Ha miltonian potensial morse yang mendekat i potensial ikatan hydrogen

D adalah kedala man potensial mo rse

a adalah jarak antar nuk leotida pada rantai yang berbeda

Hal in i lebih mudah untuk mengga mbarkan gerakan dua alur dengan me mbuat transformasi ke koordinat pusat massa yang mewa kili gera k ke dala m dan gerak keluar untuk gerakan transversal,

yaitu

, ……….(2)

substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) ma ka dipero leh persamaan dina mis yang mengga mbarkan ge lo mbang linear dan gelombang nonlinear ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran A)

………...(3)

dan

. ……….(4)

dari hubungan persamaan (3) dan persamaan (4) diperoleh persamaan dina mika DNA yang menggambarkan gelo mbang linear dan gelombang nonlinear ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada lampiran A yaitu persamaan (A.5)- (A.17))

…………(5)

dan

….(6)

Seperti dijelaskan dengan asumsi DNA bergerak dengan amp litudo sangat kecil dala m beberapa artike l dapat menerapkan transformasi [11-13, 14, 19, 20]

atau ……….…….(7)

Substitusi persamaan (6) ke persa maan (7) ma ka d iperoleh persamaan

…..(8)

(35)

4

………..(9)

dimana , , dan

……….(10)

………...(11)

…………... (12)

dengan …………..(13)

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.2 Peralatan

………(14)

3.5 Analisa Hasil Perhitungan Analitik

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

PBD

, ………..(15)

(36)

5

……...….(16)

dengan mengubah fungsi F0, F1, F2 dan F3 pada persamaan (12) menjad i bentuk k ontinu seperti persamaan (16) dan kemudian

mensubstitusikan persamaan hasil modifikasi tersebut ke persamaan (11), sehingga diperoleh persamaan (17) yang mengga mbarkan koefisien , dan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persa maan (B.3a)-(B.6))

………...…………(17)

Persamaan (17) merupakan bentuk k ontinu hasil transformasi untuk koefisien F1 dari persamaan (11), dengan menya makan koefisien untuk berbagai gerak harmonik, bisa diperoleh hubungan penting untuk menyatakan F0, F2, F3 dalam F1 [12-14,22]. Misal menya makan koefisien untuk ke mudian diperoleh hubungan dispersi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.7a) dan (B.7d))

1+ 2………..…...(18)

dengan cara yang sama menya makan koefisien untuk yang artinya maka d iperoleh hubungan F0 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.7e)- (B.7g))

……….……..(19a)

dengan .……....(19b)

Asumsikan merupakan koefisien untuk ma ka d iperoleh hubungan F2 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.7h)- (B.7j))

………..….(20a) dengan

..(20b )

Asumsikan untuk koefisien ma ka dipero leh hubungan F3 dengan F1 ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persa maan (B.7k)- (B.7n))

………...(21a)

dengan

(21b)

(37)

6

……...(22)

Agar persamaan NLS ( persamaan (22) ) lebih sederhana maka diterapkan transformasi koordinat baru [16, 21, 22]

………...(23)

dengan merupakan kecepatan group dari nuk leotida. Berdasarkan persamaan (23) ma ka persa maan (22) d ila kukan transformasi men jadi ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.11a)- (B.11c ) )

………...(24a )

……….(24b)

… (24c )

Substitusi persamaan (24b) dan (24c ) ke persamaan (22) menghasilkan persamaan (25) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B ya itu persamaan (B.12))

………...(25)

karena nilai <<1, dapat diasumsikan orde 3 _O( 4₎ _{0 sehingga}

……….(26)

agar terbentuk persamaan NLS ma ka kecepatan group dari nuk leotida harus berbentuk:

…….(27)

substitusi persamaan (26) ke persamaan (25) menghasilkan persamaan NLS ( persamaan (28)) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran B yaitu persamaan (B.14) - (B.17))

(38)

7

Persamaan (28) dapat diubah mejad i lebih sederhana dalam penulisannya dengan menerap kan pemisalan untuk koefisien dispersi dan koefisien nonlinear

2

……….(29a )

………....(29b )

…………....(29c)

Sehingga diperoleh persamaan NLS k ubik -k uiti-k soliton DNA model PBD

..(30)

Persamaan (30) merupakan persamaan NLS k ubik -k uintik untuk fungsi F1 dan untuk menyelesaikannya harus menggunakan anzats (tebakan). Berdasarkan persamaan tersebut terlihat perbedaan antara ekspansi potensial morse hingga orde-3 dan hingga orde-4 ya itu terdapat nilai konstanta R yang me rupakan koefisien nonlinear atau dengan kata la in potensial morse hingga orde-4 me mpuyai dua koefisien nonlinear. Nila i R itu sendiri dipengaruhi oleh yang me rupakan koefisien dari ekspansi deret taylor potensial morse hingga orde-4 ( 4). Jika diambil nilai sama dengan nol maka nila i koefisien nonlinear sama dengan nol (R=0), art inya persamaan (30) men jadi persamaan dengan ekspansi potensial mo rse hingga orde-3. Persamaan (12) jika diganti dengan anzats (tebakan) solusi dengan orde epsilon yang lebih tinggi ma ka dipero leh koefisian nonlinear R me mpunyai orde ( 2), sedangkan untuk nila i itu sendiri sangat kecil sekali ( <<1),

artinya anzats (tebakan) pada persamaan (12) sudah tepat.

4.2 Solusi Persamaan NLS Soliton DNA Model PBD

Agar persamaan (30) dapat diselesaikan ma ka diberikan persamaan (14) sebagai persamaan anzats (tebakan) dari persamaan NLS k ubik -kuintik, dengan F1 merupakan fungsi dari S dan , sedangkan merupakan frekuensi gelo mbang soliton DNA berperan sebagai varibe l bebas dan me rupakan fungsi real. Substitusi persamaan (14) ke persamaan (30) ma ka d iperoleh persamaan

….…...(31)

kalikan persamaan (31) dengan ma ka

diperoleh persamaan yang mengindikasikan ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.2)- (C.5)):

…....(32)

dimana c me rupakan sebuah konstanta. Selanjutnya ke mba li me mbatasi diri pada solusi yang me miliki kondisi 0

dan u 0 pada S ± ∞ dan mengimp likasikan untuk nilai c = 0. Persamaan (32) dapat diatur ke mba li men jadi bentuk yang lebih sederhana men jadi

...……....(33)

Integrasi pada persamaan (33) diselesaikan sehingga diperoleh persamaan (34) ( penurunan lengkapnya dapat dilihat pada la mpiran C yaitu persa maan (C.8)- (C.15))

………...………... (34)

Substitusi persamaan (34) ke persa maan (30) sehingga diperoleh solusi untuk anzats (tebakan) dari persa maan NLS k ubik -k uintik ( persamaan (35a ) ) dan untuk k onjugat (

(39)

8

………....…...(35a)

dan

..………...(35b)

Fungsi gelombang ( ) dari nuk leotida dinyatakan dalam fungsi F0, F1, F2 dan F3, karena persamaan NLS k ubik -k uintik hanya dinyatakan dalam fungsi F1 maka la kukan substitusi persamaan (18a), (19a ) dan (20a ) ke persamaan (12)

…………...(36)

Solusi persamaan gelombang diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (35) ke persamaan (36) ma ka d iperoleh

………..………..……(37)

(40)

9

persamaan (38) tersebut dapat di sederhanakan men jadi

……….. (39)

Solusi persamaan NLS soliton DNA model PBD dapat ditulis sebagai berikut:

2 cos3( + ) ...(40) Kasus amplitudo besar substitusi persamaan (40) ke persamaan (7) dengan me misalkan koefisien untuk persamaan (7) adalah 1 yang mempengaruhi pada koefisien F0 dan F2. Apabila solusi pada penyelesaian persamaan (12) dita mbah F3 ma ka koefisien dari F3 adalah , artinya atau

karena 1 nila inya sangat kecil ma ka nila i 2 akan lebih besar dari pada 1 yang mengindikasikan untuk persamaan (7) bisa menggunakan nilai yang besar, maka diperoleh persamaan gelombang dala m bentuk

2 cos3( + )…… (41)

dimana dan t me rupakan variabel bebas, sedangkan , , , , dan n merupakan variabel terikat yang artinya nila i dari

variabel tersebut bergantung pada variabel bebas. Berdasarkan persa maan (40) dan persamaan (41) je las terlihat agar solusi dari real ma ka ha rus dipenuhi >0 dan P>0, artinya /P>0 dan 16 R/3+Q2>0. n itu sendiri menyatakan beda fase antara nuk leotida yang berada pada rantai yang sama.

4.3 Analisa Hasil Perhitungan Analitik

Bagian in i me mbahas hasil-hasil analisa numerik yang berkaitan dengan karakteristik solusi hingga orde-3 dan hingga orde-4. Progra m yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan tersebut dibuat dengan menggunakan parameter yang sudah ada pada literatur.

Ga mbaran umu m dari proses replikasi (denaturasi) DNA mera mbat dari tengah hingga ke ujung rantai atas dan ujung rantai bawah (dapat dilihat pada Ga mbar 1), dengan bertambahnya waktu maka perambatan denaturasi