BAB III REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL- 67
C. Submodul- dan Ketereduksian
E. Homomorfisma-
BAB IV TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR A. Teorema Maschke
B. Lema Schur BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan B. Saran
BAB II
GRUP DAN RUANG VEKTOR A. Grup
Definisi 2.1.1
Misalkan adalah himpunan takkosong. Operasi biner pada adalah fungsi
: dengan , | , . Selanjutnya, ,
di-notasikan dengan untuk setiap , .
Definisi 2.1.2
Grup adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner pada sedemikian hingga untuk setiap , , ,
1. (sifat assosiatif)
2. Terdapat elemen identitas, yaitu 1 yang memenuhi
1 1
3. Setiap mempunyai invers, yaitu yang memenuhi
1
Secara khusus, jika untuk setiap , , maka disebut grup Abel.
Setiap grup mempunyai tepat satu elemen identitas dan setiap mennya mempunyai tepat satu invers. Jika memuat tak hingga banyak ele-men, disebut grup tak hingga. Jika sebaliknya, disebut grup berhingga.
Banyaknya elemen grup berhingga disebut orde dari dan dinotasikan dengan | |.
Definisi 2.1.3
Misalkan adalah grup. Untuk setiap dan , berturut-turut dan didefinisikan dengan
…
! "!#
dan …
! "!#
Selain itu, % didefinisikan dengan % 1.
Contoh 2.1.4
1. Himpunan &, ' dan ( adalah grup abel terhadap operasi penjumlahan biasa. Selain itu ) * 0 adalah grup abel terhadap operasi perkalian bilangan kompleks.
2. Himpunan semua matriks tak singular berukuran , dengan entri bi-langan kompleks adalah grup terhadap operasi perkalian matriks. Grup ini disebut grup linear umum dan dinotasikan dengan - , ) . Matriks identitas . adalah elemen identitas dari - , ) .
3. Untuk setiap , semua akar kompleks persamaan , 1 diberi-kan dengan / 0, )|, 12345 6, 0,1, … , * 17. Terhadap operasi perkalian bilangan kompleks, / merupakan grup. Misalkan
Definisi 2.1.5
Misalkan adalah grup. Himpunan bagian takkosong : dari disebut grup bagian dari jika dan hanya jika
1. Untuk setiap , :, :
2. Untuk setiap :, :
Selanjutnya, notasi : ; digunakan untuk menyatakan bahwa : adalah grup bagian dari .
Contoh 2.1.6
Untuk setiap grup , 1 dan adalah grup bagian dari .
Teorema 2.1.7
Misalkan : adalah himpunan bagian takkosong dari grup . Himpunan :
adalah grup bagian dari jika dan hanya jika memenuhi:
Jika , :, maka :
Bukti
<
Misalkan : grup bagian dari . Jelas bahwa 1 :. Kemudian misalkan
, :. Menurut definisi 2.1.5, :. Akibatnya :.
=
Misalkan 1 :. Jika :, maka berdasar asumsi 2 , 1 :. Kemudian misalkan , :. Telah ditunjukkan bahwa jika : maka
:. Dengan demikian, berdasar asumsi 2 , :. Jadi,
: adalah grup bagian dari .
■
Teorema 2.1.8
Misalkan adalah grup dan 8 . Himpunan bagian 8 | & dari ada-lah grup bagian dari . Grup bagian dari ini disebut grup bagian siklik dari
yang dibangun oleh 8 dan dinotasikan dengan ?8@. Bukti
Jelas bahwa 8 | & takkosong karena 8 8 8 | & . Selanjutnya misalkan , 8 | & . Dengan demikian 8 dan 8A untuk
su-atu , B &.
1. 8 8A 8 CA. Jadi, 8 | & .
2. 8 . Karena * &, akibatnya 8 | & . Jadi, 8 | & adalah grup bagian dari .
■
Jika ?8@ maka disebut grup siklik dan 8 disebut pembangun . Selanjutnya misalkan adalah grup dan 8 . Dalam beberapa kasus terda-pat sedemikian hingga 8 1. Dalam kasus ini, ?8@ merupakan grup berhingga. Banyaknya elemen dari ?8@ sama dengan bilangan bulat positif te-kecil sedemikian hingga 8 1. Selanjutnya bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi 8 1 disebut orde dari elemen8.
Contoh 2.1.9
Grup / dan & adalah grup siklik. Pembangun dari / adalah 8 12645 se-dangkan pembangun dari & adalah *1 dan 1.
Teorema 2.1.10
Misalkan adalah grup dan , . Himpunan bagian ? , @ dari yang diberikan dengan ? , @ D, |, EF GF E2 G2… E5 G5H (dalam hal ini dan I#, J# & untuk setiap 1,2, … , ) adalah grup bagian dari . Grup bagian ? , @ dari ini disebut grup bagian dari yang dibangun oleh
dan . Bukti
Jelas bahwa ? , @ takkosong. Selanjutnya misalkan ,, K ? , @ Dengan demikian , dan K dapat dinyatakan dengan , EF GF E2 G2… E5 G5 dan
K #F LF #2 L2… #M LM. Lebih jauh,
1. ,K EF GF E2 G2… E5 G5 #F LF #2 L2… #M LM ? , @
2. , EF GF E2 G2… E5 G5
G5 E5… G2 E2 GF EF
% G5 E5… G2 E2 GF EF % ? , @ Jadi, ? , @ adalah grup bagian dari .
■
Definisi 2.1.11
lah fungsi P: N O yang memenuhi
1. Untuk setiap ,, K N, jika P , P K maka , K
2. Untuk setiap K O terdapat , N sedemikian hingga P , K
Fungsi P: N O yang memenuhi sifat 1 pada definisi 2.1.11 disebut fungsi injektif sedangkan fungsi P: N O yang memenuhi sifat 2 pada de-finisi 2.1.11 disebut fungsi surjektif. Dengan demikian fungsi bijektif adalah fungsi yang surjektif sekaligus injektif.
Dapat ditunjukkan bahwa fungsi P: N O adalah fungsi bijektif jika dan hanya jika terdapat fungsi P : O N sedemikian hingga P P 8 8 dan P P Q Q untuk setiap 8 N dan Q O. Jika fungsi P ada,
P disebut invers dari P dan P dikatakan dapat dibalik.
Definisi 2.1.12
Permutasi dari himpunan N adalah fungsi bijektif P: N N.
Teorema 2.1.13
Misalkan N adalah himpunan takkosong dan RS adalah himpunan semua
per-mutasi pada N. Terhadap operasi komposisi fungsi, RS adalah grup. Bukti
Pertama-tama ingat bahwa fungsi komposisi bersifat assosiatif. Selanjutnya, jelas bahwa .: N N yang didefinisikan dengan . 8 8 untuk setiap 8 N
.P 8 P 8 . Jadi, . adalah identitas RS. Karena permutasi adalah fungsi bijektif, untuk setiap P RS terdapat P RS sedemikian hingga PP PP .. Dengan demikian RS adalah grup terhadap operasi komposisi fung-si. ■ ■ ■ ■ Definisi 2.1.14
Misalkan R 1,2, … , dengan . Himpunan semua permutasi dari R
yang dilengkapi dengan operasi komposisi fungsi disebut grup simetrik ber-derajat dan dinotasikan dengan R . Orde dari R adalah |R | ! dan se-tiap U R dinotasikan dengan
U V 1U 1 U 22 WW U X
Definisi 2.1.15
Misalkan 8, Q R . Grup dihedral adalah grup bagian Y9 ?8, Q@ dari R
yang memenuhi 8 Q9 1 dan Q 8Q 8 untuk setiap dan
Z 2. Orde dari Y9 adalah 2 .
Sebagai akibat dari sifat Q 8Q 8 , setiap , Y9 dapat dinyatakan dengan , QE8G untuk suatu I, J &. Selanjutnya karena 8 Q9 1, maka
I 0,1 dan J 0,1, … , * 1. Dengan demikian,
Definisi 2.1.16
Misalkan dan [ , [9, … , [\ anggota himpunan R 1,2, … , dengan
] ; . Putaran [ [9 W [\ dengan panjang ] adalah permutasi U yang di-definisikan dengan U [ [9, U [9 [^, … , U [\ [ dan U [ [ un-tuk setiap [ R namun [ _ [E untuk setiap I 1,2, … , ]. Jika ] 2 maka pu-taran [ [9 disebut transposisi.
Contoh 2.1.17
Diberikan R 1,2,3,4 . Putaran 1 2 4 dan transposisi 1 3 berturut-turut merupakan permutasi
U b 1 22 4 3 43 1 c dan U9 b 1 23 2 3 41 4 c
Definisi 2.1.18
Misalkan adalah grup, dan : grup bagian dari . Koset kiri dari :
dalam yang memuat adalah himpunan : | : . Sedangkan ko-set kanan dari : dalam yang memuat adalah himpunan :
| : dari .
Contoh 2.1.19
Diberikan grup R^ 1 , 1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 2 3 , 1 3 2 dan grup ba-gian : 1 , 1 3 dari R^. Koset-koset kiri dari : dalam diberikan se-bagai berikut
1 2 : 1 2 , 1 2 1 3 1 2 , 1 3 2 1 3 2 :
1 3 : 1 3 , 1 3 1 3 1 3 , 1 :
2 3 : 2 3 , 2 3 1 3 2 3 , 1 2 3 1 2 3 :
Koset-koset kiri (kanan) dari : dalam yang berbeda memartisi . Ar-tinya, setiap elemen dari tepat berada pada salah satu koset tersebut. De-ngan demikian merupakan gabungan dari koset-koset tersebut. Contoh 2.1.19 memberikan gambaran yang jelas tentang hal ini.
Teorema 2.1.20 (Teorema Lagrange)
Jika adalah grup berhingga dan : adalah grup bagian dari , maka |:|
membagi | |. Bukti
Misalkan : , : 9, … , : \ adalah semua koset kanan dari : dalam yang semuanya berbeda. Pandang fungsi P: : : E yang didefinisikan dengan
P E untuk setiap I 1,2, … , ] dan :. Akan ditunjukkan bahwa P
fungsi bijektif.
Misalkan , 9 :. Jika P P 9 , maka
P P 9
E 9 E
E E 9 E E
Jadi, P injektif. Selanjutnya jika diambil sebarang K E : E, maka ter-dapat :, yaitu dengan memilih , sedemikian hingga P K. Ja-di, P surjektif. Karena P surjektif dan injektif maka P bijektif. Dengan demi-kian |:| |: E| untuk setiap I.
Dengan mengingat bahwa : d : 9d … d : \ dan : Ee : G f
jika I _ J, maka | | |: d : 9d … d : \| |: | g |: 9| g W g |: \| |:| g |:| g W g |:| ! "!# \ ]|:| Jadi, |:| membagi | |. ■ ■ ■ ■ Definisi 2.1.21
Misalkan : adalah grup bagian dari grup . Banyaknya koset kiri (kanan) da-ri : dalam yang berbeda disebut indeks : : dari : dalam . Jika ber-hingga, maka : : | |/|:|
Definisi 2.1.22
Misalkan : adalah grup bagian dari grup . Grup bagian : disebut grup ba-gian normal dari jika dan hanya jika 8: :8 untuk setiap 8 . Selan-jutnya notasi : i menyatakan bahwa : adalah grup bagian normal dari .
Contoh 2.1.23
Untuk setiap grup , 1 dan adalah grup bagian normal. Jika grup abel, maka setiap grup bagian : dari adalah grup bagian normal.
Teorema 2.1.24
Misalkan : adalah grup bagian normal dari grup . Himpunan /: :8|8 adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan
:8 :Q : 8Q untuk setiap 8, Q . Grup seperti ini disebut grup fak-tor dari oleh :.
Bukti
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi biner yang didefinisikan den-gan :8 :Q : 8Q untuk setiap 8, Q well-defined, yaitu untuk se-tiap :8, :8k, :Q, :Ql /:, jika :8 :8l dan :Q :Ql maka : 8Q : 8kQl . Jelas bahwa 8k 18k :8l. Karena :8 :8l, akibatnya 8l :8. Dengan demikian 8k 8 untuk suatu :. Demikian pula jelas bahwa
Qk 1Qk :Ql. Karena :Q :Ql, akibatnya Ql :Q. Dengan demikian
Qk 9Q untuk suatu 9 :. Selanjutnya diperoleh :8kQl : 8 9Q :8 9Q 8: 9Q 8:Q :8Q
Jadi, operasi biner tersebut well-defined. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
/: adalah grup.
1. Untuk setiap :8, :Q, :m /:,
:8 :Q :m :8 : Qm : 8 Qm : 8Q m
: 8Q : m :8 :Q :m
2. Himpunan /: memuat elemen identitas, yaitu :1 : /:. Un-tuk setiap :8 /:, ::8 :8: :8.
3. Setiap :8 /: memiliki invers :8 :8 /:. Perhati-kan bahwa :8:8 :8 :8 :.
Jadi, /: adalah grup.
■ ■ ■ ■
Teorema 2.1.25
Misalkan , 9, … , adalah grup. Himpunan
9 … , 9, … , | E E; I 1,2, … ,
adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan
, 9, … , , 9, … , , 9 9, … ,
untuk setiap , 9, … , , , 9, … , 9 … . Grup ini di-sebut dengan darab langsung dari , 9, … , .
Bukti
Misalkan , … , , , … , dan , … , berturut-turut
elemen grup 9 …
, … , , … , , … , , … , , … , , … , , … , , … , , … ,
2. Terdapat elemen identitas, yaitu 1,1, … ,1 9 … .
3. Setiap , 9, … , 9 … mempunyai invers, yaitu
, 9 , … ,
Jadi, 9 … adalah grup.
■ ■ ■ ■
Jika , 9, … , masing-masing adalah grup berhingga, maka
9 … juga merupakan grup berhingga. Orde dari 9 …
adalah | 9 … | | || 9| … | |.
B. Homomorfisma Grup Definisi 2.2.1
Misalkan dan : adalah grup. Fungsi o: : disebut homomorfisma jika
Jika o bijektif, maka o disebut isomorfisma dan dikatakan isomorfis :. Notasi yang biasa dipakai untuk menyatakan bahwa isomorfis : adalah
p :.
Teorema 2.2.2
Jika P: : adalah homomorfisma grup dan P dapat dibalik, maka invers dari P juga merupakan homomorfisma grup.
Bukti
Misalkan 8, Q dan P adalah invers dari P.
P P 8 P Q P P 8 P P Q
P P 8 P Q 8Q P bP P 8 P Q c P 8Q P 8 P Q P 8Q
Jadi, P adalah homomorfisma.
■ ■ ■ ■
Contoh 2.2.3
1. Misalkan adalah grup Abel. Fungsi o: yang didefinisikan dengan o untuk setiap adalah suatu homomorfisma
karena jika , maka o
o o o o .
2. Diberikan grup Y9 ?8, Q|8 Q9 1, Q 8Q 8 @. Setiap
memenuhi 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; * 1. Misalkan : adalah sebarang grup yang memuat elemen , dan K yang memenuhi , K9 1 dan
K ,K , . Fungsi o: Y9 : yang didefinisikan dengan
o QE8G KE,G untuk setiap QE8G Y9 adalah homomorfisma. Un-tuk menunjukkan hal ini, misalkan 0 ; ] ; 1, 0 ; [ ; * 1,
0 ; q ; 1 dan 0 ; r ; * 1. Karena Y9 adalah grup, akibatnya
Q\8 Qs8t QE8G untuk suatu 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; * 1. Lebih jauh, I dan J ditentukan oleh persamaan 8 Q9 1 dan Q 8Q 8 .
Karena , K9 1 dan K ,K , , dapat disimpulkan pula bah-wa K\, Ks,t KE,G. Dengan demikian
u Q\8 Qs8t u QE8G
KE,G
K\, Ks,t
u Q\8 u Qs8t
Jadi, u adalah homomorfisma.
Teorema 2.2.4
Jika adalah grup, maka terdapat grup permutasi l sedemikian hingga
p l. Bukti
Misalkan adalah grup dan . Pertama-tama didefinisikan fungsi
vw , vw K maka
, K
, K
, K
Jadi, vw injektif. Selanjutnya untuk setiap , , ambil K , . Perha-tikan bahwa vw K vw , , ,. Dengan demikian vw surjektif.
Karena vw bijektif, dapat disimpulkan bahwa vw adalah permutasi untuk setiap .
Bentuk himpunan l Dvw| H. Himpunan l adalah grup terhadap ope-rasi komposisi fungsi. Untuk menunjukkan hal ini, misalkan , . Maka,
vw, vx l. Dengan demikian untuk setiap , ,
vwvx , vw vx , vw , , , vwx ,
Jadi, l tertutup terhadap operasi komposisi fungsi. Perlu diingat bahwa ope-rasi komposisi fungsi bersifat asosiatif. Selanjutnya l memuat elemen identi-tas, yaitu v : yang didefinisikan dengan v , 1, , untuk setiap
, . Akhirnya, untuk setiap vw l pilih vwyF l. Perhatikan bahwa un-tuk setiap ,
vwvwyF , vwyFvw , , v ,
Jadi setiap vw l mempunyai invers, yaitu vwyF l. Dengan demikian, l
Selanjutnya definisikan P: l dengan P vw untuk setiap . Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa P adalah homomorfisma. Untuk setiap
, , P vwx vwvx P P .
Jika P P maka vw vx. Akibatnya, , , untuk setiap , . Akhirnya diperoleh . Jadi, P injektif. Selanjutnya untuk setiap vw l
pilih , . Perhatikan bahwa P , P vw. Jadi, P surjektif. Ka-rena P bijektif dan memenuhi sifat homomorfisma, maka P adalah isomor-fisma. Dengan demikian p l.
■ ■ ■ ■
Definisi 2.2.5
Misalkan o: : adalah homomorfisma. Kernel dari o dinotasikan dengan
z1] o dan didefinisikan dengan
z1] o |o 1
Sedangkan bayangan dari o dinotasikan dengan .B o dan didefinisikan dengan
.B o :| o ,
Teorema 2.2.6
Jika o: : adalah homomorfisma, maka : z1] o adalah grup bagian normal .
Bukti
1. Jelas bahwa 1 : karena o 1 1.
2. Misalkan 8, Q :. Maka o 8Q o 8 o Q 1 o Q 1. Akibatnya, 8Q :.
Dengan demikian, : grup bagian dari .
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 8: :8 untuk setiap 8 . Jika
, 8:, maka , 8 untuk suatu :. Dengan demikian o , o 8 o 8 o o 8 . Jadi, o , o 8 . Selanjutnya,
o , o 8
o , o 8 *1 1
o , o 8 1
o ,8 1
Jadi, ,8 :. Dengan demikian ,8 9 untuk suatu 9 :. Akhirnya,
, 98 :8. Jika , :8, maka , ^8 untuk suatu ^ :. Dengan demikian o , o ^8 o ^ o 8 o 8 . Jadi, o , o 8 . Selan-jutnya,
o , o 8
1 o , *1o 8
1 o , o 8
1 o , 8
Jadi, , 8 :. Dengan demikian , 8 { untuk suatu { :. Akhirnya,
, 8 { 8:. Jadi, 8: :8 untuk setiap 8 . Dengan kata lain,
Teorema 2.2.7
Jika fungsi P: l adalah homomorfisma grup dan : z1] P , maka
/: p .B P . Bukti
Didefinisikan fungsi o: /: .B P yang diberikan dengan o :8 P 8
untuk setiap 8 . Pertama-tama akan dibuktikan bahwa owell-defined. Mi-salkan :8, :Q /: dan :8 :Q. Maka 8 Q :. Sehingga
P 8 Q 1 P 8 P Q 1
P 8 P Q 1
P Q P 8
Jadi, owell-defined. Selanjunya akan ditunjukkan bahwa o isomorfisma. Un-tuk setiap :8, :Q /:,
o :8 :Q o :8Q P 8Q P 8 P Q o :8 o :Q
Jadi, o memenuhi sifat homomorfisma. Selanjutnya jika o :8 o :Q
maka P 8 P Q . Sehingga 8 Q :. Jadi, :8 :Q. Jadi, o injektif. Se-lanjutnya misalkan K .B P . Dengan demikian terdapat , sedemikian hingga P , K. Karena , , jelas bahwa :, /:. Jadi, untuk setiap
K .B P terdapat :, /: sedemikian hingga o :, P , K. Jadi,
o surjektif. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa o isomorfisma. Dengan de-mikian, /: p .B P .
C. Ruang Vektor Definisi 2.3.1
Ruang Vektor | atas lapangan kompleks ) adalah himpunan takkosong |
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan antara dua anggota | serta ope-rasi perkalian skalar antara } | dengan ), sedemikian hingga untuk se-tiap r, }, ~ | dan , • )
1. r g } |
2. r g } } g r
3. r g } g ~ r g } g ~
4. Terdapat 0 | sedemikian hingga 0 g } } g 0 } untuk setiap
} |.
5. Untuk setiap } |, terdapat *} | sedemikian hingga } g *} *} g } 0 6. } | 7. r g } r g } 8. g • } } g •} 9. • } •} 10.1} }
Selanjutnya, setiap anggota | disebut vektor dan setiap anggota ) disebut
skalar.
Dalam pembahasan selanjutnya, ruang vektor | atas lapangan kom-pleks ) akan disebut ruang vektor saja.
Contoh 2.3.2
1. Misalkan | adalah himpunan semua matriks ukuran 2 2 yang ang-gota-anggotanya bilangan kompleks. Maka, | adalah ruang vektor bi-la operasi penjumbi-lahan didefinisikan sebagai penjumbi-lahan matriks dan operasi perkalian skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar dengan matriks.
2. Misalkan . Himpunan ) yaitu himpunan semua pasangan teru-rut , , ,9, … , , dengan , , ,9, … , , ) adalah ruang vektor terha-dap lapangan ) jika penjumlahan dan perkalian skalar dalam ) ber-turut-turut didefinisikan dengan
, , ,9, … , , g K , K9, … , K , g K , ,9g K9, … , , g K , , ,9, … , , , , ,9, … , ,
untuk setiap , , ,9, … , , , K , K9, … , K ) dan ). Dalam pembahasan selanjutnya, setiap , , ,9, … , , ) akan dituliskan dengan menggunakan matriks kolom, yaitu
, , ,9, … , , € , ,9 • , ‚ Definisi 2.3.3
Jika | adalah ruang vektor dan ƒ adalah himpunan bagian takkosong dari |, maka ƒ adalah ruang bagian dari | jika dan hanya jika:
i. Jika }, ~ ƒ, maka } g ~ ƒ
Dapat ditunjukkan bahwa ruang bagian adalah himpunan bagian dari suatu ruang vektor | yang juga merupakan ruang vektor dengan operasi pen-jumlahan dan operasi perkalian skalar yang didefinisikan dalam |.
Contoh 2.3.4
1. Untuk sebarang ruang vektor |, ƒ 0 dan | adalah ruang bagian dari |.
2. Himpunan ƒ yang diberikan dengan ƒ 0„,,… )9|, )7 adalah ruang bagian dari ruang vektor )9.
Definisi 2.3.5
Misalkan | adalah ruang vektor dan } |. Misalkan pula } , }9, … , } |. Vektor } disebut kombinasi linear dari vektor-vektor } , }9, … , } jika dan hanya jika } dapat dinyatakan dalam bentuk
} } g 9}9g W g }
dengan , 9, … , ). Selanjutnya, himpunan yang memuat semua kom-binasi linear dari } , }9, … , } disebut rentang dari } , }9, … , } dan dinotasi-kan dengan [† } , }9, … , }
Contoh 2.3.6
1. Misalkan | )9 dan
„10…,„01… |. Maka setiap vektor } „8Q… )9
adalah kombinasi linear dari „10… dan „01… karena } „8Q… 8„10… g Q „01….
2. Vektor ‡36 9Š )
^ adalah kombinasi linear dari vektor-vektor
‡11 0Š , ‡ 1 *2 0 Š , ‡ 1 1 3Š ) ^ karena ‡36 9Š 1 ‡ 1 1 0Š * 1 ‡ 1 *2 0 Š g 3 ‡ 1 1 3Š Teorema 2.3.7
Jika | adalah ruang vektor dan } , }9, … , } |, maka [† } , }9, … , } ada-lah ruang bagian dari |.
Bukti
Misalkan • ) dan r, } [† } , }9, … , } . Maka, r } g 9}9g W g } dan } m } g m9}9g W g m } . 1. Karena 0 0} g 0}9g W g 0} , maka 0 [† } , }9, … , } . 2. r g } } g 9}9g W g } g m } g m9}9g W g m } gm } g 9gm9 }9g W g gm } Jadi, r g } [† } , }9, … , } 3. •r • } g 9}9g W g } • } g • 9}9g W g • } Jadi, •r [† } , }9, … , }
Dengan demikian terbukti bahwa [† } , }9, … , } adalah ruang bagian dari
|.
■
Definisi 2.3.8
Misalkan ‹ Q , Q9, … , Q adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-tor |. Himpunan ‹ dikatakan merentang | jika [† Q , Q9, … , Q |, yaitu setiap } | dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari Q , Q9, … , Q .
Definisi 2.3.9
Misalkan ‹ Q , Q9, … , Q adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-tor |. Himpunan ‹ dikatakan bebas linear jika satu-satunya solusi persamaan
Q g 9Q9g W g Q 0 adalah 9 W 0. Jika terdapat solusi lain, maka ‹ dikatakan bergantung linear.
Contoh 2.3.10 1. Himpunan ‹ Œ‡11 2Š , ‡ 2 2 4Š , ‡ 3 *2 0 Š• Ž )
^ tidak bebas linear karena
per-samaan ‡11 2Š g 9‡ 2 2 4Š g ^‡ 3 *2 0 Š ‡ 0 0
0Š mempunyai solusi tak nol,
yaitu 2, 9 *1 dan ^ 0.
} „8Q… 8„10… g Q „01…. Kemudian „10… g 9„01… „00… jika dan
hanya jika •
9• „00…. Jadi, 0„10…,„01…7 bebas linear.
Definisi 2.3.11
Misalkan ‹ Q , Q9, … , Q adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-tor |. Himpunan ‹ disebut basis dari | jika bebas linear dan merentang |.
Contoh 2.3.12
1. Himpunan 0„11…,„10…7 merentang ruang vektor )9 karena untuk setiap } „,K… )9, } „,K… K „11… g , * K „10…. Selain itu, persamaan
„11… g 9„10… „00… terpenuhi jika dan hanya jika • g 9• „00…. Akibatnya, diperoleh 0 dan 9 0. Dengan demikian 0„11…,„10…7
bebas linear. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa 0„11…,„10…7 adalah
ba-sis ruang vektor )9.
2. Dalam contoh 2.3.10.2 telah ditunjukkan bahwa 0„10…,„01…7 bebas
li-near dan merentang )9. Jadi,
0„10…,„01…7 basis dari )9. Basis seperti ini
Teorema 2.3.13
Misalkan ‹ } , }9, … , } adalah basis ruang vektor |. Maka, setiap
} | hanya dapat dinyatakan dalam bentuk } m } g m9}9g W g m }
tepat dengan satu cara mE ), I 1,2, … , . Bukti:
Karena ‹ adalah basis dari |, maka ‹ bebas linear dan merentang |. Dengan demikian, setiap } | dapat dinyatakan dalam bentuk } m } g m9}9g W g m } . Sekarang misalkan } m } g m9}9g W g m } dan } } g
9}9g W g } . Maka,
0 m * } g m9* 9 }9g W g m * } . Diketahui bahwa ‹ bebas linear. Akibatnya
m * 0; m9* 9 0; … ; m * 0. Maka diperoleh
m ; m9 9; … ; m
Jadi, setiap } | hanya dapat dinyatakan dalam bentuk } m } g m9}9g W g m } tepat dengan satu cara.
■
Teorema 2.3.14
Misalkan ‹ Q , Q9, … , Q adalah basis ruang vektor | dan ƒ ~ , ~9, … , ~A adalah himpunan sebarang vektor pada |. Jika B ‘ maka
ƒ bergantung linear. Bukti
’ ~ 8 Q g 89 Q9g W g 8 Q ~9 8 9Q g 899Q9g W g 8 9Q • ~A 8 AQ g 89AQ9g W g 8 AQ “ 1
Untuk menunjukkan bahwa ƒ bergantung linear, harus ditunjukkan bahwa terdapat , 9, … , A yang tidak semuanya nol sedemikian hingga persamaan
~ g 9~9g W g A~A 0 2 terpenuhi.
Dengan menggunakan persamaan-persamaan 1 , persamaan 2 dapat ditu-lis kembali dengan
8 g 98 9g W g A8 A Q
g 89 g 9899g W g A89A Q9
”
g 8 g 98 9g W g A8 A Q 0
Selanjutnya, berdasar sifat kebebasan linear ‹ diperoleh
’ 8 g 8 9 9g W g 8 A A 0 89 g 899 9g W g 89A A 0 • 8 g 8 9 9g W g 8 A A 0 “ 3
Sistem persamaan diatas memiliki B buah faktor dan buah persamaan. Ka-rena B ‘ , berdasarkan teori tentang sistem persamaan linear, terdapat
, 9, … , A yang tidak semuanya nol dan memenuhi sistem persamaan
li-near 3 .
■ ■ ■ ■
Teorema 2.3.15
Misalkan ‹ Q , Q9, … , Q adalah basis ruang vektor |. Jika ƒ ~ , ~9, … , ~A juga merupakan basis dari |, maka B.
Bukti
Pandang bentuk kontraposisi dari teorema 2.3.14. Karena ‹ basis dari | dan
ƒ bebas linear, maka B ; . Demikian pula karena ƒ basis dari | dan ‹
bebas linear, maka ; B. Dengan demikian B.
■ ■ ■ ■
Definisi 2.3.16
Banyaknya vektor dalam himpunan basis dari ruang vektor | disebut dimensi
dari | dan dinotasikan dengan •IB | .
Kecuali dikatakan sebaliknya, setiap ruang vektor dalam karya tulis ini adalah ruang vektor dengan dimensi berhingga, yaitu ruang vektor yang him-punan basisnya memilik berhingga banyak elemen. Dimensi ruang vektor
| 0 didefinisikan •IB | 0.
Definisi 2.3.17
Misalkan | adalah ruang vektor dan R } , }9, … , } Ž | bebas linear. Himpunan R dikatakan himpunan bebas linear terbesar dari | jika untuk se-barang ~ |, himpunan ƒ ~, } , }9, … , } bergantung linear.
Teorema 2.3.18
Misalkan | adalah ruang vektor. Jika R } , }9, … , } adalah himpunan bebas linear terbesar dari |, maka R adalah basis dari |.
Bukti
Harus ditunjukkan bahwa R merentang |. Karena R adalah himpunan bebas linear terbesar dari |, maka untuk setiap ~ |, ~, } , }9, … , } bergantung linear. Dengan kata lain persamaan
8%~ g 8 } g W g 8–} 0
memiliki solusi tak nol. Perhatikan bahwa 8%_ 0 karena jika tidak demikian akan timbul kontradiksi, yaitu bahwa R bergantung linear. Akibatnya dipero-leh ~ *88 %} * W *88 %} Jadi, R merentang |. ■ ■ ■ ■ Teorema 2.3.19
Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi . Jika ‹ } , }9, … , } Ž |
bebas linear, maka ‹ adalah basis dari |. Bukti
Berdasar teorama 2.3.14, dan definisi 2.3.17, ‹ adalah himpunan bebas linear terbesar dari |. Kemudian berdasar teorema 2.3.18, ‹ adalah basis dari |.
■ ■ ■ ■
Teorema 2.3.20
Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi dan ƒ adalah ruang bagian da-ri |. Jika •IB ƒ , maka ƒ |.
Bukti
Misalkan } ƒ. Jelas bahwa } |. Kemudian misalkan } | dan
~ , ~9, … , ~ adalah basis dari ƒ. Dengan demikian ~ , ~9, … , ~ bebas linear dan juga himpunan bagian dari |. Karena •IB | , berdasar teo-rema 2.3.19, ~ , ~9, … , ~ adalah basis dari |. Jadi, } dapat dinyatakan se-bagai kombinasi linear dari ~ , ~9, … , ~ . Akibatnya } ƒ. Akhirnya, dapat disimpulkan bahwa ƒ |. ■ ■ ■ ■ Teorema 2.3.21
Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi . Jika ] adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ] — dan } , }9, … , }\ Ž | bebas linear, maka ter-dapat vektor-vektor }\C , }\C9, … , } | sedemikian hingga } , }9, … , }
adalah basis dari |. Bukti
Karena ] — , maka menurut teorema 2.3.15, } , }9, … , }\ bukan basis dari
|. Karena } , }9, … , }\ bukan basis dari |, maka menurut teorema 2.3.18
} , }9, … , }\ bukanlah himpunan bebas linear terbesar dari |. Akibatnya terdapat }\C | sedemikian hingga } , }9, … , }\, }\C bebas linear. Jika
] g 1 — , dengan penalaran yang sama, terdapat }\C9 sedemikian hingga
sa-ma sampai ] akan diperoleh } , }9, … , } bebas linear. Menurut teore-ma 2.3.19, } , }9, … , } adalah basis dari |.
■ ■ ■ ■
Teorema 2.3.22
Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi . Jika ƒ adalah ruang bagian dari |, maka •IB ƒ ; .
Bukti
Misalkan ~ , ~9, … , ~\ adalah basis dari ƒ. Ada dua kemungkinan. Perta-ma ~ , ~9, … , ~\ adalah basis dari |. Jika demikian, menurut teorema 2.3.15, ] . Kemungkinan lainnya, ~ , ~9, … , ~\ bukan basis dari |. Jika demikian menurut teorema 2.3.21 terdapat ~\C , ~\C9, … , ~ sedemikian hingga ~ , ~9, … , ~ adalah basis dari |. Artinya ] — . Dengan demikian untuk semua kasus, ] ; . Jadi •IB ~ ; .
■ ■ ■ ■
Definisi 2.3.23
Misalkan ‹ } , }9, … , } adalah basis ruang vektor |. Untuk setiap
} m } g m9}9g W g m } |, matriks koordinat dari } relatif terhadap basis ‹ dinotasikan dengan ˜}™‹ dan didefinisikan dengan
˜}™‹ € m m9 • m ‚
Contoh 2.3.24
Telah ditunjukkan dalam contoh 2.3.12.1 bahwa 0„11…,„10…7 adalah basis dari )9. Jika diambil
„12…,„*1… )2 9, maka „12… 2„11… * 1 „10… dan „ 2*1… *1 „11… g 3„10…. Dengan demikian š„12…›‹ „ 2*1… dan š„ 2*1…›
‹ „*13 ….
Dalam kasus khusus ‹ adalah basis standart dari |, untuk setiap } |
berlaku ˜}™‹ }.
Teorema 2.3.25
Misalkan ‹ } , }9, … , } adalah basis dari ruang vektor |. Misalkan pu-la ) dan }, ~ |. Maka, 1. ˜} g ~™‹ ˜}™‹g ˜~™‹ 2. ˜ }™‹ ˜}™‹ Bukti: Misalkan } } g 9}9g W g } dan ~ • } g •9}9g W g • } . 1. } g ~ } g 9}9g W g } g • } g •9}9g W g • } g • } g 9g •9 }9g W g g • } Akibatnya, ˜} g ~™‹ € g • 9g •9 • g • ‚ € 9 • ‚ g € • •9 • • ‚ ˜}™‹g ˜~™‹ 2. } } g 9}9g W g } } g 9}9g W g }
Akibatnya,
˜ }™‹ € 9
• ‚ € • ‚9 ˜}™‹
■
Teorema 2.3.26
Jika ‹ } , }9, … , } dan ‹9 ~ , ~9, … , ~ adalah basis dari ruang vektor |, maka terdapat tepat satu matriks N berukuran , sedemikian hingga ˜}™‹F N˜}™‹2 untuk setiap } |. Matriks tersebut diberikan dengan
N ˜˜~ ™‹F ˜~9™‹F W ˜~ ™‹F™
Selanjutnya, matriks N tersebut dinamakan matriks transisi dari ‹9 ke ‹ . Bukti:
Untuk setiap } ~ g 9~9g W g ~ |, berlaku
˜}™‹F ˜ ~ g 9~9g W ~ ™‹F
˜ ~ ™‹Fg ˜ 9~9™‹Fg W g ˜ ~ ™‹F
˜~ ™‹Fg 9˜~9™‹Fg W g ˜~ ™‹F
˜˜~ ™‹F ˜~9™‹F W ˜~ ™‹F™ € 9
• ‚ N˜}™‹2
Selanjutnya misalkan untuk setiap } |, ˜}™‹F N˜}™‹2 dan matriks
O € Q Q 9 Q9 Q99 W Q W Q9 • • Q Q 9 • W Q ‚
N˜}™‹2 O˜}™‹2 ˜˜~ ™‹F ˜~9™‹F W ˜~ ™‹F™˜}™‹2 € Q Q 9 Q9 Q99 W Q W Q9 • • Q Q 9 • W Q ‚ ˜}™‹2 Jika diambil } ~ , maka
˜˜~ ™‹F ˜~9™‹F W ˜~ ™‹F™˜~ ™‹2 € Q Q 9 Q9 Q99 W Q W Q9 • • Q Q 9 • W Q ‚ ˜~ ™‹2 ˜˜~ ™‹F ˜~9™‹F W ˜~ ™‹F™ œ 1 0 • 0 • € Q Q 9 Q9 Q99 W Q W Q9 • • Q Q 9 • W Q ‚ œ 1 0 • 0 • ˜~ ™‹F € Q Q9 • Q ‚
Demikian juga jika berturut-turut diambil } ~9, … , } ~ , maka
˜~9™‹F € Q 9 Q99 • Q 9 ‚ , … , ˜~ ™‹F € Q Q9 • Q ‚
Akhirnya diperoleh N O. Jadi, matriks tersebut tunggal.
■
Contoh 2.3.27
Diberikan ruang vektor '9. Misalkan ‹ 0„10…,„01…7 dan ‹9 0„10…,„11…7
„10… 1„10… g 0 „01… dan „11… 1„10… g 1 „01…
Dengan demikian diperoleh š„10…›‹
F „10… dan š„11…›‹
F „11…. Akhirnya dipe-roleh matriks transisi dari ‹9 ke ‹ sebagai berikut:
N „1 10 1…
Dalam contoh 2.3.27 tampak bahwa N dapat dibalik. Invers dari N ada-lah N „ 1 *10 1 …. Hal ini bukanlah suatu kebetulan. Secara umum, ma-triks transisi adalah mama-triks yang dapat dibalik. Teorema di bawah ini menun-jukkan hal tersebut.
Teorema 2.3.28
Misalkan ‹ } , }9, … , } dan ‹9 ~ , ~9, … , ~ adalah basis dari ruang vektor |. Jika N adalah matriks transisi dari ‹9 ke ‹ , maka
1. N dapat dibalik
2. N adalah matriks transisi dari ‹ ke ‹9
Bukti:
Misalkan N adalah matriks transisi dari ‹9 ke ‹ dan O adalah matriks transi-si dari ‹ ke ‹9. Untuk membuktikan teorema di atas, akan ditunjukkan
bah-wa NO . dan selanjutnya menyimpulkan bahwa O N untuk melengka-pi bukti. Misalkan
NO € m m 9 m9 m99 W m W m9 • • m m 9 • W m ^ ‚
Berdasar teorema 2.3.26 , untuk setiap } | berlaku ˜}™‹F N˜}™‹2 dan
˜}™‹2 O˜}™‹F. Akibatnya ˜}™‹2 O˜}™‹F N˜}™‹2 NO˜}™‹F ˜}™‹F € m m 9 m9 m99 W m W m9 • • m m 9 • W m ‚ ˜}™‹F
Jika diambil } } ‹ , maka diperoleh
˜} ™‹F € m m 9 m9 m99 W m W m9 • • m m 9 • W m ‚ ˜} ™‹F œ 1 0 • 0 • € m m 9 m9 m99 W m W m9 • • m m 9 • W m ‚ œ 1 0 • 0 • € m m9 • m ‚
Demikian pula jika berturut-turut diambil } }9, … , } } maka diperoleh
œ 0 1 • 0 • € m 9 m99 • m 9 ‚ ; … ; œ 0 0 • 1 • € m m9 • m ‚ Akhirnya diperoleh NO € m m 9 m9 m99 W m W m9 • • m m 9 • W m ‚ € 1 0 0 1 W 0W 0 • • 0 0 W 1• ‚ .
Berdasar teori matriks, jika NO . maka ON .. Jadi, N dapat dibalik dan
N O.
■
D. Transformasi Liner Definisi 2.4.1
Misalkan | dan ƒ adalah ruang vektor. Transformasi linear adalah fungsi
v: | ƒ yang memenuhi sifat:
i. v } g }9 v } g v }9 untuk setiap } , }9 |
ii. v } v } untuk setiap } | dan ).
Jika | ƒ, maka transformasi linear v disebut endomorfisma.
Contoh 2.4.2
1. Fungsi v: )9 )^ yang didefinisikan dengan
v } ‡ ,,9
, g ,9Š
untuk setiap } „,,9… )9 adalah transformasi linear.
2. Misalkan | adalah ruang vektor. Fungsi .: | | yang didefinisikan dengan . } } untuk setiap } | adalah transformasi linear. Transformasi linear seperti ini disebut transformasi identitas.
3. Misalkan untuk setiap r, } )9, fungsi v: )9 )9 didefinisikan
dengan v } I}. Dengan demikian
ii. v } I } I} v } dengan )
Dengan demikian v adalah transformasi linear. Karena v: )9 )9,
maka v disebut endomorfisma.
Teorema 2.4.3
Misalkan | dan ƒ adalah ruang vektor. Jika } , }9, … , } adalah basis dari
| dan ~ , ~9, … , ~ adalah sebarang vektor pada ƒ, maka terdapat tepat satu transformasi linear v: | ƒ sedemikian hingga v }E ~E untuk setiap
I 1,2, … , . Bukti
Misalkan }, ~ |. Maka, } 8 } g 89}9g W g 8 } dan ~ Q } g Q9}9g W g Q } dengan 8E, QE ). Definisikan v: | ƒ dengan
v } v 8 } g 89}9g W g 8 } 8 ~ g 89~9g W g 8 ~
Jelas bahwa v }E ~E untuk setiap I. Selain itu v adalah transformasi linear karena 1. v } g ~ v 8 g Q } g 89g Q9 }9g W g 8 g Q } 8 g Q ~ g 89g Q9 ~9g W g 8 g Q ~ 8 ~ g W g 8 ~ g Q ~ g W g Q ~ v } g v ~ 2. Untuk setiap ) v } v 8 } g 89}9g W g 8 } 8 ~ g 89~9g W g 8 ~ 8 ~ g 89~9g W g 8 ~ v }
Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketunggalan. Misalkan vl: | ƒ adalah transformasi linear yang memenuhi vl }E ~E untuk setiap I. Dengan de-mikian
v } v 8 } g W g 8 } 8 v } g W g 8 v }
8 vl } g W g 8 vl } vl 8 } g W g 8 } vl }
■
Definisi 2.4.4
Misalkan v: | ƒ adalah transformasi linear. Kernel dari v dinotasikan dengan z1] v dan didefinisikan dengan
z1] v } ||v } 0 .
Sedangkan bayangan dari v dinotasikan dengan .B v dan didefinisikan dengan
.B v ~ ƒ|~ v } , } | .
Berdasar definisi ruang bagian, dapat ditunjukkan bahwa z1] v