REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA

i

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh:

Antonius Yudhi Anggoro NIM: 053114014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

ii

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the SARJANA SAINS Degree

In Mathematics

By:

Antonius Yudhi Anggoro Student Number: 053114014

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

iii Disusun oleh: Antonius Yudhi Anggoro

NIM: 053114014

Telah disetujui oleh

Pembimbing

iv

Dipersiapkan dan ditulis oleh : Antonius Yudhi Anggoro

NIM : 053114014

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tanggal 27 Juni 2009

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap

Ketua : Prof. Dr. Frans Susilo, SJ

Sekretaris : M.V. Any Herawati, S.Si, M.Si.

Anggota : Wanty Widjaya, M.Ed.

v

!

"

#

# #

$

$

$

# %

$

# &

'

!() * !

#

)

)

#

+

$

,

'

vi

lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagai ma-na layaknya sebuah karya ilmiah.

Yogyakarta, 4 Juni 2009 Penulis

vii

viii

group as group of nonsingular matrices. This is done as follows: Given a finite group and complex field . Any is assosiated with matrix

ix

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : Antonius Yudhi Anggoro

Nomor Mahasiswa : 053114014

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

REPRESENTASI LINEAR GRUP BERHINGGA

beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, menga-lihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta,

Pada tanggal: 3 Juli 2009 Yang menyatakan

x

hingga skripsi dengan judul “Representasi Linear Grup Berhingga” ini dapat di-selesaikan tepat pada waktunya.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa selesainya skripsi ini tidak lepas dari dukungan, dorongan, kerjasama maupun bimbingan banyak pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapakan banyak terima kasih kepada:

1. Bapak Heru Kuntjoro dan Ibu Lisawati Soegiharto yang telah memberi bantuan dan dukungan sehingga penulis dapat melanjutkan pendidikan di tingkat perguruan tinggi.

2. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing sekaligus dosen penguji skripsi yang telah membimbing dan memberi masukan se-jak awal hingga selesainya skripsi ini.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ dan Ibu Wanty Widjaya, M.Ed. selaku dosen penguji yang telah memberi koreksi dan masukan kepada penulis. 4. Bapak Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T. selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ke-tua Program Studi Matematika.

xi kepada penulis selama masa kuliah.

8. Teman-teman mahasiswa angkatan 2005 prodi matematika Universitas Sanata Dharma.

9. Banyak pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 3 juli 2009

xii

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ……… ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING …...………. iii

HALAMAN PENGESAHAN ……… iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ………. v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ……...….. vi

HALAMAN ABSTRAK ……….……... vii

HALAMAN ABSTRACT ………... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ……….. ix

KATA PENGANTAR ……… . x

DAFTAR ISI ……….………. xii

BAB I PENDAHULUAN ………...…… 1

A. Latar Belakang Masalah ……….. 1

B. Rumusan Masalah ……….……..… 2

C. Batasan Masalah ………...…... 3

D. Tujuan Penulisan ………..……...…… 3

E. Metode Penulisan …………..………..……....…… 3

F. Manfaat Penulisan ………..……….………....…... 3

xiii

B. Homomorfisma Grup ………...…….. 17

C. Ruang Vektor ………...…..……. 24

D. Transformasi Linear ……….…....….. 41

BAB III REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL- 67 A. Representasi Grup Berhingga ………..…………...….. 67

B. Modul- ………...….. 74

C. Submodul- dan Ketereduksian ……….…. 89

D. Grup Aljabar ……….………...…... 98

E. Homomorfisma- ………..………..…...……….... 109

BAB IV TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR ………. 125

A. Teorema Maschke ………..……….…………...……. 125

B. Lema Schur ………...….. 136

BAB V PENUTUP ……….………...…. 146

A. Kesimpulan ………....………. 146

B. Saran ………..…... 147

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Teori representasi grup adalah cabang ilmu matematika yang membahas cara menyajikan grup sebagai grup matriks tak singular. Teori ini memiliki peran penting baik dalam disiplin ilmu matematika maupun dalam disiplin ilmu lain seperti fisika dan kimia.

Salah satu peran penting teori representasi grup dalam bidang matema-tika tampak kematema-tika para matemamatema-tikawan mencoba membukmatema-tikan teorema Burnside. Teorema Burnside menyatakan bahwa “ Misalkan , adalah bi-langan prima dan , adalah bilangan bulat tak negatif yang memenuhi

Teori representasi grup dikembangkan oleh seorang matematikawan Jerman bernama Ferdinand Georg Frobenius pada akhir tahun 1800-an. Fro-benius dilahirkan di Charlottenberg, Jerman. Ia memperoleh pendidikan ma-tematikanya dari Universitas Berlin dibawah bimbingan pengajar terkenal se-perti E. Kummer, L. Kronecker, dan K. Weierstrass. Setelah menyelesaikan masa studinya, Frobenius mengajar di almamaternya. Selepas dari sana ia mengajar di Eidgenossische Technische Hochschule (E.T.H). Selama menga-jar, ia banyak memberikan kontribusi dalam bidang matematika. Kontribu-sinya dalam berbagai topik. Fokusnya pada bidang aljabar berawal dari bukti teorema Sylow yang dipublikasikan pada tahun 1887. Semenjak itu ia mulai memfokuskan diri pada bidang aljabar sampai pada akhirnya menemukan teo-ri representasi. Beberapa tokoh lain yang berperan besar dalam pengemban-gan teori ini antara lain Richard Dedekind, William Burnside, Heinrich Maschke dan Schur.

Secara formal representasi dari grup atas lapangan kompleks dide-finisikan sebagai berikut: Misalkan adalah grup. Representasi dari atas lapangan kompleks adalah homomorfisma grup ρ dari ke grup linear umum , , yaitu grup matriks tak singular berukuran . Selanjutnya

disebut derajat dari representasi ρ.

Jadi, jika ρ , , maka ρ adalah suatu representasi jika dan hanya jika ρ ρ ρ untuk setiap , .

B. Rumusan Masalah

2. Bagaimana cara mengonstruksi representasi dari grup berhingga? 3. Bagaimana sifat representasi dari grup berhingga?

C. Batasan Masalah

1. Grup yang dibicarakan dalam skripsi ini adalah grup berhingga. 2. Skripsi ini tidak membahas representasi dari grup berhingga atas

sebarang lapangan , namun dibatasi pada lapangan kompleks . D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memahami representasi dari grup berhingga atas lapangan kompleks .

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan karangan ilmiah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu, di sini tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika.

F. Manfaat Penulisan

1. Memahami pengertian representasi dari suatu grup berhingga . 2. Pembaca dapat mengonstruksi suatu representasi.

3. Memahami sifat-sifat suatu representasi. G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

D. Tujuan Penulisan E. Metode Penulisan F. Manfaat Penulisan G. Sistematika Penulisan

BAB II GRUP DAN RUANG VEKTOR A. Grup

B. Homomorfisma Grup C. Ruang Vektor D. Transformasi Linear

BAB III REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN MODUL-A. Representasi Grup Berhingga

B.

Modul-C. Submodul- dan Ketereduksian D. Grup Aljabar

E. Homomorfisma-

BAB IV TEOREMA MASCHKE DAN LEMA SCHUR A. Teorema Maschke

B. Lema Schur BAB V PENUTUP

BAB II

GRUP DAN RUANG VEKTOR A. Grup

Definisi 2.1.1

Misalkan adalah himpunan takkosong. Operasi biner pada adalah fungsi

: dengan , | , . Selanjutnya, ,

di-notasikan dengan untuk setiap , .

Definisi 2.1.2

Grup adalah himpunan takkosong yang dilengkapi dengan operasi biner pada sedemikian hingga untuk setiap , , ,

1. (sifat assosiatif)

2. Terdapat elemen identitas, yaitu 1 yang memenuhi

1 1

3. Setiap mempunyai invers, yaitu yang memenuhi

1

Secara khusus, jika untuk setiap , , maka disebut grup Abel.

Banyaknya elemen grup berhingga disebut orde dari dan dinotasikan dengan | |.

Definisi 2.1.3

Misalkan adalah grup. Untuk setiap dan , berturut-turut dan didefinisikan dengan

…

! "!#

dan …

! "!#

Selain itu, % didefinisikan dengan % 1.

Contoh 2.1.4

1. Himpunan &, ' dan ( adalah grup abel terhadap operasi penjumlahan biasa. Selain itu ) * 0 adalah grup abel terhadap operasi perkalian bilangan kompleks.

2. Himpunan semua matriks tak singular berukuran , dengan entri bi-langan kompleks adalah grup terhadap operasi perkalian matriks. Grup ini disebut grup linear umum dan dinotasikan dengan - , ) . Matriks identitas . adalah elemen identitas dari - , ) .

3. Untuk setiap , semua akar kompleks persamaan , 1 diberi-kan dengan / 0, )|, 12345 6, 0,1, … , * 17. Terhadap operasi perkalian bilangan kompleks, / merupakan grup. Misalkan

Definisi 2.1.5

Misalkan adalah grup. Himpunan bagian takkosong : dari disebut grup bagian dari jika dan hanya jika

1. Untuk setiap , :, : 2. Untuk setiap :, :

Selanjutnya, notasi : ; digunakan untuk menyatakan bahwa : adalah grup bagian dari .

Contoh 2.1.6

Untuk setiap grup , 1 dan adalah grup bagian dari .

Teorema 2.1.7

Misalkan : adalah himpunan bagian takkosong dari grup . Himpunan : adalah grup bagian dari jika dan hanya jika memenuhi:

Jika , :, maka :

Bukti

<

Misalkan : grup bagian dari . Jelas bahwa 1 :. Kemudian misalkan

, :. Menurut definisi 2.1.5, :. Akibatnya :.

=

:. Dengan demikian, berdasar asumsi 2 , :. Jadi,

: adalah grup bagian dari .

■

Teorema 2.1.8

Misalkan adalah grup dan 8 . Himpunan bagian 8 | & dari ada-lah grup bagian dari . Grup bagian dari ini disebut grup bagian siklik dari

yang dibangun oleh 8 dan dinotasikan dengan ?8@. Bukti

Jelas bahwa 8 | & takkosong karena 8 8 8 | & . Selanjutnya misalkan , 8 | & . Dengan demikian 8 dan 8A untuk su-atu , B &.

1. 8 8A 8 CA. Jadi, 8 | & .

2. 8 . Karena * &, akibatnya 8 | & . Jadi, 8 | & adalah grup bagian dari .

■

Contoh 2.1.9

Grup / dan & adalah grup siklik. Pembangun dari / adalah 8 12645 se-dangkan pembangun dari & adalah *1 dan 1.

Teorema 2.1.10

Misalkan adalah grup dan , . Himpunan bagian ? , @ dari yang diberikan dengan ? , @ D, |, EF GF E2 G2… E5 G5H (dalam hal ini dan I_#, J_# & untuk setiap 1,2, … , ) adalah grup bagian dari . Grup bagian ? , @ dari ini disebut grup bagian dari yang dibangun oleh

dan . Bukti

Jelas bahwa ? , @ takkosong. Selanjutnya misalkan ,, K ? , @ Dengan demikian , dan K dapat dinyatakan dengan , EF GF E2 G2… E5 G5 _dan

K #F LF #2 L2… #M LM_{. Lebih jauh,}

1. ,K EF GF E2 G2… E5 G5 #F LF #2 L2… #M LM ? , @ 2. , EF GF E2 G2… E5 G5

G5 E5… G2 E2 GF EF

% G5 E5… G2 E2 GF EF % ? , @ Jadi, ? , @ adalah grup bagian dari .

■

Definisi 2.1.11

lah fungsi P: N O yang memenuhi

1. Untuk setiap ,, K N, jika P , P K maka , K

2. Untuk setiap K O terdapat , N sedemikian hingga P , K

Fungsi P: N O yang memenuhi sifat 1 pada definisi 2.1.11 disebut fungsi injektif sedangkan fungsi P: N O yang memenuhi sifat 2 pada de-finisi 2.1.11 disebut fungsi surjektif. Dengan demikian fungsi bijektif adalah fungsi yang surjektif sekaligus injektif.

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi P: N O adalah fungsi bijektif jika dan hanya jika terdapat fungsi P : O N sedemikian hingga P P 8

8 dan P P Q Q untuk setiap 8 N dan Q O. Jika fungsi P ada,

P disebut invers dari P dan P dikatakan dapat dibalik.

Definisi 2.1.12

Permutasi dari himpunan N adalah fungsi bijektif P: N N.

Teorema 2.1.13

Misalkan N adalah himpunan takkosong dan R_S adalah himpunan semua per-mutasi pada N. Terhadap operasi komposisi fungsi, R_S adalah grup.

Bukti

.P 8 P 8 . Jadi, . adalah identitas R_S. Karena permutasi adalah fungsi bijektif, untuk setiap P R_S terdapat P R_S sedemikian hingga PP

PP .. Dengan demikian R_S adalah grup terhadap operasi komposisi fung-si.

■ ■ ■ ■

Definisi 2.1.14

Misalkan R 1,2, … , dengan . Himpunan semua permutasi dari R yang dilengkapi dengan operasi komposisi fungsi disebut grup simetrik ber-derajat dan dinotasikan dengan R . Orde dari R adalah |R | ! dan se-tiap U R dinotasikan dengan

U V 1_{U 1 U 2}2 W_{W U X}

Definisi 2.1.15

Misalkan 8, Q R . Grup dihedral adalah grup bagian Y₉ ?8, Q@ dari R yang memenuhi 8 Q9 1 dan Q 8Q 8 untuk setiap dan

Z 2. Orde dari Y₉ adalah 2 .

Sebagai akibat dari sifat Q 8Q 8 , setiap , Y₉ dapat dinyatakan dengan , QE8G untuk suatu I, J &. Selanjutnya karena 8 Q9 1, maka

I 0,1 dan J 0,1, … , * 1. Dengan demikian,

Definisi 2.1.16

Misalkan dan [ , [₉, … , [_\ anggota himpunan R 1,2, … , dengan

] ; . Putaran [ [₉ W [_\ dengan panjang ] adalah permutasi U yang di-definisikan dengan U [ [₉, U [₉ [_^, … , U [_\ [ dan U [ [ un-tuk setiap [ R namun [ _ [_E untuk setiap I 1,2, … , ]. Jika ] 2 maka pu-taran [ [₉ disebut transposisi.

Contoh 2.1.17

Diberikan R 1,2,3,4 . Putaran 1 2 4 dan transposisi 1 3 berturut-turut merupakan permutasi

U b 1 2_{2 4} 3 4_{3 1 c} dan U₉ b 1 2

3 2 3 41 4 c

Definisi 2.1.18

Misalkan adalah grup, dan : grup bagian dari . Koset kiri dari : dalam yang memuat adalah himpunan : | : . Sedangkan ko-set kanan dari : dalam yang memuat adalah himpunan :

| : dari .

Contoh 2.1.19

Diberikan grup R_^ 1 , 1 2 , 1 3 , 2 3 , 1 2 3 , 1 3 2 dan grup ba-gian : 1 , 1 3 dari R_^. Koset-koset kiri dari : dalam diberikan se-bagai berikut

1 2 : 1 2 , 1 2 1 3 1 2 , 1 3 2 1 3 2 :

1 3 : 1 3 , 1 3 1 3 1 3 , 1 :

2 3 : 2 3 , 2 3 1 3 2 3 , 1 2 3 1 2 3 :

Koset-koset kiri (kanan) dari : dalam yang berbeda memartisi . Ar-tinya, setiap elemen dari tepat berada pada salah satu koset tersebut. De-ngan demikian merupakan gabungan dari koset-koset tersebut. Contoh 2.1.19 memberikan gambaran yang jelas tentang hal ini.

Teorema 2.1.20 (Teorema Lagrange)

Jika adalah grup berhingga dan : adalah grup bagian dari , maka |:| membagi | |.

Bukti

Misalkan : , : ₉, … , : _\ adalah semua koset kanan dari : dalam yang semuanya berbeda. Pandang fungsi P: : : _E yang didefinisikan dengan

P E untuk setiap I 1,2, … , ] dan :. Akan ditunjukkan bahwa P

fungsi bijektif.

Misalkan , ₉ :. Jika P P ₉ , maka

P P 9

E 9 E

E E 9 E E

Jadi, P injektif. Selanjutnya jika diambil sebarang K _E : _E, maka ter-dapat :, yaitu dengan memilih , sedemikian hingga P K. Ja-di, P surjektif. Karena P surjektif dan injektif maka P bijektif. Dengan demi-kian |:| |: _E| untuk setiap I.

Dengan mengingat bahwa : d : ₉d … d : _\ dan : _Ee : _G f jika I _ J, maka

| | |: d : 9d … d : \|

|: | g |: 9| g W g |: \|

|:| g |:| g W g |:|

! "!# \

]|:| Jadi, |:| membagi | |.

■ ■ ■ ■

Definisi 2.1.21

Misalkan : adalah grup bagian dari grup . Banyaknya koset kiri (kanan) da-ri : dalam yang berbeda disebut indeks : : dari : dalam . Jika ber-hingga, maka : : | |/|:|

Definisi 2.1.22

Contoh 2.1.23

Untuk setiap grup , 1 dan adalah grup bagian normal. Jika grup abel, maka setiap grup bagian : dari adalah grup bagian normal.

Teorema 2.1.24

Misalkan : adalah grup bagian normal dari grup . Himpunan /:

:8|8 adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan

:8 :Q : 8Q untuk setiap 8, Q . Grup seperti ini disebut grup fak-tor dari oleh :.

Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi biner yang didefinisikan den-gan :8 :Q : 8Q untuk setiap 8, Q well-defined, yaitu untuk se-tiap :8, :8k, :Q, :Ql /:, jika :8 :8l dan :Q :Ql maka : 8Q

: 8k_{Ql . Jelas bahwa 8}k ₁₈k _{:8l. Karena :8 :8l, akibatnya 8l :8.}

Dengan demikian 8k 8 untuk suatu :. Demikian pula jelas bahwa

Qk _1Qk _{:Ql. Karena :Q :Ql, akibatnya Ql :Q. Dengan demikian}

Qk

9Q untuk suatu ₉ :. Selanjutnya diperoleh

:8k_{Ql : 8 9Q}

:8 9Q

8: 9Q

8:Q

Jadi, operasi biner tersebut well-defined. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

/: adalah grup.

1. Untuk setiap :8, :Q, :m /:,

:8 :Q :m :8 : Qm : 8 Qm : 8Q m

: 8Q : m :8 :Q :m

2. Himpunan /: memuat elemen identitas, yaitu :1 : /:. Un-tuk setiap :8 /:, ::8 :8: :8.

3. Setiap :8 /: memiliki invers :8 :8 /:. Perhati-kan bahwa :8:8 :8 :8 :.

Jadi, /: adalah grup.

■ ■ ■ ■

Teorema 2.1.25

Misalkan , ₉, … , adalah grup. Himpunan

9 … , 9, … , | E E; I 1,2, … ,

adalah grup terhadap operasi biner yang didefinisikan dengan

, 9, … , , 9, … , , 9 9, … ,

untuk setiap , ₉, … , , , ₉, … , ₉ … . Grup ini di-sebut dengan darab langsung dari , ₉, … , .

Bukti

Misalkan , … , , , … , dan , … , berturut-turut

elemen grup ₉ …

, … , , … ,

, … ,

, … ,

, … , , … ,

, … , , … , , … ,

2. Terdapat elemen identitas, yaitu 1,1, … ,1 ₉ … .

3. Setiap , ₉, … , ₉ … mempunyai invers, yaitu

, 9 , … ,

Jadi, ₉ … adalah grup.

■ ■ ■ ■

Jika , ₉, … , masing-masing adalah grup berhingga, maka

9 … juga merupakan grup berhingga. Orde dari ₉ … adalah | ₉ … | | || ₉| … | |.

B. Homomorfisma Grup Definisi 2.2.1

Misalkan dan : adalah grup. Fungsi o: : disebut homomorfisma jika

Jika o bijektif, maka o disebut isomorfisma dan dikatakan isomorfis :. Notasi yang biasa dipakai untuk menyatakan bahwa isomorfis : adalah

p :.

Teorema 2.2.2

Jika P: : adalah homomorfisma grup dan P dapat dibalik, maka invers dari P juga merupakan homomorfisma grup.

Bukti

Misalkan 8, Q dan P adalah invers dari P.

P P 8 P Q P P 8 P P Q

P P 8 P Q 8Q P bP P 8 P Q c P 8Q P 8 P Q P 8Q Jadi, P adalah homomorfisma.

■ ■ ■ ■

Contoh 2.2.3

1. Misalkan adalah grup Abel. Fungsi o: yang didefinisikan dengan o untuk setiap adalah suatu homomorfisma

karena jika , maka o

o o o o .

2. Diberikan grup Y₉ ?8, Q|8 Q9 1, Q 8Q 8 @. Setiap

memenuhi 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; * 1. Misalkan : adalah sebarang grup yang memuat elemen , dan K yang memenuhi , K9 1 dan

K ,K , . Fungsi o: Y₉ : yang didefinisikan dengan

o QE₈G _KE_,G _{untuk setiap Q}E₈G _{Y9 adalah homomorfisma.}

Un-tuk menunjukkan hal ini, misalkan 0 ; ] ; 1, 0 ; [ ; * 1,

0 ; q ; 1 dan 0 ; r ; * 1. Karena Y₉ adalah grup, akibatnya

Q\_{8 Q}s₈t _QE₈G _{untuk suatu 0 ; I ; 1 dan 0 ; J ; * 1. Lebih}

jauh, I dan J ditentukan oleh persamaan 8 Q9 1 dan Q 8Q

8 .

Karena , K9 1 dan K ,K , , dapat disimpulkan pula bah-wa K\, Ks,t KE,G. Dengan demikian

u Q\_{8 Q}s₈t _{u Q}E₈G

KE_,G

K\_{, K}s_,t

u Q\_{8 u Q}s₈t

Jadi, u adalah homomorfisma.

Teorema 2.2.4

Jika adalah grup, maka terdapat grup permutasi l sedemikian hingga

p l. Bukti

Misalkan adalah grup dan . Pertama-tama didefinisikan fungsi

vw , vw K maka

, K

, K

, K

Jadi, v_w injektif. Selanjutnya untuk setiap , , ambil K , . Perha-tikan bahwa v_w K v_w , , ,. Dengan demikian v_w surjektif. Karena v_w bijektif, dapat disimpulkan bahwa v_w adalah permutasi untuk setiap

.

Bentuk himpunan l Dv_w| H. Himpunan l adalah grup terhadap ope-rasi komposisi fungsi. Untuk menunjukkan hal ini, misalkan , . Maka,

vw, vx l. Dengan demikian untuk setiap , ,

vwvx , vw vx , vw , , , vwx ,

Jadi, l tertutup terhadap operasi komposisi fungsi. Perlu diingat bahwa ope-rasi komposisi fungsi bersifat asosiatif. Selanjutnya l memuat elemen identi-tas, yaitu v : yang didefinisikan dengan v , 1, , untuk setiap

, . Akhirnya, untuk setiap v_w l pilih v_wyF l. Perhatikan bahwa

un-tuk setiap ,

vwvwyF , v_wyFv_w , , v ,

Selanjutnya definisikan P: l dengan P v_w untuk setiap . Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa P adalah homomorfisma. Untuk setiap

, , P v_wx v_wv_x P P .

Jika P P maka v_w v_x. Akibatnya, , , untuk setiap , . Akhirnya diperoleh . Jadi, P injektif. Selanjutnya untuk setiap v_w l pilih , . Perhatikan bahwa P , P v_w. Jadi, P surjektif. Ka-rena P bijektif dan memenuhi sifat homomorfisma, maka P adalah isomor-fisma. Dengan demikian p l.

■ ■ ■ ■

Definisi 2.2.5

Misalkan o: : adalah homomorfisma. Kernel dari o dinotasikan dengan

z1] o dan didefinisikan dengan

z1] o |o 1

Sedangkan bayangan dari o dinotasikan dengan .B o dan didefinisikan dengan

.B o :| o ,

Teorema 2.2.6

Jika o: : adalah homomorfisma, maka : z1] o adalah grup bagian normal .

Bukti

1. Jelas bahwa 1 : karena o 1 1.

2. Misalkan 8, Q :. Maka o 8Q o 8 o Q 1 o Q 1. Akibatnya, 8Q :.

Dengan demikian, : grup bagian dari .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa 8: :8 untuk setiap 8 . Jika

, 8:, maka , 8 untuk suatu :. Dengan demikian o ,

o 8 o 8 o o 8 . Jadi, o , o 8 . Selanjutnya,

o , o 8

o , o 8 *1 1

o , o 8 1

o ,8 1

Jadi, ,8 :. Dengan demikian ,8 ₉ untuk suatu ₉ :. Akhirnya,

, 98 :8. Jika , :8, maka , ^8 untuk suatu ^ :. Dengan

demikian o , o _^8 o _^ o 8 o 8 . Jadi, o , o 8 . Selan-jutnya,

o , o 8

1 o , *1o 8

1 o , o 8

1 o , 8

Jadi, , 8 :. Dengan demikian , 8 _{ untuk suatu _{ :. Akhirnya,

, 8 { 8:. Jadi, 8: :8 untuk setiap 8 . Dengan kata lain,

Teorema 2.2.7

Jika fungsi P: l adalah homomorfisma grup dan : z1] P , maka

/: p .B P . Bukti

Didefinisikan fungsi o: /: .B P yang diberikan dengan o :8 P 8 untuk setiap 8 . Pertama-tama akan dibuktikan bahwa owell-defined. Mi-salkan :8, :Q /: dan :8 :Q. Maka 8 Q :. Sehingga

P 8 Q 1 P 8 P Q 1

P 8 P Q 1

P Q P 8

Jadi, owell-defined. Selanjunya akan ditunjukkan bahwa o isomorfisma. Un-tuk setiap :8, :Q /:,

o :8 :Q o :8Q P 8Q P 8 P Q o :8 o :Q

Jadi, o memenuhi sifat homomorfisma. Selanjutnya jika o :8 o :Q maka P 8 P Q . Sehingga 8 Q :. Jadi, :8 :Q. Jadi, o injektif. Se-lanjutnya misalkan K .B P . Dengan demikian terdapat , sedemikian hingga P , K. Karena , , jelas bahwa :, /:. Jadi, untuk setiap

K .B P terdapat :, /: sedemikian hingga o :, P , K. Jadi,

o surjektif. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa o isomorfisma. Dengan de-mikian, /: p .B P .

C. Ruang Vektor Definisi 2.3.1

Ruang Vektor | atas lapangan kompleks ) adalah himpunan takkosong | yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan antara dua anggota | serta ope-rasi perkalian skalar antara } | dengan ), sedemikian hingga untuk se-tiap r, }, ~ | dan , • )

1. r g } | 2. r g } } g r

3. r g } g ~ r g } g ~

4. Terdapat 0 | sedemikian hingga 0 g } } g 0 } untuk setiap

} |.

5. Untuk setiap } |, terdapat *} | sedemikian hingga } g *}

*} g } 0

6. } |

7. r g } r g } 8. g • } } g •}

9. • } •}

10.1} }

Selanjutnya, setiap anggota | disebut vektor dan setiap anggota ) disebut

skalar.

Contoh 2.3.2

1. Misalkan | adalah himpunan semua matriks ukuran 2 2 yang ang-gota-anggotanya bilangan kompleks. Maka, | adalah ruang vektor bi-la operasi penjumbi-lahan didefinisikan sebagai penjumbi-lahan matriks dan operasi perkalian skalar didefinisikan sebagai perkalian skalar dengan matriks.

2. Misalkan . Himpunan ) yaitu himpunan semua pasangan teru-rut , , ,₉, … , , dengan , , ,₉, … , , ) adalah ruang vektor terha-dap lapangan ) jika penjumlahan dan perkalian skalar dalam ) ber-turut-turut didefinisikan dengan

, , ,9, … , , g K , K9, … , K , g K , ,9g K9, … , , g K

, , ,9, … , , , , ,9, … , ,

untuk setiap , , ,₉, … , , , K , K₉, … , K ) dan ). Dalam pembahasan selanjutnya, setiap , , ,₉, … , , ) akan dituliskan dengan menggunakan matriks kolom, yaitu

, , ,9, … , , €

, ,9

• ,

‚

Definisi 2.3.3

Jika | adalah ruang vektor dan ƒ adalah himpunan bagian takkosong dari |, maka ƒ adalah ruang bagian dari | jika dan hanya jika:

Dapat ditunjukkan bahwa ruang bagian adalah himpunan bagian dari suatu ruang vektor | yang juga merupakan ruang vektor dengan operasi pen-jumlahan dan operasi perkalian skalar yang didefinisikan dalam |.

Contoh 2.3.4

1. Untuk sebarang ruang vektor |, ƒ 0 dan | adalah ruang bagian dari |.

2. Himpunan ƒ yang diberikan dengan ƒ 0„,,… )9|, )7 adalah ruang bagian dari ruang vektor )9.

Definisi 2.3.5

Misalkan | adalah ruang vektor dan } |. Misalkan pula } , }₉, … , } |. Vektor } disebut kombinasi linear dari vektor-vektor } , }₉, … , } jika dan hanya jika } dapat dinyatakan dalam bentuk

} } g 9}9g W g }

Dengan demikian terbukti bahwa [† } , }₉, … , } adalah ruang bagian dari tor |. Himpunan ‹ dikatakan bebas linear jika satu-satunya solusi persamaan

Q g 9Q9g W g Q 0 adalah 9 W 0. Jika terdapat

solusi lain, maka ‹ dikatakan bergantung linear.

} „8Q… 8„10… g Q „01…. Kemudian „10… g 9„01… „0_0… jika dan

hanya jika •

9• „00…. Jadi, 0„10…,„

0

1…7 bebas linear.

Definisi 2.3.11

Misalkan ‹ Q , Q₉, … , Q adalah himpunan vektor-vektor pada ruang vek-tor |. Himpunan ‹ disebut basis dari | jika bebas linear dan merentang |.

Contoh 2.3.12

1. Himpunan 0„11…,„1

0…7 merentang ruang vektor )9 karena untuk setiap } „,_{K… )}9_{, } „},

K… K „1_{1… g , * K „}1_0…. Selain itu, persamaan

„11… g 9„10… „0_0… terpenuhi jika dan hanya jika • g 9• „00….

Akibatnya, diperoleh 0 dan ₉ 0. Dengan demikian 0„11…,„1

0…7

bebas linear. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa 0„11…,„1

0…7 adalah

ba-sis ruang vektor )9.

2. Dalam contoh 2.3.10.2 telah ditunjukkan bahwa 0„10…,„0

1…7 bebas

li-near dan merentang )9. Jadi, 0„10…,„0

1…7 basis dari )9. Basis seperti ini

Teorema 2.3.13

Misalkan ‹ } , }₉, … , } adalah basis ruang vektor |. Maka, setiap

} | hanya dapat dinyatakan dalam bentuk } m } g m₉}₉g W g m } tepat dengan satu cara m_E ), I 1,2, … , .

Bukti:

Karena ‹ adalah basis dari |, maka ‹ bebas linear dan merentang |. Dengan demikian, setiap } | dapat dinyatakan dalam bentuk } m } g m₉}₉g

W g m } . Sekarang misalkan } m } g m₉}₉g W g m } dan } } g

9}9g W g } . Maka,

0 m * } g m9* 9 }9g W g m * } .

Diketahui bahwa ‹ bebas linear. Akibatnya

m * 0; m9* 9 0; … ; m * 0. Maka diperoleh

m ; m9 9; … ; m

Jadi, setiap } | hanya dapat dinyatakan dalam bentuk } m } g m₉}₉g

W g m } tepat dengan satu cara.

■

Teorema 2.3.14

Misalkan ‹ Q , Q₉, … , Q adalah basis ruang vektor | dan ƒ

~ , ~9, … , ~A adalah himpunan sebarang vektor pada |. Jika B ‘ maka

ƒ bergantung linear. Bukti

’

Untuk menunjukkan bahwa ƒ bergantung linear, harus ditunjukkan bahwa terdapat , ₉, … , _A yang tidak semuanya nol sedemikian hingga persamaan

~ g 9~9g W g A~A 0 2 terpenuhi.

Dengan menggunakan persamaan-persamaan 1 , persamaan 2 dapat ditu-lis kembali dengan

8 g 98 9g W g A8 A Q

g 89 g 9899g W g A89A Q9

”

g 8 g 98 9g W g A8 A Q 0

Selanjutnya, berdasar sifat kebebasan linear ‹ diperoleh

’

Teorema 2.3.15

Misalkan ‹ Q , Q₉, … , Q adalah basis ruang vektor |. Jika ƒ

~ , ~9, … , ~A juga merupakan basis dari |, maka B.

Bukti

Pandang bentuk kontraposisi dari teorema 2.3.14. Karena ‹ basis dari | dan

ƒ bebas linear, maka B ; . Demikian pula karena ƒ basis dari | dan ‹ bebas linear, maka ; B. Dengan demikian B.

■ ■ ■ ■

Definisi 2.3.16

Banyaknya vektor dalam himpunan basis dari ruang vektor | disebut dimensi

dari | dan dinotasikan dengan •IB | .

Kecuali dikatakan sebaliknya, setiap ruang vektor dalam karya tulis ini adalah ruang vektor dengan dimensi berhingga, yaitu ruang vektor yang him-punan basisnya memilik berhingga banyak elemen. Dimensi ruang vektor

| 0 didefinisikan •IB | 0.

Definisi 2.3.17

Misalkan | adalah ruang vektor dan R } , }₉, … , } Ž | bebas linear. Himpunan R dikatakan himpunan bebas linear terbesar dari | jika untuk se-barang ~ |, himpunan ƒ ~, } , }₉, … , } bergantung linear.

Teorema 2.3.18 linear. Dengan kata lain persamaan

8%~ g 8 } g W g 8–} 0

memiliki solusi tak nol. Perhatikan bahwa 8_%_ 0 karena jika tidak demikian akan timbul kontradiksi, yaitu bahwa R bergantung linear. Akibatnya dipero-leh

Berdasar teorama 2.3.14, dan definisi 2.3.17, ‹ adalah himpunan bebas linear terbesar dari |. Kemudian berdasar teorema 2.3.18, ‹ adalah basis dari |.

Teorema 2.3.20

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi dan ƒ adalah ruang bagian da-ri |. Jika •IB ƒ , maka ƒ |.

Bukti

Misalkan } ƒ. Jelas bahwa } |. Kemudian misalkan } | dan

~ , ~9, … , ~ adalah basis dari ƒ. Dengan demikian ~ , ~₉, … , ~ bebas linear dan juga himpunan bagian dari |. Karena •IB | , berdasar teo-rema 2.3.19, ~ , ~₉, … , ~ adalah basis dari |. Jadi, } dapat dinyatakan se-bagai kombinasi linear dari ~ , ~₉, … , ~ . Akibatnya } ƒ. Akhirnya, dapat disimpulkan bahwa ƒ |.

■ ■ ■ ■

Teorema 2.3.21

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi . Jika ] adalah bilangan bulat positif yang memenuhi ] — dan } , }₉, … , }_\ Ž | bebas linear, maka ter-dapat vektor-vektor }_\C , }_\C9, … , } | sedemikian hingga } , }₉, … , } adalah basis dari |.

Bukti

Karena ] — , maka menurut teorema 2.3.15, } , }₉, … , }_\ bukan basis dari

|. Karena } , }₉, … , }_\ bukan basis dari |, maka menurut teorema 2.3.18

} , }9, … , }\ bukanlah himpunan bebas linear terbesar dari |. Akibatnya terdapat }_\C | sedemikian hingga } , }₉, … , }_\, }_\C bebas linear. Jika

] g 1 — , dengan penalaran yang sama, terdapat }_\C9 sedemikian hingga

sa-ma sampai ] akan diperoleh } , }₉, … , } bebas linear. Menurut teore-basis ‹ dinotasikan dengan ˜}™_‹ dan didefinisikan dengan

Akibatnya,

˜ }™‹ € _{• ‚}9 € _{• ‚}9 ˜}™‹

■

Teorema 2.3.26

Jika ‹ } , }₉, … , } dan ‹₉ ~ , ~₉, … , ~ adalah basis dari ruang vektor |, maka terdapat tepat satu matriks N berukuran , sedemikian hingga ˜}™_‹F N˜}™_‹2 untuk setiap } |. Matriks tersebut diberikan dengan

N ˜˜~ ™‹F ˜~9™‹F W ˜~ ™‹F™

Selanjutnya, matriks N tersebut dinamakan matriks transisi dari ‹₉ ke ‹ . Bukti:

Untuk setiap } ~ g ₉~₉g W g ~ |, berlaku

˜}™‹F ˜ ~ g 9~9g W ~ ™‹F

˜ ~ ™‹Fg ˜ 9~9™‹Fg W g ˜ ~ ™‹F

˜~ ™‹Fg 9˜~9™‹Fg W g ˜~ ™‹F

˜˜~ ™‹F ˜~9™‹F W ˜~ ™‹F™ € _{• ‚ N˜}™}9 ‹2

Selanjutnya misalkan untuk setiap } |, ˜}™_‹F N˜}™_‹2 dan matriks

O €

Q Q 9

Q9 Q99

W Q W Q9

• •

Q Q 9

• W Q

‚

N˜}™‹2 O˜}™‹2

Akhirnya diperoleh N O. Jadi, matriks tersebut tunggal.

■

Contoh 2.3.27

Diberikan ruang vektor '9. Misalkan ‹ 0„10…,„0

1…7 dan ‹9 0„10…,„1_1…7

„10… 1„10… g 0 „01… dan „11… 1„10… g 1 „01…

Dengan demikian diperoleh š„10…›

‹F „10…

dan š„11…›

‹F „11…

. Akhirnya

dipe-roleh matriks transisi dari ‹₉ ke ‹ sebagai berikut:

N „1 1_{0 1…}

Dalam contoh 2.3.27 tampak bahwa N dapat dibalik. Invers dari N ada-lah N „ 1 *1

0 1 …. Hal ini bukanlah suatu kebetulan. Secara umum,

ma-triks transisi adalah mama-triks yang dapat dibalik. Teorema di bawah ini menun-jukkan hal tersebut.

Teorema 2.3.28

Misalkan ‹ } , }₉, … , } dan ‹₉ ~ , ~₉, … , ~ adalah basis dari ruang vektor |. Jika N adalah matriks transisi dari ‹₉ ke ‹ , maka

1. N dapat dibalik

2. N adalah matriks transisi dari ‹ ke ‹₉ Bukti:

Berdasar teori matriks, jika NO . maka ON .. Jadi, N dapat dibalik dan

N O.

■

D. Transformasi Liner Definisi 2.4.1

Misalkan | dan ƒ adalah ruang vektor. Transformasi linear adalah fungsi

v: | ƒ yang memenuhi sifat:

i. v } g }₉ v } g v }₉ untuk setiap } , }₉ | ii. v } v } untuk setiap } | dan ).

Jika | ƒ, maka transformasi linear v disebut endomorfisma.

Contoh 2.4.2

1. Fungsi v: )9 )^ yang didefinisikan dengan

v } ‡ ,,9

, g ,9Š

untuk setiap } „,_,

9… )9 adalah transformasi linear.

2. Misalkan | adalah ruang vektor. Fungsi .: | | yang didefinisikan dengan . } } untuk setiap } | adalah transformasi linear. Transformasi linear seperti ini disebut transformasi identitas.

3. Misalkan untuk setiap r, } )9, fungsi v: )9 )9 didefinisikan dengan v } I}. Dengan demikian

ii. v } I } I} v } dengan )

Dengan demikian v adalah transformasi linear. Karena v: )9 )9, maka v disebut endomorfisma.

Teorema 2.4.3

Misalkan | dan ƒ adalah ruang vektor. Jika } , }₉, … , } adalah basis dari

| dan ~ , ~₉, … , ~ adalah sebarang vektor pada ƒ, maka terdapat tepat satu transformasi linear v: | ƒ sedemikian hingga v }_E ~_E untuk setiap

I 1,2, … , . Bukti

Misalkan }, ~ |. Maka, } 8 } g 8₉}₉g W g 8 } dan ~ Q } g

Q9}9g W g Q } dengan 8E, QE ). Definisikan v: | ƒ dengan

v } v 8 } g 89}9g W g 8 } 8 ~ g 89~9g W g 8 ~

Jelas bahwa v }_E ~_E untuk setiap I. Selain itu v adalah transformasi linear karena

1. v } g ~ v 8 g Q } g 8₉g Q₉ }₉g W g 8 g Q }

8 g Q ~ g 89g Q9 ~9g W g 8 g Q ~

8 ~ g W g 8 ~ g Q ~ g W g Q ~

v } g v ~ 2. Untuk setiap )

v } v 8 } g 89}9g W g 8 }

8 ~ g 89~9g W g 8 ~

Selanjutnya akan dibuktikan sifat ketunggalan. Misalkan vl: | ƒ adalah transformasi linear yang memenuhi vl }_E ~_E untuk setiap I. Dengan de-mikian

v } v 8 } g W g 8 } 8 v } g W g 8 v }

8 vl } g W g 8 vl } vl 8 } g W g 8 } vl }

■

Definisi 2.4.4

Misalkan v: | ƒ adalah transformasi linear. Kernel dari v dinotasikan dengan z1] v dan didefinisikan dengan

z1] v } ||v } 0 .

Sedangkan bayangan dari v dinotasikan dengan .B v dan didefinisikan dengan

.B v ~ ƒ|~ v } , } | .

Berdasar definisi ruang bagian, dapat ditunjukkan bahwa z1] v ada-lah ruang bagian dari | dan .B v adalah ruang bagian dari ƒ.

Teorema 2.4.5

Misalkan | adalah ruang vektor dan v: | ƒ adalah transformasi linear. Maka •IB z1] v g •IB .B v •IB |

Bukti

2.3.20, z1] v |. Akibatnya, .B v 0 sehingga •IB .B v 0. Dengan demikian •IB z1] v g •IB .B v •IB | .

Selanjutnya akan ditinjau untuk kasus ] — . Basis } , }₉, … , }_\ dapat di-perluas menjadi basis dari | yaitu menjadi } , }₉, … , }_\, }_\C , … , } . Misal-kan v }_\CE ~_E untuk I 1,2, … , * ]. Maka, untuk setiap } 8 } g

W g 8 } |

v 8 } g W g 8 } v 8 } g W g 8\}\ g v 8\C }\C g W g 8 }

v 8\C }\C g W g 8 }

8\C ~ g W g 8 ~ \

Dengan demikian .B v [† ~ , … , ~ _\ . Kemudian misalkan m ~ g

m9~9g W g m \~ \ 0. Maka,

v m }\C g W g m \} m v }\C g W g m \v }

m ~ g W g m \~ \ 0

Jadi, m }_\C g W g m _\} z1] v . Akibatnya, m }_\C g W g m _\} da-pat dinyatakan kembali dengan

m }_\C g W g m _\} } g W g _\}_\

* } * W * \}\g m }\C g W g m \} 0

Namun } , }₉, … , } bebas linear, akibatnya m m₉ W m _\ 0. Dengan demikian, ~ , … , ~ _\ bebas linear. Akhirnya, dapat disimpulkan bahwa ~ , … , ~ _\ adalah basis dari .B v dan •IB .B v * ]. Ja-di, •IB z1] v g •IB .B v •IB | .

Contoh 2.4.6

1. Diberikan v: | ƒ, yaitu transformasi linear yang didefinisikan dengan v } 0 untuk setiap } |. Maka, z1] v | dan

.B v 0 .

2. Diberikan v: | |, yaitu transformasi linear yang didefinisikan den-gan v } 3} untuk setiap } |. Maka, z1] v 0 dan

.B v |.

Teorema 2.4.7

Misalkan v: | ƒ adalah transformasi linear. Transformasi linear v injektif jika dan hanya jika z1] v 0 .

Bukti

<

Misalkan v injektif dan } z1] v . Maka v } 0 v 0 . Karena v in-jektif, maka } 0. Jadi, z1] v 0 .

=

Misalkan z1] v 0 dan v } v }₉ untuk setiap } , }₉ |. Maka,

v } * v }9 0

v } * }9 0

Karena z1] v 0 , maka } * }₉ 0. Akibatnya, } }₉. Jadi, v injek-tif.

Contoh 2.4.8

Transformasi linear dalam contoh 2.4.6.2 adalah transformasi linear yang bi-jektif.

Teorema 2.4.9

Jika v: | ƒ adalah transformasi linear yang dapat dibalik dan v adalah invers dari v, maka v juga merupakan transformasi linear.

Bukti:

Misalkan r, ~ ƒ dan ). Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa

v r g ~ v r g v ~ .

v v r g v ~ v v r g v v ~

v v r g v ~ r g ~ v bv v r g v ~ c v r g ~ v r g v ~ v r g ~ Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa v r v r

v v r v v r

v v r r v bv v r c v r v r v r Jadi, v adalah transformasi linear.

Teorema 2.4.10

Jika v: | | adalah endomorfisma, maka ketiga pernyataan berikut ekivalen 1. v dapat dibalik

2. z1] v 0

3. .B v |

Bukti

1 < 2

Telah dibuktikan dalam pembuktian teorema 2.4.7.

2 < 3

Misalkan z1] v 0 . Maka •IB z1] v 0. Dengan menggunakan teorema 2.4.5, •IB .B v •IB | * •IB z1] v •IB | . Berda-sar teorema 2.3.20. .B v |.

3 < 1

Misalkan .B v |. Maka, untuk setiap } |, ada ~ | sedemikian hingga v ~ }. Jadi v surjektif. Kemudian berdasar teorema 2.4.5 dan

•IB z1] v •IB | * •IB .B v 0. Jadi, z1] v 0 . Berdasar teorema 2.4.7, v injektif. Karena v injektif dan surjektif, maka v dapat diba-lik.

■

Definisi 2.4.11

). Untuk setiap } |, fungsi-fungsi v g v₉, v v₉, dan v didefinisikan dengan

v g v9 } v } g v9 }

v v₉ } v v₉ } v } v }

Teorema 2.4.12

Jika v : | | dan v₉: | | masing-masing adalah endomorfisma, maka fungsi-fungsi v g v₉, v v₉, dan v adalah endomorfisma.

Bukti

Misalkan } , }₉ | dan , ). Pertama-tama akan dibuktikan bahwa

v g v9 adalah endomorfisma. Jelas bahwa v g v9: | |. Kemudian,

i. v g v₉ } g }₉ v } g }₉ g v₉ } g }₉

v } g v }9 g v9 } g v9 }9

v } g v9 } g v }9 g v9 }9

v g v9 } g v g v9 }9

ii. v g v₉ } v } g v₉ }

v } g v9 }

v } g v9 }

v g v9 }

Jadi, v g v₉ adalah endomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa v v₉ adalah endomorfisma. Jelas bahwa v v₉: | |. Kemudian,

v v9 } g v9 }9

v v9 } g v v9 }9

v v9 } g v v9 }9 ii. v v₉ } v v₉ }

v v9 }

v v9 }

v v9 }

Jadi, v v₉ adalah endomorfisma. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa v adalah endomorfisma. Jelas bahwa v₉: | |. Kemudian,

i. v } g }₉ v } g }₉

v } g v }9

v } g v }9

v } g v }9

ii. v v }

v }

v }

v } Jadi, v adalah endomorfisma.

■

Contoh 2.4.13

turut didefinisikan dengan v b„,_{K…c • , * 2K •}, g K dan v₉b„_{K…c •}, _{*2, g 4K•}, * 2K

untuk setiap „_{K… '}, 9. Maka, transformasi linear v g v₉, v v₉ dan 3v bertu-rut-turut didefinisikan dengan

v g v9 b„,_{K…c v b„},_{K…c g v}9b„,_{K…c • , * 2K • g •}, g K _{*2, g 4K•}, * 2K

• 2, * K_{*, g 2K•}

v v9b„_{K…c v žv}, 9b„,_{K…cŸ v V•*2, g 4K•X}, * 2K

• , * 2K g *2, g 4K_{, * 2K * 2 *2, g 4K • •5, * 10K•}*, g 2K

3v b„,_{K…c 3 • , * 2K • •} , g K 3, g 3K_{3, * 6K •}

Teorema 2.4.14

Misalkan v: | | adalah endomorfisma. Jika ‹ } , }₉, … , } adalah ba-sis dari |, maka terdapat secara tunggal matriks ˜v™_‹ berukuran sede-mikian hingga ˜v } ™_‹ ˜v™_‹˜}™_‹ untuk setiap } |. Matriks tersebut di-berikan dengan

˜v™‹ ˜˜v } ™‹ ˜v }9 ™‹ W ˜v } ™‹™

Selanjutnya matriks tersebut dinamakan matriks dari v relatif terhadap basis ‹.

Bukti

Dengan demikian diperoleh matriks dari v relatif terhadap basis ‹ dan matriks dari v relatif terhadap basis ‹₉ sebagai berikut:

˜v™‹F „ 1 1 1 *2 … dan ˜v™‹2 „ 0 31 *1 …

2. Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi . Fungsi .: | | yang didefinisikan dengan v } } untuk setiap } | adalah endomor-fisma. Untuk sebarang basis ‹, ˜v™_‹ . yaitu matriks identitas be-rukuran .

Teorema 2.4.16

Misalkan ‹ } , }₉, … , } adalah basis dari ruang vektor |. Misalkan pu-la v : | | dan v₉: | | masing-masing adalah endomorfisma. Maka,

1. ˜v g v₉™_‹ ˜v ™_‹g ˜v₉™_‹ 2. ˜v v₉™_‹ ˜v ™_‹˜v₉™_‹ 3. ˜ v ™_‹ ˜v ™_‹ ) Bukti:

Misalkan ˜v ™_‹ adalah matriks dari v relatif terhadap basis ‹ dan ˜v₉™_‹ ada-lah matriks dari v₉ relatif terhadap basis ‹. Maka ˜v } ™_‹ ˜v ™_‹˜}™_‹ dan

˜v9 } ™‹ ˜v9™‹˜}™‹ untuk setiap } |. 1. Untuk setiap } |,

˜ v g v9 } ™‹ ˜v } g v9 } ™‹

˜v } ™‹g ˜v9 } ™‹

˜v ™‹˜}™‹g ˜v9™‹˜}™‹

Karena sifat ketunggalan matriks dari v g v₉ relatif terhadap basis ‹, maka dapat disimpulkan bahwa ˜v g v₉™_‹ ˜v ™_‹g ˜v₉™_‹.

2. Untuk setiap } |

˜v v9 } ™‹ ¡v v9 } ¢_‹

˜v ™‹˜v9 } ™‹

˜v ™‹˜v9™‹˜}™‹

Karena sifat ketunggalan matriks dari v v₉ relatif terhadap basis ‹, maka dapat disimpulkan bahwa ˜v v₉™_‹ ˜v ™_‹˜v₉™_‹.

3. Untuk setiap } |,

˜ v } ™‹ ˜ v } ™‹

˜v } ™‹

˜v ™‹˜}™‹

Karena sifat ketunggalan matriks dari v relatif terhadap basis ‹, maka dapat disimpulkan bahwa ˜ v ™_‹ ˜v ™_‹.

■

Teorema 2.4.17

Diberikan ruang vektor | ) . Jika N adalah matriks atas ) berukuran , maka fungsi v: | | yang didefinisikan dengan v } N} untuk se-tiap } | adalah endomorfisma.

Bukti:

Misalkan }, ~ | dan )

2. v } N } N} v } Jadi, v adalah endomorfisma.

■

Contoh 2.4.18

Misalkan N „ 1 *1

3 2 …. Maka, v: )9 )9 yang didefinisikan dengan v b„,_,9…c N „_,,₉… „ 1 *1_{3 2 … „,},₉… „_{3, g 2,}, * ,9₉… untuk setiap „,_,

9… )9

adalah endomorfisma.

Teorema 2.4.19

Misalkan v: | | adalah endomorfisma dan ‹ } , }₉, … , } adalah ba-sis dari |. Transformasi linear v dapat dibalik jika dan hanya jika ˜v™_‹ dapat dibalik. Selanjutnya, jika v dapat dibalik maka ˜v ™_‹ ˜v™_‹ .

Bukti:

<

Misalkan v dapat dibalik dan v adalah invers dari v. Maka

. ˜.™‹ ˜vv ™‹ ˜v™‹˜v ™‹

Jadi, ˜v™_‹ dapat dibalik dan ˜v™_‹ ˜v ™_‹.

=

v } Q , } g Q9, }9g W g Q , }

v }9 Q ,9} g Q9,9}9g W g Q ,9}

•

v } Q , } g Q9, }9g W g Q , }

dengan Q_E,G adalah entri baris ke- I kolom ke-J pada matriks O untuk setiap

I 1,2, … , dan J 1,2, … , . Dengan demikian ˜v ™_‹ O. Akibatnya

˜vv ™‹ ˜v™‹˜v ™‹ NO . ˜.£™‹

Jadi, vv ._£.

■

Teorema 2.4.20

Misalkan ‹ } , }₉, … , } dan ‹₉ ~ , ~₉, … , ~ adalah basis dari ruang vektor |. Misalkan pula N adalah matriks transisi dari ‹₉ ke ‹ . Jika

v: | | adalah endomorfisma, maka ˜v™_‹F N˜v™_‹2N . Bukti:

Untuk membuktikan teorema ini, perhatikan kembali teorema 2.4.14 dan teo-rema 2.3.26. Berdasar teoteo-rema 2.4.14, untuk setiap } | berlaku

˜v } ™‹F ˜v™‹F˜}™‹F dan ˜v } ™‹2 ˜v™‹2˜}™‹2. Kemudian karena N

ada-lah matriks transisi dari ‹₉ ke ‹ , maka berdasar teorema 2.3.28, N adalah matriks transisi dari ‹ ke ‹₉. Berdasar teorema 2.3.26 diperoleh pula

˜}™‹F N˜}™‹2 dan ˜}™‹2 N ˜}™‹F. Dengan informasi ini, dapat diperoleh

˜}™‹2 N ˜}™‹F

˜v } ™‹2 ˜v™‹2N ˜}™‹F

N˜v } ™‹2 N˜v™‹2N ˜}™‹F

˜v } ™‹F N˜v™‹2N ˜}™‹F

Berdasar sifat ketunggalan matriks dari v relatif terhadap basis ‹ , maka

N˜v™‹2N ˜v™‹F.

■

Contoh 2.4.21

Misalkan | '9. Misalkan pula ‹ 0„10…,„0

1…7 dan ‹9 0„10…,„1_1…7 adalah

basis dari ruang vektor |. Dari contoh 2.3.27 dan teorema 2.3.28 matriks transisi dari ‹₉ ke ‹ dan matriks transisi dari ‹ ke ‹₉ berturut-turut adalah

N „1 1_{0 1…} dan N „ 1 *1

0 1 …

Kemudian pandang endomorfisma v: | | yang didefinisikan dengan

v b„,_{K…c •, * 2K•}, g K . Dalam contoh 2.4.15.1 telah ditunjukkan bahwa

˜v™‹F „ 1 1 _{1 *2 …} dan ˜v™‹2 „ 0 3_{1 *1 …}. Seperti dinyatakan dalam teorema

2.4.20, berlaku

˜v™‹F „ 1 1 1 *2 … „1 10 1… „ 0 31 *1 … „ 1 *10 1 … N˜v™‹2N

Definisi 2.4.22

¦ /E \

E¥

r g r9g W g r\|rE /E; I 1,2, … , ]

Dapat ditunjukkan bahwa ∑ /\_{E¥ E} adalah ruang bagian dari |.

Definisi 2.4.23

Misalkan | adalah ruang vektor dan / , /₉, … , /_\ berturut-turut adalah ruang bagian dari |. Jumlahan / g /₉g W g /_\ disebut jumlahan langsung inter-nal dari / , /₉, … , /_\ jika /_Ge ∑ /_{E§G E} 0 untuk setiap J 1,2, … , ]. Jum-lahan langsung internal dari / , /₉, … , /_\ dinotasikan / ¨ /₉¨ W ¨ /_\.

Contoh 2.4.24

1. Misalkan } , }₉, … , } adalah basis dari ruang vektor | dan

/E [† }E untuk setiap I 1,2, … , . Maka, | / ¨ /9¨ … ¨

/ .

2. Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi dan / adalah ruang ba-gian dari | dengan basis ‹l } , }₉, … , }_# . Himpunan basis ‹l da-pat diperluas menjadi basis ‹ } , }₉, … , }_#, }_#C , }_#C9, … , } dari

| dengan menambahkan sejumlah vektor yang sesuai. Jika ƒ

[† }#C , }#C9, … , } , maka | / ¨ ƒ.

Teorema 2.4.25

1. | / ¨ /₉¨ … ¨ /_\

2. | ∑ /\_E¥ dan untuk setiap r , r₉, … , r_\ dengan r_E /_E I

1,2, … , ] , jika r g r₉g W g r_\ 0 maka r_E 0 untuk setiap I. 3. Setiap } | dapat dinyatakan secara tunggal sebagai } r g r₉g

W g r\. Dalam hal ini, r_E /_E untuk setiap I 1,2, … , ].

4. Jika ‹_E adalah basis dari /_E untuk setiap I 1,2, … , ], maka ‹

© ‹\E¥ E adalah basis dari |.

Bukti:

1 < 2

Misalkan | / ¨ /₉¨ … ¨ /_\. Berdasar definisi jelas bahwa |

∑ /\E¥ E. Selanjutnya misalkan r g r9g W g r\ 0 dengan r_E

/E 1 ; I ; ] . Dengan demikian untuk setiap I

*rE ¦ rG G§E

J 1,2, … , ]

Akibatnya r_E ∑ /_{G§E G}. Namun /_Ee ∑ /_{G§E G} 0 . Akibatnya r_E 0 untuk setiap I.

2 < 3

Misalkan } |. Misalkan pula } r g r₉g W g r_\ dan } ~ g ~₉g

W g ~\ dengan r_E, ~_E /_E I 1,2, … , ] . Dengan demikian r g r₉g W g r_\ ~ g ~₉g W g ~_\

Namun r_E * ~_E /_E untuk setiap I. Dengan demikian berdasar asumsi,

rE* ~E 0. Akibatnya rE ~E. Jadi, } | dinyatakan secara tunggal

seba-gai } r g r₉g W g r_\.

3 < 4

Misalkan setiap } | dapat dinyatakan secara tunggal sebagai } r g

r9g W g r\ rE /E dan ‹_E adalah basis dari /_E untuk setiap I 1,2, … , ]. Akan dibuktikan bahwa ‹ © ‹\_{E¥ E} adalah basis dari |.

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa ‹ © ‹\_{E¥ E} merentang |. Perhatikan bahwa ‹_E adalah basis dari /_E. Dengan demikian setiap vektor dalam /_E dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam basis ‹_E. Na-mun } r g r₉g W g r_\ untuk setiap } |. Dengan demikian setiap

} | dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam

‹ © ‹\E¥ E. Jadi, ‹ © ‹\E¥ E merentang |.

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ‹ © ‹\_{E¥ E} bebas linear. Untuk setiap

I, tuliskan vektor-vektor dalam basis ‹_E dengan }_EG J 1,2, … , B_E . Misal-kan

¦ ¦ 8EG}EG A6

G¥ \

E¥

0 8EG )

Selanjutnya untuk setiap I tuliskan

~E ¦ 8EG}EG A6

G¥

¦ ~E \

E¥

~ g ~9g W g ~\ 0

Selain itu, ~_E [† ‹_E /_E. Ingat bahwa 0 /_E. Dengan demikian persa-maan di atas dapat dituliskan kembali dengan

~ g ~9g W g ~\ 0 g 0 g W g 0 ! "!# \ 0

Dengan demikian ~_E 0 untuk setiap I. Akibatnya 8_EG 0. Jadi, ‹

© ‹\E¥ E bebas linear. Karena ‹ © ‹\E¥ E bebas linear dan merentang |

ma-ka ‹ © ‹\_{E¥ E} adalah basis dari |.

4 < 1

Misalkan ‹_E adalah basis dari /_E untuk setiap I 1,2, … , ] dan ‹ © ‹\_{E¥ E} adalah basis dari |. Akan ditunjukkan bahwa | / ¨ /₉¨ … ¨ /_\. Jelas bahwa

| [† ‹ d ‹9d … d ‹\ [† ‹ g [† ‹9 g W g [† ‹\ ¦ /\ \

E¥

Selanjutnya dengan metode kontradiksi akan ditunjukkan bahwa /_Ge

∑ /E§G E 0 untuk setiap I dan J dengan J 1,2, … , ]. Misalkan } _ 0 dan

} /Ge ∑ /E§G E. Dengan demikian } /G [† ‹G dan } ∑ /E§G E

[† © ‹E§G E . Jadi, } dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

vektor-vektor dalam basis ‹ © ‹\_{E¥ E} dengan dua cara. Hal ini kontradiksi dengan teorema 2.3.13. Jadi, /_Ge ∑ /_{E§G E} 0 .

Karena | ∑ /\_{E¥ \} dan /_Ge ∑ /_{E§G E} 0 , maka | / ¨ /₉¨ … ¨

Teorema 2.4.26

Misalkan | adalah ruang vektor, / dan ƒ adalah ruang bagian dari | dan

| / ¨ ƒ. Fungsi ª: | | yang didefinisikan dengan ª r g ~ r un-tuk setiap r g ~ | adalah endomorfisma. Lebih jauh, .B ª /,

z1] ª ƒ dan ªª ª. Bukti

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa fungsi ª well-defined, yaitu akan di-tunjukkan bahwa untuk setiap } , }₉ |, jika } }₉ maka ª } ª }₉ . Misalkan } , }₉ | dan } }₉. Karena | / ¨ ƒ, setiap } | dapat dinyatakan dengan } r g ~ dengan satu cara. Akibatnya, } }₉ r g

~ untuk suatu r / dan ~ ƒ. Dengan demikian

ª } ª r g ~ ª }9

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ª adalah endomorfisma. Misalkan

} r g ~ |, }₉ r₉g ~₉ | dan ).

ª } g }9 ª r g ~ g r9g ~9

ª r g r9 g ~ g ~9

r g r9

ª } g ª }9

ª } ª r g ~

ª r g ~

r

ª }

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa .B ª /. Jelas bahwa .B ª « /. Misalkan r /. Perhatikan bahwa r ª r untuk setiap r /. Dengan demikian / « .B ª . Akhirnya dapat disimpulkan bahwa .B ª /. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa z1] ª ƒ. Jika ~ ƒ, maka

ª ~ 0. Dengan demikian, ~ z1] ª . Jadi, ƒ « z1] ª . Selanjutnya jika , z1] ª , maka ª , 0. Namun , | / ¨ ƒ. Akibatnya

, r g ~ untuk suatu r / dan ~ ƒ. Selanjutnya diperoleh

ª , ª r g ~ r 0

Dengan demikian , r g ~ 0 g ~ ~ ƒ. Jadi, z1] ª « ƒ. Akhir-nya dapat disimpulkan bahwa z1] ª ƒ

Terakhir akan ditunjukkan bahwa ªª ª. Misalkan } r g ~ |.

ªª r g ~ ª ª r g ~ ª r ª r g ~

Jadi, ªª ª.

■ ■ ■ ■

Definisi 2.4.27

Misalkan | adalah ruang vektor. Suatu endomorfisma ª: | | disebut

proyeksi dari | jika ªª ª.

Contoh 2.4.28

Diberikan endomorfisma ª: '9 '9 yang didefinisikan dengan

ª b„,_{K…c •}2, g 2K_{*, * K •}

ªª b„_{K…c ª V•}, 2, g 2K_{*, * K •X •}2 2, g 2K g 2 *, * K_{* 2, g 2K * *, * K •}

•4, g 4K g *2, * 2K_{*2, * 2K g , g K • •}2, g 2K_{*, * K • ª b„},_K…c

Jadi, ª adalah proyeksi dari |.

Teorema 2.4.29

Jika ª adalah proyeksi dari ruang vektor |, maka | .B ª ¨ z1] ª . Bukti

Misalkan } |. Perhatikan bahwa } ª } g } * ª } . Jelas bahwa

ª } .B ª . Selain itu, } * ª } z1] ª karena

ª } * ª } ª } * ª ª } ª } * ª } 0

Jadi, | .B ª g z1] ª . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa .B ª e

z1] ª 0 . Jelas bahwa 0 « .B ª e z1] ª . Selanjutnya misalkan

} .B ª e z1] ª . Karena } .B ª , maka ada , | sedemikian hing-ga ª , }. Dengan demikian diperoleh

ª , }

ª ª , ª } ª , ª } } ª }

Namun } z1] ª , akibatnya ª } } 0. Jadi, .B ª e z1] ª « 0 . Akhirnya dapat disimpulkan bahwa .B ª e z1] ª 0 . Berdasar defini-si jumlahan langsung internal, | .B ª ¨ z1] ª .

Definisi 2.4.30

Misalkan | adalah ruang vektor berdimensi dan o: | | adalah endomor-fisma. Skalar ¬ disebut nilai eigen dari o jika o } ¬} untuk suatu vektor tak nol } |. Selanjutnya vektor } demikian disebut vektor eigen dari o yang terkait nilai eigen ¬.

Perhatikan bahwa persamaan o } ¬} dapat dituliskan kembali seba-gai berikut.

o } ¬}

o } * ¬} 0 o } * ¬._£ } 0 o } * ¬._£ } 0 o * ¬._£ } 0

Dengan demikian ¬ adalah nilai eigen dari o jika dan hanya jika

z1] o * ¬.£ _ 0 . Dengan kata lain ¬ adalah nilai eigen dari o jika dan hanya o * ¬._£ tidak dapat dibalik. Selanjutnya ambil sebarang basis ‹ dari |. Berdasar teorema dalam aljabar linear, o * ¬._£ tidak dapat dibalik jika dan hanya jika ˜o * ¬._£™_‹ matriks singular. Berdasar teorema dalam aljabar linear pula ˜o * ¬._£™_‹ matriks singular jika dan hanya jika •1q ˜o * ¬._£™_‹ 0. Dengan demikian nilai eigen dari o merupakan skalar ¬ yang memenuhi per-samaan

Menyelesaikan persamaan ini sama artinya dengan menemukan akar dari suatu polinomial berderajat . Karena setiap polinomial tak konstan den-gan koefisien dalam ) pasti memiliki akar dalam ), akibatnya dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:

Teorema 2.4.31

Misalkan | adalah ruang vektor tak nol dan o adalah endomorfisma dari |. Endomorfisma o pasti memiliki suatu nilai eigen ¬.

BAB III

REPRESENTASI GRUP BERHINGGA DAN

MODUL-A. Representasi Grup Berhingga

Representasi dari grup berhingga merupakan aturan penyajian sebagai grup matriks. Secara formal, representasi grup berhingga merupakan homomorfisma dari ke grup linear umum. Subbab ini akan membahas representasi grup berhingga beserta contohnya secara detail. Akan diperkenalkan pula konsep representasi ekivalen.

Definisi 3.1.1

Misalkan adalah grup berhingga dan adalah lapangan kompleks.

Representasi dari atas lapangan kompleks adalah homomorfisma : , untuk suatu . Selanjutnya disebut derajat

representasi .

Dengan demikian, fungsi : , adalah representasi jika dan

hanya jika untuk setiap , . Jika adalah

representasi, maka 1 dan untuk setiap .

Contoh 3.1.2

1. Diberikan | 1 dan matriks dan yang didefinisikan dengan

1 0 _{0 1 "} dan #5 12 #2 5 "

Perhatikan bahwa

#5 12 _{#2 5 "} 1 0 _{0 1 "}

Fungsi & 2, yang didefinisikan sebagai

1 dan

adalah representasi dari berderajat dua. Uraian di bawah ini menunjukkan bahwa adalah homomorfisma.

1 1 1 1 1

1 1

1 1

1

2. Jika adalah grup dan , maka fungsi & , yang didefinisikan dengan untuk setiap adalah representasi dari berderajat karena

untuk setiap , .

3. Diberikan grup dihedral '₍ )1, , , *, +, + , + , + * , dan matriks tak singular

Dapat ditunjukkan bahwa . - dan - - . Seperti telah ditunjukkan dalam contoh 2.2.3.2, fungsi & 2, yang didefinisikan dengan +/ 0 -/ 0 untuk setiap +/ 0 '₍ dengan

1 0, 1 dan 2 0, 1, 2, 3 adalah homomorfisma. Dengan demikian

adalah representasi dari '₍. Derajat dari adalah 2. Berikut ini adalah daftar matriks +/ 0 .

1 1 0_{0 1 "} 0 1 _{#1 0 "}

#1 0 _{0 #1 "} * _{0 #1} 1 0 "

+ 1 0 _{0 #1 " +} 0 1_{1 0 "}

+ #1 0 _{0 1 " +} * _{0 #1} #1 0 "

Selanjutnya akan dijelaskan cara mengonstruksi representasi dari se-buah representasi yang telah diketahui. Misalkan & , adalah re-presentasi dari dan 4 adalah matriks tak singular berukuran 5 . Untuk setiap , - , berlaku

4 4 4 -4 4 -4

Persamaan ini dapat digunakan untuk mengonstruksi representasi 6 dari , yaitu dengan mendefinisikan 6: , dengan

6 4 4