Tabel harga obligasi perluasan model CIR pada waktu jatuh tempo yang berbeda

Tabel harga obligasi perluasan model CIR pada waktu jatuh tempo yang berbeda

t T 5 10 20 30 0 0.676571 0.21537 0.0177802 0.00145951 1 0.72961 0.233307 0.0192656 0.00158144 2 0.751188 0.243081 0.0200863 0.00164881 3 0.778763 0.253747 0.0209777 0.00172198 4 0.855341 0.278148 0.0229956 0.00188763 5 1. 0.322487 0.0266526 0.00218782 6 0.390132 0.0322247 0.00264521 7 0.484974 0.0400265 0.00328562 8 0.612584 0.0505064 0.00414587 9 0.78075 0.0642877 0.0052771 10 1. 0.0822084 0.0067481 11 0.105372 0.00864948 12 0.135218 0.0110993 13 0.173607 0.0142503 14 0.222942 0.0182997 15 0.286314 0.0235013 16 0.3677 0.0301812 17 0.472211 0.0387589 18 0.60641 0.0497729 19 0.77873 0.063915 20 1. 0.0820735 21 0.105389 22 0.135326 23 0.173766 24 0.223123 25 0.286499 26 0.367875 27 0.472363 28 0.606528 29 0.778799 30 1.

Lampiran 8:

Tabel Harga obligasi perluasan model CIR dengan waktu jatuh tempo · ¸¹

t R 0,01 0,05 0,1 0,2 0 0,00737633 0,00736409 0,00734878 0,00731816 1 0,015734 0,0156795 0,0156114 0,0154751 2 0,0317688 0,0315777 0,0313388 0,0308611 3 0,0602008 0,0596631 0,0589911 0,057647 4 0,10676 0,105524 0,10398 0,100892 5 0,177388 0,175036 0,172095 0,166215 6 0,27719 0,273446 0,268767 0,259407 7 0,409484 0,404524 0,398324 0,385924 8 0,575259 0,569979 0,563378 0,550176 9 0,773172 0,769298 0,764457 0,754774 10 1 1 1 1

PENENTUAN H

PERLU

FAKULTAS MA

HARGA ZERO COUPON BOND MENGG

LUASAN MODEL COX-INGERSOLL-ROS

RESTY NURHAYATI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

ATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHU

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

GUNAKAN

OSS

ABSTRAK

RESTY NURHAYATI. Penentuan Harga Zero Coupon Bond Menggunakan Perluasan Model

Cox-Ingersoll-Ross. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan TEDUH WULANDARI

MAS’OED.

Suku bunga merupakan faktor penting untuk mengambil keputusan investasi. Salah satu jenis investasi adalah obligasi. Kenyataannya, suku bunga tidak boleh bernilai negatif. Oleh karena itu, dalam karya ilmiah ini diperkenalkan sebuah model suku bunga yang merupakan perluasan dari model Vasicek yaitu model Cox-Ingersoll-Ross (CIR).

Dalam model CIR, drift dan volatilitas diasumsikan konstan. Untuk mendekati realitas maka

drift dan volatilitas pada perluasan model CIR merupakan fungsi dari waktu. Perluasan dari model CIR dapat digunakan untuk menentukan harga obligasi. Karya ilmiah ini bertujuan untuk

menentukan dan menganalisis harga zero coupon bond menggunakan perluasan model CIR.

Simulasi yang diberikan menggambarkan hubungan antara harga zero coupon bond dengan periode jatuh tempo dan suku bunga. Harga obligasi berbanding terbalik dengan suku bunga dan waktu jatuh tempo. Jika suku bunga meningkat, maka harga obligasinya menurun. Semakin lama periode jatuh tempo maka harga obligasi akan semakin kecil.

ABSTRACT

RESTY NURHAYATI Pricing of Zero-Coupon Bond Using Extended Cox-Ingersoll-Ross

Model. Under supervision of RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Interest rate is one of important factors that used to adopt investment decisions. One of investment types is the bond. In reality, the interest rate must not negative. This research, introduces an interest rate model which is an extended of the Vasicek model, that is the Cox- Ingersoll-Ross (CIR) model.

In CIR model, the drift and volatility are constant. To approach the reality, in the Extended CIR model, drift and volatility become a function of time. The extended of the CIR model can be used to determine bond prices. The aim of this research is to determine and analyze the zero- coupon bond prices using the extended CIR model.

Simulations that are given will illustrate the zero-coupon bond prices in some variation of maturity dates and interest rates. Bond prices is inversely related to interest rates and maturity dates period. If interest rates rise, the bond prices will decline. Moreover, if the maturity dates period become longer, the bond prices will be smaller.

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Investasi merupakan komitmen

menanamkan sejumlah dana pada satu atau lebih aset selama beberapa periode pada masa mendatang. Jenis-jenis aset yang merupakan investasi diantaranya tabungan, saham, dan obligasi. Obligasi (bond) adalah surat hutang yang diterbitkan oleh pemerintah atau

perusahaan dalam rangka memenuhi

kebutuhan dana. Obligasi memiliki tiga karakteristik yaitu, nilai pari (par value),

kupon (coupon) dan waktu jatuh tempo

(maturity date).

Obligasi merupakan contoh dari

investasi bebas risiko karena memiliki kepastian keuntungan yang diperoleh dari pendapatan tetap yang akan diterima

pemegang obligasi selama waktu

kepemilikan. Pendapatan tetap tersebut berupa nilai pari dan kupon. Kupon adalah bunga dari investasi yang diterima pemegang obligasi setiap tahun atau setengah tahun selama kepemilikan obligasi.

Jenis obligasi yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah zero coupon bond

atau obligasi tanpa kupon. Zero coupon bond

dijual lebih kecil dari nilai pari (didiskon). Harga zero coupon bond merupakan present value (nilai kini) dari nilai parinya. Selisih antara nilai pari dengan harga zero coupon bond merupakan keuntungan bagi pemegang obligasi, dengan kata lain dapat dikatakan

bahwa keuntungannya bagi pemegang zero

coupon bond itu dinyatakan oleh suku bunga yang berlaku pada masa kepemilikan obligasi.

Oleh karena itu, dalam dunia investasi suku bunga merupakan salah satu hal penting dalam pengambilan keputusan investasi.

Keputusan investasi tersebut sangat

tergantung pada pengetahuan tentang suku bunga. Jika prediksi suku bunga turun, maka

investor akan memilih investasi jangka panjang, sedangkan jika prediksi suku bunga naik maka investor akan lebih memilih untuk menunda investasi jangka panjang. Fluktuasi suku bunga ini secara tidak langsung akan mempengaruhi keseimbangan pasar.

Selanjutnya, akan diperkenalkan sebuah model suku bunga namun memiliki suku bunga yang tidak negatif. Model tersebut merupakan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Model ini diperkenalkan pada tahun 1985 oleh John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll dan Stephen A. Ross sebagai perluasan dari model Vasicek.

Pada karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengkap adalah mengenai penentuan dari harga zero coupon bond menggunakan perluasan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). 1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menentukan dan menganalisis

harga zero coupon bond menggunakan

perluasan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). 1.3 Metode dan Sistematika Penulisan

Metode penulisan karya ilmiah ini adalah sebuah studi pustaka yang materinya diambil dari jurnal yang berjudul “ A Simple Class of Square-root Interest-rate Models” oleh F. Jamshidian pada tahun 1995.

Karya ilmiah ini terdiri atas lima bagian. Bagian pertama berisi pendahuluan yang terdiri atas latar belakang, tujuan, metode dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah landasan teori yang menjadi dasar dari penulisan karya ilmiah ini. Bagian ketiga adalah pembahasan yang merupakan analisis terhadap karya ilmiah ini. Bagian keempat adalah simulasi, bagian kelima adalah simpulan, dan bagian keenam adalah daftar pustaka.

II. LANDASAN TEORI

2.1 Istilah-istilah Keuangan Definisi 1 Volatilitas (Volatility)

Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harganya. Semakin kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga tersebut.

(Harvey dan Gretchen 2002)

Definisi 2 Suku Bunga (Interest Rate)

Suku bunga (interest rate) adalah

pembayaran bunga tahunan dari suatu pinjaman dalam bentuk persentase dari pinjaman yang diperoleh dari jumlah bunga yang diterima tiap tahun dibagi dengan jumlah pinjaman.

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Investasi merupakan komitmen

perusahaan dalam rangka memenuhi

kebutuhan dana. Obligasi memiliki tiga karakteristik yaitu, nilai pari (par value),

kupon (coupon) dan waktu jatuh tempo

(maturity date).

Obligasi merupakan contoh dari

investasi bebas risiko karena memiliki kepastian keuntungan yang diperoleh dari pendapatan tetap yang akan diterima

pemegang obligasi selama waktu

kepemilikan. Pendapatan tetap tersebut berupa nilai pari dan kupon. Kupon adalah bunga dari investasi yang diterima pemegang obligasi setiap tahun atau setengah tahun selama kepemilikan obligasi.

Jenis obligasi yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah zero coupon bond

atau obligasi tanpa kupon. Zero coupon bond

bahwa keuntungannya bagi pemegang zero

coupon bond itu dinyatakan oleh suku bunga yang berlaku pada masa kepemilikan obligasi.

Oleh karena itu, dalam dunia investasi suku bunga merupakan salah satu hal penting dalam pengambilan keputusan investasi.

Keputusan investasi tersebut sangat

tergantung pada pengetahuan tentang suku bunga. Jika prediksi suku bunga turun, maka

Pada karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengkap adalah mengenai penentuan dari harga zero coupon bond menggunakan perluasan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). 1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk menentukan dan menganalisis

harga zero coupon bond menggunakan

perluasan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). 1.3 Metode dan Sistematika Penulisan

II. LANDASAN TEORI

2.1 Istilah-istilah Keuangan Definisi 1 Volatilitas (Volatility)

(Harvey dan Gretchen 2002)

Definisi 2 Suku Bunga (Interest Rate)

Suku bunga (interest rate) adalah

pembayaran bunga tahunan dari suatu pinjaman dalam bentuk persentase dari pinjaman yang diperoleh dari jumlah bunga yang diterima tiap tahun dibagi dengan jumlah pinjaman.

Definisi 3 Obligasi

Obligasi adalah instrumen hutang yang meminta penerbit membayar kembali pada investor sejumlah uang yang dipinjam (pokok hutang ditambah bunga selama periode tertentu).

(Fabozzi 2003) Definisi 4 Harga Obligasi

Harga obligasi adalah jumlah dari kupon yang didiskon (nilai kini dari kupon) dan nilai pari yang didiskon (nilai kini dari nilai pari).

Secara matematis dapat dituliskan

sebagai berikut:

kupon

1 nilai pari1 .

(Bodie et al 2006) Definisi 5 Zero-Coupon Bond (Obligasi Tanpa kupon)

Zero-coupon bond adalah salah satu jenis obligasi yang tidak memberikan kupon kepada pemegang obligasi. Obligasi jenis ini

memberikan satu kali cash flow

(pembayaran) pada pemiliknya yaitu pada saat jatuh tempo obligasi sebesar nilai pari.

Persamaan harga obligasinya akan menjadi:

nilai pari

1 .

(Fabozzi 2003) Definisi 6 Short rate

Short rate adalah suku bunga yang berlaku pada interval waktu tertentu.

(Bodie et al 2006) Definisi 7 Forward interest rate

Forward interest rate adalah short rate yang berlaku pada tahun ke-n sedemikian sehingga return dari 2 strategi investasi yaitu investasi selama n tahun dan investasi n-1 tahun kemudian diinvestasikan kembali pada tahun ke-n akan sama.

Jika forward interest rate untuk periode nadalah , maka akan didefinisikan oleh persamaan:

1 ₁ 1 ,

atau dituliskan

1 1 1 ,

adalah periode waktu, adalah yield to maturity dan jatuh tempo setelah -perode. Jadi, total return pada 2 strategi investasi selama tahun akan sama jika short rate

pada tahun ke- sama dengan .

(Bodie et al 2006) 2.2 Proses Stokastik

Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.

Untuk lebih memahami proses stokastik, diperlukan definisi-definisi berikut.

Definisi 8 Percobaan Acak

Dalam suatu rangkaian percobaan sering kali percobaan dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.

(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 9 Ruang Contoh

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari .

(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 10 Medan-

Medan- adalah himpunan yang

anggotanya merupakan himpunan bagian dari ruang contoh yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. ! " .

2. Jika # " maka #$ " , dengan #$ menyatakan komplemen dari himpunan

3. Jika # , #_%, #_&, … . " , maka ( #*₎ ₎" .

(Hogg dan Craig 2005) Definisi 11 Ukuran Peluang

Ukuran peluang pada ruang ukuran

, adalah fungsi : , -0,1/ yang

memenuhi:

! 0, 1.

Jika # , #_%, #_&, …. adalah himpunan anggota- anggota yang saling lepas yaitu #₎0 #₁

56 #) ∞ ) 7 ∞ ) #) .

Pasangan ( , , disebut dengan ruang

peluang (probability space).

(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 12 Peubah Acak

Misalkan adalah medan- dari ruang contoh . Suatu peubah acak 8 adalah suatu

fungsi 8: 9 : dengan sifat ;< "

: 8 < = >? " untuk setiap > " :. (Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 13 Peubah Acak Diskret

Peubah acak 8 dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang dari :.

Catatan:

Suatu himpunan bilangan C disebut bilangan terbilang, jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dipadankan 1- 1 dengan bilangan bulat positif.

(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 14 Peubah Acak Kontinu

Peubah acak X dikatakan kontinu jika terdapat fungsi _@ > sehingga fungsi sebaran

A@ > 8 = > yang dapat dinyatakan sebagai: B∞_* _@ C DC, C " : untuk suatu

fungsi : E 9 -0,_∞ yang terintegralkan.

Fungsi disebut fungsi kepekatan peluang bagi 8.

(Grimmett dan Stirzaker 2001) Definisi 15 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret

Jika 8 adalah peubah acak diskret

dengan fungsi massa peluang _@ > , maka nilai harapan dari 8 adalah

F 8 ∑ > H @ > . Asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.

(Grimmet dan Stirzaker 2001) Definisi 16 Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu

Jika 8 adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang _@ > ,

maka nilai harapan dari 8 adalah:

F 8 I > @ *

* > .

Asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Grimmett dan Stirzaker 2001)

Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)

Beberapa sifat dari nilai harapan diantaranya: 1. Jika J adalah suatu konstanta, maka

F J J.

2. Jika J adalah suatu konstanta dan K

adalah peubah acak, maka F JK

J F K .

3. Jika J , J_% adalah konstanta dan

K , K% adalah suatu peubah acak,

maka F J , K J_%, K_%

J F K J%F K% .

(Hogg at al 2005) Definisi 17 Ragam dan Simpangan Baku

Misalkan 8 adalah peubah acak (diskret

atau kontinu). Ragam 8 atau KL 8

dinotasikan dengan %_@, didefinisikan %_@ _{F MN8 O F 8 P}%_Q

F 8% _{O NF 8 P}%_.

Standar deviasi 8 dinotasikan dengan _@ , didefinisikan

@ R %@ .

(Ghahramani 2005) Definisi 18 Proses Stokastik

Proses stokastik 8 ;8 C , C " ?

adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state T.

2.3 Gerak Brown

Proses stokastik 8 ;8 C , C " ?

disebut gerak Brown jika:

1. 8 0 0.

2. Untuk 0 U C U C_%U V U C , peubah

acak 8 C₎ O 8 C₎ , 2

1, 2, … . , saling bebas.

3. Untuk C X 0, 8 C berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian %C.

(Ross 2007) 2.4 Proses Wiener

Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1. Proses Wiener

umum untuk suatu peubah acak 8 dapat

dinyatakan sebagai berikut:

D8 C LDC YDZ C , (1)

dengan LDC disebut sebagai komponen

deterministik dan YDZ C menyatakan

komponen stokastik, serta Z C adalah

masing menyatakan drift rate dan variance rate dari 8.

Untuk proses stokastik yang

didefinisikan pada ruang probabilitas

(Ω, A, berlaku hal berikut:

Misalkan Z C adalah proses Wiener pada (Ω, A, . Integral stokastik adalah proses stokastik 8 C dengan bentuk:

8 C 8 0 B L 8 [ , [ D[_\

B Y 8 [ , [ DZ [_\ . (2) (Hull 2003) Definisi 20 Proses Ito

Proses Ito adalah proses Wiener umum dengan L dan Y menyatakan suatu fungsi dari peubah acak 8 dan waktu C. Proses Ito dapat dinyatakan sebagai berikut:

D8 C L 8 C , C DC Y 8 C , C DZ C .

(3) Lema 2 (Lema Ito)

Misalkan proses 8 C memenuhi

persamaan (3) dan fungsi ] C ^ 8 C , C

adalah kontinu serta turunan-turunan

^@ 8 C , C , ^@@ 8 C , C kontinu, maka ] C ^ 8 C , C memenuhi persamaan berikut: D] C _^ 8 C , C ^@ 8 C , C L 8 C , C 1 2 ^@@Y% 8 C , C ` DC ^@ 8 C , C Y 8 C , C DZ C , 4

dimana, DZ C adalah proses Wiener.

Kemudian, ] C juga mengikuti proses Ito, dengan drift rate sebagai berikut:

^ 8 C , C ^@ 8 C , C L 8 C , C

2 ^@@Y% 8 C , C . dan variance rate yaitu,

^@% 8 C , C Y% 8 C , C . Dimana, ^ D^_{DC , ^}@ _{D8 , ^}D^ @@ D %_^ D8% . (Hull 2003) 2.5 Persamaan Riccati

Persamaan Riccati merupakan

persamaan diferensial biasa yang memiliki tipe:

D> > c > b E > b%. 5

Persamaan di atas termasuk nonlinear dan merupakan persamaan dengan penyelesaian yang unik. Untuk mencari solusi, maka

persamaan Riccati memerlukan solusi

partikular.

(Hille 1997)

III. PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas beberapa

model suku bunga, yaitu model Vasicek,

model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dan

perluasan model CIR. Dalam karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengkap adalah perluasan model CIR.

3.1 Model Vasicek

Dalam model Vasicek, model suku bunga yang diberikan adalah:

D L Y O DC De , (6)

dimana L, Y, dan adalah konstanta.

Kelemahan dari model ini adalah bahwa tingkat suku bunga dapat bernilai negatif.

Model Vasicek ini dapat digunakan untuk menilai zero coupon bond pada waktu

C dengan membayar $1 pada saat jatuh tempo

, dengan persamaan harga obligasi sebagai berikut: C, # C, f g , h _{, (7)} dengan i C, jkl mkn_o , (8) dan # C, exp rg , s touv wuux ou O yu_{g ,} u zo { . (Bukti: lihat Rolski et al. 1999)

masing menyatakan drift rate dan variance rate dari 8.

Untuk proses stokastik yang

didefinisikan pada ruang probabilitas

(Ω, A, berlaku hal berikut:

Misalkan Z C adalah proses Wiener pada (Ω, A, . Integral stokastik adalah proses stokastik 8 C dengan bentuk:

8 C 8 0 B L 8 [ , [ D[_\

B Y 8 [ , [ DZ [_\ . (2) (Hull 2003) Definisi 20 Proses Ito

Proses Ito adalah proses Wiener umum dengan L dan Y menyatakan suatu fungsi dari peubah acak 8 dan waktu C. Proses Ito dapat dinyatakan sebagai berikut:

D8 C L 8 C , C DC Y 8 C , C DZ C .

(3) Lema 2 (Lema Ito)

Misalkan proses 8 C memenuhi

persamaan (3) dan fungsi ] C ^ 8 C , C

adalah kontinu serta turunan-turunan

^@ 8 C , C , ^@@ 8 C , C kontinu, maka ] C ^ 8 C , C memenuhi persamaan berikut: D] C _^ 8 C , C ^@ 8 C , C L 8 C , C 1 2 ^@@Y% 8 C , C ` DC ^@ 8 C , C Y 8 C , C DZ C , 4

dimana, DZ C adalah proses Wiener.

Kemudian, ] C juga mengikuti proses Ito, dengan drift rate sebagai berikut:

^ 8 C , C ^@ 8 C , C L 8 C , C

2 ^@@Y% 8 C , C . dan variance rate yaitu,

^@% 8 C , C Y% 8 C , C . Dimana, ^ D^_{DC , ^}@ _{D8 , ^}D^ @@ D %_^ D8% . (Hull 2003) 2.5 Persamaan Riccati

Persamaan Riccati merupakan

persamaan diferensial biasa yang memiliki tipe:

D> > c > b E > b%. 5

Persamaan di atas termasuk nonlinear dan merupakan persamaan dengan penyelesaian yang unik. Untuk mencari solusi, maka

persamaan Riccati memerlukan solusi

partikular.

(Hille 1997)

III. PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas beberapa

model suku bunga, yaitu model Vasicek,

model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) dan

perluasan model CIR. Dalam karya ilmiah ini yang akan dibahas lebih lengkap adalah perluasan model CIR.

3.1 Model Vasicek

Dalam model Vasicek, model suku bunga yang diberikan adalah:

D L Y O DC De , (6)

dimana L, Y, dan adalah konstanta.

Kelemahan dari model ini adalah bahwa tingkat suku bunga dapat bernilai negatif.

Model Vasicek ini dapat digunakan untuk menilai zero coupon bond pada waktu

C dengan membayar $1 pada saat jatuh tempo

, dengan persamaan harga obligasi sebagai berikut: C, # C, f g , h _{, (7)} dengan i C, jkl mkn_o , (8) dan # C, exp rg , s touv wuux ou O yu_{g ,} u zo { . (Bukti: lihat Rolski et al. 1999)

Dari persamaan (6) model Vasicek di atas, dapat diperoleh: C 0 f o _{Y 1 O f}o I f o | _{De [} \ . 10 (Bukti: Lampiran 1) 3.2 Model CIR

Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) adalah model yang pertama kali menghilangkan kemungkinan dari suku bunga bernilai negatif. Model suku bunga yang diberikan adalah:

D L Y O DC √ De. (11) Faktor standar deviasi dari model ini adalah

√ , sehingga memastikan bahwa tingkat

suku bunga tidak akan negatif. Dalam model ini, harga obligasi memiliki bentuk umum yang sama dengan model Vasicek yaitu:

C, # C, f g , h _,

namun, fungsi i C, dan # C, berbeda,

yaitu: i C, _{• L f}2 f~_~ O 1_{O 1} _{2•, 12} # C, € 2• os~ 2 • L f~ _{O 1} _2•• %ov/yu , 13 dengan • √L% 2 %.

(Bukti: lihat Rolski et al. 1999) 3.3 Perluasan Model CIR dan Penentuan Harga Zero Coupon Bond

Pada model CIR drift dan volatilitas konstan. Untuk lebih mendekati realitas, maka drift dan volatilitas pada perluasan model CIR merupakan fungsi dari waktu. Pada perluasan Model CIR ini, suku bunga

C „ 0 mengikuti proses berikut:

D … C O † C DC C √ De, (14)

dimana … C , † C , C adalah komponen

deterministik yang lebih besar dari nol dan

merupakan fungsi dari C, serta e C adalah proses Wiener.

Dalam perluasan model CIR pada persamaan (14), harga atau nilai dari zero coupon bond memenuhi persamaan diferensial sebagai berikut:

‡ ‡C 12 % C ‡ % ‡ % … C O † C ‡_‡ O 0 . 15 (Bukti: Lampiran 2) Harga obligasi adalah harga yang didiskon dari pembayaran yang akan diterima

pemegang obligasi selama masa

kepemilikannya. Misalkan , C C =

menyatakan harga pada waktu C dari zero coupon bond dengan waktu jatuh tempo dan merupakan solusi dari persamaan (15)

dengan asumsi bahwa , 1 untuk

semua . Berikut ini , C yang diberikan adalah:

, C exp _O I i [ … [ D[

O i C ` ; C = . 16

(Bukti: Lampiran 3)

dimana fungsi i C memenuhi persamaan

Riccati yaitu:

iŠ _C _{† C i C}

% % C i% C O 1 ,

i 0. (17)

Selanjutnya, diberikan , C ‹

O‡ log , C /‡ menyatakan forward interest rate pada saat jatuh tempo. Diketahui

Y C ‡i C /‡ , akan diperoleh:

, C ‹ O‡ log , C /‡ , dari persamaan (16),

, C

O‡ log •exp •O B i [ … [ D[ O i C ŽŽ

‡ .

Selanjutnya, akan diperoleh:

, C B Y [ … [ D[ Y C , (18)

selain itu, fungsi Y C memenuhi:

YŠ _C _{Y C N† C} % _{C i C P,}

Y 1. (19)

Persamaan (19) di atas merupakan turunan dari persamaan Riccati (17).

Bukti:

dari persamaan (17), karena Y C iŠ C

maka, Y C † C i C _% % _{C i}% _{C O 1}_, sehingga Y• C ‡%_‡i C_% ‡ † C i C 1₂ % _{C i}% _{C O 1} ‡ † C Y C % _{C i C Y C} Y C N† C % _{C i C P.} □

3.4 Penentuan Harga Zero Coupon Bond pada Perluasan Model CIR dengan Struktur Waktu Awal

Pada bagian sebelumnya telah diperoleh harga dari zero coupon bond yang diperoleh secara umum. Berikut ini akan ditentukan

harga zero coupon bond dengan memberikan

informasi awal yaitu C_\dan _\. Menurut lema Ito, diberikan volatilitas dari zero coupon

bond dengan waktu jatuh tempo dan

forward interest rate dalam perluasan model CIR pada persamaan (14) berturut-turut

adalah i C C R C dan

Y C C R C . Untuk lebih jelasnya akan diberikan pada teorema berikut ini:

Teorema 1:

Untuk C_\= C = , minimal untuk C

mendekati C_\ yaitu: % _C O_••uulog Y C\ _%N‘n‘log Y C\ P % O %†% C O †Š C , 20 i C i C\ O i C\ Y C\ O 12† C\ Ni C\ O i C\ P , 21 Y C Y C\ Y C\ _Y C\ O 12† C\ Ni C\ O i C\ P` % , (22) dimana, untuk C = † C ‹ O† O_{‡ log Y C , 23}‡ dengan:

= volatilitas dari spot rate

C = waktu eksekusi

= waktu jatuh tempo

C\ = waktu awal (C 0).

(Bukti: Lampiran 4)

Dalam hubungannya dengan † C_\ ,

persamaan (20) juga dapat dituliskan menjadi:

% _C •’n “

• %†% C\ † C † C\ . (24) Model perlusan CIR termasuk dalam kelas model akar kuadrat sederhana, sehingga

model akar kuadrat sederhana dapat

dinyatakan sebagai berikut, untuk semua

C C\ ” 1 % _C_\ 5•‡ _‡\, C\ – “ •O \‡Y C_‡ \ – “ 7. (25) Dinamika dari discount function atau fungsi diskon dalam model akar kuadrat sederhana dapat diduga dengan mengikuti hasil dari struktur waktu awal. Fungsi diskon adalah nilai $1 yang didiskon sebagai fungsi dari waktu hingga pembayaran. Berikut ini diberikan teorema untuk mencari rumus

harga zero coupon bond dengan

menggunakan perluasan model CIR, dengan

C C\, Teorema 2:

Untuk semua _\, X 0 dan 0 = C_\= C =

Rumus berikut mengikuti model akar kuadrat sederhana yaitu:

, C \, C\ \, C\ _ Y C Y C\ Y C\ ` — exp •Ni C\ O i C\ P\O i C Ž, 26 , C ”† C Y C , (27) dengan

= harga dari obligasi pada waktu jatuh tempo .

= forward interst rate pada waktu jatuh tempo.

= suku bunga yang berlaku.

(Bukti: Lampiran 5)

Persamaan (26) di atas merupakan lanjutan dari rumus penetapan harga dari zero coupon bond. Namun, persamaan (26) ini memiliki perbedaaan dengan persamaan (16), karena persamaan (26) hanya menggunakan informasi dari forward interest rate pada waktu awal dan kurva volatilitas pada waktu

C\, sedangkan persamaan (16) menggunakan koefisien … C , † C dan C .

Penentuan harga obligasi yang diperoleh di atas adalah dalam bentuk rumus aljabar, oleh karena itu pada bagian selanjutnya akan

dicari harga zero coupon bond dengan

Dalam dokumen Penetapan harga Zero Coupon Bond menggunakan perluasan model Cox-Ingersoll-Ross (Halaman 36-71)