Tata Koordinat Ekliptika

Tata Koordinat Langit dan Astronomi Bola

3. Tata Koordinat Ekliptika

x 15⁰) = 68⁰ di sebelah Barat meridian dan 25⁰ di selatan ekuator langit.

3. Tata Koordinat Ekliptika

Catatan :

Lingkaran ekliptika membuat sudut kemiringan 23½0 terhadap lingkaran ekuator langit.

Titik perpotongan ekliptika dengan ekuator langit setiap tanggal 21 Maret disebut Titik Aries atau titik Musim Semi (TMS) belahan bumi utara , tanggal 23 September disebut Titik Libra atau Titik Musim Gugur ( TMG ).

Deklinasi maksimum matahari di belahan langit utara (23½0) disebut Titik Musim Panas (TMP) atau Titik Cancer, dicapai Matahari setiap tanggal 22 Juni. Maksimum di belahan langit selatan (-23½0) dicapai matahari setiap Lingkaran dasar : Lingkaran Ekliptika

Koordinat : Bujur ekliptika ( ) & Lintang ekliptika ( )

Bujur ekliptika : Panjang busur yang diukur dari titik Aries ke arah Timur sepanjang lingkaran ekliptika ke titik kaki (K )

Rentang : 00 s/d 3600 Lintang ekliptika

: ^{Panjang busur, dihitung dari titik Kaki di lingkaran ekliptika} ke arah kutub ekliptika sampai ke letak benda langit. Harga positif ke arah KEU atau negatif ke arah KES.

tanggal 22 Desember dinamakan Titik Musim Dingin (TMD) atau Titik Capricornus.

Sistem Koordinat Ekliptika umumnya dipakai untuk posisi Matahari dan anggota tata surya lainnya.

Perbandingan geometri bola dengan geometri bidang datar

Bidang datar Bidang bola

Bila 2 garis tegak lurus garis ke-3, maka

ke-2 garis tersebut sejajar ^{Bila 2 garis tegak lurus garis ke-3, maka} ke-2 garis tersebut belum tentu sejajar Bila 2 garis tak sejajar, maka ke-2 garis

itu akan memotong di satu titik ^{Bila 2 garis tak sejajar, maka ke-2 garis} itu belum tentu memotong di satu titik Geometri Bola dibentuk oleh: Lingkaran besar, lingkaran kecil, dan sudut-sudut bola.

Lingkaran besar: Lingkaran pada permukaan bola yang pusatnya berimpit dengan pusat bola --> membagi bola menjadi 2 bagian sama besar

Lingkaran kecil: Lingkaran pada permukaan bola, tetapi pusatnya tidak berimpit dengan pusat bola Titik potong garis tengah yang

tegak lurus bidang lingkaran besar dengan bola disebut kutub,

Bila 2 lingkaran besar berpotongan, maka sudut perpotongannya disebut sudut bola

Sudut bola adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan 2 lingkaran besar.

Jika 3 buah lingkaran besar saling berpotongan satu dengan yang lainnya sehingga membentuk suatu bagian dengan 3 sudut, maka terbentuklah segitiga bola, yang mengikuti ketentuan sebagai berikut:

1. jumlah 2 sudut bola selalu lebih besar dari sudut ke-3 2. jumlah ketiga sudutnya selalu lebih besar dari 180° 3. tiap sudut besarnya selalu kurang dari 180^°

Sifat-sifat segitiga bola

Sudut A, B, dan C adalah sudut bola; dan a, b, dan c adalah sisi-sisi segitiga bola ABC.

0° < (a + b + c) < 360° 180° < (A + B + C) < 540° a + b > c, a + c > b, b + c > a a > b A > B; a = b A = B Ekses sudut bola, yaitu selisih antara jumlah sudut-sudut A, B, dan C sebuah segitiga bola dengan radians (180°) adalah:

E = A + B + C – (rad)

Empat buah formula yang biasa digunakan adalah : Formula cosinus

cos a = cos b . cos c + sin b. sin c . cos A cos b = cos c . cos a + sin c . sin a . cos B Formula sinus '" ; '" = '" 4 '" = '" 5 '"

Formula analog untuk cosinus

sin a . cos B = cos b . sin c – sin b . cos c . cos A Formula empat bagian

cos a . cos C = sin a . cot b – sin C . cot B

REVIEW : Tata koordinat yang sudah kita pelajari :

Jenis tata koordinat Tata Koordinat Bumi

Lingkaran dasar utama Lingkaran ekuator

Kutub-kutub ^{Kutub utara (KU) dan kutub selatan} _(KS) Lingkaran dasar ke-2 ^{Lingkaran besar yang melalui meridian} _pengamat

Titik Asal ^{Titik potong ekuator dengan meridian} _Greenwich Koordinat 1

Bujur, l atau , dihitung dari meridian Greenwich ke meridian pengamat 00 < l < 1800 atau 0h < l < 12h ke timur

dan ke barat

Koordinat 2 00^{Lintang , dihitung :} < < 900 ke arah KU -900 < < 00 ke arah KS

Jenis tata koordinat Tata Koordinat Horison

Lingkaran dasar utama Bidang horison

Kutub-kutub Titik Zenit (Z) & titik Nadir (N)

Lingkaran dasar ke-2 ^{Lingkaran besar yang melalui meridian} _pengamat Titik Asal ^{Titik Utara. Titik-titik Utara, Selatan,} _{Barat,dan Timur adalah titik kardinal}

Koordinat 1

Azimut, A diukur dari :

Utara ke arah Timur

00 < A < 1800, bagi pengamat di belahan Bumi selatan

Utara ke arah Barat

00 < HA < 1800, bagi pengamat di belahan Bumi utara

Koordinat 2

Tinggi bintang h, diukur dari lingkaran horizon :

00 < h < 900 ke arah Z -900 < h < 00 ke arah N

Jenis tata koordinat ^{Tata Koordinat Ekuatorial I} _{( HA-DEC)} Lingkaran dasar utama Ekuator langit

Kutub-kutub ^{Kutub Langit Utara (KLU) dan Kutub} _{Langit Selatan (KLS)} Lingkaran dasar ke-2 Meridian pengamat

Titik Asal ^{Titik , yang merupakan perpotongan} meridian pengamat dengan lingkaran ekuator langit

Koordinat 1 ^{Sudut jam HA,diukur dari titik ke arah} Barat: 0h < HA < 24h

Koordinat 2 ^{deklinasi, , diukur :} 00 < < 900 ke arah KLU -900 < < 00 ke arah KLS

Jenis tata koordinat ^{Tata Koordinat Ekuatorial II} _(RA-DEC) Lingkaran dasar utama Lingkaran ekuator

Kutub-kutub ^{Kutub Langit Utara (KLU) dan Kutub} _{Langit Selatan (KLS)} Lingkaran dasar ke-2 Meridian pengamat

Titik Asal ^{Titik , yang merupakan perpotongan} _{ekuator dan ekliptika} Koordinat 1 ^{Asensiorecta, , diukur dari titik ke} _{arah timur : 0}h < < 24h

Koordinat 2 ^{deklinasi, , diukur :} 00 < < 900 ke arah KLU -900 < < 00 ke arah KLS

Jenis tata koordinat Tata Koordinat Ekliptika

Lingkaran dasar utama Bidang ekliptika

Kutub-kutub ^{Kutub Ekliptika Utara (KEU) dan Kutub} _{Ekliptika Selatan (KES)}

Titik Asal Titik

Koordinat 1 ^{Bujur ekliptika, , diukur dari titik ke} arah timur : 0h < < 24h

Koordinat 2

Lintang ekliptika, , diukur dari bidang ekliptika ke bintang : 00 < < 900 ke arah KEU -900 < < 00 ke arah KES

Lintasan harian benda langit

Terbit,terbenam, dan kulminasi/transit

Setiap benda langit bergerak pada lingkaran kecil yang sejajar ekuator dan berjarak . Benda bergerak dari bawah horison ke atas horison di sebelah timur. Peristiwa ini disebut sebagai terbit. Lalu benda terbenam, yaitu bila benda bergerak dari atas horison ke bawah horison, di sebelah barat. Saat terbit atau terbenam, z = 90⁰ dan h = 0⁰.

Besarnya HA (terbit/terbenam) menyatakan waktu yang ditempuh benda langit dari terbit sampai transit atas (HA = 0^h = 0⁰ ), dan dari transit atas sampai terbenam. Jadi, 2 x HA adalah lama benda langit di atas horison.

Bintang sirkumpolar

Bintang ini bisa diamati jika berada di atas horison. Ada bintang yang tidak pernah terbenam atau tidak pernah terbit. Bintang-bintang ini disebut sebagai Bintang Sirkumpolar.

. Pada bintang sirkumpolar di atas horison, berlaku : z (transit bawah) 900; jika :

90⁰ – , untuk belahan bumi utara – 90⁰, untuk belahan bumi selatan

- Pada bintang sirkumpolar di bawah horison, berlaku : z (transit atas) 90⁰; jika :

- 900, untuk belahan bumi utara 90⁰ - , untuk belahan bumi selatan Senja dan Fajar

Pada saat Matahari terbenam, cahayanya masih dapat menerangi Bumi. Ketika Matahari berada 18⁰ di bawah horison, pengaruh terang tersebut sudah hilang. Selang antara matahari terbit dan terbenam dengan jarak zenithnya 108⁰ disebut sebagai senja atau fajar.

z = 90⁰, h = 0⁰ terbit/terbenam z = 960, h = - 6⁰ fajar/senja sipil z = 1020, h = -12⁰ fajar/senja nautikal z = 1080, h = -180 fajar/senja astronomis Pergerakan tahunan Matahari

. Matahari mengitari Bumi pada bidang ekliptika posisinya dalam koordinat ekliptika berubah terhadap waktu posisi pada koordinat ekuator juga berubah.

. Dalam 1 tahun, berubah dari 0^h sampai 24h dan berubah dari -23.270 sampai +23,27⁰.

. Posisi tetap.

Posisi Matahari dalam koordinat ekuator II dan ekliptika

Tanggal (^h) (⁰) (^h) (⁰) Lokasi

21 Maret 0 0 0 0 Titik musim semi

22 Juni 6 0 6 +23.27 Titik musim

panas

23 September 12 0 12 0 Titik musim

gugur 22 Desember 18 0 18 -23.27 Titik musim

dingin

Posisi titik terhadap Matahari dalam peredaran harian dan tahunan Matahari. Tanggal (h) HA (h)

21 Maret 0 0

22 Juni 6 -6

23 September 12 -12

Refraksi

Posisi benda langit yang tampak di langit sebenarnya berbeda dengan posisi fisiknya, salah satu sebab adalah karena efek refraksi.

Cahaya yang bergerak dengan kecepatan cahaya akan mengubah bayangan benda yang melewati suatu medium.

Definisikan :

Indeks refraksi, n ,setiap medium transparan adalah 1/ kecepatan cahaya di dalam medium.

Kecepatan cahaya di udara bergantung kepada temperatur dan tekanannya, sehingga indeks refraksi udara bervariasi untuk tiap lapisan atmosfer yang berbeda. Refraksi di dalam atmosfer :

Diandaikan atmosfer bumi terdiri dari n lapisan sejajar yang seragam dari permukaan bumi dan mempunyai kecepatan vi yang berbeda untuk tiap lapisan (i dari 1 sampai n). Hukum Snell juga berlaku bagi refraksi untuk tiap lapisan :

n1 sin i = n2 sin r dengan :

. n1 dan n2 adalah indeks bias medium 1 atau 2

. i adalah sudut datang . r adalah sudut bias Di batas permukaan pertama :

1 0 1 1 v v r sin i sin = Di lapisan berikutnya : 2 1 2 2 v v r sin i

sin = , dan seterusnya.

Tetapi dengan geometri sederhana : r1 = i2 , r2 = i3 , dan seterusnya. Sehingga kita peroleh :

... r sin v v r sin v v v v i sin v v r sin v v i sin ₂ 2 0 2 2 1 1 0 2 1 0 1 1 0 1 = = = = = n n 0 1 sinr v v i sin =

Dari rumus di atas, ada indikasi bahwa masing-masing lapisan saling meniadakan, sehingga yang berperan hanyalah perbandingan antara v0 (yang sama dengan c, yaitu kecepatan cahaya dalam ruang hampa) dan vn (kecepatan cahaya di udara pada lapisan terbawah).

Bila rn adalah jarak zenit semu bintang z’, dan i1 adalah jarak zenit benar z. Refraksi tidak memberikan pengaruh bagi bintang yang ada di zenith. Tetapi untuk posisi lain, efek refraksi ini mengakibatkan bintang akan nampak lebih tinggi, dan efek terbesar adalah bila bintang ada di horison.

Didefinisikan sudut refraksi dengan R, dimana R = z – z’, atau z = R + z’. Maka : sin(z) = sin(R) cos(z’) + cos(R) sin(z’).

Jika, dianggap R sangat kecil, maka dapat didekati dengan : sin(R) = R (dalam radian), dan cos(R) = 1

Sehingga, sin(z) = sin(z’) + R cos(z’).

' z tan R 1 ' z sin z sin = + atau ' z tan R 1 v v n 0 = +

Sehingga, tan ' tan( )'

1 0 z k z v v R n = − =

Nilai v0 adalah c, yaitu kecepatan cahaya dalam ruang hampa, yang harganya konstan. Tetapi vn bergantung kepada temperatur dan tekanan udara pada lapisan terbawah.

Pada temperatur (0⁰C = 273 K) dan tekanan (1000 milibars), k = 59,6 detik busur. Di dalam The Astronomical Almanac, harga k adalah :

k = 16,27” P(milibars)/(273+T0C)

Pada jarak zenit besar, model ini tidak berlaku. Besar refraksi di dekat horison ditentukan dari pengamatan di atas permukaan bumi. Pada temperatur dan tekanan standar, refraksi di horison (refraksi horisontal) sebesar 34 menit busur.

Efek refraksi pada saat Matahari atau Bulan terbenam

Saat Matahari atau Bulan terbit/terbenam, jarak zenit dari pusat kedua benda tersebut adalah 900. Refraksi yang terjadi saat itu disebut sebagai refraksi horisontal.

Refraksi horisontal saat benda langit terbit/terbenam adalah 35’. Jika jarak zenit = 900, maka jarak zenit benar adalah 90035’.

Misalkan H adalah sudut jam bila jarak zenit pusat Matahari 90⁰, maka H+ H adalah sudut jam pusat Matahari ketika pusat Matahari yang tampak, berada di horison, jadi z = 90⁰ dan z’ = 90⁰35’.

Efek refraksi pada asenciorecta dan deklinasi . ’ – = R sec ’ sin

. ’ – = R cos dengan adalah sudut paralaktik Koreksi semi diameter

Pada saat Matahari terbenam, z = 900, h’ = 00, maka :

. jarak zenit piringan Matahari adalah :

z = 90

⁰

+ R

_(z=900₎ . tinggi pusat Matahari adalah :

h =0

⁰

−R

_(z=900₎

Matahari dikatakan terbit jika batas atas piringan mulai muncul di horison, dan terbenam jika batas piringan sudah terbenam di horison, maka z dan h harus dikoreksi oleh semidiameter piringan Matahari, S , sehingga :

) 90 z ( 0 0

R

90

z = +

₌ + S ) 90 z ( 0 0

R

0

h = −

₌ - S

Jadi, saat Matahari atau Bulan terbit atau terbenam : h = - 0050’

h = + 0⁰08

Koreksi ketinggian di atas muka laut

Bidang horison pengamat di Bumi bergantung kepada ketinggian pengamat. Jika pengamat berada pada ketinggian (meter) dari muka laut, maka sudut kedalaman (angle of dip), ,adalah :

Jika efek refraksi diperhitungkan, maka :

= 1’.78 (dalam satuan menit busur) Jarak ke horison-laut, dituliskan dengan :

d = 3.57 (dalam km) Jika efek refraksi diperhitungkan, maka :

d = 3.87 (dalam km)

Transformation of Horizontal to Equatorial Coordinates,& Vice Versa

Measured observed coordinates in the horizontal system, azimuth A and altitude a, can be transformed to (co-rotating) equatorial ones, hour angle HA and declination Dec, for an observer at geographical latitude B, by the transformation formulae (mathematically, this is a rotation around the east-west axis by angle (90 deg - B)):

cos Dec * sin HA = cos a * sin A

sin Dec = sin B * sin a - cos B * cos a * cos A

cos Dec * cos HA = cos B * sin a + sin B * cos a * cos A

The inverse transformation formulae from given HA, Dec to A, a read: cos a * sin A = cos Dec * sin HA

sin a = sin B * sin Dec + cos B * cos Dec * cos HA

cos a * cos A = - cos B * sin Dec + sin B * cos Dec * cos HA

For practical calculation in either case, evaluate e.g. the second formula first to obtain Dec or a, and then use the result in the first formula to get HA or A, respectively. (Get HA from or transform it to Right Ascension according to the relation given at the end of the last section if star time is known)

Effects of Earth's Rotation

As mentioned above, Earth's (or another celestial body's) rotation has remarkable effects on the appearance of the sky: Stars and other celestial bodies appear to rotate around the celestial poles (as actually Earth rotates and carries the observer away below them), i.e. move along circles of constant declination in the co-rotating equatorial system.

By doing so, stars will cross the local meridian (defined e.g. by zero hour angle HA) twice a day; these events are called transits or culminations, i.e., the upper and the lower transit, or the upper and the lower culmination. These events also mark the maximal and minimal altitude a the objects can reach in the observer's sky, and may both take place above or below the horizon of the observer, depending on the declination Dec of the object and the geographic latitude B of the observer.

The altitudes for upper transits are as follows: a = 90 deg - |B - Dec|

where the transit takes place north of the zenith if Dec > B and south otherwise. If |B - Dec| > 90 deg, the upper transit will take place at negative altitude, i.e. below the horizon, so that the object will never come above the horizon and thus never be visible; for the Northern hemisphere, this is true for all objects with

Dec < B - 90 deg (< 0),

and for the Southern hemisphere for Dec > B + 90 deg (> 0).

The altitudes for the lower transit are given by a = (B + Dec) - 90 deg B > 0 (North) a = - (B + Dec) - 90 deg B < 0 (South)

For an observer on the Northern hemisphere, stars with Dec > 90 deg - B (> 0), and for southern hemisphere observers, stars with Dec < - 90 deg - B (< 0) will have their lower transit at positive altitudes, i.e., above horizon, and will never set; such stars are called circumpolar.

All stars which are neither circumpolar nor never visible will have their upper transit above and their lower transit below horizon, and thus rise and set during a siderial day. Disregarding refraction effects, the hour angle of the rise and set of a celestial object, the semidiurnal arc H0, is given by

cos H0 = - tan Dec * tan B

while the azimuth of the rising and setting points, the evening and morning elongation A0 is

cos A0 = - sin Dec / cos B

where A0 > 90 dec if Dec and B have same sign (i.e., are on the same hemisphere). Rising and setting times differ from transit time by the amount of the diurnal arc H0, given in time units (hours), taken as hours of star time.

If Dec and B have same sign (i.e., are on the same hemisphere), one of the following situations occurs:

If |Dec| < |B|, the object transits the prime vertical, A = +/- 90 deg; this occurs at altitude and hour angle given by

• sin a = sin Dec / sin B • cos HA = tan Dec * cot B

If |Dec| > |B|, the object will stay within a certain region of azimuth around the visible celestial pole, where the extremal azimuth points are given by

• sin a = sin B / sin Dec • cos HA = cot Dec * tan B

The Ecliptical Coordinate System

In the ecliptical coordinate system, the fundamental reference plane is chosen to be the ecliptic, i.e. the orbital plane of the Earth around the Sun. Earth's revolution around the Sun defines an orientation and thus the North and the South Ecliptic Pole.

The ecliptic latitude (be) is defined as the angle between a position and the ecliptic and takes values between -90 and +90 deg, while the ecliptic longitude (le) is again starting from the vernal equinox and runs from 0 to 360 deg in the same eastward sense as Right Ascension.

The obliquity, or inclination of Earth's equator against the ecliptic, amounts eps[ilon] = 23deg 26' 21.448" (2000.0) and changes very slightly with time, due to gravitational perturbations of Earth's motion. Knowing this quantity, the transformation formulae from equatorial to ecliptical coordinates are quite simply given (mathematically, by a rotation around the "X" axis pointing to the vernal equinox by angle eps):

cos be * cos le = cos Dec * cos RA

cos be * sin le = cos Dec * sin RA * cos eps + sin Dec * sin eps sin be = - cos Dec * sin RA * sin eps + sin Dec * cos eps

cos Dec * cos RA = cos be * cos le

cos Dec * sin RA = cos be * sin le * cos eps - sin be * sin eps sin Dec = cos be * sin le * sin eps + sin be * cos eps

Ecliptical coordinates are most frequently used for solar system calculations such as planetary and cometary orbits and appearances. For this purpose, two ecliptical systems are used: The heliocentric coordinate system with the Sun in its center, and the geocentric one with the Earth in its origin, which can be transferred into each other by a coordinate translation.

Tata Koordinat Galaksi*

Tata koordinat ini digunakan untuk mempelajari posisi dan pergerakan objek-objek di luar tata surya.

Lingkaran besar yang dipakai dalam sistem koordinat ini adalah lingkaran ekuator galaksi. Dianggap bahwa galaksi terdistribusi secara simetris di kedua sisi ekuator galaksi. Lingkaran ekuator galaksi memotong lingkaran ekuator langit di N dan N’. Titik N disebut ascending nodes dan titik N’ disebut descending nodes.

Objek apapun ( X : RA = , Dec = ) memiliki besaran bujur dan lintang galaksi. Bujur galaksi, , dihitung dari titik L ke titik kaki di ekuator galaksi sesuai arah kenaikan asensiorecta (RA).

0⁰ < < 360⁰

Titik L adalah titik nol yang didefinisikan sebagai sebuah titik dimana lingkaran yang berasal dari G ketika di posisi sudut = PGL = 123⁰ memotong ekuator galaksi. Lintang galaksi, b , dihitung dari titik kaki di ekuator galaksi ke arah kutub galaksi utara atau selatan.

Ke arah utara positif; ke arah selatan negatif -90⁰ < b < +90⁰

Untuk membedakan antara sistem dari tata koordinat galaksi versi lama (Ohlsson) dan versi baru (IAU), biasanya dan b diberi simbol berupa lambang pangkat. “I” untuk sistem lama dan ”II” untuk sistem baru.

Posisi dari kutub galaksi : • Versi IAU ( bII = 0 ) : = 12^h49^m0 = +27⁰24’0 (Epoch 1950) = 12^h46^m6 = +27⁰40’0 (Epoch 1900) = 12^h51^m4 = +27⁰07’0 (Epoch 2000) • Versi Ohlsson ( bI = 0 ): = 12^h40^m = +28⁰0 (Epoch 1900) Transformasi koordinat galaksi-ekuatorial

Jika diketahui asensiorekta objek X = dan deklinasinya = . Diketahui juga koordinat dari kutub galaksi utara : ( G, G) dan posisi sudut .

Maka untuk memperoleh lintang galaksi , b . dari objek X :

E " : ,2 ? E < B BF & 5 ' " : ,2 EF #; , 0 E " ?, B,2 0 E " ?, + E, E* + A * ^{+ - E} * . . E .

sin b = sin G sin + cos G cos cos ( - G)

dan untuk memperoleh bujur galaksi , , :

cos ( – ) = b cos cos b sin sin sin G G

δ

δ

δ

−

dengan mengetahui nilai , kita akan memperoleh nilai .

Review :

Lukis letak sebuah benda langit dalam koordinat horizon jika diketahui Azimuthnya 60⁰ dan ketinggiannya 75⁰

Lukis letak sebuah benda langit yang memiliki Ascenciorecta 12 jam dan deklinasi 300 dari pengamat di kota A ( 100 LU ) pada tanggal 20 Mei 2005 Lukis letak sebuah planet yang memiliki bujur ekliptika 120⁰ dan lintang ekliptika

45⁰ dari suatu tempat di ekuator Bumi.

Tuliskan dalam sebuah tabel yang mendaftarkan semua karakteristik dari tiap-tiap sistem koordinat yang telah Anda pelajari dalam bab 4.

Beberapa lingkaran bola langit untuk latihan menggambar kedudukan benda langit.