Tekuk Lateral Pada Balok

TINJAUAN KEPUSTAKAAN 2.1. PENDAHULUAN

3.1. STRUKTUR TERLENTUR

3.1.2. Tekuk Lateral Pada Balok

Gambar 3.3. Deformasi lateral pada balok

Ketika sebuah balok mendapatkan beban pada lentur terbesarnya atau yang memiliki kelangsingan arah lateral (samping) yang kecil, balok tersebut akan membengkok dan memutar pada saat beban yang diberikan mencapai nilai kritisnya dan akan dapat mengalami tekuk torsi lateral dan lentur secara bersamaan ketika menerima beban. Akibat beban balok akan bertranslasi kebawah dan akibat tekuk lateral batang akan menekuk kesamping diikuti dengan memuntirnya penampang.Tetapi hal itu tidak akan terjadi pada balok telah diberikan sokongan (lateral support). Untuk balok dalam keadaan geometris yang sempurna, beban kritis

ini sesuai dengan titik bifurkasi kesetimbangan ketika penampang mengalami perubahan bentuk, penampang menjadi tidak stabil. Perubahan bentuk tersebut mengakibatkan adanya pembengkokan dan putaran (rotasi) yang kemudian menjadikan penampang tersebut dalam keadaan stabil kembali. Kasus ini sama seperti pada kasus kolom dimana untuk mencari beban kritis penampang balok tersebut, pertama sekali harus ditentukan persamaan kesetimbangan penampang balok dalam keadaan terdeformasi. Beban tekuk kritis atau beban lateral merupakan nilai yang diperoleh sebagai nilai eigen terendah yang memenuhi nilai karakteristik persamaan diferensial dari persamaan dari persamaan tersebut. Berikut akan dijelaskan prosedur untuk mencari beban kritis panampang. Dalam hal ini digunakan asumsi sebagai berikut.:

a. Balok dalam keadaan geometrik yang sempurna.

b. Beban yang diberikan pada bidang sumbu lemahnya (bidang web dalam kasus penampang I)

c. Defleksi (perubahan bentuk) yang terjadi pada penampang kecil.

d. Geometrik penampang tidak berubah selama terjadinya buckling.

Dalam bab ini kita menggunakan kaidah genggaman tangan kanan untuk menggambarkan vector momen. Misalkan bahwa sumbu dari kaidah genggaman tangan kanan adalah garis sumbu x. Oleh karena itu ditetapkan momen 𝑀₀ adalah positif dan akan diwakili oleh Momen positif (𝑀_𝑥)_𝑒𝑥𝑡 dalam arah sumbu x. Tanda perjanjian momen ini dinamakan aturan tangan kanan. Dengan menggunakan tanda perjanjian momen ini, momen yang bekerja pada bidang yang dalam keadaan terdefleksi sekarang dapat diperoleh:

Gambar 3.4. : Komponen-komponen momen

Sumber : STRUCTURAL STABILITY, Theory and Implementation.W.F.Chen, Ph.d.

dan E.M. Lui, Ph.d

(𝑀_𝑥′)_𝑒𝑥𝑡 ≈ (𝑀_𝑥)_𝑒𝑥𝑡 = 𝑀₀ ( 3.3.1 )

(𝑀_𝑦′)

𝑒𝑥𝑡 ≈ −𝑦(𝑀_𝑥)_𝑒𝑥𝑡 = −𝑦𝑀₀ ( 3.3.2 )

(𝑀_𝑧′)_𝑒𝑥𝑡 ≈^𝑑𝑢

𝑑𝑧(𝑀_𝑥)_𝑒𝑥𝑡 =^𝑑𝑢

𝑑𝑧𝑀₀ ( 3.3.3 )

Momen internal yang berlawanan yang sesuai adalah : (𝑀_𝑥′)_𝑖𝑛𝑡 = −𝐸𝐼_𝑥^𝑑2𝑣

𝑑𝑧² ( 3.3.4 )

(𝑀_𝑦′)

𝑖𝑛𝑡 = 𝐸𝐼_𝑦^𝑑2𝑢

𝑑𝑧² ( 3.3.5 )

(𝑀_𝑧′)_𝑖𝑛𝑡 = 𝐺𝐽^𝑑𝑦

𝑑𝑧 ( 3.3.6 )

Sebagaimana dituliskan dalam persamaan diasumsikan bahwa sudut rotasi  cukup kecil sehingga kelengkungan dan momen inersia pada bidang y’-z’ dan x’-z’

sesuai harga masing-masing pada penampang y-z dan x-z secara berurutan. Tanda minus pada persamaan diatas mengindikasikan bahwa kelengkungan negative pada bidang x’-y’ akan memberikan momen positif dengan menggunakan aturan sekrup tangan kanan. Persamaan 3.1.6 diatas yang mengacu dari persamaan :

𝑇 = 𝐺𝐽𝑑𝑦

𝑑𝑧− 𝐸𝐶_𝑤𝑑³𝑦 𝑑𝑧³ dengan harga 𝐶_𝑤 = 0

Untuk penampang tipis persegipanjang, rotasi pada penampang dapat diabaikan sebagaimana kekangan putaran akibat torsi dapat diabaikan. Maka persamaan external dan internal yang sesuai adalah :

𝐸𝐼_𝑥^𝑑2𝑣

Pada persamaan ini ditunjukkan bahwa pada persamaan pertama hanya terdiri dari variable u dan tidak bergantung pada dua persamaan lainnya. Persamaan 3.3.1 ini menggambarkan lentur bidang dalam yang erjadi sebelum ketidakstabilan lateral.

Hal ini tidak dibutuhkan pada perilaku tekuk torsi lateral dalam analisis tekuk dengan defleksi yang kecil. Perilaku tekuk balok ini dijelaskan pada 2 persamaan terakhir yang digabungkankan karena mengandung u dan  sebagai variabel. Jika kita membuat turunan pertama dari persamaan 3.3.9 terhadap z dan mensubtitusikan hasilnya kedalam persamaan 3.3.8, dua persamaan dapat menghasilkan persamaan :

𝐸𝐼𝐺𝐽 ^𝑑2

𝑑𝑧²+ 𝛾𝑀₀ = 0 ( 3.4.1 )

Setelah menata ulang kembali didapat persamaan :

𝑘² = 𝑀_𝑜²⁄𝐸𝐼_𝑦𝐺𝐽 ( 3.4.2 )

Kita memiliki persamaan diferensial yang baru :

𝑑²𝑦

𝑑𝑧²+ 𝑘²𝑦 = 0 ( 3.4.3 )

Dimana solusi persamaan umumnya adalah :

𝛾 = 𝐴 sin 𝑘𝑧 + 𝐵 cos 𝑘𝑧 ( 3.4.4 )

Selama rotasi pada ujung penampang dapat dicegah berlaku kondisi batas:

𝛾(0) = 0 dan 𝛾(𝐿) = 0 ( 3.4.5 )

Dengan menggunakan kondisi batas yang pertama pada persamaan umum diatas kita peroleh harga 𝐵 = 0, dan dengan menggunakan kondisi batas yang kedua kita peroleh 𝑨 𝑺𝒊𝒏𝒌𝑳 = 𝟎

Jika nilai 𝑨 = 𝟎, maka persamaan umum (pers.3.4.4) diatas akan menghasilkan solusi persamaan yang sembarang. Jadi untuk memperoleh solusi persamaan yang tidak sembarang,

𝑆𝑖𝑛 𝑘𝐿 = 0 atau 𝑘𝐿 = 𝑛𝜫 ( 3.4.6 )

Dengan nilai-nilai :

𝑘² = 𝑀_𝑜²⁄𝐸𝐼_𝑦𝐺𝐽 maka didapat :

𝑀₀ = ^𝑛𝜋

𝐿 √𝐸𝐼𝑦𝐺𝐽 ( 3.4.7 )

Momen kritis adalah nilai terkecil dari M yang tekuk torsi lateral. Nilai ₀ tersebut dapat diperoleh dengan menetapkan nilai n=1 pada persamaan diatas.

Sehingga :

𝑀_0𝑐𝑟 = ^𝜋

𝐿√𝐸𝐼𝑦𝐺𝐽 ( 3.4.8 )

Penting untuk dicatat bahwa momen kritis merupakan fungsi dari kekakuan lentur lateral EI_y dan kekakuan torsi GJ. Jadi, akibat dari penggabungan deformasi bidang luar dan adanya putaran dapat diperoleh.

Persamaan 3.4.8 diatas meskipun berlaku untuk penampang tipis persegi panjang, berlaku juga untuk penampang box yang tersusun dari penampang tipis persegi panjang. Seperti pada penampang tipis persegi panjang, warping pada

nol. Namun, untuk penampang box,𝑀_𝑐𝑟 akan lebih besar nilainya karena adanya pertambahan yang signifikan dari nilai 𝐼_𝑦 dan 𝐽.

Berikut adalah balok penampang I dengan perletakan sederhana dengan lentur murni. Perletakan sederhana sebuah balok I dimana pada kedua ujungnya diberi momen yang saling berlawanan seperti ditunjukkan pada gambar.

Gambar 3.5. Tekuk lateral sebuah penampang I dengan momen seragam.

Seperti pada sebelumnya, dua koordinat yang telah ditetapkan x-y-z dan x’-y’-z’ kita gunakan untuk mempermudah analisis. Karena tidak adanya perubahan dalam hal beban eksternal dan kondisi lain maka persamaan-persamaan diatas masih berlaku disini. Adapun reaksi perlawanan dari momen internal, kedua persamaan diatas menggambarkan perilaku lentur bidang dalam dan bidang luar yang berlaku disini. Dalam hal ini pada penampang I, selain adanya torsi St.Venant, ada torsi perlawanan torsi, maka total perlawanan tori yang terdapat pada penampang I adalah:

𝑀_𝑧′ = 𝐺𝐽^𝑑𝑦

𝑑𝑧− 𝐸𝐶_𝑤^𝑑3𝑦

𝑑𝑧³ ( 3.4.9 )

Dengan menyamakan momen eksternal dan momen internal persamaan diferensial untuk penampang I dengan lentur murni ditetapkan :

𝐸𝐼_𝑥^𝑑2𝑣

Persamaan pertama tidak berlaku karena menggambarkan perilaku bidang dalam beam sebelum terjadinya lateral buckling (tekuk lateral). Persamaan diferensial yang menggambarkan perilaku balok pada kondisi tekuk lateral ditetapkan dengan mengkombinasikan persamaan diatas.

𝐸𝐶_𝑤^𝑑4𝑦

Persamaan diatas dapat ditulis :

𝑑⁴𝑦

𝑑𝑧⁴− 2𝑎^𝑑2𝑦

𝑑𝑧²− 𝑏𝑦 = 0 ( 3.5.5 )

Persamaan diatas merupakan orde keempat dari persamaan diferensial linier dengan koefisien constanta, Persamaan umumnya adalah :

𝛾 = 𝐴 sin 𝑚𝑧 + 𝐵 cos 𝑚𝑧 + 𝐶𝑒^𝑛𝑧+ 𝐷𝑒^𝑛𝑧 ( 3.5.6 )

Dimana m dan n adalah positif

𝑚 = √−𝑎 + √(𝑎²+ 𝑏) , 𝑛 = √𝑎 + √(𝑎²+ 𝑏) ( 3.5.7 )

Konstanta A, B, C, dan D dapat ditentukan dari kondisi ujung balok dimana rotasi dari penampang dapat dicegah, maka

𝛾(0) = 0 dan 𝛾(𝐿) = 0 ( 3.5.8 )

Pada saat warping dikekang pada ujung balok, tidak ada terjadi momen pada sayap. Dengan menetapkan ^Mfada persamaan :

𝑀_𝑓 = 𝐸𝐼_𝑓^{𝑑2𝑢𝑓}

𝑑𝑧² sama dengan nol dan menurunkan persamaan : 𝑢_𝑓= ^ℎ

2𝑦 dua kali, maka dapat ditunjukkan kondisi sebagai berikut:

𝑑²𝑦 𝑑𝑧²|

𝑧=0=0 ^𝑑2𝑦

𝑑𝑧²|

𝑧=𝐿 = 0 ( 3.5.9 )

Dari kondisi pertama pada persamaan diatas dapat ditetapkan:

𝐵 = 0 , 𝐶 = −𝐷 ( 3.6.0 )

dan kondisi kedua dari persamaan diatas, kita memperoleh persamaan simultan:

𝐴 sin 𝑚𝐿 − 2 𝐷 sinh 𝑛𝐿 = 0

𝐴𝑚²sin 𝑚𝐿 + 2 𝐷𝑛²sinh 𝑛𝐿 = 0 ( 3.6.1 )

Untuk solusi nontrivial, determinant dari persamaan diatas harus hilang, maka:

(sin 𝑚𝐿)(sinh 𝑛𝐿)(2𝑚²+ 2𝑛²) = 0 ( 3.6.2 )

sin 𝑚𝐿 = 0 ( 3.6.3 )

Nilai terkecil dari m pada persamaan diatas adalah : 𝑚 =^𝜋

𝐿 ( 3.6.4 )

Dari persamaan, didapat :

−𝑎 + √(𝑎²+ 𝑏) = (^𝜋

𝐿)² ( 3.6.5 )

Dan dari persamaan , kita peroleh:

𝑀_0𝑐𝑟 = ^𝜋

𝐿√𝐸𝐼𝑦𝐺𝐽√(1 + 𝑊²) ( 3.6.6 )

Dimana:

𝑊 =^𝜋

𝐿√^𝐸𝐶_𝐺𝐽^𝑤 ( 3.6.7 )

Perlu dicatat bahwa Momen kritis tidak hanya tergantung pada besarnya 𝐸𝐼_𝑦 dan 𝐺𝐽 tetapi juga besarnya nilai 𝐸𝐶_𝑤. Akar kuadrat kedua dari persamaan 3.6 diatas menggambarkan pengaruh adanya warping terhadap reaksi perlawanan torsi pada balok tersebut. Untuk penampang persegi panjang dan penampang box nilai 𝐶_𝑤 dapat diabaikan. Sehingga akar kuadratnya bernilai 1 dimana persamaan 3.6 dikurang persamaan 1.8. Untuk penampang I , 𝑀_𝑐𝑟 akan bertambah jika jarak antara dua sayap juga bertambah besar. Hal ini akan jelas mengacu jika kita meninjau persamaan

𝐶_𝑤 = ^𝐼𝑓ℎ2

2 , nilai konstanta warping sebanding terhadap kwadrat h pada penampang tersebut. Dengan demikian, jika 𝐼_𝑓 tetap tidak berubah, bertambahnya nilai h akan mengakibatkan nilai 𝐶_𝑤 dan 𝑀_𝑐𝑟.

Dalam persamaan 3.6 diasumsikan bahwa defleksi bidang dalam tidak berpengaruh terhadap perilaku lateral torsional buckling pada beam. Asumsi ini bisa dibenarkan karena pada saat kekakuan lentur 𝐸𝐼_𝑥 lebih besar dari kekakuan lentur 𝐸𝐼_𝑦, defleksi bidang dalam lebih bisa diabaikan dari pada defleksi bidang luar. Jika kedua kekakuan tersebut sama besarnya, efek lentur penampang dalam arah vertical y-z penting dan harus dipertimbangkan dalam menghitung nilai 𝑀_𝑐𝑟. Solusi pendekatan yang mempertimbangkan adanya pengaruh defleksi bidang dalam dirumuskan oleh Kirby dan Nethercot sebagai berikut:

𝑀_0𝑐𝑟 = ^𝜋

Sehingga dapat disimpulkan bahwa tekuk torsi lateral hanya terjadi jika penampang tersebut memiliki kekakuan lentur yang berbeda dalam dua bidang utama dan beban bekerja pada sumbu lemahnya. Maka dari itu, tekuk torsi lateral tidak pernah terjadi

pada penampang lingkaran atau pada penampang box persegi atau pada setiap komponen pelat yang memiliki ketebalan yang sama.