BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan
2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan Teorema Kekonvergenan Monoton
Bagian ini membahas teorema Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton. Terlebih dahulu, kita akan membahas teorema Fubini untuk fungsi satu peubah.
9
Teorema 2.3
Misalkan A B, dan f : A B adalah fungsi terintegralkan. Untuk setiap xA, maka
( ) ( , ) gx y f x y terintegralkan atas B. Artinya, fungsi
, ( , )
B
A
x f x y dy
terintegral atas A, yaitu
A Bf A
B f x y dy dx( , )
.
(2.1) Sementara itu, untuk setiap yB,( ) ( , ) h xy f x y terintegralkan atas A. Artinya, fungsi
, ( , )
A
B
y f x y dx
terintegralkan atas B sehingga
A B f B
Af x y dx dy( , )
.
(2.2) Pada persamaan (2.1) dan (2.2) integral f atas A B bersifat simetris.Berikutnya, kita akan membahas teorema Riemann-Lebesgue untuk fungsi satu peubah.
Teorema 2.4
Jika f L1( ), maka
e ik xf x dx( ) 0, untuk x .Selanjutnya, kita akan membahas teorema kekonvergenan monoton untuk fungsi satu peubah.
10
Teorema 2.5
Jika
fn adalah barisan fungsi monoton dengan lim n( ) ( ),n f x f x
untuk setiap
,
xI maka
I f ada jika dan hanya jika lim n .n I f
Lebih lanjut, lim n.I f n I f
Untuk bukti teorema Fubini dapat merujuk (Cameron dan Martin, 1941), teorema Riemann-Lebesgue dapat merujuk (Kirkwood, 1995: 7), dan untuk bukti teorema kekonvergenan monoton dapat merujuk (Kos, 2009: 13).
11
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan untuk mengkaji penurunan model dan penyelesaian persamaan superdifusi beserta sifat-sifatnya. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari materi dari berbagai sumber yang berkaitan dengan penelitian seperti jurnal, buku, skripsi, tesis, dan disertasi. Yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :
1. menurunkan model melalui proses gerak acak pada lattice h dengan menggunakan peluang arah lompatan
( ) 1 , \ {0}, ( )
0, 0,
C x x
x
x
K
dengan 0 2 dan C( ) adalah koefisien normalisasi;
2. menyelesaikan model dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler;
3. mengkaji sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi, seperti sifat simetris, sifat di ketakberhinggaan, sifat positif, dan sifat normal.
12
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini membahas tentang penurunan dan penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi. Persamaan tersebut diturunkan dari proses gerak acak, sedangkan penyelesaian fundamentalnya diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler.
4.1 Penurunan Persamaan Superdifusi
Misalkan K : [0,) adalah suatu fungsi genap, yaitu ( )y (y)
K K untuk setiap y , dan memenuhi kondisi ( ) 1.
k
k
K (4.1) Di sini, persamaan superdifusi akan diturunkan dari proses yang dilakukan oleh suatu partikel yang bergerak secara acak pada lattice h yang didefinisikan sebagai
:
h hz z
dengan h0. Dalam proses ini, pada setiap satuan waktu 0, partikel melompat dari suatu titik ke titik lainnya di h . Asumsikan peluang suatu partikel untuk melompat dari titik hkh ke titik hkh adalah
(kk) (kk).
K K
Di sini, kita mengasumsikan K(0)0 yang berarti bahwa peluang suatu partikel tidak melompat adalah 0. Dengan kata lain, partikel pasti selalu melompat pada setiap jangka waktu tertentu. Selanjutnya, misalkan u x t( , ) adalah peluang suatu partikel berada di xh dan pada waktu t dengan didefinisikan sebagai
z z:
.
Karenanya, u x t( , ) adalah penjumlahan semua peluang partikel berada pada posisi xhk dan pada waktu t dikalikan dengan peluang partikel melompat dari posisi xhk ke x dalam jangka waktu , yaitu
13
Dari persamaan (4.1), kita memperoleh
( , ) ( ) ( , ). Berikutnya, misalkan fungsi K memenuhi persamaan
dengan C( ) adalah suatu konstanta sedemikian sehingga kondisi (4.1) terpenuhi.
Jika h, (0, 2), maka
14 Untuk t yang tetap, persamaan (4.6) dapat dituliskan menjadi
integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik. Integral pada persamaan (4.7) dapat dituliskan dalam pengertian the Principle Value, disingkat P V. ., yaitu
1 0 \ (0) 1 yang cukup kecil, kita memperoleh
2 2
15
Dengan demikian, untuk setiap y berlaku
1
16
17
Berdasarkan Lemma 4.1, integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik.
18
tan lim tan lim tan
2 2 2 2 .
19
Jadi,
2 1
( ) , ( ) ( ).
u x D u x L Berdasarkan Lemma 4.1,
Dengan demikian,
( , )x y g x y( , )L1( ). ■
Dengan menggunakan Lemma 4.2 dan teorema Fubini,
20
Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa
1
Misalkan fungsi I: didefinisikan dengan
121
Bukti. Perhatikan bahwa
1 1
Dengan demikian,
22
Selanjutnya, kita mengetahui bahwa
u
( ) 2
u ( ).F F
(4.13) Berdasarkan (4.12) dan (4.13), kita dapat mendefinisikan
2 1Akibatnya, persamaan (4.7) menjadi
Persamaan (4.14) dinamakan persamaan superdifusi.
4.2 Penyelesaian Fundamental Persamaan Superdifusi
Bagian ini menjelaskan tentang penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi. Tanpa mengurangi keumuman, perhatikan persamaan superdifusi
u ( , )x t
2u ( , ), 0x t 2, u ( , 0)x ( ), x x . Kemudian, dengan menggunakan transformasi Laplace dan Fourier, berdasarkan persamaan (4.15), kita memperoleh
23 Selanjutnya, dengan menggunakan invers transformasi Fourier, dari persamaan (4.17), kita memperoleh
( )
24
Akibatnya, berdasarkan persamaan (4.19),
25
Berdasarkan teorema kekonvergenan monoton, ek terintegralkan di (0).
26 Riemann-Lebesgue, kita mempunyai
lim ( ) 0.
27
28
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Persamaan superdifusi yang diturunkan melalui proses gerak acak dengan menggunakan peluang arah lompatan adalah
2 menyatakan koefisien superdifusi yang didefinisikan dengan
12. Penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi adalah fungsi Gaussian yang diperumum, yaitu
( , ) 1 , 0 2, 0, .
Selanjutnya, sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi meliputi : a. sifat simetris, yaitu G x t( , )G(x t, ), untuk setiap x ;
b. sifat di ketakberhinggaan, yaitu jika x , maka G x t( , )0;
c. sifat positif, yaitu G x t( , )0, untuk setiap x ; d. sifat normal, yaitu G( , )t 11.
5.2 Saran
Penelitian ini membahas tentang penurunan model salah satu proses difusi anomali, yaitu persamaan superdifusi, beserta penyelesaian fundamentalnya dan sifat-sifat penyelesaian di . Sebagai kelanjutan dari penelitian ini, penulis menyarankan agar penelitian selanjutnya membahas tentang kajian numerik proses difusi anomali.
29
DAFTAR PUSTAKA
Adams, E. E. and Gelhar, L. W. Field Study of Dispersion in a Heterogeneous Aquifer 2. Spatial Moments Analysis. Water Resources Research, Vol. 28 No 12, 3293-3307, 1992.
Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
Berberian, S. K. (1999). Fundamentals of Real Analysis. Springer.
Berkowitz, B., et. al. Modelling Non-Fickian Transport in Geological Formations as a Continuous Time Random Walk. Reviews of Geophysics, 44 RG2003, 1-49, 2006.
Birkhoff, G. (1948). Lattice Theory. Vol 2, American Mathematical Society.
Cameron, R. H., Martin, W. T. An Unsymmetric Fubini Theorem, 1941. The Massachusetts Institute of Technology.
Chechkin, A. V., Gorenflo, R., and Sokolov, I. M. Retarding Subdiffusion and Accelerating Superdiffusion by Distributed Order Fractional Diffusion Equations, Phys. Rev. E66 (2002), 046129/1-7.
Churchill, R. V. and Brown, J. W. (2009). Complex Variables and Applications.
Vol 8, McGraw-Hill.
Evans, L. (2010). Partial Differential Equations. Vol 19, American Mathematical Society.
Fraleigh, J. B. (2000). A first Course in Abstract Algebra. Vol 7, Pearson Education Asia Pte Ltd.
Gorenflo, R. and Mainardi, F. Fractional Diffusion Process: Probability Distribution and Continuous Time Random Walk. Fracalmo Pre-print 2000, www.fracalmo.org.
Hatano, Y. and Hatano, N. Dispersive Transport of Ions in Column Experiments:
An Explanation of Long-tailed Profiles. Water Resources Research, Vol.
34 No. 5, 1027-1033, 1998.
Hejazi, H. A. (2014). Finite volume methods for simulating anomalous transport.
Thesis. Queensland, Queensland University of Technology.
Hogg, R. V., McKean, J. W., and Craig, A. T. (2005). Introduction to Mathematical Statistics. Vol 6, Pearson Prentice Hall.
Jacob, B. (1990). Linear Algebra. New York: W. H. Freeman and Company.
30
Janett, P. (2010). Diffusion on Fractals and Space-fractional Diffusion Equations.
Dissertation. Chemnitz, Chemnitz University of Technology.
Judson, T. W. (2009). Abstract Algebra Theory and Applications. Stephen F.
Austin State University.
Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., and Trujillo, J. J. (2006). Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier.
King, A. C., Billingham, J., and Otto, S. R. (2003). Differential Equations.
Cambridge University Press.
Kirkwood, J. R. (1995). An Introduction to Analysis, Second Edition. Boston:
PWS Publishing.
Kos, M. (2009). The Generalised Riemann Integral. Amsterdam University.
Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics, Tenth Edition. New York: Laurie Rosatone.
Kruse, K. and Iomin, A. Superdiffusion of Morphogens by Receptor-mediated Transport. Physics, Vol. 10, 15 February 2008.
Labbẻ, R. and Bustamante, G. Extreme Statistics, Gaussian Statistics, and Superdiffusion in Global Magnitude Fluctuations in turbulence. Physics of Fluids; Oct 2012, Vol. 24 Issue 10, p105103.
Laffaldano, G., Caputo, M., and Martino, S. Experimental and Theoretical Memory Diffusion of Water in Sand. Hydrol. Earth Sys. Sci. Discuss., 2, 1329-1357, 2005.
Mainardi, F., Mura, A., and Pagnini, G. The M-Wright Function in Time-Fractional Diffusion Process: A Tutorial Survey. Hindawi publishing corporation, Vol. 2010, 2010.
Metzler, R. and J. Klafter. The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion:
Fractional Dynamics Approach, Physical Report 339, 1-77, 2000.
Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology, I: An Introduction. Third Edition.
Berlin: Springer-Verlag.
Pederson, T. Diffusional Protein Transport within the Nucleus: a Message in the Medium. Nat. Cell Biol. 2, E73-E74, 2000.
Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations. Academic Press 198.
Pollard, H. The Completely Monotonic Character of the Mittag-Leffler Function ( ).
E x Bull. Amer. Math. Soc., 54(12), 1115-1116, 1948.
31
Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill.
Schechter, M. (2002). Principles of Functional Analysis, Second Edition. Vol 36, American Mathematical Society.
Schmäche, C. (2013). An Obstacle Problem for a fractional power of the Laplace Operator. Thesis. Leipzig, Leipzig University.
Stauffer, D., et. al. Superdiffusion in a Model for Diffusion in a Molecularly Crowded Environment. J Biol Phys. 2007 Aug; 33(4): 305-312.
Stein, E. M. (1970). Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. London: Princeton University Press.
Strauss, W. A. (2008). Partial Differential Equations, Second Edition. John Wiley
& Sons, Inc.
Valdinoci, E. From the Long Jump Random Walk to the Fractional Laplacian, Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. 49, 33-44, 2009.
Vretblad, A. (2003). Fourier Analysis and its Applications. New York: Springer-Verlag.
Zeidler, E. (1995). Applied Functional Analysis Applications to Mathematical Physics. New York: Springer.
Zill, D. G. (2012). A first Course in Differential Equations with Modeling Applications, Tenth Edition. Boston: Richard Stratton.
32
RIWAYAT HIDUP
Nama : Irfan Nurhidayat
NIM : H1B012034
Tempat, Tanggal Lahir : Majalengka, 9 Oktober 1994
Alamat asal : Jalan Kapur, Dusun 01, RT. 002 RW. 001, Desa Sutawangi, Kecamatan Jatiwangi, Kabupaten Majalengka, 45454, Jawa Barat
Telepon : 082 324 302 099/081 222 493 430
Motto : Cleverness is more expensive than the treasures
Email : [email protected]
Bidang Kajian : Murni Analisis
Riwayat Pendidikan :
SD : 2000 – 2006 SDN 1 Sutawangi
SMP : 2006 – 2009 SMPN 2 Jatiwangi
SMA : 2009 – 2012 SMAN 1 Jatiwangi
Matematika Unsoed : 2012 – 2016
33
Prestasi :
Juara I penulisan artikel ilmiah, “Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy”, Dies-16, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 22 Mei 2015.
Artikel Prosiding Seminar :
Nurhidayat, I., dkk., 2015, Aplikasi Teori Kekongruenan untuk Menentukan Hari Saptawara dan Pancawara Pada Tanggal Hijriyah Tertentu, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Diponegoro Tahun 2015, Semarang.
Pengalaman :
1. Asisten Tutorial Kalkulus II pada semester II tahun akademik 2013/2014.
2. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik 2014/2015.
3. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik 2015/2016.
4. Asisten Tutorial Kalkulus II pada semester II tahun akademik 2015/2016.
5. Asisten Tutorial Analisis Riil I pada semester V tahun akademik 2016/2017.
6. Peserta Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Tingkat Perguruan Tinggi tahun 2014, IKIP PGRI Semarang, Jawa Tengah.
7. Peserta Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Tingkat Perguruan Tinggi tahun 2015, IKIP PGRI Semarang, Jawa Tengah.
8. Kerja lapangan tahun 2015 di Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BMKG), Kec. Jatiwangi, Kab. Majalengka, Jawa Barat.
9. Pengabdian kepada masyarakat tahun 2015 di Desa Gerduren, Kec.
Purwojati, Kab. Banyumas, Jawa Tengah.
10. Pengajar bimbingan belajar SMP dan SMA The Winner Institute tahun 2015, Baturraden, Jawa Tengah.
34
11. Koordinator bidang ilmu pengetahuan Himpunan Mahasiswa Majalengka (HIMAKA) Purwokerto tahun 2014.
Seminar (Peserta) :
1. Seminar Nasional Matematika, “Seeing the World with Mathematics and Statistics”, Purwokerto, 22 November 2014, Universitas Jenderal Soedirman.
2. Seminar Nasional MaG-D, “Mathematical Analysis and Geometry Day”, Bandung, 18 April 2015, Institut Teknologi Bandung.
3. Seminar Nasional Matematika, “Ilmu Matematika Sebagai Salah Satu Penopang dalam Mendukung Kemajuan Teknologi dan Karakter Bangsa Indonesia”, Semarang, 12 September 2015, Universitas Diponegoro.
4. Seminar Nasional Ekonomi, “Ekonomi Syari’ah MES Banyumas”, Purwokerto, 30 September 2016, Universitas Jenderal Soedirman.
Pelatihan :
1. Pelatihan Pengembangan Karakter dan Kepribadian Mahasiswa (PKKM) Mahasiswa Baru Unsoed, 4-5 September 2012.
2. Orientasi Studi Mahasiswa Baru (OSMB) Fakultas Sains dan Teknik (FST) TA 2012/2013, 6-8 September 2012.
3. Pelatihan Program Kreativitas Mahasiswa (PKM) “Tuliskan Kreasi dan Idemu dengan PKM”, 24 November 2012.
4. Workshop Kreasi PKM dan Kepenulisan (KPK) oleh Departemen Penalaran UKMPR, 29 Desember 2013.
5. Pelatihan Asisten dan Tutorial “Upgrade Your Ability Share Your Knowledge to be a Useful”, 14 Juni 2014.