PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA

(1)

PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA

SKRIPSI

Oleh

IRFAN NURHIDAYAT H1B012034

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PURWOKERTO

2016

(2)

i

PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA

SKRIPSI

Oleh

IRFAN NURHIDAYAT H1B012034

Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika

KEMENTERIAN RISET, TEKNOLOGI, DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMAN

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PURWOKERTO

2016

(3)

(4)

(5)

iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini terdaftar dan tersedia di Pusat Informasi Ilmiah Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada penulis dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Universitas Jenderal Soedirman. Pengutipan dan atau peringkasan hanya dapat dilakukan dengan mengikuti kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

(6)

v

KATA PENGANTAR

Bismillaahirrohmaanirrohim,

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena berkat limpahan taufik, hidayah, dan inayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “PERSAMAAN SUPERDIFUSI DAN PENYELESAIAN FUNDAMENTALNYA”. Sholawat serta salam semoga tetap tercurah kepada junjungan kita Nabi Besar Muhammad SAW.

Skripsi ini ditujukan untuk memenuhi persyaratan memperoleh gelar Sarjana Strata Satu (S1) pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jenderal Soedirman. Sistematika dalam penulisan skripsi ini yaitu Bab I, Pendahuluan, memberikan gambaran umum yang menjadi dasar dilakukannya penelitian terdiri dari latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat penelitian. Bab II, Tinjauan Pustaka, merangkum berbagai teori dari permasalahan yang diteliti, yang akan digunakan sebagai landasan berpikir untuk memecahkan permasalahan. Teori- teori tersebut antara lain mengenai teori gerak acak, ruang L^p, ruang Schwarz, transformasi Laplace, transformasi Fourier, deret Taylor, teorema Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton. Bab III, Metodologi Penelitian, menjelaskan tentang prosedur penelitian. Bab IV, Hasil dan Pembahasan, menjelaskan mengenai penurunan persamaan superdifusi dan penyelesaian fundamental persamaan superdifusi. Persamaan superdifusi diturunkan melalui proses gerak acak pada lattice h dengan menggunakan peluang arah lompatan tertentu. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler. Bab V, Kesimpulan dan Saran, memaparkan kesimpulan dan saran dari hasil penelitian.

Penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada yang terhormat :

1. Bapak Dr. Mashuri, M.Si. selaku Ketua Jurusan Matematika yang telah mendukung dan memberikan semangat hingga terselesaikannya skripsi ini;

(7)

vi

2. Bapak Bambang Hendriya Guswanto, M.Si., Ph.D. selaku Dosen Pembimbing I yang telah mendukung, memberikan semangat, memberikan arahan, dan mendidik penulis hingga terselesaikannya skripsi ini;

3. Bapak Agung Prabowo, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II yang telah dengan sabar dan tekun memberikan koreksi dan semangat dalam proses penyusunan skripsi ini;

4. Ibu Dr. Idha Sihwaningrum, M.Sc.St. selaku Dosen Pembimbing Seminar I yang telah memberikan masukan, koreksi, dan saran-saran dalam penyempurnaan skripsi;

5. Bapak Agus Sugandha, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Seminar II yang telah memberikan masukan dan saran-saran dalam penyempurnaan skripsi;

6. Ibu Renny, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi selama penulis menempuh studi di Jurusan Matematika;

7. Bapak Suroto, M.Sc. yang telah dengan sabar dan tekun memberikan arahan, koreksi, dan semangat dalam proses penyusunan skripsi ini;

8. Dosen dan staf nonedukatif pada Jurusan Matematika yang telah memberi kuliah dan pelayanan;

9. Bapak Moh. Hidayat, M.Pd. dan Ibu Dedeh Nuridah terimakasih tak terhingga penulis ucapkan atas restu dari orang tua penulis untuk semua do’a, pengorbanan, pengertian, dan dorongan dari keluarga tercinta;

10. Rekan-rekan kuliah, yang telah berinteraksi secara positif selama studi;

11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas segala bantuan dan dukungannya.

Akhirnya, dengan tangan terbuka, kritik dan saran dari semua pihak akan penulis terima demi perbaikannya.

Purwokerto, September 2016

Penulis,

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PENGESAHAN ... ii

HALAMAN PERNYATAAN ... iii

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ... iv

KATA PENGANTAR ... v

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG ... ix

DAFTAR LAMPIRAN ... x

ABSTRAK ………. xi

ABSTRACT ……….. ... xii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah ... 2

1.3 Batasan Masalah ... 2

1.4 Tujuan Penelitian ... 2

1.5 Manfaat Penelitian ... 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 4

2.1 Gerak Acak ... 4

2.2 Ruang L ... ^p 4 2.3 Ruang Schwarz ... 6

2.4 Transformasi Laplace ... 6

2.5 Transformasi Fourier ... 7

2.6 Deret Taylor ... 8

2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan Teorema Kekonvergenan Monoton ... 8

BAB III METODE PENELITIAN ... 11

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 12

4.1 Penurunan Persamaan Superdifusi ... 12

4.2 Penyelesaian Fundamental Persamaan Superdifusi ... 22

(9)

viii

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 28

5.1 Kesimpulan ... 28

5.2 Saran ... 28

DAFTAR PUSTAKA ... 29

(10)

ix

DAFTAR SINGKATAN DAN LAMBANG

: Himpunan bilangan kompleks : Himpunan bilangan riil : Himpunan bilangan bulat

V : Ruang vektor

( ), t t 0

  : Peluang waktu tunggu ( ), x x

K : Peluang arah lompatan

2( )

x t : Mean Squared Displacement (MSD) saat t

, ( )

E_{ } z : Fungsi Mittag-Leffler

S : Ruang Schwarz

L p : Ruang L^p

L : Operator transformasi Laplace F : Operator transformasi Fourier

 : Fungsi gamma

 : Fungsi delta Dirac

 _p : Norm di ruang L ^p ( , )

u x t_ : Peluang suatu partikel berada di xh pada waktu t ( , )

G x t_ : Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi

 : Operator Laplace

 

^ ^² : Operator Laplace fraksional ( )

B x_ : Bola dengan pusat x dan jari-jari 

 x

 



 ²₂

x

 

 ( )

C^ 



f f terdiferensialkan tak berhingga kali secara kontinu



S( ) 



^f ^C^^{( ) :} ^f  ^,   ^,  ^,



1( )

L 



f ^| f terintegral Riemann,



f x( ) dx 



p( )

L 





f x( ) ^p dx 



( )

L^



^| terintegral Riemann, sup ( )



x

f f f x



  

1( )

L  



 

f x y dxdy( , )  



(11)

x

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman RIWAYAT HIDUP ... 32

(12)

xi

ABSTRAK

Penelitian ini membahas penurunan persamaan superdifusi dan penyelesaian fundamentalnya. Persamaan superdifusi diturunkan dari proses gerak acak pada lattice h dengan menggunakan peluang arah lompatan

( ) 1 , \ {0}, ( )

0, 0,

C x x

x

 ^{ }

 

 

  K

dengan 0  2 dan C( ) adalah koefisien normalisasi. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi diperoleh dengan memanfaatkan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler. Sifat-sifat penyelesaian, seperti simetris, menuju nol di ketakberhinggaan, positif, dan normal, diperoleh dengan menggunakan pendekatan matematika analisis.

Kata kunci: persamaan superdifusi, penyelesaian fundamental, peluang arah lompatan.

(13)

xii

ABSTRACT

This research discusses the derivation of superdiffusion equation and its fundamental solution. Superdiffusion equation is derived from random walk process on lattice h by using the probability of jump direction

( ) 1 , \ {0}, ( )

0, 0,

C x x

x

 ^{ }

 

 

  K

with 0  2 and ^C^{( )} is the normalization coefficient. The fundamental solution of superdiffusion equation is obtained by employing Laplace transform, Fourier transform, and Mittag-Leffler function. The properties of the solution, such as symmetric, tending to zero at infinity, positive, and normal, are gotten by mathematical analysis approach.

Keywords: superdiffusion equation, fundamental solution, the probability of jump direction.

(14)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Difusi adalah peristiwa berpindahnya suatu zat dalam pelarut dari bagian yang berkonsentrasi tinggi ke bagian yang berkonsentrasi rendah (Labbẻ dan Bustamante, 2012). Difusi akan terus terjadi hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau mencapai keadaan setimbang (Kruse dan Iomin, 2008).

Menurut Murray (2002), difusi adalah pergerakan mikroskopis dari kumpulan partikel pada sel, bakteri, bahan kimia, dan hewan di mana dalam pergerakannya biasanya partikel bergerak acak dan menyebar. Pergerakan acak partikel yang demikian dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan matematika. Proses difusi dapat dimodelkan dengan persamaan

, 0.

ut  u t

Berikut ini beberapa proses difusi dalam kehidupan sehari-hari, seperti saat membuat teh manis yaitu dengan memasukkan gula pada air tawar dan mengaduknya sampai gula terlarut dalam air tawar, kemudian saat kelembaban di dalam rumah tinggi dikarenakan curah hujan yang rendah di sekitar rumah.

Pergerakan partikel proses difusi mengikuti pola

2( ) , 0

x t t t 

dengan x t²( ) adalah Mean Square Displacement pada saat t.

Pada proses difusi, terdapat proses yang mengalami anomali, yaitu proses subdifusi (difusi lambat) dan proses superdifusi (difusi cepat). Beberapa contoh proses yang menunjukkan proses subdifusi adalah dispersi pada akuifer yang heterogen (Adams dan Gelhar, 1992), penyebaran ion pada suatu eksperimen kolom (Hatano dkk, 1998), penyebaran kontaminan pada formasi geologi (Berkowitz dkk, 2006), dan difusi air tanah (Laffaldano dkk, 2005). Berbeda dengan proses difusi, dalam proses subdifusi pergerakan partikel mengikuti pola

2( ) , 0, 0 1.

x t t^ t  

Beberapa contoh proses superdifusi, yaitu kepadatan molekul pada reaksi kimia dan gerakan bertumbukan molekul karena adanya perbedaan kecepatan gerak

(15)

2

antar molekul (Stauffer dkk, 2007), transportasi dari kompartemen satu ke kompartemen lainnya untuk menunjukkan kepekaan rangsangan pada sel (Kruse dan Iomin, 2008), dan perubahan gerak protein dalam inti (nucleus) yang terjadi karena sel darah putih (leukosit) lebih banyak dari sel darah merah (eritrosit) (Pederson, 2000). Proses difusi anomali yang demikian tidak dapat dimodelkan dengan menggunakan persamaan difusi biasa dan persamaan subdifusi. Pada proses superdifusi pergerakan partikel mengikuti pola

2( ) , 0, 1.

x t t^ t  

Berdasarkan uraian diatas, maka penulis tertarik untuk membahas penurunan persamaan superdifusi dan penyelesaian fundamentalnya.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, permasalahan yang muncul adalah bagaimana :

1. Penurunan model persamaan superdifusi ?

2. Penyelesaian fundamental persamaan superdifusi dan sifat-sifatnya ?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah bahwa model diturunkan dari proses gerak acak dengan pergerakan partikel yang terlibat dalam proses tersebut terjadi pada lattice ^h ^



^{hz z}^: ^



^dengan^h^^0.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah untuk mendapatkan : 1. model persamaan superdifusi;

2. penyelesaian persamaan superdifusi beserta sifat-sifatnya.

1.5 Manfaat Penelitian

Persamaan superdifusi dan penyelesaiannya, yang merupakan hasil dari penelitian ini, dapat digunakan sebagai model matematika alternatif untuk menjelaskan proses difusi dengan pergerakan partikel

(16)

3

2( ) , 0, 1 x t t^ t  

yang tidak dapat dimodelkan secara baik oleh persamaan difusi biasa.

(17)

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Bagian ini membahas beberapa teori yang digunakan dalam pembahasan di bab-bab berikutnya. Teori dasar ini meliputi teori gerak acak, ruang L^p, ruang Schwarz, transformasi Laplace, transformasi Fourier, deret Taylor, teorema Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton.

2.1 Gerak Acak

Pada tahun 1965, Montroll dan Weiss memperkenalkan teori gerak acak.

Menurut Gorenflo dan Mainardi (2000), gerak acak diperoleh dari barisan variabel acak waktu tunggu akan terjadinya lompatan T T₁, ₂,... dan barisan variabel acak arah lompatan J J₁, ₂,... yang terdistribusi secara independen. Setiap variabel acak waktu tunggu mempunyai peluang ( ),t untuk ^t^^0, sedangkan setiap variabel acak arah lompatan mempunyai peluang K( ),x untuk x . Contoh gerak acak diantaranya adalah gerak partikel yang berada dalam ruang angkasa di mana partikel mengalami gerak acak yang diakibatkan oleh medium di sekitarnya dan lompatan seseorang dari suatu posisi ke posisi lain ketika menghindari genangan air. Gerak acak adalah gerak suatu partikel yang melakukan serangkaian lompatan yang dipengaruhi oleh waktu tunggu terjadinya lompatan dan arah lompatan. Pada gerak acak, distribusi waktu tunggu dan arah lompatan saling independen.

2.2 Ruang L^p

Bagian ini membahas tentang suatu ruang fungsi yang dinamakan ruang

p.

L Sebelum mendefinisikan ruang L^p ini, konsep mengenai norm, barisan Cauchy, dan ruang Banach dibahas terlebih dahulu.

Definisi 2.1

Misalkan V adalah ruang vektor atas lapangan . Fungsi :V  merupakan norm jika  memenuhi sifat-sifat :

(18)

5

1. x 0, untuk setiap x V dan x   0 x 0, 2. x   x , untuk setiap x V ,  ,

3. xy  x  y , untuk setiap x y , V.

Ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norm dinamakan sebagai ruang bernorm, contoh ruang bernorm adalah ^N.

Selanjutnya, dibahas mengenai barisan Cauchy di ruang bernorm.

Definisi 2.2

Barisan

 

xn pada ruang bernorm V dikatakan barisan Cauchy jika lim, _m _n 0.

m n x x

  

Jika setiap barisan Cauchy di V konvergen ke suatu titik di V, maka ruang bernorm V dikatakan lengkap. Ruang bernorm yang lengkap disebut sebagai ruang Banach, contoh ruang Banach adalah ^N.

Selanjutnya, dibahas definisi yang menjelaskan tentang ruang fungsi L^p.

Definisi 2.3

Ruang fungsi L^p( ) dengan   adalah himpunan yang terdiri dari fungsi- fungsi f :  yang terintegralkan dengan

( )^p ,

f x dx

  



^untuk¹^{  }^p ^,

dan

sup ( ) , .

x

f x untuk p

    

Ruang L^p( ) yang dilengkapi dengan norm



^{( )}^p



¹^p^,

f p f x dx





 ^untuk¹^{  }^p ^,

(19)

6

dan

sup ( ) ,

x

f _ f x





bersifat lengkap. Dengan demikian, ruang L^p merupakan ruang Banach. Contoh ruang L¹ adalah himpunan yang terdiri dari fungsi-fungsi ^f ^: ^ yang terintegralkan dengan

( ) ,

f x dx 



dan norm

1 ( ) .

f 



f x dx 2.3 Ruang Schwarz

Ruang Schwarz, dinotasikan dengan S( ) atau S, adalah subruang dari ruang fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara kontinu C^( ). Di sisi lain, ruang fungsi

0

( ) ^k( )

k

C C

 



 merupakan subruang dari ruang L^p( ) dengan

1  p . Dengan demikian, ^{( )} ^{( )} ^{( ).}

C^ Lp

 

S Berikut ini adalah definisi

yang menjelaskan tentang ruang Schwarz.

Definisi 2.4

Ruang Schwarz adalah himpunan fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara kontinu u:  sedemikian sehingga untuk setiap bilangan nonnegatif k dan multiindeks  berlaku



²



sup 1 ( ) .

k

x

x D u x^

   

Fungsi-fungsi yang berada di ruang Schwarz dinamakan fungsi turun cepat. Salah satu contoh fungsi turun cepat adalah f x( )e^^x².

2.4 Transformasi Laplace

Bagian ini membahas beberapa definisi dan teorema tentang transformasi Laplace yang akan digunakan pada saat menurunkan penyelesaian fundamental

(20)

7

dari persamaan superdifusi. Berikut ini adalah definisi yang menjelaskan transformasi Laplace dari suatu fungsi.

Definisi 2.5

Diberikan suatu fungsi f t( ) yang terdefinisi di t0. Transformasi Laplace untuk f t( ), yang dilambangkan dengan L



^{f t}^{( ) ( )}



^s atau f s( ), didefinisikan sebagai

 

( ) ( ) ( ) 0 ^st ( ) ,

f s ^L f t s 



^{ }e f t dt untuk setiap s .

Transformasi Laplace bersifat linier terhadap operasi penjumlahan. Berikut ini adalah teorema yang menjelaskan kelinieran transformasi Laplace.

Teorema 2.1

Diberikan suatu fungsi f t( ) dan g t( ) yang terdefinisi di t0, maka untuk suatu konstanta a dan b berlaku

     

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

af s bg s L af t bg t s aL f t s bL g t s

Contoh dari transformasi Laplace adalah

 

1

( ) ! ,

n

t s n s ^

L  untuk setiap s .

2.5 Transformasi Fourier

Transformasi Fourier akan digunakan pada saat menurunkan penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi. Bagian ini menjelaskan tentang definisi transformasi Fourier dari suatu fungsi dan menjelaskan teorema kelinieran pada transformasi Fourier.

Definisi 2.6

Transformasi Fourier dan invers transformasi Fourier dari fungsi f L¹ secara berurutan didefinisikan dengan

(21)

8

 

ˆ( ) ( ) ( ) ^{iu x} ( ) ,

f u ^F f x u 



e ^ f x dx

 

1 ˆ 1 ˆ

( ) ( ) ( ) ( ) .

2

f x f u x e iu xf u du



  

^F 



Transformasi Fourier bersifat linier terhadap operasi penjumlahan. Berikut ini adalah teorema yang membahas kelinieran transformasi Fourier.

Teorema 2.2

Diberikan suatu fungsi f x( ) dan g x( ) yang terdefinisi untuk setiap x , maka untuk suatu konstanta a dan b berlaku

     

ˆ( ) ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

af u bg u F af x bg x u aF f x u bF g x u

Contoh dari transformasi Fourier adalah



^su^{( , )}^{x s} ^{( ) ( )}^x



^k ^s^u^ˆ^{( , ) 1.}^{k s}  F

2.6 Deret Taylor

Bagian ini membahas definisi deret Taylor untuk fungsi satu peubah.

Definisi 2.7

Jika u:  adalah fungsi terdiferensial tak berhingga kali secara kontinu pada setiap x , maka deret Taylor dari u di sekitar y didefinisikan sebagai

( )

0

( ) ( )( ) .

!

n

n n

u y

u x x y

n







 

2.7 Teorema Fubini, Teorema Riemann-Lebesgue, dan Teorema Kekonvergenan Monoton

Bagian ini membahas teorema Fubini, teorema Riemann-Lebesgue, dan teorema kekonvergenan monoton. Terlebih dahulu, kita akan membahas teorema Fubini untuk fungsi satu peubah.

(22)

9

Teorema 2.3

Misalkan A B,  dan f : A B  adalah fungsi terintegralkan. Untuk setiap xA, maka

( ) ( , ) gx y  f x y terintegralkan atas B. Artinya, fungsi

, ( , )

B

A

x f x y dy





terintegral atas A, yaitu

A Bf A



B f x y dy dx^{( , )}



^.

 

  

(2.1) Sementara itu, untuk setiap yB,

( ) ( , ) h xy  f x y terintegralkan atas A. Artinya, fungsi

, ( , )

A

B

y f x y dx





terintegralkan atas B sehingga

A B f B



Af x y dx dy^{( , )}



^.

 

  

(2.2) Pada persamaan (2.1) dan (2.2) integral f atas A B bersifat simetris.

Berikutnya, kita akan membahas teorema Riemann-Lebesgue untuk fungsi satu peubah.

Teorema 2.4

Jika f L¹( ), maka



e^{ }^{ik x}f x dx( ) 0, ^untuk ^x ^{ }^.

Selanjutnya, kita akan membahas teorema kekonvergenan monoton untuk fungsi satu peubah.

(23)

10

Teorema 2.5

Jika

 

fn adalah barisan fungsi monoton dengan lim _n( ) ( ),

n f x f x

  untuk setiap

,

xI maka



I f ada jika dan hanya jika lim _n .

n I f





  Lebih lanjut, lim _n.

I f n I f

 

 

Untuk bukti teorema Fubini dapat merujuk (Cameron dan Martin, 1941), teorema Riemann-Lebesgue dapat merujuk (Kirkwood, 1995: 7), dan untuk bukti teorema kekonvergenan monoton dapat merujuk (Kos, 2009: 13).

(24)

11

BAB III

METODE PENELITIAN

Penelitian ini dilakukan untuk mengkaji penurunan model dan penyelesaian persamaan superdifusi beserta sifat-sifatnya. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur, yaitu dengan mempelajari materi dari berbagai sumber yang berkaitan dengan penelitian seperti jurnal, buku, skripsi, tesis, dan disertasi. Yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :

1. menurunkan model melalui proses gerak acak pada lattice h dengan menggunakan peluang arah lompatan

( ) 1 , \ {0}, ( )

0, 0,

C x x

x

 ^{ }

 

 

  K

dengan 0  2 dan C( ) adalah koefisien normalisasi;

2. menyelesaikan model dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler;

3. mengkaji sifat-sifat penyelesaian persamaan superdifusi, seperti sifat simetris, sifat di ketakberhinggaan, sifat positif, dan sifat normal.

(25)

12

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Bab ini membahas tentang penurunan dan penyelesaian fundamental dari persamaan superdifusi. Persamaan tersebut diturunkan dari proses gerak acak, sedangkan penyelesaian fundamentalnya diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace, transformasi Fourier, dan fungsi Mittag-Leffler.

4.1 Penurunan Persamaan Superdifusi

Misalkan K :  [0,) adalah suatu fungsi genap, yaitu ( )y  (y)

K K untuk setiap y , dan memenuhi kondisi ( ) 1.

k





^K  (4.1) Di sini, persamaan superdifusi akan diturunkan dari proses yang dilakukan oleh suatu partikel yang bergerak secara acak pada lattice h yang didefinisikan sebagai



^:



h  hz z

dengan h0. Dalam proses ini, pada setiap satuan waktu  0, partikel melompat dari suatu titik ke titik lainnya di h . Asumsikan peluang suatu partikel untuk melompat dari titik hkh ke titik hkh adalah

(kk) (kk).

K K

Di sini, kita mengasumsikan K(0)0 yang berarti bahwa peluang suatu partikel tidak melompat adalah 0. Dengan kata lain, partikel pasti selalu melompat pada setiap jangka waktu tertentu. Selanjutnya, misalkan u x t( , ) adalah peluang suatu partikel berada di xh dan pada waktu t dengan  didefinisikan sebagai



^{z z}^:



^.

   

Karenanya, u x t( , ) adalah penjumlahan semua peluang partikel berada pada posisi xhk dan pada waktu t dikalikan dengan peluang partikel melompat dari posisi xhk ke x dalam jangka waktu , yaitu

(26)

13

( , ) ( ) ( , ).

k

u x t  k u x hk t



 



^K 

Dari persamaan (4.1), kita memperoleh

( , ) ( ) ( , ).

k

u x t k u x t







^K

Akibatnya,

( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )

k k

u x t  u x t k u x hk t k u x t

 

  



^K  



^K

 

( ) ( , ) ( , ) .

k

k u x hk t u x t







^K  

(4.2) Berikutnya, misalkan fungsi _K memenuhi persamaan

( ) 1 , 0, ( )

0, 0,

C y y

y

 ^{ }

 

 

 

K (4.3)

dengan C( ) adalah suatu konstanta sedemikian sehingga kondisi (4.1) terpenuhi.

Jika  h^, (0, 2), maka

( ) ( ) ¹ ( ) ¹ ^{( )}k .

h hk hC  hk ^ h C^  k ^



    

 K

K = = (4.4)

Misalkan ^^{( , , )}^{y x t} ^K^{( )}^{y u x}



⁽ ^^{y t}^{, )}^^{u x t}^{( , ) .}



Dari persamaan (4.2) dan (4.4), kita memperoleh

 

( , ) ( , ) ( )

( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

k

u x t u x t k

u x hk t u x t h hk u x hk t u x t h hk u x hk t u x t



  



    

  



K

K K

( , , ).

k

h  hk x t







(4.5) Dari persamaan (4.5), jika  0 yang berimplikasi pada h0, kita mendapatkan

0 0

( , ) ( , )

lim lim ( , , )

h k

u x t u x t

h hk x t



 



  

  



sehingga

( , ) ( , , ) . u x t y x t dy

t 

 





(27)

14

Akibatnya,

 

1

( , ) ( , , )

( ) ( , ) ( , )

u x t y x t dy t

y u x y t u x t dy C y ^ u x y t u x t dy



 ^{ }

 



  



K

1

( , ) ( , )

( ) u x y t u x t .

C dy

y ^

 ^ _^





(4.6) Untuk t yang tetap, persamaan (4.6) dapat dituliskan menjadi

1

( ) ( )

( , ) ( ) u x y u x .

u x t C dy

t  y _^

  

 



(4.7) Selanjutnya, kita akan menunjukkan, untuk (0, 2), uS( ), dan terbatas, integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik. Integral pada persamaan (4.7) dapat dituliskan dalam pengertian the Principle Value, disingkat P V. ., yaitu

1 0 \ (0) 1

( ) ( ) ( ) ( )

. . lim

B

u x u y u x u y

P V dy dy

x y ^^ ^^ ^ x y ^^

 

  

 

dengan ^\^B⁽⁰⁾



^y ^: ^y 



^. Jika ^z^{ }^y ^x dan z' x y, maka

1

1 1

\ (0) \ (0)

0 0

1 1

\ (0) \ (0)

0 0

( ) ( ) . .

1 ( ) ( ) ( ) ( ')

lim lim '

2 '

1 ( ) ( ) ( ) ( )

lim lim

2

B B

u x u y

P V dy

x y

u x u x z u x u x z

dz dz

z z

u x u x y u x u x y

dy dy

y y

 



 

 

 

 



 

 

 

 



     

 

   

 

 

     

 

   

 

 



 

\ (0) 1 0

1 2 ( ) ( ) ( )

lim .

2 ^B

u x u x y u x y dy y

 

 

   





(4.8) Dengan menggunakan deret Taylor orde kedua, maka untuk yB x_( ) dan  0 yang cukup kecil, kita memperoleh

2 2

2 ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

2 ( ) ( ) ( )

2 2

u x u x y u x y

du x d u x du x d u x

u x u x y y u x y y

dx dx dx dx

   

   

        

   

(28)

15

2 2

2

2 2

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )

2 ( ) ( ) ( )

2 2

( ) .

du x d u x du x d u x

u x u x y y u x y y

dx dx dx dx

d u x dx y

      

 

Dengan demikian,

2 2

( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) d u x d u x .

u x u x y u x y y y

dx dx

      

Jadi, untuk setiap yB x_( ) berlaku

2 1

1 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )

u x u x y u x y d u x .

y dx

y







   



Selanjutnya, untuk setiap y \B x_( ) berlaku

 

1 1

1

2 ( ) ( ) ( )

sup 2 ( ) ( ) ( )

4 sup ( )

x

u x u x y u x y

u x u x y u x y y y

u x u x y u x y y u x u x y u x y y

u x u x y u x y y

y u x



 



 



 



   

    

    

    

    



4 y^{ }1 ^ u _.



Dengan demikian, untuk setiap y berlaku

1

2 ( ) ( ) ( )

u x u x y u x y ( )

f y y ^^

   



dengan

1 2

1

( ) , ( ), ( )

, \ ( ).

y D u x y B x

f y

y u y B x











 



 

 

 

Lemma 4.1 Fungsi y f y( )L¹( ) dengan

1 2

1

( ) , ( ), ( )

, \ ( ).

y D u x y B x

f y

y u y B x











 



 

 

 

(29)

16

Bukti. Perhatikan bahwa kasus xB_(0),

1 2 1

( ) \ ( )

1 1

2

( ) \ ( )

1 1

2

(0) \ (0)

2 1 1

1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

B x B x

B B

x

f y dy y D u x dy y u dy

D u x y dy u y dy

D u x y x dy u y x dy

D u x x y dy y x dy

u x y dy y x

 

 

  



 

  



  



  



 



   

 

 

   

 

     

   

  

 



¹

2 1 1

1 1

2 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 2 2

( ) ( )

x

y x y

y y x

y

y y

dy

D u x x y d x y y x d y x

u x y d x y y x d y x

x y y x

D u x

x y y x

u





  



  



  



  

 

 

 



     

 

 

 

 

  





 

 

 

 

       

 

       

   

   

 

 

 

 

 





 

2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

2 2

y

x x x x

D u x u



   

   

   





   



 

 

 

       

        

Selanjutnya, kasus xB_(0) dengan x,

1 2 1

( ) \ ( )

1 1

2

( ) \ ( )

1 1

2

(0) \ (0)

2 1

1 1 1

( ) ( )

( )

( ) .

( ) ( )

( ) ( ) ( )

B x B x

B B

x

D u x y dy u y dy

D u x x y dy

u x y dy x y dy y x

 

 

 



  



  



  



  





     

 

 

   

 

      

  

 



 

x^ ^^ dy





2 1

1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x

D u x x y d x y

u x y d x y x y d x y

y x d y x

 



  







    

 

  

 

    

      

   



 



(30)

17

2 2

2

( )

( ) 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

2 2

y

y y x y

y y y x

x y D u x

x y x y y x

u

x x x x

D u x u

 



   



   



  

   

   

 



  

  



  

   



  

  

  

 

    

    

  

 

       

        

Untuk x ,

1 2 1

( ) \ ( )

1 1

2

( ) \ ( )

1 1

2

(0) \ (0)

2 1

1 1 1

( ) ( )

( )

( ) .

( ) ( )

( ) ( ) ( )

B x B x

B B

x

D u x y dy u y dy

D u x y x dy

u x y dy y x dy y x

 

 

 



  

  



  



  





     

 

 

   

 

      

  

 



 

2 1

1 1

1

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) 2

( ) ( ) ( )

x

y

y x y y

y y x y

dy

D u x y x d y x

u x y d x y y x d y x

y x d y x

y x D u x

x y y x y x

u





 



  





 



   





  

 



    

 

  

 



  

  



  



 

    

      

   

  

  

  

 

   

  

 





 



2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

2 2

x x x x

D u x u

   

   

   

   



 

 

         

         

Dengan demikian,

( ) 1( ).

y f y L

■

Berdasarkan Lemma 4.1, integral pada persamaan (4.7) terdefinisi dengan baik.

(31)

18

Lemma 4.2 Fungsi ( , )x y g x y( , )L¹(  ) dengan

 

1 2

1

( ) , ( , ) ( ), ( , )

2 ( ) ( ) ( ) , ( , ) \ ( ).

y D u x x y B x

g x y

y u x u x y u x y x y B x











 

  

 

     



Bukti. Karena uS( ), maka untuk setiap ^x^ ^,

   

2 2 2 2

2 2

1 ( ) sup 1 ( ) ,

1 ( ) sup 1 ( ) .

z

x D u x z D u z

x u x z u z



    

Oleh karena itu, terdapat K0 sedemikian sehingga untuk setiap x ,

   

2 2 1

2 2 2 2 1

1 ( ) ( ) 1 ,

1 ( ) ( ) 1 .

x u x K u x K x

x D u x K D u x K x



    

Jika ytan^¹x, maka tan yx sehingga

2

1

2

tan

sec 1

1 sec

1 1 tan

1 1

tan 1 .

1

d d

y x

dx dx

ydy dx dy

dx y

dy

dx y

dy

dx x

d x

dx x





 



 



 

 Akibatnya,

1

2

1

2

2 2

1 1 1

tan 1

1 tan 1

1

1 1

tan lim tan lim tan

2 2 2 2 .

b a

d x dx dx

dx x

x dx

x

dx dx

x x

x b a

    







   

  

 

 



 

 

  

 

     

 

 



 

(32)

19

Jadi,

2 1

( ) , ( ) ( ).

u x D u x L Berdasarkan Lemma 4.1,

 

2 1

( )

1

\ ( ) 2 1

( )

1

\ ( )

1 1

2

( ) \ (

( , ) ( ) ( )

2 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 ( ) ( )

( ) 4 ( )

B x

B x B x

g x y dxdy D u x dx y y dy

u x u x y u x y dx y y dy

D u x dx y y dy

u x dx y y dy

D u x dx y dy u x dx y



 



 





 



 

  



    





 

   

 

  

)

2 1

(0)

1

\ (0)

( )

4 ( ) .

B

dy D u x dx y x dy

u x dx y x dy







 

 

 



 

Dengan demikian,

( , )x y g x y( , )L1(  ). ■

Dengan menggunakan Lemma 4.2 dan teorema Fubini,

1

( ) ( )

( ) . . ( )

( ) 2 ( ) ( ) ( )

2

i x

u x u y

C P V dy

x y

C u x u x y u x y

e dydx

y







 





 



  

 

  

 

   





 

F

 

     

    _{ }

 

1

2 ( ) ( ) ( )

( ) 2

2 ( ) ( ) ( )

( ) 2

2 cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

( ) ( )

2

( ) 2 2 cos( )

2 ( )

i x

i y i y

e u x u x y u x y

C dxdy

y

u e u e u

C dy

y

y i y y i y

C dy u

y

C y

dy u y





 



  



   

 

  

 



  



   



 



       



 



 



F F F

F

 

1

1 cos( )

( ) y ( ).

C dy u

y ^

 ^ _ ^ 





^F

(4.9)