K. Persyaratan Karush Kuhn Tucker (KKT)
4) Teorema 2.9 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:129) Diketahui:
untuk , dan himpunan terbuka yang tidak kosong di . Mempertimbangkan permasalahan meminimumkan
dengan kendala untuk , dan . adalah titik yang mungkin, dan diketahui . Dengan dan untuk
terdiferensial di dan untuk adalah kontinu di . Jika adalah solusi optimum lokal, maka , dimana
Bukti:
Dengan dan dimana adalah himpunan terbuka, berdasarakan pada Definisi 2.13 maka ada sehingga
untuk є(0, (a)
Karena dan adalah kontinu di untuk ada sehingga
karena dan untuk
є(0, dan (b)
Karena , <0 untuk dan dengan Definisi 2.2, ada sehingga
untuk є(0, dan (c) Dari persamaan (a), (b), dan (c) diperoleh bahwa adalah solusi yang mungkin dari permasalahan P untuk є(0, , dimana = minimum ( ). Jelas bahwa untuk sembarang
berimplikasi dengan , sehingga Berdasarkan pada Teorema 2.8, karena adalah solusi lokal untuk permasalahan P, dan . Karena diketahui sehingga . Karena jelas bahwa
.
5) Teorema 2.10 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:140)
Diketahui X himpunan tak kosong di , , untuk
, dan untuk . Masalah P
dinyatakan dalam bentuk
Dengan kendala : , dengan , dengan
solusi optimum lokal dari masalah P, . Diketahui untuk kontinu di , dan , untuk terdiferensial di , dan untuk terdiferensial kontinu di . Jika untuk
adalah bebas linear, maka ,
dimana
untuk untuk Bukti:
Dengan cara kontradiksi, andai , ada
sedemikian sehingga , untuk dan
dimana adalah sebuah matriks yang berukuran yang mana kolom th tersebut adalah . Untuk , didefinisikan dengan mengikuti persamaan diferensial dan syarat batas:
(a)
(b)
Dimana adalah matriks yang dibangun untuk beberapa vektor di ruang null dari . Untuk yang cukup kecil persamaan (a) adalah terdifinisi dengan baik dan dapat dipecahkan karena
mempunyai rank yang sempurna dan adalah terdiferensial secara kontinu di , sehingga adalah kontinu di . Karena kontinu maka integralnya juga kontinu seperti pada persamaan (b) sehingga
dan .
Untuk dan cukup kecil, adalah kemungkinan dan dan dari persamaan (a), diperoleh:
(b)
Untuk yang lain. Pada khususnya, adalah ruang null di , sehingga untuk diperoleh . Oleh sebab itu dari persamaan (b) dan diketahui bahwa , diperoleh:
(c)
Untuk yang lain. Hal ini berimplikasi dengan untuk dan cukup kecil. Untuk , , dan adalah kontinu di , dan untuk yang cukup kecil. adalah terbuka, untuk yang cukup kecil. Karena sudah terpenuhi, maka hanya perlu membuktikan bahwa . Dengan teorema nilai rata-rata, diperoleh:
(d) Untuk . Akan tetapi dengan rangkaian barisan yang terdiferensial dan berdasarkan persamaan (b), diperoleh:
Dengan petunjuk, adal di ruang null dari dan dari persamaan di atas, diperoleh . Subtitusikan ke persamaan (d), dan mengikuti . Karena benar untuk yang lain, hal ini mengikuti adalah solusi yang mungkin dari permasalahan P untuk yang cukup kecil. Sehingga persamaan (c) diperoleh:
Dan karena untuk dan cukup kecil. Hal ini bertentangan dengan adalah solusi optimum lokal. Jadi
6) Teorema 2.11 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:142)
(The Fritz John Conditions) Diketahui himpunan tak kosong di ,
, untuk , dan untuk
. Masalah P dinyatakan dalam bentuk
Minimum :
Dengan kendala : , dengan
, dengan
solusi yang mungkin dari masalah P, . Diketahui pula untuk kontinu di , dan , untuk terdiferensial di , dan untuk terdiferensial kontinu di .
Jika solusi lokal permasalahan P, maka ada untuk dan untuk i=1, ..., l sehingga
untuk
Dengan adalah vektor yang komponennya ada untuk dan . Selanjutnya, jika untuk yang terdiferensial di , maka Fritz John Condition dengan bentuk dan
dapat ditulis menjadi:
untuk
untuk Bukti:
Ketika untuk adalah bergantung linear, maka ada yang tidak nol, sedemikian sehingga . Dimana untuk sama dengan nol, kondisi pada bagian pertama trivial.
Ketika untuk adalah bebas linear. Jika adalah sebuah matriks dimana baris matriksnya berupa dan
untuk . Dan adalah sebuah matriks dimana baris matriksnya berupa untuk .Sehingga dari Teorema 2.10, solusi lokal dari berimplikasi dengan
sehingga menjadi tidak konsisten karena tidak didefinisikan secara jelas seperti pada Teorema 2.10.
Diberikan dua himpunan sebagai berikut:
Dimana dan adalah himpunan konveks tak kosong sehingga , berdasarkan pada Teorema 2.3 maka ada vektor tak nol
dan sehingga
untuk dєEn dan ( .
Diketahui untuk . dimana dan maka dapat dipilih angka negatif besar. Dan juga ( . Sehingga
diperoleh . Jika , hal ini
mengikuti , dan .
Ada vektor tak nol dengan sehingga
. Hal ini menunjukkan oleh dan , dan = . Bukti selesai.
7) Teorema 2.12 (Mokhtar S Bazaraa, 1979:146)
(Teorema Syarat Perlu Kuhn Tucker) Menurut Mokhtar S Bazaraa (1979:146) jika x bukan himpunan kosong di dan ,
untuk i=1, ..., m dan dengan bentuk umum
dengan kendala : , dengan i=1,2,..., m (2.36) , dengan i=1,2,..., l (2.37) Dimana adalah variabel keputusan, adalah fungsi tujuan dan , adalah fungsi kendala. Misalkan fungsi , ,
adalah fungsi kontinu dan terdiferensial. Diasumsikan merupakan solusi yang mungkin, dimana dan
saling bebas linear. Maka terdapat skalar ,
sedemikian sehingga (2.38) untuk i= 1, ..., m (2.39) Dengan kendala untuk i=1,..., m (2.40) untuk j=1, ..., p (2.41)
Dengan kata lain syarat perlu Kuhn Tucker yaitu nilai turunan pertama dari fungsi objektif maupun fungsi kendala akan sama dengan nol. Dari persamaan di atas dapat didefinisikan persamaan Lagrange sebagai berikut:
(2.42)
Bukti:
Perhatikan bahwa , karena jika maka akan terjadi kontradiksi dengan asumsi bebas linear dan . Hasil pertama
lalu diikuti dengan nilai dan . Bentuknya sama dengan kondisi perlu dengan nilai . Sehingga kondisi Kuhn Tucker dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut
8) Teorema 2.13 (Mokhtar S Bazaraa,1979:147)
(Teorema Syarat Cukup Kuhn Tucker) Menurut Mokhtar S Bazaraa (1979:146) jika x bukan himpunan kosong di dan , untuk i=1, ..., m dengan permasalahan bentuk umum P adalah
minimum : (2.43)
dengan kendala : , dengan i=1,2,..., m (2.44) , dengan i=1,2,..., l (2.45) Dimana adalah variabel keputusan, adalah fungsi tujuan dan , adalah fungsi kendala.
Misalkan fungsi pseudoconvex, adalah quasiconvex terdiferensial. Diasumsikan merupakan solusi yang mungkin dan merupakan solusi optimum global, dimana ada yang merupakan skalar nonnegative sedemikian sehingga
Dengan kata lain, jika , adalah konveks dan karena keduanya pseudoconvex dan quasiconvex, maka kondisi Kuhn Tucker menjadi cukup.
Bukti:
Misal x adalah solusi yang mungkin dari permasalahan P. Untuk , karena dan . Dengan quasiconvexity dari untuk dan mengikuti
Untuk setiap . Hal ini berimplikasi bahwa bukan penambahan dengan mengganti dari sepanjang arah , sehingga
, untuk (a)
Dengan cara yang sama, karena adalah quasiconvex untuk dimana dan adalah quasiconcave untuk dimana , sehingga
, untuk (b)
, untuk (c)
Dengan mengalikan persamaan (a), (b) dan (c), dan nilai , , dan penambahan, diperoleh
Dengan mengalikan persamaan (2.40) dengan dan tanpa ,
Dengan pseudoconvexity dari untuk , sehingga , dan terbukti.
Definisi 2.14 Hillier (2001:680)
Diasumsikan merupakan fungsi tujuan dan
merupakan fungsi kendala yang dapat diturunkan maka
merupakan nilai optimal untuk permasalahan program nonlinear hanya jika terdapat sejumlah m bilangan sehingga semua syarat kondisi KKT (Karush Kuhn Tucker) terpenuhi:
(i) pada untuk j=1, 2, ..., n (2.47)
(ii) pada untuk j=1, 2, ..., n (2.48)
(iii) untuk i= 1, 2, .., m (2.49)
(iv) untuk i=1, 2, ..., m (2.50)
(v) untuk j=1, 2, ..., m (2.51)
(vi) untuk j=1, 2, ..., m (2.52)
Dari kondisi (ii) dan (iv) memerlukan hasil kali dua kuantitas sama dengan nol. Oleh karena itu, setiap kondisi ini menyatakan bahwa setidaknya salah satu dari kuantitas harus sama dengan nol. Hal ini berakibat kondisi (iv) dapat dikombinasi dengan kondisi (iii), sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk lain sebagai berikut:
atau (2.53)
jika =0 untuk i=1, 2, ..., m (2.54) Demikian pula kondisi (ii) dapat digabung dengan kondisi (i) menjadi:
atau (2.55)
jika untuk j= 1, 2, ..., m (2.56)
Contoh 2.4: Maksimum
dengan kendala , ,
Kondisi KKT untuk contoh di atas yaitu: 1. Untuk j=1, Untuk j=2, 2. Untuk j=1, Untuk j=2, 3. 4. 5. , 6.
Langkah penyelesaian kondisi KKT untuk contoh di atas: 1. , dari kondisi 1 (j=2)
, dari kondisi 5. 2.
3. , dari kondisi 2 (j=1)
4. , berimpilkasi dari kondisi 4
6. , berimplikasi dari kondisi 2 (j=2) 7. Tidak ada kondisi yang dilanggar oleh
Sehingga diperoleh solusi atau x*=(0,3).