H. Wordwall
I. Teorema Pythagoras
1. Pengertian Teorema Pythagoras a. Menbuktikan Teorema Pythagoras
Gambar 2. 20 Bangun Datar Persegi ABCD
Gambar di atas menunjukkan persegi ABCD berukuran cm. pada keempat sudutnya buatlah empat segitiga siku-siku dengan panjang sisi siku-siku-siku-sikunya cm dan cm. dari gambar tersebut tampak bahwa luas persegi ABCD sama dengan luas
persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh:
Luas daerah yang diarsir = luas empat segitiga siku-siku
Dan luas daerah yang tidak
diarsir
= luas persegi PQRS
Gambar 2. 21 Bangun Datar Persegi EFGH
Lalu buatlah persegi EFGH berukuran cm seperti tampak pada Gambar 2.21. Pada dua buah sudutnya buatlah empat segitiga siku-siku sedemikian sehingga membentuk dua persegi panjang berukuran cm. Dari Gambar 2.21 tampak bahwa luas persegi EFGH sama dengan luas persegi (luas daerah yang tidak diarsir) ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah yang diarsir), sehingga diperoleh:
Luas daerah yang diarsir = luas dua persegi panjang
Dan luas daerah yang = luas persegi KMGN + luas persegi OFML
tidak diarsir
Dari Gambar 2.20 (lihat pada halaman 37) dan Gambar 2.21 (lihat pada halaman 38) tampak bahwa ukuran persegi ABCD = ukuran persegi EFGH, sehingga diperoleh:
Luas persegi ABCD = luas persegi EFGH
Gambar 2. 22 Gabungan Beberapa Bangun Datar
Kesimpulan di atas jika digambarkan akan tampak seperti pada Gambar 2.22, yaitu luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas daerah persegi yang panjang sisinya adalah siku-siku segitiga tersebut. Kesimpulan tersebut selanjutnya dikenal dengan teorema Pythagoras. Teorema Pythagoras tersebut selanjutnya dapat dirumuskan seperti berikut.
Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.
Sisi miring pada segitiga siku-siku disebut Hipotenusa.
Sehingga, hipotenusa adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku
segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring (hipotenusa), sedangkan dan panjang sisi siku-sikunya, maka berlaku:
Gambar 2. 23 Bangun Datar Segitiga Siku-siku ABC
Pernyataan di atas jika diubah ke bentuk pengurangan menjadi:
atau
2. Penggunaan Teorema Pythagoras
a. Perluasan Teorema Pythagoras untuk Menentukan Suatu Jenis Segitiga
Pada pembahasan di atas telah dipelajari mengenai teorema Pythagoras dan membuktikan kebenarannya. Sekarang, akan dibuktikan bahwa perluasan teorema Pythagoras juga berlaku.
Perhatikan uraian berikut:
Gambar 2. 24 Bangun Datar Segitiga Siku-siku ABC dan PQR Perhatikan Gambar 2.24 (i). Misalkan Δ ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = cm, BC = cm, dan AC = cm, maka berlaku:
… (i)
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa Δ ABC siku-siku di B.
Pada Gambar 2.24 (ii), Δ PQR siku-siku di Q dengan panjang PQ
= cm, QR = cm, dan PR = cm. Karena Δ PQR siku-siku, maka berlaku:
… (ii) Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh:
atau
Karena bernilai positif, maka , maka Δ ABC dan Δ PQR memiliki sisi-sisi yang sama panjang. Dengan mengimpitkan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga, diperoleh sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengan demikian, ∠ ABC = ∠ PQR
= 90°. Jadi, Δ ABC adalah segitiga siku-siku di B.
Perluasan teorema Pythagoras menyatakan bahwa untuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yang saling tegak lurus sama dengan kuadrat panjang sisi miring, maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku. Selanjutnya, perluasan dari
teorema Pythagoras tersebut digunakan untuk mementukan jenis suatu segitiga.
Sehingga, pada suatu segitiga berlaku :
b. Tripel Pythagoras
Perhatikan kelompok tiga bilangan berikut.
a. 3, 5, 6 b. 6, 8, 10
Misalkan bilangan-bilangan di atas merupakan panjang sisi-sisi suatu segitiga, maka dapat ditentukan mana yang termasuk jenis segitiga siku-siku dengan cara sebagai berikut.
a. 3, 5, 6
Karena , maka segitiga ini bukan termasuk segitiga siku-siku, tetapi merupakan segitiga tumpul.
b. 6, 8, 10
Karena , maka segitiga ini termasuk segitiga siku-siku.
Dari uraian di atas tampak bahwa kelompok tiga bilangan 6, 8, 10 merupakan sisi-sisi segitiga siku-siku karena memenuhi teorema Pythagoras. Selanjutnya, kelompok tiga bilangan tersebut disebut Tripel Pythagoras. Sehingga, tripel Pythagoras adalah a. Jika kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lain, maka
segitiga tersebut siku-siku.
b. Jika kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut lancip.
c. Jika kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lain, maka segitiga tersebut tumpul.
kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya.
Gambar 2. 25 Bangun Datar Segitiga Siku-siku
Perhatikan Gambar 2.25 di atas. Panjang sisi segitiga siku-siku tersebut adalah ( ), ( ), dan . Dengan ukuran panjang itu, ketiganya akan membentuk tripel Pythagoras dengan melakukan kegiatan berikut. Isilah tabel berikut dengan sebarang dua bilangan bulat positif dan sedemikian sehingga , dengan tujuan untuk menentukan tiga bilangan yang membentuk tripel Pythagoras.
Tabel 2. 1 Cara Membentuk Tripel Pythagoras
( ) ( ) Hubungan Tripel
Pythagoras
2 1
3 1
3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4
... ... ... ... ... ... ...
c. Perbandingan Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku dengan Sudut Khusus
1) Sudut 90°, 30°, dan 60°
Gambar 2. 26 Bangun Datar Segitiga Sama Kaki ABC Segitiga ABC di atas adalah segitiga sama sisi dengan AB
= BC = AC = cm dan ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°. Karena CD ⊥
AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus garis bagi ∠ C, sehingga ∠ ACD = ∠ BCD = 30°. Diketahui ∠ ADC = ∠ BDC = 90°. Titik D adalah titik tengah AB, dimana AB = cm, sehingga panjang BD = cm. Perhatikan Δ CBD. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:
√ √
Dengan demikian, diperoleh perbandingan:
BD : CD : BC = √ .
2) Sudut 90°, 45°, dan 45°
Gambar 2. 27 Bangun Datar Segitiga Siku-siku ABC Segitiga ABC di atas adalah segitiga siku-siku sama kaki.
Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = cm dan sudut A
= sudut C = 45°. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:
√ √
Dengan demikian, diperoleh perbandingan:
AB : BC : AC = √ .
3. Menyelesaikan Masalah Sehari-hari dengan Menggunakan Teorema Pythagoras
Contoh :
Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100 meter. Jarak anak di permukaan tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah 60 meter. Berapa ketinggian layang-layang tersebut?
Penyelesaian :
Gambar 2. 28 Sketsa Permasalahan dalam Soal Diketahui :
Layang-layang berada di titik C Anak berada di titik A
Tinggi layang-layang dengan permukaan tanah = BC
Jarak anak dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang = AB = 60 m.
Panjang benang layang-layang = AC = 100 m.
Ditanyakan :
Berapa ketinggian layang-layang tersebut (BC)?
Jawab :
√ √ √ √
meter
Jadi, tinggi layang-layang tersebut adalah 80 meter.