Bab II. BARISAN DAN DERET
2.2. Teorema-teorema Limit
Pada subbab ini akan dibahas mengenai beberapa teorema yang berkaitan dengan lim it
pada barisan bilangan real, seperti barisan terbatas dan kekonvergenan barisan. Definisi 2.2.1. Barisan bilangan real X =( xn ) dikatakan terbatas jika terdapat
bilangan real M > 0 sedemikian hingga xn£ M untuk semua n Î N .
Oleh karena itu, barisan ( xn ) terbatas jika dan hanya jika himpunan { xn: n Î N} merupakan subset terbatas dalam R
.
Teorema 2.2.2. Jika X =( xn ) konvergen, maka X =( xn ) terbatas.
Bukti. Diketahui X =( xn ) konvergen, misalkan konvergen ke x. Diambil e= 1, mak a
terdapat K Î N
sedemikian hingga untuk setiap n ³ K berlaku xn- x < 1.
Menggunakan akibat Ketaksamaan Segitiga, maka xn- x < 1 atau xn< 1+ x untuk semua n ³ K . Namakan M = max { x , x ,..., x , x +1} , maka x
n£ M , untuk semua 12 k -1
n Î N
. Jadi, terbukti bahwa X =( xn ) terbatas.
Teorema 2.2.3. Jika X =( xn )® x, Y =( yn )® y,dan c Î R , maka
(i) X ± Y ® x + y. (ii) XY ×® xy . (iii) cX ® cx . Bukti.
(i) Ambil sebarang e> 0 . Karena X =( xn )® x , maka terdapat n0 Î N sedemikian
hingga untuk setiap n ³ n0 berlaku xn- x <e . Karena Y =( yn )® y , maka 2
Pengantar Analisis Real I e terdapat n1 Î N
sedemikian hingga untuk setiap n ³ n1 berlaku yn - y
<
. Pilih 2
n = max {n0, n } , maka akibatnya untuk n ³ n berlaku 21 2 xn + yn -( x - y)=( xn - x)+( yn - y) ee £ xn - x + yn - y < + =e. 22
Karena berlaku untuk sebarang e> 0 , maka ( xn + yn ) konvergen ke x + y . Dengan cara yang sama diperoleh bahwa ( x - y ) konvergen ke x - y . Jadi, n
n
terbukti bahwa X ± Y ® x + y . (ii)
Akan dibuktikan bahwa untuk setiap e> 0 terdapat K Î N sedemikian hingga
untuk setiap n ³ K berlaku xy - xy <e . Diketahui nn xy - xy = xy - xy + xy - xy nn nnn n £ xy n n - x y n + xy n - xy = x yn - y + xn - x
£ M , untuk semua n Î N
. Namakan M = max { M , y } . Diambil
sebarang e> 0 . Karena ( xn )® x , maka terdapat K1Î N sedemikian hingga
untuk setiap n ³ K1 berlaku xn- x <e . Karena ( yn )® y , maka terdapat 2M
e
K2 Î N
sedemikian hingga untuk setiap n ³ K2 berlaku yn - y
< . Namakan 2M
K = max { K1, K2} , maka untuk setiap n ³ K berlaku xy - xy £ xn yn - y + xn - x y nn e e ee < M . + .M = + =e. 2M 2M 22
Jadi, terbukti bahwa untuk setiap e> 0 terdapat K Î N sedemikian hingga untuk
setiap n ³ K berlaku xy - xy <e . Dengan kata lain, terbukti bahwa nn
XY ® xy × .
Pengantar Analisis Real I
(iii)
Ambil sebarang e> 0 . Karena ( xn )® x , maka terdapat K Î N sedemikian
e
hingga untuk setiap n ³ K berlaku xn- x < . Perhatikan bahwa 2 cx n - x = cx - x + x - x nnn £ cx n - xn + xn - x = x c -1 + xn - x . n
Karena ( xn )® x , maka ( xn ) terbatas, yaitu terdapat M > 0 sedemikian hingga n£ M , untuk semua n Î N . Akibatnya x e nc -1 + x - x < M . c -1 +e =(M . c -1 )+ <e . x n 2 2
Terbukti bahwa untuk setiap e> 0 terdapat K Î N sedemikian hingga untuk
setiap n ³ K berlaku cx n- x <e . Dengan kata lain, terbukti bahwa cX ® cx .
Teorema 2.2.4. Jika X =( xn )® x dan Z =( zn )® z ¹ 0 dengan z ¹ 0 untuk semua n n Î N , maka X . xn .
.. z Z . n . z 1 . 1 . 1 1
Bukti. Terlebih dahulu harus dibuktikan bahwa = ® . Diambil a= z , .. Zz z 2 . n .
maka a> 0 . Karena lim ( z )= z , maka terdapat K Î N sedemikian hingga untuk
n 1
setiap n ³ K1 berlaku zn - z <a . Menggunakan akibat Ketaksaman Segitiga bahwa -a £- zn - z £ zn - z untuk n ³ K , yang berarti
1 z = z -a £ zn untuk n ³ K1. 1 2 Oleh karena 12 £ z z
n
untuk n ³ K1, maka diperoleh
z - zn 11 - = = 1 22 z - zn £ . zz zz zz z n n n
Selanjutnya, diberikan e> 0 , maka terdapat K2 Î N sedemikian hingga jika n ³ K2,
maka z - z < 1 e z 2 . Jika diambil K e= max { K , K } () 1 2,maka
n 2
<e untuk semua n ³ () K e . 1 1 nz z - . 1 . 1 . 1 .
Karena berlaku untuk sebarang e> 0 , maka terbukti bahwa lim ..
= atau .. zz z . n .. n . 1
konvergen ke . Menggunakan Teorema 2.2.3(ii) dan dengan mengambil Y sebagai z . 1 .. xn .. 1 . x
barisan .. , maka XY ×= .. ® x = . .. zz . z . z . n .. n .
Teorema 2.2.5. Jika X =( xn ) barisan bilangan real dengan xn³ 0 untuk semua n Î N
dan ( xn )® x , maka x ³ 0 .
Bukti. Diambil e =- x > 0 . Karena ( xn )® x , maka terdapat K Î N sedemikian hingga
untuk setiap n ³ K berlaku xn - x <e Û- e< xn - x <e Û x -e < xn < x +e
.
Û x ( x) < x < x +- x) -- n (
Û 2x < xn < 0.
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa xn³ 0 , untuk semua n Î N . Jadi, pengandaian
salah, yang benar adalah x ³ 0.
Teorema 2.2.6. Jika ( xn )® x, ( yn )® y , dan xn £ y untuk semua n Î N , maka
n x £ y.
Bukti. Diberikan z := y - x sehingga Z :=( z )= Y - X dan z ³ 0 untuk semua nnn nn
n Î N
0 £ lim Z = lim ( yn )- lim ( xn ) atau lim ( xn )£ lim ( yn ) . Jadi, terbukti bahwa x £ y .
Teorema 2.2.7. Jika X =( xn ) konvergen ke x dan jika a £ x £ b untuk semua n Î N ,
n
maka a £ x £ b.
Bukti. Diberikan Y barisan konstan ( ,,)
bbb,... . Menggunakan Teorema 2.2.6 diperoleh
bahwa lim X £ lim Y = b . Dengan cara yang sama diperoleh a £ lim X . Jadi, terbukti bahwa a £ lim X £ b atau a £ x £ b .
Berikut ini diberikan sebuah teorema yang menyatakan bahwa jika suatu barisan Y berada (terselip) di antara dua barisan yang konvergen ke titik yang sama, mak a Y
juga konvergen ke titik yang sama.
Teorema 2.2.8. (Squeeze Theorem) Diberikan barisan bilangan real X =( xn ) , Y =( yn ) , dan Z =( zn ) sedemikian hingga
x £ y £ z untuk semua n Î N ,
n nn
dan lim ( x )= lim ( z ) . Maka Y konvergen dan nn
lim ( xn )= lim ( y )= lim ( zn ) . n
Bukti. Misalkan w := lim ( x )= lim ( z ) . Jika diberikan e> 0 , maka terdapat K Î N
nn
sedemikian hingga untuk setiap n ³ K berlaku xn- w <e dan zn - w <e , atau dengan kata lain -e < x - w <e dan -e < z - w <e . Karena x £ y £ z , maka
nn nnn
n nn
Akibatnya diperoleh bahwa -e < yn - w <e . Karena berlaku untuk semua n ³ K dan e> 0 , maka terbukti bahwa lim ( y )= w .
Teorema 2.2.9. Jika X =( xn )® x , maka X =( x )® x.
n
Bukti. Diberikan e> 0 . Karena X =( xn )® x , maka terdapat K Î N sedemikian
hingga untuk setiap n ³ K berlaku xn- x <e . Menggunakan akibat Ketaksamaan Segitiga, diperoleh bahwa untuk setiap n Î N
berlaku n - x x
£ xn - x <e .
Jadi, diperoleh bahwa n- x
x
<e , atau X =( x )® x . n
Teorema 2.2.10. Jika X =( xn )® x dan xn³ 0 , maka barisan bilangan real positif ( xn)® x.
Bukti. Menurut Teorema 2.2.5 diperolah bahwa x ³ 0 . Akan ditunjukkan bahwa teorema benar untuk x = 0 dan x > 0.
Kasus I: Jika x = 0 , diberikan e> 0 . Karena ( x )® x = 0 , maka terdapat K Î N n
sedemikian hingga untuk setiap n ³ K berlaku 0 £ xn = xn - 0 <e 2.
Sehingga diperoleh bahwa 0 £ xn<e . Karena berlaku untuk setiap e> 0 , maka terbukti bahwa ( xn)® x .
Kasus II: Jika x > 0 , maka x > 0 . Diberikan e> 0 , maka terdapat K Î N sedemikian hingga untuk setiap n ³ K berlaku xn- x <e . Perhatikan bahwa ( x - x )( x + x ) xn - x
xn - x = nn = .
xn + x xn + x Karena > 0 , maka diperoleh nx x x+ ³ e . 1 . xn - x £ x - x < . . n . x
Karena berlaku untuk setiap e> 0 , maka terbukti bahwa ( x )® x.
. x .
x n+1
Teorema 2.2.11. Jika ( xn ) barisan bilangan real (tegas) dengan lim . . . . = L (ada) . xn .
dan L < 1, maka ( xn ) konvergen dan lim ( x )= 0 . n
Bukti. Dipilih r Î R
sedemikian hingga L < r < 1. Diambil e= r - L > 0 . Karena .
x .
n+1 lim ..
= L , maka terdapat K Î N
sedemikian hingga untuk setiap n ³ K berlaku . xn . n+1 x - L <e . Karena x n x x n+1 n+1 - L £ - L ,
x x n n maka x n+1 - L <e . x n Sehingga diperoleh xx n+1 n+1 - L <eÛ <e+ L < L + r - L = r Û x < xr , n+1 n xx nn
Jadi, untuk setiap n ³ K berlaku x 23 n+- k kn 1 0 < x < xr < xr < xr < ... < xr 1 = r + . n+1 nn-1 n-2 kk r x
Jika diambil c = kk , maka diperoleh r
n+1
0 < xn+1 < cr untuk semua n ³ K . n
Mengingat bahwa lim (r )= 0 (sebab 0 < r < 1), maka nn+1
Pengantar Analisis Real I
SOAL LATIHAN SUBBAB 2.2. 1.
Tentukan apakah barisan berikut konvergen atau divergen. n22n2 + 3 (a) x := . (b) x := . n n 2 n +1 n +1 n (-1) n (c) x := nn +1 2.
Tunjukkan bahwa jika X dan Y barisan bilangan real sedemikian hingga X dan X + Y konvergen, maka Y konvergen.
1 n 2
3.
Tunjukkan bahwa barisan ((- ) n ) tidak konvergen. 4. Diberikan y := n +1 - n untuk n Î N
. Tunjukkan bahwa ( yn ) dan ( ny ) n
n
konvergen. Carilah nilai limitnya. a + b
5. Jika a > 0, b > 0 , tunjukkan bahwa lim ((n + a)( n + b)- n)= . 2
6.
Gunakan Teorema Squeeze (2.2.8) untuk menentukan limit barisan berikut. 2 1 (a) nn . (b) n! n2 . . . (( ) . .
. . xn 1 7.
Berilah sebuah contoh barisan konvergen ( xn ) dengan lim .. = 1. . xn . . x . n-1 8.
Diberikan barisan bilangan real positif X =( xn ) dengan lim .. = L > 1.
. xn .
Tunjukkan bahwa X tidak terbatas dan tidak konvergen. 9.
Diberikan ( xn ) barisan konvergen dan ( yn ) sedemikian hingga untuk sebarang e> 0 terdapat M Î N
sedemikian hingga untuk setiap n ³ M berlaku xn - yn <e . Apakah ( yn ) konvergen?
10. Tunjukkan bahwa jika ( xn ) dan ( yn ) barisan konvergen, maka barisan (un ) dan
(vn ) yang didefinisikan dengan un := max { xn , yn } dan vn := min { xn , yn } konvergen.
Pengantar Analisis Real I