TEOREMA TEOREMA NILAI NILAI RA RAT TA-RA A-RAT TA A

10. TEOREMA TEOREMA NILAI NILAI RARATTA-RAA-RATTAA

10.1 Maksimum dan Minimum Lokal 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal

Misalkan

Misalkan f f  terdefinisi pada suatu interval terbuka (terdefinisi pada suatu interval terbuka (a,a, bb) dan) dan cc

∈∈

((a,a, bb). ). KiKitata katakan bahwa

katakan bahwa f f  mencapaimencapai nilai maksimum lokal nilai maksimum lokal  didi cc apabilaapabila f 

f ((xx))

≤≤

f f ((cc)) untuk setiap

untuk setiap xx dalam suatu interval terbukadalam suatu interval terbuka I I  yang memuatyang memuat cc. Titik. Titik cc dalam hal inidalam hal ini disebut sebagai

disebut sebagai titik maksimum lokal titik maksimum lokal .. Nilai 

Nilai  dandan titik minimum lokal titik minimum lokal  didefinisikan secara analog.didefinisikan secara analog.

Gamb

Gambar ar 10.110.1 f f  mencapai nilai maksimum lokal dimencapai nilai maksimum lokal di cc

Secara intuitif,

Secara intuitif, f f  mencapai nilai maksimum lokal dimencapai nilai maksimum lokal di cc apabila grafiknya mem-apabila grafiknya mem-punyai sebuah ‘puncak’ di atas titik

punyai sebuah ‘puncak’ di atas titik cc. Serupa dengan itu,. Serupa dengan itu, f f  mencapai nilai minimummencapai nilai minimum lokal di

Jika

Jika f f ((cc) merupakan nilai maksimum) merupakan nilai maksimum f f  pada seluruh interval (pada seluruh interval (a,a, bb), maka ten-), maka ten-tunya

tunya f f  mencapai nilai maksimum lokal dimencapai nilai maksimum lokal di cc. Namun sebaliknya belum tentu benar,. Namun sebaliknya belum tentu benar, nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum

nilai maksimum lokal belum tentu merupakan nilai maksimum f f .. Contoh 1

Contoh 1. Misalkan. Misalkan f f  ::RR

→→

RR adalah fungsi yang didefinsikan sebagaiadalah fungsi yang didefinsikan sebagai f 

f ((xx) =) =



xx + 2+ 2, , x x <<

−−

11,,

||

xx

||

, , xx

≥ ≥ −−

11.. Maka,

Maka, f f  mencapai nilai maksimum lokal dimencapai nilai maksimum lokal di

−−

1, namun1, namun f f ((

−−

1) = 1 bukan merupakan1) = 1 bukan merupakan nilai maksimum

nilai maksimum f f  padapada RR. . DeDemimikiakian puln pulaa f f  mencapai nilai minimum lokal di 0,mencapai nilai minimum lokal di 0, namun

namun f f (0) = 0 bukan merupakan nilai minimum(0) = 0 bukan merupakan nilai minimum f f  padapada RR.. T

Teoremeorema a 22.. Misalkan Misalkan  f f  mempumempunyai nyai turunturunan an ppada ada  ((a,a, bb)) dan dan  cc

∈∈

((a,a, bb)). . JJiikka a  f f  mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 

mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di  cc, maka , maka  f f 



((cc) = ) = 00.. Bukti 

Bukti . . MenMenurut definisi turunanurut definisi turunan,, f 

f ((xx))

−−

f f ((cc)) x

x

−−

cc

→→

f f 

^

((cc)) untuk

untuk xx

→→

cc. . MisalkMisalkanan f f 



((cc)) >> 0. 0. MenMenurut Soaurut Soal Latihan 7.1 Nol Latihan 7.1 No. . 4, terdap4, terdapat suatuat suatu δ

δ >> 0 sedemikian sehingga0 sedemikian sehingga

f 

f ((xx))

−−

f f ((cc)) x

x

−−

cc ^{>> 00 ((22))}

untuk

untuk xx

∈∈

((cc

−−

δ,δ, cc ++ δδ)), , xx= cc. . Sek=



Sekarang misalkarang misalkanan xx

∈∈

((c,c, cc ++ δδ) sembara) sembarang. ng. MakMaka,a, x

x

−−

c c >> 0 dan (1) memberikan0 dan (1) memberikan f f ((xx))

−−

f f ((cc)) >> 0 atau0 atau f f ((xx)) > f > f ((cc). Jadi). Jadi f f  tidak mungkintidak mungkin mencapai nilai maksimum lokal di

mencapai nilai maksimum lokal di cc. . Selanjutnya mSelanjutnya misalkanisalkan xx

∈∈

((cc

−−

δ,δ, cc) sembarang.) sembarang. Maka,

Maka, xx

−−

c c << 0 dan (1) memberikan0 dan (1) memberikan f f ((xx))

−−

f f ((cc)) << 0 atau0 atau f f ((xx)) < < f f ((cc). Jadi). Jadi f f  jugajuga tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di

tidak mungkin mencapai nilai minimum lokal di cc.. Hal serupa terjadi ketika

Hal serupa terjadi ketika f f 

^

((cc)) << 0. 0. JadJadi, jiki, jikaa f f 

^

((cc))



= 0, maka= 0, maka f f  tidak akantidak akan mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di

mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di cc.. Catatan

Catatan. . KebKebalialikkan dari Tean dari Teoreorema 2 ma 2 tidtidak berlakak berlaku: u: jikjikaa f f 

^

((cc) = 0, belum tentu) = 0, belum tentu f f  mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di

mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di cc.. Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. Berikan Berikan sebuah contsebuah contoh fungsioh fungsi f f  yang terdefinisi pada (yang terdefinisi pada (

−−

22,, 2) dan mencapai nilai2) dan mencapai nilai maksimum lokal di 1 tetapi

maksimum lokal di 1 tetapi f f (1) (1) bukbukan an merumerupakpakan an nilai nilai maksimaksimummum f f  padapada ((

−−

22,, 2).2).

2.

2. BerikBerikan an sebuasebuah h concontoh fungsitoh fungsi f f  yang mempunyai turunan nol di suatu titikyang mempunyai turunan nol di suatu titik tetapi

tetapi f f  tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.tidak mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di titik tersebut.

10.2 Titik Stasioner 10.2 Titik Stasioner

Titik

Titik cc dengandengan f f 



((cc) = 0 disebut) = 0 disebut titik stasioner titik stasioner  f f . . SebagSebagaimanaimana telah dicatata telah dicatat sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum sebelumnya, tidak semua titik stasioner merupakan titik maksimum atau minimum lokal. Sebagai contoh, jika

lokal. Sebagai contoh, jika f f ((xx) =) = xx33, maka, maka f f 



((xx) = ) = 33xx22, sehingga 0 merupakan titik, sehingga 0 merupakan titik stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum

stasioner. Namun, 0 bukan merupakan titik maksimum maupun minimum f f . (Titik 0. (Titik 0 dalam hal ini merupakan

dalam hal ini merupakan titik infleksi titik infleksi f f , yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan, yaitu titik terjadinya perubahan kecekungan grafik fungsi

grafik fungsi f f .).)

Gamb

Gambar ar 10.210.2 Grafik fungsiGrafik fungsi f f ((xx) =) = xx³³

Situas

Situasi i yanyang g lebih parah dapat terjadi. lebih parah dapat terjadi. SebagSebagai contoh, fungsiai contoh, fungsi f f ((xx) ) == xx22sinsin_xx¹¹ untuk

untuk xx



= 0 dan= 0 dan f f (0) = 0 mempunyai turunan(0) = 0 mempunyai turunan f f 



(0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan(0) = 0 tetapi 0 bukan merupakan titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi.

titik maksimum atau minimum lokal, ataupun titik infleksi. T

Teoremeorema a 3 3 (T(Teoremeorema a Rolle)Rolle).. Misalkan Misalkan  f f  kontikontinu nu papada da  [[a,a, bb]] dan dan mempumempunyai nyai  turunan pada 

turunan pada  ((a,a, bb)). Jika . Jika  f f ((aa) =) = f f ((bb)), maka , maka  f f 



((cc) = ) = 00 untuk suatu untuk suatu  cc

∈∈

((a,a, bb)).. Bukti 

f 

f  mencapai nilai maksimummencapai nilai maksimum M M  di suatu titikdi suatu titik cc11

∈∈

[[a,a, bb] dan juga mencapai nilai] dan juga mencapai nilai minimum

minimum mm di suatu titikdi suatu titik cc22

∈∈

[[a,a, bb].]. Misalkan

Misalkan cc11 dandan cc22 adalah titik-titik ujung [adalah titik-titik ujung [a,a, bb]. ]. KarKarenaena f f ((aa) ) == f f ((bb), maka), maka m

m == M M  dan dengan demikiandan dengan demikian f f  konstan pada [konstan pada [a,a, bb]. Akibatnya]. Akibatnya f f 



((cc) = ) = 0 untuk setia0 untuk setiapp cc

∈∈

((a,a, bb).).

Misalkan

Misalkan cc11 bukan titik ujung [bukan titik ujung [a,a, bb]. ]. MaMakkaa cc11

∈∈

((a,a, bb) dan) dan f f  mencapai nilaimencapai nilai maksimum lokal di

maksimum lokal di cc11. . MenMenurut Turut Teoremeorema 2,a 2, f f 



((cc11) = 0. ) = 0. Hal serHal serupa teupa terjarjadi biladi bila cc22

bukan titik ujung [ bukan titik ujung [a,a, bb].]. Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. DikeDiketahtahuiui f f ((xx) ) == xx

||

xx

||

, , xx

∈∈

RR. . TTunjukkan bahunjukkan bahwa 0 merupakan titik stasioner.wa 0 merupakan titik stasioner. Selidiki apakah

Selidiki apakah f f  mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0.mencapai nilai maksimum atau minimum lokal di 0. 2.

2. Beri contBeri contoh sebuah fungsioh sebuah fungsi f f  yang terdefinisi pada [yang terdefinisi pada [a,a, bb], mempunyai turunan], mempunyai turunan pada (

pada (a,a, bb), dan), dan f f ((aa) =) = f f ((bb), namun tidak ada), namun tidak ada cc

∈∈

((a,a, bb) dengan) dengan f f 



((cc) = 0.) = 0.

10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor 10.3 Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor

Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Sebagai perumuman dari Teorema Rolle, kita mempunyai teorema berikut. Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata)

Teorema 4 (Teorema Nilai Rata-rata).. Misalkan Misalkan f f  kontinu pada kontinu pada  [[a,a, bb]] dan mem-dan mem-punyai turunan pada 

punyai turunan pada  ((a,a, bb)). Maka . Maka  f 

f 

^

((cc) =) = ^f f ((bb))

−−

f f ((aa)) bb

−−

aa untuk suatu 

untuk suatu  cc

∈∈

((a,a, bb)).. Catatan

Catatan. Nilai. Nilai ^f f ((bb))_bb

⁻⁻

^f f ((aa))

−

−

aa disebutdisebut nilai rata-rata nilai rata-rata  f f  pada [pada [a,a, bb]. ]. NilaNilai ini i ini samsama dengaa dengann gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik (

gradien ruas garis singgung yang menghubungkan titik ( a,a, f f ((aa)) dan ()) dan (b,b, f f ((bb)))). . Ke Ke--simpulan Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva

simpulan Teorema Nilai Rata-rata menyatakan bahwa pada kurva yy == f f ((xx) terdapat) terdapat suatu titik (

suatu titik (c,c, f f ((cc)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata)) dengan gradien garis singgung sama dengan nilai rata-rata f f  padapada [[a,a, bb].].

Bukti Teorema 4

Bukti Teorema 4. Misalkan. Misalkan F F  didefinisikan pada [didefinisikan pada [a,a, bb] sebagai] sebagai F 

dengan

dengan hh konstanta. Makakonstanta. Maka F F  kontinu pada [kontinu pada [a,a, bb] dan mempunyai turunan pada (] dan mempunyai turunan pada (a,a, bb).). Kita pilih konstanta

Kita pilih konstanta hh sedemikian sehinggasedemikian sehingga F F ((aa) =) = F F ((bb), yakni), yakni h

h == ^f f ((bb))

−−

f f ((aa)) bb

−−

aa ^.. Karena

Karena F F  memenuhi hipotesis Teorema Rolle, makamemenuhi hipotesis Teorema Rolle, maka F F 



((cc) = 0 untuk suatu) = 0 untuk suatu cc

∈∈

((a,a, bb).). Namun

Namun

F 

F 

^

((cc) =) = f f 

^

((cc))

−−

hh = 0= 0,, sehingga teorema pun terbukti.

sehingga teorema pun terbukti. Jika

Jika f f  mempunyai turunan dimempunyai turunan di cc, maka persamaan garis singgung pada kurva, maka persamaan garis singgung pada kurva yy == f f ((xx) di titik () di titik (c,c, f f ((cc)) adalah)) adalah

yy == f f ((cc) + () + (xx

−−

cc))f f 

^

((cc)).. Untuk

Untuk xx dekatdekat cc, nilai, nilai f f ((cc) ) + + ((xx

−−

cc))f f 



((cc) merupakan hampiran yang ’baik’ untuk) merupakan hampiran yang ’baik’ untuk f 

f ((xx). ). NamNamun seberapa besar un seberapa besar kesakesalahan dalam penghampilahan dalam penghampiran ini?ran ini? Lebih jauh, misalkan

Lebih jauh, misalkan f f  mempunyai turunan ke-(mempunyai turunan ke-(nn

−−

1) di1) di cc. Maka polinom. Maka polinom P  P ((xx) =) = f f ((cc) + () + (xx

−−

cc))f f 

^

((cc) +) + ^((xx

−−

cc))²² 2! 2! ^f f 

^

^{((cc) +) +}

·· ·· ··

++ ^((xx

−−

cc))ⁿⁿ

⁻⁻

¹¹ ((nn

−−

1)!1)! ^f f  ((nn

−−

1)1)((cc))

mempunyai turunan

ke-mempunyai turunan ke-kk,, kk = = 00,, 11, . . . , n, . . . , n

−−

1, yang sama dengan turunan ke-1, yang sama dengan turunan ke-kk daridari f 

f . . KarenKarena itu a itu masumasuk k akakal untuk menghaal untuk menghampirimpiri f f ((xx) dengan) dengan P P ((xx) untuk) untuk xx di sekitardi sekitar cc. . NamNamun, sekaun, sekali lagi, li lagi, seberaseberapa besar kesalahapa besar kesalahan dalam penghampirn dalam penghampiran ini. an ini. TTeoreeoremama Taylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut.

Taylor di bawah ini menjawab pertanyaan tersebut. Teorema 5 (Teorema Taylor)

Teorema 5 (Teorema Taylor).. Misalkan Misalkan f f  mempunyai turunan ke-mempunyai turunan ke-nn pada interval pada interval  terbuka 

terbuka  I I  yang memuat titik yang memuat titik  cc. Maka, untuk setiap. Maka, untuk setiap xx

∈∈

I , berlaku I , berlaku  f  f ((xx) =) = f f ((cc) + () + (xx

−−

cc))f f 

^

((cc) +) + ^((xx

−−

cc))²² 2! 2! ^f f 

^

^{((cc) +) +}

·· ·· ··

++ ^((xx

−−

cc))ⁿⁿ

⁻⁻

¹¹ ((nn

−−

1)!1)! ^f f  ((nn

−−

1)1)((cc) +) + E E nn dengan 

dengan  E E nn == _nn!!¹¹((xx

−−

cc))nnf f ((nn))((ξξ)) untuk suatu untuk suatu  ξξ di antara di antara  xx dan dan  cc.. Proof 

Proof . Untuk. Untuk tt di antaradi antara xx dandan cc, definisikan, definisikan F  F ((tt) =) = f f ((xx))

−−

f f ((tt))

−−

((xx

−−

tt))f f 

^

((tt))

− · · · −− · · · −

^((xx

⁻⁻

^tt)) n n

−−

11 ((nn

−−

1)!1)! ^f f  ((nn

−−

1)1)((tt))..

Perhatikan bahwa Perhatikan bahwa F  F 

^

((tt) =) =

−−

^((xx

⁻⁻

^tt)) n n

−−

11 ((nn

−−

1)!1)! ^f f  ((nn))((tt)).. Sekar

Sekarang ang definisikandefinisikan

G

G((tt) =) = F F ((tt))

−−

^

_xx^xx

⁻⁻₋₋

_cc^tt

^

ⁿⁿF F ((cc)).. Maka,

Maka, GG((xx) ) == GG((cc) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat) = 0, sehingga menurut Teorema Rolle, terdapat ξξ di antaradi antara xx dan

dan cc sedemikian sehinggasedemikian sehingga 0 = 0 = GG

^

((ξξ) =) = F F 

^

((ξξ) +) + ^{n((xn x}

−−

ξξ))ⁿⁿ

−−

11 ((xx

−−

cc))nn F ((cc) =F  ) =

−−

^((xx

⁻⁻

^ξξ)) n n

−−

11 ((nn

−−

1)!1)! ^f f  ((nn))((ξξ) +) + ^nn((xx

−−

ξξ))ⁿⁿ

−−

11 ((xx

−−

cc))nn F F ((cc)).. Dari sini kita peroleh

Dari sini kita peroleh

F 

F ((cc) =) = ^((xx

−−

cc))ⁿⁿ n n!! ^f f 

((nn))((ξξ))

dan teorema pun terbukti. dan teorema pun terbukti. Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. DikeDiketahtahuiui f f ((xx) =) =

√√

_{xx. Tentukan nilai rata-rata. Tentukan nilai rata-rata f f  pada [0pada [0,, 4]. Tentukan4]. Tentukan cc}

_∈∈

_{(0(0,, 4)4)}

sedemikian sehingga

sedemikian sehingga f f 

^

((cc) sama dengan nilai rata-rata tersebut.) sama dengan nilai rata-rata tersebut. 2.

2. MisalkMisalkanan f f  kontinu pada [kontinu pada [a,a, bb] dan mempunyai turunan pada (] dan mempunyai turunan pada ( a,a, bb). ). BuktiBuktikakann  jika

 jika f f 

^

((xx) = 0 untuk setiap) = 0 untuk setiap xx

∈∈

((a,a, bb), maka), maka f f  konstan pada [konstan pada [a,a, bb].]. 3.

3. MisalkMisalkanan f f  :: RR

→→

RR mempunyai turunan di setiap titik dan f mempunyai turunan di setiap titik dan f 



((xx) ) == xx22 untukuntuk setiap

setiap xx

∈∈

RR. Buktikan bahwa. Buktikan bahwa f f ((xx) =) = ₃₃¹¹xx³³++ C C , dengan, dengan C C  suatu konstanta.suatu konstanta. 4.

4. DikeDiketahtahuiui f f  ::RR

→→

RR memenuhmemenuhi i ketaksamaanketaksamaan

||

f f ((xx))

−−

f f ((yy))

| ≤| ≤

C C 

||

xx

−−

yy

||

 ^p p, , xx, y, y

∈∈

RR,, untuk suatu

untuk suatu C C >> 0 dan0 dan p p >> 1. Buktikan bahwa1. Buktikan bahwa f f  konstan.konstan. 5.

5. BuktikBuktikan jikaan jika f f  mempunyai turunan kedua dimempunyai turunan kedua di cc, maka, maka f  f 

^

((cc) = lim) = lim h h

→→

00 f  f ((cc ++ hh))

−−

22f f ((cc) +) + f f ((cc

−−

hh)) h h22 ..

Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan kedua di suatu titik namun limit di atas ada.

6.

6. MisalkMisalkanan cc

∈∈

RR dandan nn

∈∈

NN. . BuktikBuktikan an dengadengan n mengmenggunakgunakan an TTeoremeorema a TTayloaylorr bahwa bahwa (1 + (1 + cc))ⁿⁿ = 1 = 1 ++ ncnc ++ ⁿⁿ⁽⁽ⁿⁿ

−−

1)1) 2! 2! ^cc 2 2++

·· ·· ··

++ ccⁿⁿ.. ((Petunjuk Petunjuk . Tinjau. Tinjau f f ((xx) =) = xxnn.).)