anreal-buku-v2-2

(1)

Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan

51 51

(2)

(3)

6.

6. FUNFUNGSIGSI

6.1 Fungsi dan Graﬁknya 6.1 Fungsi dan Graﬁknya

Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried von Leibniz sejak akhir abad Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried von Leibniz sejak akhir abad ke-17, namun deﬁnisi fungsi yang kita kenal sekarang berakar pada rumusan Leonhard 17, namun deﬁnisi fungsi yang kita kenal sekarang berakar pada rumusan Leonhard Euler pada 1749, yang disempurnakan kemudian oleh Joseph Fourier pada 1822 dan Euler pada 1749, yang disempurnakan kemudian oleh Joseph Fourier pada 1822 dan Lejeune Dirichlet pada 1837.

Lejeune Dirichlet pada 1837. Sebuah

Sebuah fungsi fungsi dari dari himpuhimpunannan AA ke ke himpuhimpunannan BB adalah suatu adalah suatu aturaaturan n yangyang mengaitkan

mengaitkan setiapsetiap xx

_∈∈

AA dengan sebuah elemendengan sebuah elemen tunggaltunggal yy

_∈∈

BB, ditulis, ditulis f

f :: AA

_→

BB x x

_→

_→

y.y. Elemen

Elemen yy yanyang g terkterkait ait dengadengann xx disebutdisebut peta peta daridari xx (di (di bawbawahah f f ) dan kita tulis) dan kita tulis yy == f f ((xx)).. BilaBila f f ((xx) ) mempmempunyunyai ai rumrumus us yanyang g ekspleksplisit, isit, fungsifungsi f f sering dinyatakansering dinyatakan sebagai persamaan

sebagai persamaan

yy == f f ((xx))..

Dalam buku ini, kita membatasi pembahasan kita pada fungsi dari

Dalam buku ini, kita membatasi pembahasan kita pada fungsi dari AA

_⊆

RR _ke_ke

B

_⊆

RR_{, , ya}_{yakni fung}_{kni fungsi bernil}_{si bernilai real denga}_{ai real dengan}_{n peub}_{peubah real.}_{ah real. Dal}_{Dalam hal ini,}_{am hal ini, kit}_kita_{a dap}_dapat_at

menggambar

menggambar graﬁk graﬁk fungsifungsi f f :: AA

_→

BB pada bidang-pada bidang-xyxy (lihat Gambar 6.1). Deﬁnisi di(lihat Gambar 6.1). Deﬁnisi di atas menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong

atas menjamin bahwa setiap garis vertikal yang memotong AA akan memotong graﬁkakan memotong graﬁk tepat pada satu buah titik (tidak mungkin lebih).

tepat pada satu buah titik (tidak mungkin lebih). Jika

Jika f f adalaadalah h sebuasebuah h fungsi darifungsi dari AA keke BB dandan H H

_⊆

AA, , makmaka a kita katakkita katakanan bahwa

bahwa f f terdefinisi terdefinisi padapada H H . . HimpuHimpunan terbesanan terbesar pada manar pada mana f f terdefinisi adalahterdefinisi adalah AA.. Himpunan

Himpunan AA dalam hal ini disebut sebagaidalam hal ini disebut sebagai daerah asal daerah asal f f . . SebagSebagai contai contoh, sebuahoh, sebuah barisan merupakan fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli

barisan merupakan fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli NN_..

Jika

Jika f f terdefinisi padaterdefinisi pada H H , maka kita definisikan, maka kita definisikan peta peta daridari H H di bawahdi bawah f f sebagaisebagai f

(4)

Gamb

Gambar ar 6.16.1 _{Graﬁk sebuah fungsi}_{Graﬁk sebuah fungsi}

Unt

Untuk ilustrasiuk ilustrasi, , lihat Gamlihat Gambar 6.2 di bar 6.2 di bawbawah ini. ah ini. Dalam halDalam hal H H == AA, himpunan, himpunan f f ((AA)) disebut sebagai

disebut sebagai daerah nilai daerah nilai f f . Catat bahwa. Catat bahwa f f ((AA) tidak harus sama dengan) tidak harus sama dengan BB..

Gamb

Gambar ar 6.26.2 _{Peta dari H}_{Peta dari} _{H di bawah}_{di bawah f}_f

Contoh 1

Contoh 1. . PePersarsamaamaann yy == xx22 _{mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari}_{mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari} _R_R _ke_ke _R_R_._{. Un}_Untu_tuk_k

tiap

tiap xx

_∈∈

RR _{terdapat tepat sebuah}_{terdapat tepat sebuah yy}

_∈∈

RR _{yang memenuhi aturan}_{yang memenuhi aturan yy =}_{= x}_x22_._{. Am}_Amat_atii

bah

bahwa, wa, dalam Gambadalam Gambar r 6.3 6.3 pada halaman bpada halaman berikuerikut, t, setiasetiap p garis vertikgaris vertikal al memomemotongtong graﬁk

graﬁk yy == xx22 tepat pada sebuah titik. tepat pada sebuah titik. DaeraDaerah asal fungsi ini adalahh asal fungsi ini adalah RR _{dan daerah}_{dan daerah}

nilainya adalah [0

nilainya adalah [0,,

_∞

). Peta dari (). Peta dari (

₋

00..55,, 1], misalnya, adalah [01], misalnya, adalah [0,, 1].1]. Contoh 2

Contoh 2. . PersPersamaaamaann yy22 ₌_{= x}_{x tidak mendeﬁnisikan fungsi dari [0}_{tidak mendeﬁnisikan fungsi dari [0,,}

∞

(5)

Gamb

Gambar ar 6.36.3 _{Graﬁk persamaan yy =}_{Graﬁk persamaan} _{= x}_x22

tiap

tiap x x >> 0 terdapat dua buah0 terdapat dua buah yy

_∈∈

RR_{, yakni}_{, yakni yy =}₌

_±

_±√

√

_x_{x, yang memenuhi aturan}_{, yang memenuhi aturan yy}22 ₌_{= x}_x..

Dalam Gambar 6.4, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong

sumbu-Dalam Gambar 6.4, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong sumbu- xx padapada x

x00 >> 0 akan memotong graﬁk0 akan memotong graﬁk yy22 == xx pada dua buah titik.pada dua buah titik.

Gamb

Gambar ar 6.46.4 _{Graﬁk persamaan yy}_{Graﬁk persamaan} 22 ₌_{= x}_x

Contoh 3

Contoh 3. . PerPersamaasamaann yy22 == x, x, yy

_≥

00,, mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari [0mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari [0,,

_∞

) ) keke [0

[0,,

_∞

). ). UnUntuk tuk tiatiapp x x >> 0 terdapat tepat sebuah0 terdapat tepat sebuah yy

_∈∈

[0[0,,

_∞

), yakni), yakni yy ==

√

xx, yang, yang memenuhi aturan

memenuhi aturan yy22 == xx. Dalam Gambar 5.5, amati bahwa setiap garis vertikal yang. Dalam Gambar 5.5, amati bahwa setiap garis vertikal yang memotong

sumbu-memotong sumbu-xx padapada xx00

≥

0 akan memotong graﬁk yy0 akan memotong graﬁk 22 == x, x, yy

≥

00,, tepat padatepat pada

sebuah titik. sebuah titik.

(6)

Gamb

Gambar ar 6.56.5 _{Graﬁk persamaan yy}_{Graﬁk persamaan} 22 ₌_{= x,}_{x, yy}

_≥

₀₀ Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. GamGambar graﬁk himpunbar graﬁk himpunan semua titik (an semua titik (x,x, yy) sedemikian sehingga) sedemikian sehingga yy ==



5 5 jjiikkaa xx

≥

11

2

2 jjiikkaa x <x < 11

Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafik sebuah fungsi dari Jelaskan mengapa grafik tersebut merupakan grafik sebuah fungsi dari RR _ke_ke R

R_{. . T}_Tent_entuk_{ukan daerah nilain}_{an daerah nilainya.}_{ya. T}_Tent_entuk_{ukan pula peta}_{an pula peta dari [1}_{dari [1,, 2] di bawah fungsi}_{2] di bawah fungsi}

tersebut. tersebut. 2.

2. ApakApakah ah persampersamaanaan xx22 + yy+ 22 = 1 mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari [= 1 mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari [

₋

11,, 1] ke1] ke [[

₋

11,, 1]? Jelaskan.1]? Jelaskan.

3.

3. ApakApakah persamah persamaanaan xx22++yy22 = 1= 1, , yy

_≥

0, mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari [0, mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari [

₋

11,, 1]1] ke [0

ke [0,, 1]? Jelaskan.1]? Jelaskan. 4.

4. DikeDiketahtahuiui f f terdeﬁnisi padaterdeﬁnisi pada H H dandan A,A, BB

_⊆

H H . . SelSelidikidiki apaki apakahah f f ((AA

_∪∪

BB) ) == f

f ((AA))

_∪∪

f f ((BB) dan) dan f f ((AA

_∩∩

BB) =) = f f ((AA))

_∩∩

f f ((BB).).

6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional 6.2 Fungsi Polinom dan Fungsi Rasional

Jika

Jika aa00,, aa11, . . . , a, . . . , ann

∈∈

RR, maka persamaan, maka persamaan

(7)

mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari

mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari RR _ke_ke RR_{. . Sem}_Sembar_{barang nila}_{ang nilaii x}_{x yang disubstitusikan}_{yang disubstitusikan}

ke ruas kanan akan memberi kita sebuah nilai

ke ruas kanan akan memberi kita sebuah nilai yy yang berkayang berkaitan dengannitan dengannya. ya. UntuUntukk n

n

_∈∈

NN_{, fungsi ini dikenal sebagai}_{, fungsi ini dikenal sebagai polinom}_{polinom berderajat}_{berderajat n}_{n asalkan}_{asalkan a}_a_n_n

_

_{= 0. Untuk}_{= 0. Untuk n}_{n = 0,}_{= 0,}

fungsi konstan

fungsi konstan yy == aa00 merupakan polinom berderajat 0.merupakan polinom berderajat 0.

Misalkan

Misalkan P P dandan QQ adalah fungsi polinom, danadalah fungsi polinom, dan S S adalah himpunan semua bi-adalah himpunan semua bi-langan

langan xx

_∈∈

RR _{dengan Q}_dengan_Q((x_x))

_

_{= 0. Maka, persamaan}_{= 0. Maka, persamaan}

yy == P P ((xx)) Q Q((xx)) mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari

mendeﬁnisikan sebuah fungsi dari S S keke RR_{. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi}_{. Fungsi ini dikenal sebagai fungsi rasional}_rasional ..

Contoh 4

Contoh 4. Fungsi yang diberikan oleh persamaan. Fungsi yang diberikan oleh persamaan yy == xx33

₋

33xx22+ 2+ 2xx mer

merupaupakkan an polinpolinom om berdberderajaerajat t 3 3 (at(atau au ‘pol‘polinoinom m kubkubik’)ik’). . GraGraﬁk ﬁk funfungsi gsi ini ini dapdapatat diliha

dilihat t dalam Gambadalam Gambar r 6.6. 6.6. PerPerhatikhatikan an bahbahwa graﬁk wa graﬁk memomemotong sumbu-tong sumbu-xx pada tigapada tiga buah titik (yang merupakan akar persamaan kubik

buah titik (yang merupakan akar persamaan kubik xx33

₋

33xx22+ 2+ 2xx = 0).= 0).

Gamb

Gambar ar 6.66.6 _{Graﬁk fungsi yy =}_{Graﬁk fungsi} _{= x}_x33

₋

_33x_x22 _{+ 2}_{+ 2x}_x Contoh 5

Contoh 5. Fungsi yang diberikan oleh persamaan. Fungsi yang diberikan oleh persamaan yy == xx 2 2_{+ 4}_{+ 4} x x22

−

44 merupakan polinom rasional. Daerah asalnya adalah

merupakan polinom rasional. Daerah asalnya adalah

_{{

xx :: xx

_

==

_±

22

_}}

. Graﬁknya dapat. Graﬁknya dapat dilihat dalam Gambar 6.7.

(8)

Gamb

Gambar ar 6.76.7 _{Graﬁk fungsi yy =}_{Graﬁk fungsi} ₌ xx22+4+4

x x22

−

44 Soal Latihan Soal Latihan 1.

1. TTententukukan daerah nilai an daerah nilai fungsfungsi i polinompolinom yy = 4= 4xx

₋

44xx22 _{dan sketsalah graﬁknya.}_{dan sketsalah graﬁknya.}

2.

2. TTentukentukan daerah asal fungsi rasionalan daerah asal fungsi rasional yy == 11

−

xx 1+

1+xx dan sketsalah graﬁknya.dan sketsalah graﬁknya.

6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers 6.3 Operasi pada Fungsi; Fungsi Invers

Jika

Jika H H

_⊆

RR_{,, f,}_{f, gg :: H}_H

_→

RR_{, dan}_{, dan λ}_λ

_∈∈

RR_{, maka kita deﬁnisikan}_{, maka kita deﬁnisikan f}_{f +}_{+ gg dan}_{dan λf}_λf

sebagai fungsi yang memenuhi aturan sebagai fungsi yang memenuhi aturan

((f f ++ gg)()(xx) :) :== f f ((xx) +) + gg((xx)), , xx

_∈∈

H H ;; ((λf λf )()(xx) :=) := λf λf ((xx)), , xx

_∈∈

H.H. Selain itu

Selain itu kita deﬁnisikkita deﬁnisikan an pulapula ffgg dandan ff /g/g sebagaisebagai

((ff gg)()(xx) :) :== f f ((xx))gg((xx)), , xx

_∈∈

H H ;; ((ff /g/g)()(xx) :=) := f f ((xx))/g/g((xx)), , xx

_∈∈

H, H, gg((xx))

_

= = 00.. Sebagai contoh, jika

Sebagai contoh, jika f f dandan gg adalah polinom, makaadalah polinom, maka ff /g/g merupakan fungsi rasional.merupakan fungsi rasional. Misalkan

Misalkan A,A, BB

_⊆

RR_{,, gg :: A}_A

_→

_B_{B, dan}_{, dan f}_{f :: B}_B

_→

RR_{. . Mak}_{Maka kita}_{a kita deﬁnis}_deﬁnisik_{ikan fungsi}_{an fungsi}

komposisi

komposisi f f

_◦◦

gg :: AA

_→

RR _sebagai_sebagai

(9)

Perhatikan bahwa untuk tiap

Perhatikan bahwa untuk tiap xx

_∈∈

AA x

x

_→

_→

gg((xx))

_→

_→

f f ((gg((xx)))).. Di sini fungsi

Di sini fungsi gg beroperasi terlebih dahulu terhadapberoperasi terlebih dahulu terhadap xx, baru kemudian fungsi, baru kemudian fungsi f f berop- berop-erasi terhadap

erasi terhadap gg((xx).). Contoh 6

Contoh 6. Misalkan. Misalkan f f ::RR

_→

RR _{dideﬁnisikan sebagai}_{dideﬁnisikan sebagai}

f f ((xx) =) = xx 2 2

−

11 x x22_{+ 1}_{+ 1}, , xx

∈∈

RR,, dan

dan gg ::RR

_→

gg((xx) =) = xx22.. Maka

Maka f f

_◦◦

gg ::RR

_→

RR _{adalah fungsi}_{adalah fungsi denga}_dengan_{n atura}_aturan_n

((f f

_◦◦

gg)()(xx) =) = f f ((gg((xx)) =)) =

{{

gg((xx))

}}

2 2

−

11

{{

gg((xx))

_}}

22_{+ 1}_{+ 1} == x x44

−

11 x x44 _{+ 1}_{+ 1}.. Misalkan

Misalkan AA dandan BB adalah himpunan danadalah himpunan dan f f adalah fungsi dariadalah fungsi dari AA keke BB. Ini berarti. Ini berarti bahwa bahwa

bahwa bahwa setiapsetiap anggotaanggota aa

_∈∈

AA mempunyai sebuah petamempunyai sebuah peta tunggaltunggal bb == f f ((aa))

_∈∈

BB.. Kita sebut

Kita sebut f f

−

11 _fungsi_{fungsi invers}_{invers dari}_{dari f}_{f apabila}_{apabila f}_f

₋

11 _{merupakan fungsi dari}_{merupakan fungsi dari B}_{B ke}_{ke A}_{A dengan}_dengan

sifat sifat

x

x == f f

−

11((yy) jika dan hanya jika) jika dan hanya jika yy == f f ((xx)).. Tidak semua fungsi mempun

Tidak semua fungsi mempunyai fungsi inversyai fungsi invers. . Dari deﬁnisi di Dari deﬁnisi di atas jelas bahwaatas jelas bahwa f

f :: AA

_→

BB mempunyai fungsi inversmempunyai fungsi invers f f

−

11 :: BB

_→

AA jika dan hanya jikajika dan hanya jika setiapsetiap bb

_∈∈

BB merupakan peta dari sebuah anggota

merupakan peta dari sebuah anggota tunggaltunggal aa

_∈∈

AA. . FFungsi dengaungsi dengan sifat ini n sifat ini disebudisebutt sebagai suatu

sebagai suatu korespondensi korespondensi 11

₋

1 antara1 antara AA dandan BB.. Secara geometris,

Secara geometris, f f :: AA

_→

BB merupakan korespondensi 1merupakan korespondensi 1

₋

1 antara1 antara AA dandan B

B jika dan hanya jika setiap garis vertikal yang memotongjika dan hanya jika setiap garis vertikal yang memotong AA juga juga memomemotong tong graﬁkgraﬁk f

f tepat pada sebuah titiktepat pada sebuah titik dandan setiap garis horisontal yang memotongsetiap garis horisontal yang memotong BB juga akanjuga akan memotong graﬁk

memotong graﬁk f f tepat pada sebuah titiktepat pada sebuah titik. . KondiKondisi psi pertaertama memastima memastikakan bahwan bahwa f

f merumerupakpakan an fungsifungsi, , semesementantara ra konkondisi disi kedkedua ua memamemastikstikan an bahbahwawa f f

−

11 _merupakan_merupakan

fungsi. Lihat Gambar 6.8 di bawah ini. fungsi. Lihat Gambar 6.8 di bawah ini. Contoh 7

Contoh 7. . FFungungsisi f f ((xx) ) ==

√

xx merupakan korespondensi 1merupakan korespondensi 1

₋

1 antara [01 antara [0,,

_∞

) dan) dan [0

[0,,

_∞

). Fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu). Fungsi ini mempunyai fungsi invers, yaitu f

(10)

Gamb

Gambar ar 6.86.8 _{Korespondensi 1}_{Korespondensi 1}

₋

₁₁

Soal Latihan Soal Latihan

1.

1. MisalkMisalkanan f f : : [0[0,, 1]1]

_→

[0[0,, 1] dideﬁnisikan sebagai1] dideﬁnisikan sebagai f

f ((xx) =) = 11

−

xx 1 +

1 + xx,, 00

≤

xx

≤

11,, dan

dan gg : : [0[0,, 1]1]

_→

[0[0,, 1] dideﬁnisikan sebagai1] dideﬁnisikan sebagai

gg((xx) = ) = 44xx

₋

44xx22,, 00

_≤

xx

_≤

11.. T

Tentukentukan an aturan aturan untukuntuk f f

_◦◦

gg dandan gg

_◦◦

f f . Apakah mereka sama?. Apakah mereka sama? 2.

2. UntuUntuk fungsik fungsi f f dandan gg pada Soal 1, tunjukkan bahwapada Soal 1, tunjukkan bahwa f f

−

11 _{ada sedangkan}_{ada sedangkan gg}

₋

11

tidak ada.

tidak ada. TTentukentukan aturan untukan aturan untuk f f

−

11.. 3.

3. DikeDiketahtahuiui gg :: AA

_→

B merupakan suatu korespondensi 1B merupakan suatu korespondensi 1

₋

1 antara1 antara AA dandan BB.. Buktikan bahwa (

Buktikan bahwa (gg

−

11

◦◦

gg)()(xx) =) = xx untuk tiapuntuk tiap xx

_∈∈

AA dan (dan (gg

_◦◦

gg

−

11₎₍_{)(yy) =}_{) = yy untuk}_untuk

tiap

tiap yy

_∈∈

BB..

6.4 Fungsi Terbatas 6.4 Fungsi Terbatas

Misalkan

Misalkan f f terdeﬁnisi padaterdeﬁnisi pada H H . Kita katakan bahwa. Kita katakan bahwa f f terbatas di atasterbatas di atas padapada H H oleh suatu batas atas

oleh suatu batas atas M M apabila untuk tiapapabila untuk tiap xx

_∈∈

H H berlakuberlaku f

(11)

Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan Ini setara dengan mengatakan bahwa himpunan

f

f ((H H ) =) =

_{{

f f ((xx) ) :: xx

_∈∈

H H

_}}

terbatas di atas oleh

terbatas di atas oleh M M .. Jika

Jika f f terbatas di atas padaterbatas di atas pada H H , maka menurut Sifat Kelengkapan, maka menurut Sifat Kelengkapan f f ((H H ) mem-) mem-punyai suprem

punyai supremum. um. MisalkanMisalkan B

B = sup= sup

x

_∈

H H f f ((xx) = sup) = sup f f ((H H ))..

Secara umum, belum tentu terdapat

Secara umum, belum tentu terdapat cc

_∈∈

H H sehinggasehingga f f ((cc) ) == BB. . JikJika terdapaa terdapatt cc

_∈∈

H H sehingga

sehingga f f ((cc) ) == BB, maka, maka BB disebut sebagai nilaidisebut sebagai nilai maksimum maksimum f f padapada H H dan nilaidan nilai maksimum ini

maksimum ini tercapai tercapai didi cc. Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.9 di bawah ini.. Untuk ilustrasi, lihat Gambar 6.9 di bawah ini.

Gamb

Gambar ar 6.96.9 _{Fungsi terbatas dan nilai maksimumnya}_{Fungsi terbatas dan nilai maksimumnya}

Deﬁnis

Deﬁnisi i fungsifungsi terbatas di bawah terbatas di bawah dan nilaidan nilai minimum minimum dapat dirumuskan secaradapat dirumuskan secara ser

serupaupa. . JikJikaa f f terterbatbatas as di di ataatas s dan juga dan juga di di babawawah h padpada a himhimpunpunanan H H , , makmakaa f f dikatakan

dikatakan terbatasterbatas padapada H H . . MenMenuruurut Propot Proposissisi 2 i 2 padpada Bab 1,a Bab 1, f f terbatas padaterbatas pada H H jika dan hanya jika terdapat

jika dan hanya jika terdapat K K >> 0 sedemikian sehingga untuk tiap0 sedemikian sehingga untuk tiap xx

_∈∈

H H berlakuberlaku

||

f f ((xx))

_{| ≤}

K.K. Contoh 8

Contoh 8. Misalkan. Misalkan f f : : (0(0,,

_∞

))

_→

f

f ((xx) =) = 11 x

(12)

F

Fungsi ini ungsi ini terbatas di bawah pada (0terbatas di bawah pada (0,,

_∞

) dan inf ) dan inf

x>

x>00f f ((xx) = 0, namun) = 0, namun f f tidak mempunyaitidak mempunyai

nilai minimum. Perhatikan pula bahwa

nilai minimum. Perhatikan pula bahwa f f tidak terbatas di atas pada (0tidak terbatas di atas pada (0,,

_∞

).). Contoh 9

Contoh 9. Misalkan. Misalkan f f : : [0[0,, 1]1]

_→

[0[0,, 1] dideﬁnisikan oleh1] dideﬁnisikan oleh f

f ((xx) = ) = 11

₋

x.x. Fungsi ini terbatas pada [0

Fungsi ini terbatas pada [0,, 1], mencapai nilai maksimumnya (yaitu 1) di 0, dan juga1], mencapai nilai maksimumnya (yaitu 1) di 0, dan juga mencapai nilai minimumnya (yaitu 0) di 1.

mencapai nilai minimumnya (yaitu 0) di 1. Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. SelidikSelidiki apaki apakahah f f : : [0[0,, 1]1]

_→

[0[0,, 1] yang dideﬁnisikan sebagai1] yang dideﬁnisikan sebagai f

f ((xx) =) = 11

−

xx 1 +

1 + xx,, 00

≤

xx

≤

11,,

terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. 2.

2. SelidikSelidiki apaki apakahah gg : : [0[0,, 1]1]

_→

[0[0,, 1] yang dideﬁnisikan sebagai1] yang dideﬁnisikan sebagai gg((xx) = ) = 44xx

₋

44xx22,, 00

_≤

xx

_≤

11.. terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. terbatas serta mencapai nilai maksimum dan minimumnya. 3.

3. TTunjukkan bahwaunjukkan bahwa f f ((xx) ) == ₁₊_1+x11_x22 terbatas padaterbatas pada RR. . ApApakakahah f f mencapai nilaimencapai nilai

maksimum dan minimumnya? maksimum dan minimumnya? 4.

4. MisalkMisalkanan f f dandan gg terbatas di atas padaterbatas di atas pada H H dandan aa

_∈∈

RR_{. Buktikan bahwa}_{. Buktikan bahwa}

••

supsup x x

_∈

H H

{{

a a ++ f f ((xx))

_}}

== aa + sup+ sup x x

_∈

H H f f ((xx).).

••

supsup x x

_∈

H H

{{

f f ((xx) +) + gg((xx))

_}

_{} ≤}

_≤

supsup x x

_∈

H H f f ((xx) + sup) + sup x x

_∈

H H gg((xx).).

Beri contoh bahwa kesamaan tidak harus berlaku. Beri contoh bahwa kesamaan tidak harus berlaku.

(13)

7.

7. LIMIT DAN KEKLIMIT DAN KEKONTINONTINUANUAN

7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik 7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik

Diberikan sebuah fungsi yang terdeﬁnisi pada interval (

Diberikan sebuah fungsi yang terdeﬁnisi pada interval (a,a, bb) kecuali mungkin di) kecuali mungkin di sebuah titik

sebuah titik cc

_∈∈

((a,a, bb), kita tertarik untuk mengamati nilai), kita tertarik untuk mengamati nilai f f ((xx) untuk) untuk xx di sekitardi sekitar cc. . KhuKhususnsusnya, kitya, kita bertana bertanya: ya: apakapakahah f f ((xx) menuju suatu bilangan tertentu bila) menuju suatu bilangan tertentu bila xx menuju

menuju cc? Berikut ini adalah deﬁnisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan,? Berikut ini adalah deﬁnisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik.

di suatu titik. Misalkan

Misalkan f f terdeﬁnisi pada interval (terdeﬁnisi pada interval (a,a, cc) dan) dan LL

_∈∈

RR_{. . Kita ka}_{Kita katak}_{takan bahw}_{an bahwaa f}_f

menuju

menuju LL bilabila xx menuju menuju cc dari kiri dari kiri , dan kita tulis, dan kita tulis f f ((xx))

_→

LL bilabila xx

_→

cc

−

atau atau lim lim x x

_→

cc−−f f ((xx) =) = L,L,

apabila untuk setiap

apabila untuk setiap   >> 0 terdapat0 terdapat δ δ >> 0 sedemikian sehingga0 sedemikian sehingga jika

jika cc

₋

δ < x < c,δ < x < c, makamaka

_||

f ((xf x))

₋

LL

_||

< .< . Misalkan

Misalkan f f terdeﬁnisi pada interval (terdeﬁnisi pada interval (c,c, bb) dan) dan M M

_∈∈

RR_{. . Kita kat}_{Kita katak}_{akan bahwa}_{an bahwa f}_f

menuju

menuju M M bilabila xx menuju menuju cc dari kanan dari kanan , dan kita tulis, dan kita tulis f f ((xx))

_→

M M bilabila xx

_→

cc++ atau atau lim lim x x

_→

cc++f f ((xx) =) = M,M,

apabila untuk setiap   >> 0 terdapat0 terdapat δ δ >> 0 sedemikian sehingga0 sedemikian sehingga jika

(14)

Gamb

Gambar ar 7.17.1 _{Limit Kiri f}_{Limit Kiri}_{f di}_{di cc}

Bilangan

Bilangan LL dandan M M disebut sebagaidisebut sebagai limit kiri limit kiri dandan limit kanan limit kanan daridari f f didi cc. Nilai. Nilai

||

f f ((xx))

₋

LL

_||

(atau(atau

_||

f ((xf x))

₋

M M

_||

) menyatakan jarak antara) menyatakan jarak antara f f ((xx) dan) dan LL (atau jarak antara(atau jarak antara f

f ((xx) dan) dan M M ), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri), yang dapat kita interpretasikan sebagai kesalahan dalam menghampiri nilai

nilai LL atauatau M M dengandengan f f ((xx) (atau sebaliknya menghampiri nilai) (atau sebaliknya menghampiri nilai f f ((xx) dengan) dengan LL atauatau M

M ). ). KesalaKesalahan ini han ini dapat dibuat sekecdapat dibuat sekecil il yanyang g kita kehendkita kehendaki dengan cara aki dengan cara mengmengambambilil x

x sedekat-dekatnya kesedekat-dekatnya ke cc dari kiri atau kanan.dari kiri atau kanan. Contoh 1

_→

RR _{adalah fungsi yang dideﬁnisikan sebagai}_{adalah fungsi yang dideﬁnisikan sebagai}

f f ((xx) =) =



11

−

_22xx, x, x_x,_{, x}_{x >}x

≤

_{> 11..}1;1; Maka, Maka, lim lim x x

_→

11−−f f ((xx) ) = = 0 d0 dan an li_x_xlimm

→

11++f f ((xx) = ) = 22..

Perhatikan bahwa nilai

Perhatikan bahwa nilai f f (1) terdeﬁnisi, yakni(1) terdeﬁnisi, yakni f f (1) = 0.(1) = 0. Misalkan

Misalkan f f terdeﬁnisi pada interval (terdeﬁnisi pada interval (a,a, bb) kecuali mungkin di titik) kecuali mungkin di titik cc

_∈∈

((a,a, bb),), dan

dan LL

_∈∈

RR_{. Kita katakan bahwa}_{. Kita katakan bahwa f}_{f menuju}_{menuju ke}_{ke L}_{L bila}_{bila x}_{x menuju}_{menuju cc, dan kita tuliskan}_{, dan kita tuliskan}

f f ((xx))

_→

LL bilabila xx

_→

cc atau atau lim lim x x

_→

ccf f ((xx) =) = L,L,

(15)

apabila untuk setiap   >> 0 terdapat0 terdapat δ δ >> 0 sedemikian sehingga0 sedemikian sehingga jika 0

jika 0 <<

_||

xx

₋

cc

_||

< δ,< δ, makamaka

_||

f f ((xx))

₋

LL

_||

< .< . Dalam hal ini, bilangan

Dalam hal ini, bilangan LL disebut sebagaidisebut sebagai limit limit f f didi cc, dan, dan f f dikatakandikatakan mempunyai mempunyai limit

limit LL didi cc..

Gamb

Gambar ar 7.27.2 _Limit_{Limit f}_{f di}_{di cc}

Perhatikan bahwa kondisi 0

Perhatikan bahwa kondisi 0 <<

_||

xx

₋

cc

_||

< δ< δ setara dengansetara dengan

₋

δ δ < x< x

₋

c < δ, xc < δ, x

_

== cc.. Jadi, 0

Jadi, 0 <<

_||

xx

₋

cc

_||

< δ< δ jika dan hanya jikajika dan hanya jika xx memenuhi salah satu dari dua pertaksamaanmemenuhi salah satu dari dua pertaksamaan berikut:

berikut:

cc

₋

δ < x < cδ < x < c atauatau c < x < cc < x < c ++ δ.δ. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai proposisi berikut. Proposisi 2

Proposisi 2. lim. lim

x

_→

ccf f ((xx) =) = LL jika dan hanya jika jika dan hanya jika limxxlim

_→

cc−−f f ((xx) =) = LL dan dan lim_x_xlim

_→

_cc++f f ((xx) =) = LL..

Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena Menurut Proposisi 2, fungsi pada Contoh 1 tidak mempunyai limit di 1 karena limit kiri dan limit kanannya tidak sama.

limit kiri dan limit kanannya tidak sama. Contoh 3

Contoh 3. Misalkan. Misalkan f f ((xx) =) = xx_x_x22

−

11

−

11 . . FFungsi ini terdeﬁnungsi ini terdeﬁnisi pada (isi pada (

−∞

,, 1) dan juga pada1) dan juga pada

(1

(1,,

_∞

). Bila kita tinjau nilai). Bila kita tinjau nilai f f ((xx) untuk) untuk x x << 1, maka kita dapatkan bahwa1, maka kita dapatkan bahwa f

f ((xx))

_→

2 bila2 bila xx

_→

11

−

.. Bila kita amati nilai

Bila kita amati nilai f f ((xx) untuk) untuk x x >> 1, maka kita dapatkan bahwa1, maka kita dapatkan bahwa f

(16)

Jadi, limit kiri dari

Jadi, limit kiri dari f f didi cc sama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu limsama dengan limit kanannya, yaitu 2. Karena itu lim

x

_→

ccf f ((xx) =) =

2. (Perhatikan bahwa pada contoh ini,

2. (Perhatikan bahwa pada contoh ini, f f tidak terdeﬁnisi di 1.)tidak terdeﬁnisi di 1.) Proposisi 4

Proposisi 4. (i) lim. (i) lim

x x

_→

cckk == kk (ii) lim (ii) lim x x

_→

ccxx == cc.. Bukti

Bukti . . (i) (i) DibeDiberikrikanan   >> 0, pilih0, pilih δ δ >> 0 sem0 sembarbarangang. . JikJika 0a 0 <<

_||

xx

₋

cc

_||

< < δδ, maka, maka

||

kk

₋

kk

_||

= 0= 0 < < . Ini membuktikan bahwa lim. Ini membuktikan bahwa lim

x

_→

cckk == kk..

(ii) Diberikan

(ii) Diberikan   >> 0, pilih0, pilih δδ == . . JiJikka 0a 0 <<

_||

xx

₋

cc

_||

< < δδ, maka, maka

_||

xx

₋

cc

_||

< < δδ == . . IInini membuktikan bahwa lim

membuktikan bahwa lim

x

_→

ccxx == cc..

1.

1. MisalkMisalkanan nn

_∈∈

NN_{. . Buktikan,}_{Buktikan, dengan}_{dengan menggunak}_{menggunakan d}_{an deﬁnisi, bahw}_{eﬁnisi, bahwa}_{a lim}_lim

x x

_→

00++xx

1

1/n/n _{= 0.}_{= 0.}

2.

2. MisalkMisalkanan f f :: RR

_→

RR _{adalah fungsi yang dideﬁnisikan sebagai}_{adalah fungsi yang dideﬁnisikan sebagai}

f f ((xx) =) =







22xx, , x x << 1;1; 11, , xx = 1= 1 33

₋

xx, , x x >> 11.. Buktikan, dengan menggunakan deﬁnisi, bahwa Buktikan, dengan menggunakan deﬁnisi, bahwa

lim lim x x

_→

11−−f f ((xx) ) = = 2 d2 daan n li_x_xlimm

→

11++f f ((xx) = ) = 22.. Simpulkan bah

Simpulkan bahwa wa limlim

x

_→

11f f ((xx) = 2.) = 2.

3.

3. BuktikBuktikan, dengan menggunaan, dengan menggunakakan n deﬁnideﬁnisi, bahwa si, bahwa limlim

x

_→

cc px px ++ qq == pcpc ++ qq..

4.

4. BuktikBuktikan liman lim

x

_→

ccf f ((xx) = 0 jika dan hanya jika lim) = 0 jika dan hanya jika limxx

_→

cc

||

f f ((xx))

||

= = 0.0.

5.

5. BuktikBuktikan jikan jika a limlim

x

_→

ccf f ((xx) =) = L >L > 0, maka terdapat0, maka terdapat δ δ >> 0 0 sehingsehinggaga f f ((xx)) >> 0 untuk0 untuk

cc

₋

δ < x < cδ < x < c ++ δ, δ, xx

_

== cc..

7.2 Kekontinuan di Suatu Titik 7.2 Kekontinuan di Suatu Titik

Dalam deﬁnisi lim Dalam deﬁnisi lim

x

_→

ccf f ((xx), nilai), nilai f f didi cc sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanyasama sekali tidak diperhatikan. Kita hanya

tertarik dengan nilai

(17)

saja

saja f f mempunyai limitmempunyai limit LL didi cc sekalipunsekalipun f f tidak terdefinisi di titiktidak terdefinisi di titik cc. . DalDalam haam hall f f terdefinisi di

terdeﬁnisi di cc, dapat terjadi, dapat terjadi f f ((cc))

_

== LL.. Misalkan

Misalkan f f terdeterdeﬁnisi pada ﬁnisi pada ((a,a, bb) dan) dan cc

_∈∈

((a,a, bb). Kita katakan bahwa). Kita katakan bahwa f f kontinu kontinu di titik

di titik cc jika dan hanya jikajika dan hanya jika

lim lim

x

_→

ccf f ((xx) =) = f f ((cc))..

Berdasark

Berdasarkan Proposisi an Proposisi 2,2, f f kontinu dikontinu di cc jika dan hanya jika untuk setiapjika dan hanya jika untuk setiap   >> 0 terdapat0 terdapat δ

δ >> 0 sedemikian sehingga jika0 sedemikian sehingga jika

_||

xx

₋

cc

_||

< δ< δ , maka, maka

||

f f ((xx))

₋

f f ((cc))

_||

< .< . Secara intuitif,

Secara intuitif, f f kontinu dikontinu di cc berartberarti i graﬁk fungsigraﬁk fungsi f f tidak ‘terputus’ ditidak ‘terputus’ di cc..

Seperti halnya limit sepihak, kita juga mempunyai deﬁnisi kekontinuan sepihak. Seperti halnya limit sepihak, kita juga mempunyai deﬁnisi kekontinuan sepihak. Jika

Jika f f terdeﬁnisi pada (terdeﬁnisi pada (a,a, cc] ] dadan n limlim

x

_→

cc−−f f ((xx) =) = f f ((cc), maka kita katakan bahwa), maka kita katakan bahwa f f kontinu kontinu

kiri

kiri didi cc. Jika. Jika f f terdeﬁnisi pada [terdeﬁnisi pada [c,c, bb) ) dadan n limlim

x

_→

cc++f f ((xx) =) = f f ((cc), maka kita katakan bahwa), maka kita katakan bahwa

f

f kontinu kanan kontinu kanan didi cc..

Gamb

Gambar ar 7.37.3 _{Fungsi Kontinu di Suatu Titik}_{Fungsi Kontinu di Suatu Titik}

Contoh 5

Contoh 5. (i) Untuk setiap. (i) Untuk setiap nn

_∈∈

NN_{, fungsi}_{, fungsi f}_f ((x_{x) =}_{) = x}_x11/n/n _{kontinu kanan di 0.}_{kontinu kanan di 0.}

(ii) Fungsi

(ii) Fungsi f f ((xx) =) = pxpx ++ qq kontinu di setiap titik.kontinu di setiap titik. Teorema 6

Teorema 6.. Misalkan Misalkan f f terdeﬁnisi pada terdeﬁnisi pada ((a,a, bb)) kecuali mungkin di kecuali mungkin di cc

_∈∈

((a,a, bb)). . MakMaka,a, lim

lim

x

_→

ccf f ((xx) ) == LL jika dan hanya jika, untuk setiap barisan jika dan hanya jika, untuk setiap barisan



xxnn



di di ((a,a, bb)) dengan dengan xxnn



==

cc ((nn

_∈∈

NN_{) dan}_{) dan lim}_lim

n

(18)

Catatan

Catatan_{. Jika}_{. Jika f}_{f kontinu di}_{kontinu di cc, maka}_{, maka L}_{L =}_{= f}_{f ((cc) dan Teorema 6 menyatakan bahwa}_{) dan Teorema 6 menyatakan bahwa} lim

lim

n

_→∞

f f ((xxnn) =) = f f



nnlimlim

_→∞

xxnn



;;

yakni, limit dapat ‘bertukar’ dengan

yakni, limit dapat ‘bertukar’ dengan f f . . HasHasil serupil serupa a berlberlaku untaku untuk limit kiri danuk limit kiri dan limit kanan.

limit kanan.

Dengan menggunakan Teorema 6, kekontinuan

Dengan menggunakan Teorema 6, kekontinuan f f ((xx) ) == pxpx ++ qq di sebarang titikdi sebarang titik cc

_∈∈

RR _{dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan}_{dapat dibuktikan sebagai berikut. Misalkan}

_

_x_x_n_n

_

_{adalah sebarang barisan yang}_{adalah sebarang barisan yang}

konvergen ke

konvergen ke cc. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3,. Maka, menurut Proposisi 5 pada Bab 3, f

f ((xxnn) =) = pxpxnn++ qq

→

pcpc ++ qq == f f ((cc)),, untukuntuk nn

→

→ ∞

∞

..

Menurut akibat dari Teorema 6,

Menurut akibat dari Teorema 6, f f kontinu dikontinu di cc.. Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. BuktikBuktikan Teoran Teorema 6.ema 6. 2.

2. BuktikBuktikan bahwaan bahwa f f ((xx) =) =

√

xx kontinu di setiapkontinu di setiap c >c > 0.0. 3.

3. BuktikBuktikan bahwaan bahwa f f ((xx) =) =

_||

xx

_||

kontinu di setiap titik.kontinu di setiap titik. 4.

4. MisalkMisalkanan f f terdeﬁnisi pada (terdeﬁnisi pada (a,a, bb) dan kontinu di suatu titik) dan kontinu di suatu titik cc

_∈∈

((a,a, bb). Buktikan). Buktikan jika

jika f f ((cc)) >> 0, maka terdapat0, maka terdapat δ δ >> 0 0 sehingsehinggaga f f ((xx)) >> 0 untuk0 untuk xx

_∈∈

((cc

₋

δ,δ, cc ++ δδ).). 5.

5. KonstKonstruksi sebuaruksi sebuah fungsih fungsi f f ::RR

_→

RR _yang_{yang kontin}_kontinu_{u hanya}_{hanya di sebuah titik.}_{di sebuah titik.}

7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan 7.3 Sifat-sifat Limit dan Kekontinuan Proposisi 7

Proposisi 7.. Misalkan Misalkan f f dan dan gg terdeﬁnisi pada interval terdeﬁnisi pada interval ((a,a, bb)) kecuali mungkin di kecuali mungkin di cc

_∈∈

((a,a, bb)). Misalkan . Misalkan limlim

x

_→

ccf f ((xx) =) = LL dan dan limxxlim

_→

ccgg((xx) =) = M M , dan , dan λ,λ, µµ

∈∈

RR. Maka . Maka

(i) lim (i) lim x x

_→

cc[[λf λf ((xx) +) + µgµg((xx)] =)] = λLλL ++ µM µM ;; (ii) lim (ii) lim x x

_→

ccf f ((xx))gg((xx) =) = LM LM ;; (iii) lim (iii) lim x x

_→

cc f f ((xx)) g g((xx)) == L L M M ,, asalkan asalkan M M



= = 0.0. Akibat 8

Akibat 8.. Jika Jika f f dan dan gg kontinu di kontinu di cc, maka , maka λf λf ++ µg, fgµg, fg, dan , dan f f _g_g kontinkontinu u di di cc (asalkan (asalkan gg((cc))

_

= 0= 0).).

(19)

Akibat 9

Akibat 9.. FFungsi poliungsi polinom nom kontikontinu nu di di setiasetiap p titik. titik. FFungsi rasiungsi rasional kontinu di onal kontinu di setiasetiapp titik dalam daerah asalnya.

titik dalam daerah asalnya. Bukti

Bukti . . MenMenurut Prourut Proposisi 4,posisi 4, f f ((xx) ) == kk dandan gg((xx) ) == xx kontinu di sebarang titikkontinu di sebarang titik cc

_∈∈

RR_..

Menurut Proposisi 7(ii),

Menurut Proposisi 7(ii), hh((xx) =) = xxii _{kontinu di sebarang titik}_{kontinu di sebarang titik cc}

∈∈

RR_{, untuk tiap}_{, untuk tiap ii}

_∈∈

NN_..

Akibatnya, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom Akibatnya, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom

p

p((xx) =) = aannxxnn++ aann

₋

11xxnn

−

11 ++

·· ·· ··

++ aa11xx ++ aa00

kontinu di setiap titik

kontinu di setiap titik cc

_∈∈

RR_{. . Untu}_Untuk_{k mem}_membuktik_buktikan_{an kek}_kekont_ontinua_inuan_{n fungs}_{fungsi i rasio}_{rasional di}_{nal di}

setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 7(iii). setiap titik dalam daerah asalnya, kita perlu menggunakan Proposisi 7(iii). Teorema 10

Teorema 10. Jika. Jika gg kontinu dikontinu di cc dandan f f kontinu dikontinu di gg((cc), maka), maka f f

_◦◦

gg kontinu padakontinu pada cc.. Bukti

Bukti . . AmAmbilbil   >> 0 sebar0 sebarang. ang. KarenKarenaa f f kontinu dikontinu di bb :=:= gg((cc), maka terdapat), maka terdapat δ δ >> 00 sedemikian sehingga

sedemikian sehingga

||

f f ((yy))

₋

f f ((bb))

_||

< <  untuk

untuk

_||

yy

₋

bb

_||

< δδ. . Selan< Selanjutnjutnya, kya, karenaarena gg kontinu dikontinu di cc, kita dapat memilih, kita dapat memilih γ γ >> 00 sedemikian sehingga

sedemikian sehingga

||

gg((xx))

₋

gg((cc))

_||

< δ< δ untuk

untuk

_||

xx

₋

cc

_||

< γ < γ . . AkibatAkibatnynya, jikaa, jika

_||

xx

₋

cc

_||

< < γ γ , maka, maka

_||

gg((xx))

₋

bb

_||

==

_||

gg((xx))

₋

gg((cc))

_||

< < δδ,, sehingga

sehingga

||

f f

_◦◦

gg((xx))

₋

f f

_◦◦

gg((cc))

_||

==

_||

f f ((gg((xx))))

₋

f f ((bb))

_||

< .< . Ini berarti bahwa

Ini berarti bahwa f f

_◦◦

gg kontinu dikontinu di cc.. Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. BuktikBuktikan Proposisi 7.an Proposisi 7. 2.

2. BerikBerikan contoh fungsian contoh fungsi f f dandan gg dendengan gan limlim

x

_→

00f f ((xx) tida) tidak ada, k ada, limxxlim

_→

00gg((xx) ada, dan) ada, dan

lim lim

x

_→

00f f ((xx))gg((xx) ) ada. ada. ApakApakah ini ah ini bertenbertentangatangan n dengadengan n ProposiProposisi si 7(ii) atau 7(iii)?7(ii) atau 7(iii)?

3.

3. BenBenar ataar atau salahu salah: : JikJika a limlim

x

_→

ccgg((xx) ) == LL dadan n limyylim

_→

LLf f ((yy) ) == M M , maka lim, maka limxx

_→

ccf f ((gg((xx)) )) ==

M M ?? 4.

4. BuktikBuktikan jikan jika a limlim

x

_→

ccgg((xx) =) = LL dandan f f kontinu dikontinu di LL, maka lim, maka limxx

_→

ccf f ((gg((xx)) =)) = f f ((LL).).

5.

5. KitKita kaa kataktakan bahan bahwa wa limlim

x

_→

cc++f f ((xx) ) = = ++

∞

apabila, untuk setiapapabila, untuk setiap M M >> 0 terdapat0 terdapat

δ

δ >> 0 sehingga0 sehingga f f ((xx)) > M > M untukuntuk c < x < cc < x < c++δδ. . BuktiBuktikakan n bahbahwa wa limlim

x x

_→

00++ 1 1

√

_x_x = += +

_∞

..

(20)

8.

8. FUNGSI FUNGSI KONTINU PKONTINU PADA IADA INTERNTERVVALAL

8.1 Kekontinuan pada Interval 8.1 Kekontinuan pada Interval

Secara geometris,

Secara geometris, f f kontinkontinu di u di suatu titik bsuatu titik b erarti bahwa graﬁknya tidak terputuserarti bahwa graﬁknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu,

di titik tersebut. Serupa dengan itu, f f kontinu pada suatu interval apabila graﬁknyakontinu pada suatu interval apabila graﬁknya tidak terputus pada interv

tidak terputus pada interval tersebut. al tersebut. Secara intuitif,Secara intuitif, f f kontinu pada suatu intervalkontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar graﬁk fungsi

apabila kita dapat menggambar graﬁk fungsi f f pada interval tersebut tanpa haruspada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas.

mengangkat pena dari kertas. Secara formal, sebuah fungsi

Secara formal, sebuah fungsi f f dikatakandikatakan kontinu kontinu pada suatu interval bukapada suatu interval buka I I jika dan hanya jika

jika dan hanya jika f f kontinu di setiap titik padakontinu di setiap titik pada I I . Fungsi. Fungsi f f dikatakandikatakan kontinu kontinu padapada interv

interval al tutuptutup I I = = [[a,a, bb] jika dan hanya jika] jika dan hanya jika f f kontinu di setiap titikkontinu di setiap titik cc

_∈∈

((a,a, bb), ), kontkontinuinu kanan di

kanan di aa, dan kontinu kiri di, dan kontinu kiri di bb..

Gamb

Gambar ar 8.18.1 _{Graﬁk fungsi kontinu pada interval buka}_{Graﬁk fungsi kontinu pada interval buka}

Contoh 1

_→

f

f ((xx) =) =



x, xx, 33 x

≤

1;1; 2

(21)

Perhatikan bahwa

Perhatikan bahwa f f kontinu di setiap titik kecuali dikontinu di setiap titik kecuali di cc = 1. Namun= 1. Namun f f kontinu kiri dikontinu kiri di cc = 1, dan karenanya= 1, dan karenanya f f kontinu pada interval [0kontinu pada interval [0,, 1]. Karena1]. Karena f f tidak kontinu kanan ditidak kontinu kanan di cc = 1, maka= 1, maka f f tidak kontinu pada interval [1tidak kontinu pada interval [1,, 2].2].

Gamb

Gambar ar 8.28.2 _{Graﬁk fungsi kontinu pada interval tutup}_{Graﬁk fungsi kontinu pada interval tutup}

Proposisi 2

Proposisi 2.. Misalkan Misalkan f f terdeﬁnisi pada suatu interval terdeﬁnisi pada suatu interval I I . . MakMaka,a, f f kontinu pada kontinu pada I I jika dan hanya jika, untuk setiap

jika dan hanya jika, untuk setiap xx

_∈∈

I I dan setiapdan setiap   >> 00 terdapat terdapat δ δ >> 00 sedemikian sedemikian sehingga

sehingga

||

f f ((xx))

₋

f f ((yy))

_||

< <  untuk

untuk yy

_∈∈

I I dengan dengan

_||

xx

₋

yy

_||

< δ< δ .. Contoh 3

Contoh 3. (i) Fungsi. (i) Fungsi f f ((xx) =) = pxpx ++ qq kontinu pada sebarang intervalkontinu pada sebarang interval I I .. (ii) Fungsi

(ii) Fungsi gg((xx) =) =

_||

xx

_||

kontinu pada sebarang intervalkontinu pada sebarang interval I I .. (iii) Fungsi

(iii) Fungsi hh((xx) =) =

√

xx kontinu pada sebarang intervalkontinu pada sebarang interval I I

_⊆

[0[0,,

_∞

).). Soal Latihan

Soal Latihan 1.

_→

f

f ((xx) =) =



22x,x, 00

≤

x <x < 1;1; 11,, 11

_≤

xx

_≤

55.. Selidiki apakah

Selidiki apakah f f kontinu di setiap titik pada interval [0kontinu di setiap titik pada interval [0,, 5]. Selidiki kekontinuan5]. Selidiki kekontinuan f

(22)

2.

2. Buktikan Buktikan bahwa bahwa fungsifungsi f f pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyaipada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.

nilai maksimum dan nilai minimum. 3.

3. MisalkMisalkanan K K >> 0 dan0 dan f f :: I I

_→

RR _{adalah fungsi yang memenuhi}_{adalah fungsi yang memenuhi}

||

f f ((xx))

₋

f f ((yy))

_{| ≤}

K K

_||

xx

₋

yy

_||

untuk setiap

untuk setiap x,x, yy

_∈∈

I I . Buktikan bahwa. Buktikan bahwa f f kontinu padakontinu pada I I ..

8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval 8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval

Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab 7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini.

7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini. Proposisi 4

Proposisi 4.. Misalkan Misalkan f f dan dan gg kontinu pada suatu interval kontinu pada suatu interval I I dan dan λ,λ, µµ

_∈∈

RR_._{. Ma}_Maka_ka

λf

λf ++µgµg dan dan ff gg kontinu pada kontinu pada I I . Juga, jika . Juga, jika gg((xx))

_

= 0= 0 untuk tiapuntuk tiap xx

_∈∈

I I , maka , maka f f _g_g kontinu kontinu pada

pada I I .. Contoh 5

Contoh 5. . (i) Setiap fungsi (i) Setiap fungsi polinom konpolinom kontinu pada sebarang intertinu pada sebarang intervaval.l. (ii) Setiap

(ii) Setiap fungsi rasional kontfungsi rasional kontinu pada inu pada sebarsebarang intervang interval al dalam daerah asalnydalam daerah asalnya. a. Se- Se-bagai contoh,

bagai contoh, f f ((xx) =) = 11_x_x kontinu pada (0,,kontinu pada (0

_∞

).). (iii) Fungsi

(iii) Fungsi f f ((xx) =) = xx++

√

xx kontinu pada sebarang intervalkontinu pada sebarang interval I I

_⊆

[0[0,,

_∞

), karena), karena f f 11((xx) =) = xx

dan

dan f f 22((xx) =) =

√

x kontinu pada sebarang intervalxkontinu pada sebarang interval I I

⊆

[0[0,,

∞

).).

Proposisi 6

Proposisi 6.. Misalkan Misalkan gg :: I I

_→

J J kontinu pada interval kontinu pada interval I I dan dan f f :: J J

_→

RR _kontinu_kontinu

pada interval

pada interval J J . Maka . Maka f f

_◦◦

gg kontinu pada kontinu pada I I .. Contoh 7

Contoh 7. (i) Fungsi. (i) Fungsi hh((xx) =) =

_||

1+1+ xx

_||

kontkontinu pada inu pada sebarang interval, karenasebarang interval, karena f f ((xx) =) =

_||

xx

_||

dan

dan gg((xx) = 1 +) = 1 + xx kontinu pada sebarang interval.kontinu pada sebarang interval. (ii) Fungsi

(ii) Fungsi hh((xx) =) = ₁₊11₁₊

−

√

xx_x_x kontinu pada sebarang intervalkontinu pada sebarang interval I I

_⊆

[0[0,,

_∞

).).

1.

1. Jelaskan mengaJelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang intervpa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval.al.

••

f f ((xx) =) = ₁₊₁₊11

(23)

••

gg((xx) =) =

√

1 +1 + xx22_..

2.

2. MisalkMisalkanan f f kontinu pada suatu intervalkontinu pada suatu interval I I dan untuk setiap bilangan rasionaldan untuk setiap bilangan rasional rr

_∈∈

I I berlakuberlaku f f ((rr) =) = rr22. Buktikan bahwa. Buktikan bahwa f f ((xx) =) = xx22 untuk setiapuntuk setiap xx

_∈∈

I I ..

3.

_→

[0,, 1] adalah fungsi[0 1] adalah fungsi kontraktif kontraktif , , yakyakni ni memememenuhnuhi i ketketak- ak-samaan

samaan

||

f f ((xx))

₋

f f ((yy))

_{| ≤}

C C

_||

xx

₋

yy

_||

, , xx, y, y

_∈∈

[0[0,, 1]1],, untuk suatu konstanta

untuk suatu konstanta C C dengan 0dengan 0 < < C C << 1. 1. KonstKonstruksi barisruksi barisanan

_

xxnn



dengandengan

x

x11

∈∈

I I dandan xxnn+1+1 == f f ((xxnn)), , nn

∈∈

NN. . BuktiBuktikakan bahwn bahwaa



xxnn



konvergen ke suatukonvergen ke suatu

L

_∈∈

[0[0,, 1], dan1], dan LL == f f ((LL).).

8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval 8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [

Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [ a,a, bb] yang tertutup dan] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak di

terbatas merupakan himpunan kompak di RR_{. . Sek}_{Sekarang kita ak}_{arang kita akan mempelajari keis-}_{an mempelajari}

keis-timewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [ timewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [ a,a, bb].]. Teorema 8

Teorema 8.. Misalkan Misalkan f f kontinu pada interval kontinu pada interval [[a,a, bb]]. Maka . Maka f f ([([a,a, bb])]) juga merupakan juga merupakan suatu interval kompak.

suatu interval kompak.

Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut. Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut. Teorema 9

Teorema 9.. Misalkan Misalkan f f kontinu pada suatu interval kontinu pada suatu interval I I . Maka daerah nilainya, yaitu . Maka daerah nilainya, yaitu f

f ((I I )), , juga merupajuga merupakan kan suatu interval.suatu interval. Teorema 10 (Teorema Nilai Antara)

Teorema 10 (Teorema Nilai Antara).. Misalkan Misalkan f f kontinu pada suatu interval kontinu pada suatu interval I I yang memuat

yang memuat aa dan dan bb. . JiJika ka uu terletak di antara terletak di antara f f ((aa)) dan dan f f ((bb)), maka terdapat , maka terdapat cc di di antara

antara aa dan dan bb sedemikian sehingga sedemikian sehingga f f ((cc) =) = uu.. Catatan

Catatan_{. . T}_Teore_{eorema 10 setara denga}_{ma 10 setara dengan Teo}_{n Teorema 9.}_{rema 9. Oleh ka}_{Oleh karena itu kita cukup mem}_{rena itu kita cukup} mem--buktikan salah satu di antara mereka.

buktikan salah satu di antara mereka. Bukti

Bukti TTeoreorema ema 10 10 . . TTanpa menguranpa mengurangi keumangi keumuman, asumsikuman, asumsikanan a a < < bb dandan f f ((aa)) << u

u < < f f ((bb). ). TinTinjau hijau himpumpunannan H H :=:=

_{{

xx

_∈∈

[[a,a, bb] ] :: f f ((xx)) < < uu

_}}

. . JeJelas blas bahahwawa H H

_

==

_∅∅

karena

(24)

cc = sup= sup H H . . Di sDi sininii a < c < ba < c < b. . SelanSelanjutnjutnya tinggal ya tinggal memmembuktikbuktikan an bahwbahwaa f f ((cc) ) == uu,, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin

dengan menunjukkan bahwa tidak mungkin f f ((cc)) < u< u ataupunataupun f f ((cc)) > u> u.. Andaikan

Andaikan f f ((cc)) < < uu. . KaKarerenana f f kontinu dikontinu di cc, maka terdapat, maka terdapat δ δ >> 0 sedemikian0 sedemikian sehingga

sehingga f f



cc ++ δδ₂₂



< < uu (?)(?). . JadJadii cc ++ δδ₂₂

_∈∈

H H . . Ini bertenIni bertentangatangan dengan fakta bahwn dengan fakta bahwaa cc = sup= sup H H . . SekSekarang andarang andaikaikanan f f ((cc)) > > uu. . SekSekali lagi, kali lagi, karenaarena f f kontinu dikontinu di cc, maka, maka terdapat

terdapat δ δ >> 0 sedemikian sehingga0 sedemikian sehingga f f ((xx)) > > uu untukuntuk cc

₋

δ δ < < xx

_≤

cc (?)(?). . JadJadi tidaki tidak ada satu pun anggota

ada satu pun anggota H H pada interval (pada interval (cc

₋

δ,δ, cc]. Ini juga bertentangan dengan fakta]. Ini juga bertentangan dengan fakta bahwa

bahwa cc = sup= sup H H .. Teorema 11

Teorema 11.. Misalkan Misalkan f f kontinu pada interval kontinu pada interval [[a,a, bb]]. Maka . Maka f f terbatas pada terbatas pada [[a,a, bb]].. Bukti

Bukti . Misalkan. Misalkan f f tak terbatas pada [tak terbatas pada [a,a, bb]. Maka terdapat suatu barisan]. Maka terdapat suatu barisan

_

xxnn



di di [[a,a, bb]]

sedemikian sehingga sedemikian sehingga

||

f f ((xxnn))

| →

++

∞

untuk nuntuk n

→

→ ∞

∞

.. (1)(1)

Karena

_

xxnn



terbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatuterbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatu

sub-barisan

_

xxnnkk



yang konvergen ke suatu titik ccyang konvergen ke suatu titik

∈∈

[[a,a, bb]. ]. TTetaetapipi f f kontinu dikontinu di cc,,

sehingga

sehingga f f ((xxnnkk))

→

f ((cc) untukf ) untuk kk

→ ∞

. . Ini bertenIni bertentangatangan dengan (1). n dengan (1). Jadi mestJadi mestilahilah

f

f terbatas pada [terbatas pada [a,a, bb].]. Teorema 12

Teorema 12.. Misalkan Misalkan f f kontinu pada interval kontinu pada interval [[a,a, bb]]. Maka . Maka f f mencapai nilai mak-mencapai nilai mak-simum dan nilai minimum pada

simum dan nilai minimum pada [[a,a, bb]].. Bukti

Bukti . . DarDari Tei Teoreorema 11 kita tahma 11 kita tahu bahwu bahwaa f f terterbatbatas as padpada a [[a,a, bb]. ]. MisMisalkalkanan vv :=:= sup

sup f f ([([a,a, bb]). ]). KonKonstrstruksuksi barisi barisanan

_

xxnn



di [[a,di a, bb] dengan] dengan f f ((xxnn))

→

vv untukuntuk nn

→

→ ∞

∞

..

Karena

_

xxnn



terbatas, terdapat sub-barisanterbatas, terdapat sub-barisan



xxnnkk



yang konvergen ke suatu titikyang konvergen ke suatu titik cc

∈∈

[[a,a, bb]. ]. NamNamun kekoun kekontinntinuan diuan di cc mengakibatkanmengakibatkan f f ((xxnnkk))

→

f f ((cc) untuk) untuk kk

→ ∞

. . JaJadidi

mestilah

mestilah vv == f f ((cc), ), dan ini dan ini beraberarti bahwrti bahwaa vv merumerupakpakan nilai maksiman nilai maksimum. um. SerupSerupaa dengan itu,

dengan itu, f f juga mencapai nilai minimumnya.juga mencapai nilai minimumnya. Contoh 13

Contoh 13. . PePersarsamaamaan 10n 10xx77

−

1313xx55

−

1 = 0 mempunyai sebuah akar1 = 0 mempunyai sebuah akar cc

_∈∈

((

₋

11,, 0).0). Untuk menunjukkannya, misalkan

Untuk menunjukkannya, misalkan f f ((xx) = 10) = 10xx77

₋

1313xx55

₋

1. 1. MakMaka,a, f f ((

₋

1) = 2 dan1) = 2 dan f

f (0) =(0) =

₋

1. 1. KaKarerenana f f konkontintinu u pada [pada [

₋

11,, 0] dan 0 terletak di antara0] dan 0 terletak di antara f f ((

₋

1) dan1) dan f

f (0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat(0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapat cc

_∈∈

((

₋

11,, 0) sedemikian sehingga0) sedemikian sehingga f

f ((cc) = 0. Bilangan) = 0. Bilangan cc dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas. Contoh 14

Contoh 14. Misalkan. Misalkan f f : : [[a,a, bb]]

_→

[[a,a, bb] kontinu pada [] kontinu pada [a,a, bb]. Maka, terdapat]. Maka, terdapat cc

_∈∈

[[a,a, bb]] sedemikian sehingga

(25)

Perhatikan bahwa peta dari [

Perhatikan bahwa peta dari [a,a, bb] merupakan himpunan bagian dari [] merupakan himpunan bagian dari [a,a, bb], sehingga], sehingga f

f ((aa))

_≥

aa dandan f f ((bb))

_≤

bb. . SekSekaraarang tinng tinjaujau gg((xx) ) == f f ((xx))

₋

x, x, xx

_∈∈

[[a,a, bb]. ]. KaKarerenana f f kontinu pada [

kontinu pada [a,a, bb], maka], maka gg juga kontinu pada [juga kontinu pada [a,a, bb]. ]. NaNammunun gg((aa) ) == f f ((aa))

₋

aa

_≥

00 dan

dan gg((bb) =) = f f ((bb))

₋

bb

_≤

0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapat cc

_∈∈

[[a,a, bb]] sedemikian sehingga

sedemikian sehingga gg((cc) = 0. Akibatnya) = 0. Akibatnya f f ((cc) =) = cc.. Soal Latihan

Soal Latihan 1.

1. LengkLengkapi api Bukti TeoBukti Teorema Nilai rema Nilai AntaAntara, ra, khuskhususnusnya bagian ya bagian yanyang g diberi tandadiberi tanda tanya (?).

tanya (?). 2.

2. BuktikBuktikan an bahbahwa setiap wa setiap polinom berderajat polinom berderajat ganjil mempunganjil mempunyai sedikitnyai sedikitnya satuya satu akar real.

akar real. 3.

3. MisalkMisalkanan f f kontinu pada suatu interval kompakkontinu pada suatu interval kompak I I . Misalkan untuk setiap. Misalkan untuk setiap xx

_∈∈

I I terdapat

terdapat yy

_∈∈

I I sedemikian sehinggasedemikian sehingga

||

f f ((yy))

_{| ≤}

11

22

||

f f ((xx))

||

.. Buktikan bahwa terdapat suatu

Buktikan bahwa terdapat suatu cc

_∈∈

I I sedemikian sehinggasedemikian sehingga f f ((cc) = 0.) = 0.

8.4 Kekontinuan Seragam 8.4 Kekontinuan Seragam

Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi

Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f f kontinu pada sebuah intervalkontinu pada sebuah interval I I jika dan hanya jika untuk setiap

jika dan hanya jika untuk setiap xx

_∈∈

I I dan setiapdan setiap   >> 0 terdapat0 terdapat δ δ >> 0 0 sedemsedemikianikian sehingga

sehingga

||

f f ((xx))

₋

f f ((yy))

_||

< <  untuk

untuk yy

_∈∈

I I dengandengan

_||

xx

₋

yy

_||

< δ< δ . Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umum. Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umum nilai

nilai δδ bergantung padabergantung pada  dandan xx.. Contoh 16

Contoh 16. . Kita telah mengetKita telah mengetahui bahahui bahwawa f f ((xx) ) == _x1_x1 kontinu pada (0kontinu pada (0,, 1]. 1]. DiberikDiberikanan x

x

_∈∈

(0(0,, 1] dan1] dan   >> 0 0 sebarsebarang, ang, kita dapat memilihkita dapat memilih δδ = min= min



xx 2 2,,xx 2 2 2 2



sedemikiansedemikian sehingga untuk

sehingga untuk yy

_∈∈

(0(0,, 1] dengan1] dengan

_||

xx