Cassava atau ubi kayu termasuk dalam famili Euphorbiaceae. Ada dua jenis ubi kayu yaitu ubi kayu pahit atau beracun dan ubi kayu manis atau tidak beracun. Kedua jenis ubi kayu ini diklasifikasikan sebagai Manihot esculenta atau Manihot utilissima. Pemilihan ubi kayu sebagai bahan pangan subtitusi beras mempunyai alasan yang kuat. Pertama umbi-umbian termasuk ubi kayu merupakan makanan pokok asli sebagian masyarakat Indonesia, dan yang kedua kandungan gizi ubi kayu sangat memadai sebagai sumber karbohidrat. Pada Tabel 1 berikut disajikan perbandingan kandungan gizi beberapa komoditi pangan.
Tabel 1 Perbandingan Gizi tanaman pangan
Kandungan Gizi Beras Gandum Ubi kayu Garut Ubi jalar
Kalori (kal) Protein (gr) Lemak (gr) Karbohidrat (gr) Kalsium (mg) Phosfor (mg) Zat besi (mg) Vit.A (SI) Vit.B(mg) Vit.C(mg) Air ( gr) Bagian yg dapat dimakan (%) 360,0 6,8 0,7 78,9 6,0 140,0 0,8 0,0 0,1 0,0 13,0 100,0 365,0 8,9 1,3 77,3 16,0 106,0 1,2 0,0 0,1 0,0 9,1 100,0 363,0 1,1 0,5 88,2 84,0 125,0 1,0 0,0 0,0 0,0 9,1 100,0 355,0 0,7 0,2 85,2 8,0 22,0 1,5 0,0 0,1 0,0 13,0 100,0 136,0 1,1 0,4 32,3 57,0 52,0 0,7 900,0 0,1 35,0 40,0 100,0
Sumber : Direktorat Gizi DepKes RI (1981) dalam Utami (2006)
Selain sebagai bahan pangan ubi kayu juga sebagai bahan baku berbagai sektor industri. Bahkan onggok dari tapioka dapat dijadikan sebagai bahan baku obat anti nyamuk bakar seperti pada Gambar 1 berikut:
Ubi kayu
Kulit
Makanan ternak
Umbi
Onggok
Obat Nyamuk Bakar Asam sitrat Industri makanan/
kimia Tapioka Tapioka pearl Dextrin Maltosa Glukosa Fruktosa Macam-macam alkohol Asam-asam organik Sorbitol
Senyawa kimia lain
Industri makanan Industri makanan Industri makanan/ bio energi Industri makanan/ kimia Industri makanan Industri kimia
Gaplek Pelet Makanan ternak
Bahan makanan Tepung ubikayu Makanan ringan Bahan makanan Daun Sayuran Makanan ternak Sektor Pertanian Sektor industri Konsumen
Gambar 1 Pohon industri ubi kayu (Bank Indonesia, 2004)
Ubi kayu dapat tumbuh di lahan kering dari dataran rendah hingga dataran tinggi dan dapat diusahakan terus-menerus sepanjang tahun. Pada kondisi lahan yang kurang subur dan ketersediaan air yang rendah petani lebih memilih menanam
ubi kayu karena selain mudah dalam pemeliharaan juga relatif tahan terhadap kekeringan.
Melihat berbagai kegunaan dan potensi ubi kayu di Indonesia maka komoditas ini memiliki peranan dan kedudukan yang sangat strategis. Peranannya akan sangat berarti pada saat musim kering ( paceklik) digunakan sebagai sumber bahan pangan utama, sedangkan pada musim panen melimpah ubi kayu digunakan sebagai bahan baku industri hilir. Bahkan dengan adanya kebijakan pemerintah untuk mencari alternatif energi terbarukan ubi kayu mengambil peranan penting sebagai penghasil bioetanol yang merupakan bahan substitusi bensin.
Pengembangan ubi kayu bisa dilakukan tanpa penyediaan lahan khusus melainkan ditanam secara tumpang sari pada lahan yang sudah ada, misalnya hutan jati atau mahoni sangat potensial untuk pengembangan ubi kayu. Luas hutan untuk tumpangsari tanaman pangan adalah 108 juta ha (HTI, HPH, Hutan Rakyat), jika 10% luas lantai hutan digunakan untuk budidaya tanaman pangan akan menghasilkan 378 juta ton dengan potensi pati 95 juta ton, untuk jelasnya disajikan dalam Tabel 2:
Tabel 2 Produktivitas dan potensi ubi kayu dan tanaman tumpangsari lainnya pada lahan hutan. Jenis tanaman Produktivitas per musim (ton/ha) Potensi panen ( juta ton) Potensi pati (juta ton) Potensi etanol (juta l) Ubikayu 35 378 95 60 Garut 20 216 32 17 Ganyong 20 216 32 17 Talas 8 86 17 9 Kimpul 30 324 65 52 Ubijalar 20 216 54 35 Jagung 7 76 49 15 Sumber: Dephutbub (1999)
Kualitas tapioka dikelompokkan berdasarkan nilai dari kriteria kualitas tapioka yaitu, kadar air, kadar abu, serat dan kotoran, derajad keputihan, kadar
BaSO4, kekentalan, Derajat asam dan kadar HCN. Secara lengkap kualitas tapioka disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Standar mutu tapioka menurut SNI.01-3451-1994
Kriteria mutu Mutu I Mutu II Mutu III
Kadar air (% maks) 17 17 17
Kadar abu (% maks) 0,6 0,6 0,6
Serat + kotoran(% maks) 0,6 0,6 0,6
Derajad putih Min Min Min
BASO4 =100 Min 94,5 Min 92 Min 92
Kekentalan (Engler) 3-4 2,5-3 2,5
Derajad asam (ml NAOH/100 gr) 4 4 4
Kadar HCN (%) negatif negatif Negatif
Sumber: Sumber : Direktorat Pengolahan dan Pemasaran Hasil Tanaman Pangan (2003)
Manajemen Krisis
Suatu fenomena pada alam semesta dapat digambarkan dengan dua keadaan yaitu normal dan abnormal. Normal diartikan sebagai keadaan sistem yang teratur, stabil, berjalan sebagaimana mestinya. Abnormal berlaku kebalikan dari normal. Berdasarkan strukturnya, abnormal terbagi menjadi dua, yaitu abnormal terstruktur yang disebut sebagai krisis dan abnormal yang tidak terstruktur yang disebut sebagai chaos.
Definisi Krisis menurut Fink(1996) bahwa krisis bisa diartikan sebagai suatu keadaan yang tidak stabil dimana perubahan mendasar bisa terjadi. Sedangkan Eriyatno et al (2010) mendefinisikan krisis sebagai suatu peristiwa mendadak yang secara signifikan mempengaruhi kemampuan lembaga untuk menjalankan fungsinya. Krisis menimbulkan gangguan yang secara fisik berdampak nyata terhadap suatu sistem dan mengancam eksistensi maupun kelangsungan sistem tersebut. Krisis dapat terjadi pada perseorangan maupun terhadap organisasi atau lembaga.
Secara garis besar berdasarkan anatominya siklus krisis dapat dibagi menjadi empat tahapan, yaitu 1) krisis prodomal atau awal, 2) krisis akut, 3) tahap kronis dan 4)
tahap pemulihan (resolution). Situasi krisis prodomal antara lain ditandai oleh peningkatan intensitas ketegangan, peningkatan perhatian media massa atau pemerintah, kemunculan hambatan atau gangguan terhadap operasi bisnis Krisis prodomal dapat berkembang menjadi krisis akut. Krisis akut ditandai dengan sudah ditemukannya krisis dan jika peringatan dini mengenai kemunculan krisis tidak ditangani secara serius, maka sangat sulit menemukan titik balik menjadi keadaan normal kembali. Dengan perencanaan dan penanganan yang tepat, ledakan krisis pada tahap akut dapat diatur waktu, tempo maupun magnitudenya, sehingga dampak buruk dapat dikendalikan. Periode krisis tingkat akut biasanya berlangsung singkat, kemudian dilanjutkan dengan krisis tingkat kronis (Fink, 1996).
Gambar 2 Siklus Krisis (Fink, 1996).
Metoda yang paling sederhana dalam menghindari krisis adalah konsensus yang memungkinkan para pihak yang berkepentingan berpartisipasi dalam upaya mencegah konflik. Pengambilan keputusan berdasarkan konsensus tergantung pada dua hal yaitu 1) optimasi dari terpenuhinya kepentingan semua pihak dan 2) kompromi dari pihak-pihak yang berkepentingan.
Pencegahan dan penghindaran krisis tergolong langkah yang sangat rumit, karena datangnya krisis pada umumnya sangat mendadak serta perkembangannya sangat cepat. Sehingga, upaya melakukan konsensus guna menyelesaikan krisis, sangat sulit dilakukan setelah krisis berlangsung. Perencanaan dan kesiagaan penanggulangan krisis yang tepat merupakan faktor kunci bagi keberhasilan penanganan krisis dalam suatu lembaga. (Fink, 1996)
Manajemen krisis adalah suatu pengetahuan yang dikenal sebagi prosedural model atau protokol yaitu suatu cara pengelolaan yang proaktif dari kegiatan
Prodomal Acute
Chronic Resolution
organisasi yang mengarah pada keberlanjutan fungsinya sesegera mungkin setelah adanya krisis (Eriyatno et al., 2010). Avevedo (2007) dalam Eriyatno et al (2010) menyebutkan bahwa kegiatan manajemen krisis yang proaktif dicirikan oleh prakiraan potensi krisis (forecasting) dan perencanaan pengendaliannya. Manajemen krisis berupaya mengidentifikasi sumber pemicu krisis, kemudian meminimalkan kerusakan sebagai dampak krisis dan akhirnya melakukan upaya pemulihan.
Sistem Manajemen Chaotic
Pada umumnya penetapan parameter krisis dalam bisnis terkait dengan manajemen risiko kuantitatif, meskipun disadari bahwa dunia nyata belum tentu berperilaku secara acak dengan bentuk teratur. Teknik ekonometrik yang banyak dipraktekkan dalam mazhab neo-klasik mengkategorikan sifat acak tersebut sebagai perilaku yang dapat dianalisis, sedangkan apa yang terjadi di pasar uang ataupun pasar modal adalah ketidak teraturan yang disebabkan proses umpan balik. Asumsi yang diakui oleh faham neo-klasik yaitu berlakunya prasyarat statistik ternyata hal ini terbukti tidak sahih di praktek pasar finansial. (Eriyatno et al., 2010).
Penanggulangan krisis pada pada tahap akut turbulensi menjadi ancaman menakutkan jika kekacauan, keacakan, dan ketidakpastian meluas ke arah lenyapnya kekuatan pengendalian. Henderson (1991) menggambarkan semacam
zone peralihan dalam sistem (ekonomi, politik, sosial) yang tengah mengalami proses transformasi. Zone transisi ini dicirikan dengan adanya kondisi peregangan (fibrillation) di dalamnya. Zone peregangan ditandai munculnya ketidakpastian dan risiko amat besar. Inilah titik kritis yang dalam teori chaos disebut wilayah bifurkasi (bifurcation), yaitu zone perubahan yang di dalamnya tumbuh banyak mode dan percabangan yang akan menentukan arah perubahan.
Menurut Collins English dictionary Chaos diartikan sebagai “kekacauan”. Dalam bahasa umum seringkali chaos diartikan sebagai situasi kacau balau, misalnya kondisi perekonomian, perilaku masyarakat akibat terjadinya perang, bencana alam atau suatu kejadian yang sifatnya mendadak dan tidak terkendali.
1. Nonlinieritas, yaitu adanya sedikit perubahan pada satu level akan menghasilkan perubahan besar pada level yang sama atau level yang lain dari suatu sistem. 2. Ketidakstabilan status sistem. Dalam teori chaos ada 2 bentuk ketidakstabilan
yaitu: i). ketidaksatabilan struktural, terjadi ketika ada sedikit perubahan konstruksi (kondisi awal) dapat memberi pengaruh yang besar terhadap perilaku sistem. dan ii). ketidakstabilan perilaku, sedikit perubahan pada pola keterkaitan elemen sistem maka akan memicu ketidakstabilan sistem. Contohnya dengan adanya perubahan harga oleh suatu perusahaan akan menyebabkan perang harga pada industri.
3. Emergent order, sistem dapat berkembang sendiri, evolusi dipengaruhi oleh faktor endogen
Menurut Sterman (1988) kondisi chaos sering tidak disadari karena struktur dari sistem tidak chaos, tetapi menimbulkan sistem chaotic dinamic karena adanya interaksi (pola keterkaitan) unsur-unsur endogen dalam sistem atau adanya intervensi lingkungan ( exogen).
Chaotic Management System adalah suatu pendekatan sistematis untuk mendeteksi, menganalisis dan merepon turbulence dan chaos. Menurut Kotler (2009) untuk mencapai Business Enterprize yang berkelanjutan dengan pendekatan
Chaotic Management System terdiri dari 4 tahapan yaitu:
1. Mendeteksi sumber turbulence melalui pengembangan sistem deteksi dini 2. Merespon dan menanggulangi chaos dengan mengkonstruksikan beberapa
skenario strategi
3. Memilih strategi berdasarkan pada prioritas skenario dan resiko.
Gambar 3 Sistem Manajemen Chaotic (Kotler, 2009)
Teori Chaos
Penggunaan kata chaos dalam istilah sehari-hari sering diartikan sebagai ”kekacauan yang menjadi-jadi”. Dalam bidang sains, chaos adalah bahasa teknis dari sebuah fenomena sistem nonlinier yang kelakuannya sangat bergantung secara sensitif pada kondisi awalnya (Wiggins, 1990). Sistem yang mengalami chaos disebut sistem chaotik.
Penelitian mengenai chaos dimulai tahun 1890, ketika seorang astronom dan matematikawan Prancis Henry Poincare mempelajari sistem tata surya. Poincare pertama kali menemukan konsep chaos dalam gerak orbit tiga obyek yang mana satu sama lain menggunakan gaya tarik untuk memaksa yang lainnya. Poincare menyatakan bahwa suatu sistem yang terdiri dari beberapa bagian berinteraksi dengan kuat maka ada kemungkinan terjadinya perilaku yang tidak dapat diprediksi
(Chorafas, 1994). Konsep ini menjadi awal dari teori Chaos atau secara umum disebut dengan teori sistem non linier dinamik.
Chaos dan keteraturan (order) dipandang saling berlawanan (antagonis). Hukum alam seperti hukum Newton dan hukum Keppler memperlihatkan keteraturan (order), sedangkan chaos dipahami sebagai wajah lain dari alam ketika kesederhaan atau hukum yang kompleks (complicated laws) menjadi tidak valid. Chaos tidak hanya dilihat sebagai kompleksitas dengan derajat tinggi atau bentuk yang lebih kompleks dari keteraturan, tetapi dipandang sebagai kondisi dimana alam gagal mematuhi hukum.
Karakteristik penting dari sistem dinamik chaos, yang pertama dan paling penting adalah mempunyai ketergantungan yang sensitif terhadap kondisi awal. Sistem dinamik mempunyai sifat yang tidak dapat diprediksi untuk jangka panjang. Ketidakmungkinan prediksi ini terjadi karena sistem dinamik merupakan sistem umpan balik (feedback system), dimana keluaran saat ini menjadi masukan bagi keadaan selanjutnya. Karakteristik kedua adalah memiliki tingkat kritis. Sistem yang melewati titik kritisnya akan kehilangan kestabilan. Konsep ini dapat digambarkan seperti kejadian dimana suatu timbangan yang telah berada pada titik maksimum atau titik kritisnya, jika ditambah beban dengan berat sekecil apapun akan menyebabkan kehilangan kestabilan dan timbangan menjadi rusak. Karakteristik ketiga adalah memiliki dimensi fraktal.
Fraktal deterministik dan fraktal acak
Ide fraktal diperkenalkan oleh Benoit Manderlbrot pada tahun 1975 untuk menjelaskan obyak kompleks yang tidak dapat dijelaskan dengan menggunakan geometri Euclid. Tidak ada definisi normal mengenai fraktal, Peter (1991) mendefinisikan fraktal sebagai berikut:”fraktal adalah sebuah obyek dimana tiap -tiap bagiannya berhubungan dengan keseluruhan obyek tersebut.” Fraktal menunjukkan kemiripan atas dirinya sendiri (self-similarity). Salah satu contoh fraktal alamiah adalah sebuah pohon. Pohon bercabang menurut kepada skala
fraktal. Setiap cabang memiliki cabang-cabang lain yang lebih kecil, memiliki kesamaan terhadap keseluruhan dalam sebuah pandangan kualitatif.
Fraktal dapat dibedakan menjadi fraktal deterministik dan fraktal acak (random fractal). Fraktal deterministik dihasilkan oleh pengulangan aturan-aturan deterministik dan memiliki bentuk yang umumnya simetris. Contoh bentuk fraktal deterministik adalah segitiga Sierpinski .
Gambar 4 Self-similarity fractal (Peter, 1991)
Sedangkan fraktal acak dihasilkan oleh kombinasi aturan-aturan yang dipilih secara acak pada skala yang berbeda. Contoh fraktal acak adalah garis tepi pantai. Dari pesawat udara yang sedang terbang tinggi, garis tepi pantai terlihat seperti garis mulus yang tak teratur. Makin rendah pesawat terbang, garis pantai itu terlihat makin bergerigi, sampai pada jarak dekat dimana setiap batu dapat terlihat. Kurva times series dapat dibandingkan dengan garis pantai. Garis bergerigi pada kurva times series mula-mula seperti garis pantai. Makin dekat kita melihatnya (makin kecil pertambahan unit waktunya) makin banyak rincian yang terlihat.
Geometri euclid dan geometri fraktal
Geometri euclid menyederhanakan alam menjadi obyek-obyek yang simteris dan murni ke dalam bentuk dimensi yang dinyatakan dalam bentuk bilangan bulat. Garis lurus dianggap memiliki dimensi satu, bidang memiliki dimensi dua, dan bangun ruang memiliki dimensi tiga. Bidang dua dimensi adalah permukaan yang rata tanpa celah dan obyek tiga dimensi adalah bentuk padat murni
yang tak berlubang didalamnya. Bangun ruang memiliki sejumlah bentuk simetris dan murni seperti bola, kerucut, silinder, dan balok. Tidak satupun dari benda-benda tersebut yang memiliki lubang didalamnya dan tidak memiliki permukaan yang kasar. Kesemuanya memiliki bentuk yang mulus (smooth) dan murni. Bagi Yunani kuno, simetri dan padat merupakan tanda kesempurnaan. Kelemahan Geometri Euclid adalah tidak dapat membantu kita dalam memahami bagaimana suatu obyek dibentuk.
Dimensi suatu obyek dalam geometri fraktal tidak harus selalu bilangan bulat.. Selembar kertas yang dianggap bidang dua dimensi, jika diremas menjadi bola dan akan berdimensi lebih dari dua tetapi tidak akan tepat berdimensi tiga. Dimensi bola kertas tersebut akan terletak antara dua dan tiga, terkecuali jika bola kertas tersebut dipadatkan maka akan menjadi obyek tiga dimensi. Kurva times series yang tampak seperti garis bergerigi, tidak berdimensi satu karena tidak lurus dan juga tidak berdimensi dua karena tidak memenuhi suatu bidang. Dimensinya lebih besar dari dimesi garis dan kurang dari dimensi bidang, dimensinya terletak antara satu dan dua.
Bila suatu obyek berada dalam ruang yang lebih besar daripada dimensi fraktalnya, ruang tersebut disebut dimensi melekat (embedding dimension) dan cenderung dianggap dimensi obyek itu. Sebagai contoh, bola kertas yang diremas dianggap berdimensi tiga walaupun tidak mengisi penuh ruang tiga dimensi. Sebenarnya obyek fraktal mempertahankan dimensinya bila diletakkan pada dimensi melekat yang lebih besar dari pada dimensi fraktalnya. Kurva times series juga tidak mengisi bidang dua dimensi, hanya times series acak yang mengisi bidang dan mempunyai dimensi dua.
Dimensi Fraktal
Dimensi fraktal menjelaskan bagaimana suatu obyek menempati ruangnya. Dimensi fraktal menunjukkan seluruh faktor yang mempengaruhi sistem obyek dengan skala tertentu. Ada beberapa cara untuk menghitung dimensi fraktal, tetapi semuanya melibatkan cara bagaimana memeriksa volume atau area bentuk fraktal dan bagaimana skala perubahannya jika volume atau area itu bertambah. Salah satu
metode awal penghitungan dimesi fraktal adalah mengitung jumlah lingkaran dengan diameter tertentu yang dibutuhkan untuk memenuhi kurva. Bila diameternya diperbesar dan jumlah lingkaran yang dibutuhkan dihitung, akan ditemukan jumlah lingkaran berskala memenuhi hubungan berikut:
1 * D
d
N (1)
Dimana N=jumlah lingkaran d=diameter lingkaran D=dimensi fraktal
Dengan menggunakan logaritma, persamaan diatas siubah menjadi:
1 log log d N D (2)
Dimensi fraktal memberikan informasi penting mengenai hal-hal yang mendasar dari sistem. Bilangan bulat terbesar terdekat dari dimensi fraktal memberikan informasi banyaknya variabel dinamik minimal yang dibutuhkan untuk memodelkan dinamika sistem tersebut. Sebagai contoh, suatu sistem yang memiliki dimensi fraktal sebesar 2,37 artinya diperlukan sedikitnya tiga variabel untuk memodelkannya dalam sistem dinamik.
Grassberger dan Procacia (1983) mengembangkan metode dimensi korelasi (correlation dimentsion) sebagai pendekatan penghitungan dimensi fraktal dengan menggunakan integral korelasi (correlation integral), Cm(R). Integral korelasi adalah probabilitas sepasang titik didalam attractor yang berada dalam jarak R satu dengan lainnya. Untuk menghitung banyaknya pasangan titik yang memenuhi kondisi tersebut, pertama times series yang digunakan direkonstruksi menjadi ruang fasa, dimulai dengan dimensi melekat (m) yang rendah, yaitu m=2, m=3 dan seterusnya. Kemudian mulai dengan jarak R yang pendek, integral korelasi Cm(R) dihitung untuk jarak ini, sesuai dengan persamaan:
) ( * ) / 1 ( ) ( 1 , 2
N j i j i j i X X R Z N R Cm (3) Dimana Z(x)1 jika (R Xi Xj )0N = banyaknya observasi
R = jarak
Cm = integral korelasi untuk dimensi m
Z(x) disebut fungsi Heaveside karena nilainya 0 jika jarak antara dua titik Xidan
j
X lebih dari R dan nilainya 1 jika jaraknya kurang dari R. Integral korelasi
adalah probabilitas 2 titik yang dipilih secara acak hanya akan terpisah dengan jarak kurang dari R unit. Jika diperbesar nilai R, Cm akan meningkat pada laju D , sehingga akan diperoleh hubungan:
D R Cm (4) Atau *log( ) ) log(Cm D R konstanta (5)
Untuk sebuah dimensi(m), dapat dihitung Cm untuk peningkatan nilai R. Dengan mencari kemiringan pada garis log(Cm) dengan log(R) melalui regresi linier, dapat diestimasi dimensi korelasi (D) untuk masukan dimensi melekat (m). Dengan meningkatkan m, D akan berangsur-angsur menyatu menuju nilai sebenarnya. Hasil yang sama diperoleh sejalan dengan dimensi masukan (m) menjadi semakin besar dari dimensi fraktal (D), sesuai dengan alasan yang dikemukakan. Sebuah fraktal dimasukkan kedalam sebuah dimensi yang lebih tinggi akan mempertahankan dimensi aslinya karena korelasinya yang ada antara titik-titiknya. Jadi dimensi korelasi dari Grassberger dan Procaccia merupakan estimasi yang baik untuk dimensi fraktal. Embedding dimension (m) mengukur kepadatan dalam attractor
dalam menemukan probabilitas sebuah titik yang berjarak R dari titik lain.
Correlation integral Cm(R) adalah banyaknya sepasang titik yang berada dalam batas R. Untuk attractor chaos, Cm(R) mencapai kestabilan setelah sebuah nilai m yang mencapai nilai sebenarnya. Kemudian, melalui penghitungan kemiringan grafik log(R) untuk nilai m yang berbeda, akan diperoleh dimensi korelasi. Jika kestabilan tidak terjadi maka dapat disimpulkan bahwa proses yang mendasari adalah proses stokastik. Takens (1981) memperlihatkan bahwa untuk memperoleh hasil peramalan yang baik, pemilihan embedding dimension sangat penting dan harus berada dalam interval:
1 2 E A A d d (6)
Dimana dAadalah dimensi attractor atau dimensi fraktal dan d adalah embedding E dimension.
Ruang fasa (phase space)
Inspeksi visual terhadap data menjadi penting pada sistem dinamik non linier, karena biasanya memiliki penyelesaian yang tidak tunggal. Penyelesaian yang ada mungkin berjumlah berhingga atau bahkan tidak berhingga. Sistem yang bersifat chaos memiliki penyelesaian yang tidak berhingga yang terdapat pada ruang berhingga (finite space). Sistem tersebut ditarik ke daerah ruang kumpulan jawaban yang mungkin yang biasanya mempunyai dimensi fraktal. Ruang fasa (phase space) adalah ruang dimana semua kemungkinan terjadi, sedangkan daerah dimana jawaban itu berada didalam ruang fasa disebut dengan attractor. Terdapat tiga jenis dasar attractor sistem non linier. Jenis paling sederhana adalah point attractor. Pada jenis ini, titik permulaan dimana sistem itu mulai bekerja akan berakhir di suatu titik dimana kesetimbangan sistem terjadi. Ekonomi klasik cenderung memandang sistem ekonomi sebagai sistem seimbang (equilibrium system) atau point attractor. Jenis yang kedua adalah limit cycles, bentuk
attractornya seperti lingkaran tertutup. Jenis attractor ini merupakan suatu sistem yang mempunyai periode teratur. Jenis yang terakhir adalah strange attractor. Jenis ini mempunyai perputaran yang tidak periodik yang kelihatan seperti acak dan kacau akan tetapi terbatas pada daerah tertentu.
Mengukur Chaos
Ketergantungan yang sensitif terhadap kondisi awal, dapat diukur dengan sebuah bilangan skalar eksponen Lyapunov. Eksponen Lyapunov mengukur berapa cepat orbit yang terdekat menyimpang dalam ruang fasa dan menandai bagaimana lintasan ruang fasa dan proses dinamik berkembang. Secara umum terdapat lebih dari satu bilangan eksponen Lyapunov tergantung dari dimensi permasalahannya, tetapi selama bilangan terbesar bertanda positif mengindikasikan adanya pertumbuhan tak tentu secara eksponensial. Maka bilangan eksponen Lyapunov
memiliki indikasi yang sangat penting dalam mendeteksi chaos. Persamaan formal dari eksponen Lyapunov () untuk dimensi yang ke i
)adalah :
(0) ) ( log 1 2
lim
i i t p t p t (7)Dengan memanfaatkan fungsi logistik maka persamaan menjadi
) 2 ( log 1 1 2
N n n rX r N (8) Dimana : = Bilangan eksponen Lyapunov
t = perioda waktu
) (t
pi = data barisan ke-i pada periode ke-t
) 0 ( i
p = data barisan ke-i pada periode awal
n
X = data ke-n
N = jumlah data
r = parameter input
Bilangan eksponen Lyapunov ini kemudian dapat dihitung dengan menggunakan komputer hingga derajat ketelitian tertentu yang ditentukan oleh nilai N pada berbagai nilai parameter r. Identifikasi Chaos terhadap bilangan Lyapunov adalah sebagai berikut:
0
orbit akan tertarik menuju titik stabil atau periodik stabil. Titik-titik tetap dan periodik superstabil memiliki bilangan Lyapunov
0
mengindikasikan sistem berada dalam keadaan steady state.
0
orbit ini bersifat tidak stabil dan mengalami chaos. Titik-titik yang berdekatan akan menyebar pada jarak yang sembarang.
Satuan dari eksponen Lyapunov adalah bits/iteration. Ketika diaplikasikan pada deret waktu maka satuan tersebut lebih sering disebut dengan bits/perioda pengukuran. Keakuratan bits mengukur seberapa besar kita mengetahui kondisi saat ini. Misalkan eksponen Lyapunov terbesar adalah 0,05 bit/hari, artinya kita
kehilangan 0,05 bit dari kekuatan prediksi tiap hari, sehingga informasi menjadi tidak berguna setelah 1/0,05 atau 20 hari.
Allan Wolf (1985) yang diacu dalam (Muhyidin, 2005) mengembangkan metode penghitungan eksponen Lyapunov, berdasarkan pada penghitungan jarak yang memisahkan lintasan yang bersebelahan di dalam ruang fasa. Jika jarak awal