Analisis korelasi kanonik (AKK) yang diperkenalkan oleh Hotelling pada tahun 1936, bertujuan untuk mengidentifikasi dan menghitung hubungan linier antara dua gugus peubah. Perhitungan AKK berfokus pada korelasi antara kombinasi linier dari dua gugus peubah. Ide utama dari AKK adalah mencari pasangan dari kombinasi linier yang memiliki korelasi terbesar. Pasangan kombinasi linier ini disebut peubah kanonik dan korelasinya disebut korelasi kanonik (Johnson dan Wichern 2002).
Misalkan gugus peubah pertama dan gugus kedua
, dengan . Karakteristik dari vektor peubah acak X dan
Y sebagai berikut:
Vektor rataan:
dengan adalah rata-rata peubah Xdan adalah rata-rata peubah Y. Matriks peragam dapat disusun sebagai berikut:
(1) Matriks peragam pada persamaan (1), selanjutnya disebut sebagai matriks peragam klasik, dengan:
adalah matriks peragam peubahXberukuran ( ) adalah matriks peragam peubah Yberukuran ( )
adalah matriks peragam peubah X dan peubah Y berukuran ( ) adalah matriks peragam peubah Y dan peubah X berukuran ( )
=
=
=
Vektor koefisien didapatkan dengan mencari akar ciri
dari matriks yang berpadanan dengan
vektor ciri Sedangkan untuk vektor koefisien didapatkan dengan
mencari akar ciri dari matriks yang
berpadanan dengan vektor ciri , sehingga vektor koefisien dan adalah sebagai berikut:
dengan:
adalah vektor pembobot kanonik U ke-i adalah vektor pembobot kanonik V ke-i
adalah vektor ciri U ke-i adalah vektor ciri V ke-i
adalah min , i=
Selanjutya korelasi kanonik didapatkan dari:
Nilai koefisien korelasi kanonik berada pada kisaran dan kuadrat korelasi kanonik merupakan proporsi keragaman peubah kanonik U yang dapat dijelaskan oleh peubah kanonik V (Johnson dan Wichern 2002).
Metode Kekar
Perhitungan AKK berdasarkan matriks peragam klasik sangat sensitif terhadap pencilan (Romanazzi 1992), sehingga diperlukan metode kekar untuk mengatasi pencilan (Rancher 2002). Beberapa metode kekar telah dikembangkan seperti Biweight Midcovariance dan Minimum Covariance Determinat. Kedua
matriks peragam yang dihasilkan dari kedua metode tersebut menjadi alternatif sebagai pengganti matriks peragam klasik.
Biweight Midcovariance
Korelasi Pearson merupakan hubungan antara dua peubah yang bisa dipengaruhi oleh keberadaan suatu pengamatan pencilan (Wilcox 2004). Biweight midcorrelation merupakan alternatif sebagai pengganti dari korelasi Pearson. Biweightberasal dari pembobot Tukey’s bisquare yaitu:
Misalkan adalah jumlah pengamatan, adalah median dari x, dan adalah median dari y, sehingga pembobot untuk dan adalah:
dengan adalah median dari dan adalah median dari
.
Peragam Biweight Midcovariance dari x dan y:
dengan:
jika , selainnya
jika , selainnya
Peragam Biweight Midvariance dari x:
Peragam Biweight Midvariance dari y:
Matriks peragam BICOV sebagai berikut:
Sehingga didapatkan Biweight Midcorrelation adalah:
Nilai korelasi pada Biweight Midcorrelation sama dengan nilai korelasi Pearson yaitu berada pada kisaran -1 ≤ ≤ +1.
Matriks peragam BICOV juga dapat digunakan dalam AKK yaitu dengan menggantikan matriks peragam klasik, sehingga didapatkan nilai korelasi kanonik sebagai berikut:
Minimum Covariance Determinant
Minimum Covariance Determinant (MCD) diperkenalkan oleh Rousseeuw pada tahun 1985. Metode MCD bertujuan mencari submatriks H yang berisi unsur-unsur matriks sejumlah h elemen yang matriks peragamnya memiliki determinan terkecil (Rousseeuw 1999). Pada prinsipnya metode MCD adalah mencari submatriks H berukuran yang dipilih secara acak sejumlah h elemen dari matriks X berukuran , dengan h merupakan bilangan bulat terkecil dari . Kemungkinan banyaknya submatriks H yang dapat dipilih secara acak dari matriks X yaitu sebanyak kombinasi h dari n yang berbeda, . Submatriks H digunakan untuk memperoleh dugaan vektor rataan dan matriks peragam. Jika n kecil, maka penduga MCD relatif mudah dan cepat untuk diperoleh, tetapi jika n besar, maka perlu waktu lama dan banyak sekali kombinasi submatriks yang harus diperoleh untuk mendapatkan penduga MCD. Keterbatasan tersebut dapat diatasi dengan pendekatan FAST-MCD dengan algoritma C-Step yang dikembangkan oleh Rousseeuw dan Vandriessen (1999).
Misalkan , dengan merupakan submatriks berukuran
dari matriks berukuran . Hitung vektor rataan dan matriks peragam:
(5)
, dengan i=1,2,..n. Urutkan jarak untuk setiap pengamatan, dengan
Selanjutnya, sejumlah h pengamatan yang menghasilkan jarak terkecil menjadi unsur matriks sedemikian sehingga
. Kemudian, hitung dan berdasarkan matriks
, dengan det( det( .
Penjelasan di atas mensyaratkan det( , karena jika
det( maka nilai objektif minimum untuk mendapatkan determinan terkecil telah ditemukan. Selain itu, jika det( , penggunaan formulasi
di atas akan menghasilkan yang det( det( . Dalam
FAST-MCD akan digunakan algoritma C-Step, ada pun algoritma dari C-Step sebagai berikut:
1. Tetapkan H(old), hitung mcd(old) dan mcd(old).
2. Hitung jarak relatif mcd(old)(i) untuk i=1, 2, …, n
3. Urutkan jarak relatif hasil permutasi dari dengan d(old)
d(old) d(old) .
4. Tentukan H(new)
5. Hitung mcd(new)dan mcd new)
.
6. Pengulangan algoritma C-Step akan menghasilkan sejumlah proses iterasi.
Proses iterasi akan berhenti, jika det( atau
det( det( .
7. Jika kondisi di atas belum terpenuhi, maka proses iterasi akan terus berlangsung hingga menghasilkan sejumlah h amatan yang memiliki nilai determinan terkecil dan konvergen.
Diagram alir FAST-MCD dapat dilihat pada Gambar 1:
Ya
Tidak
Gambar 1 Diagram Alir FAST-MCD
merupakan matriks peragam dengan determinan terminan terkecil. Matriks peragam MCD tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
(5) Matriks pergam MCD dapat digunakan sebagai pengganti matriks peragam klasik dalam AKK. Sehingga didapatkan nilai korelasi kanonik dari:
Pencilan
Pencilan merupakan suatu pengamatan yang menyimpang cukup jauh dari pengamatan lainnya sehingga menimbulkan kecurigaan bahwa pengamatan tersebut berasal dari sebaran data yang berbeda (Hawkins 1997). Berdasarkan pengaruh pengamatan pencilan terhadap data, pencilan dapat dibedakan menjadi tiga jenis. Pencilan pertama yaitu shift outlier, merupakan pengamatan pencilan yang berasal dari sebaran yang berbeda dengan sebaran dasarnya (tanpa pencilan) tetapi peragamnya sama. Shift outlier mampu menggeser vektor rataan sehingga pusat data menjadi berubah. Pada data menyebar normal, pergeseran vektor rataan
Misalkan didefinisikan
X=[x1,x2,…xp]
Tentukan H(1) dari Xyang terdiri dari
h elemen h=(n+p+1)/2
Hitung rataan (t mcd (1)), peragam( mcd (1))
dan Det( mcd (1)) dari H(1)
Hitung jarak relatif di
Tentukan H(2) berdasarkan jarak
relatif yang terkecil d(1)
Hitung rataan (t(2)), peragam ( mcd(2))
dan Det( mcd (2)) dari H(2)
Det( mcd (2))<Det( mcd (1))
dan konvergen?
Iterasi berhenti, dan didapatkan matriks peragam (
bisa melalui penambahan setiap vektor rataan dengan satuan. Data dengan kondisi shift outlier dapat dinyatakan dengan persamaan:
(7)
menyatakan proporsi pencilan dalam data dan menyatakan vektor rataan yang berfungsi sebagai shift outlier.
Jenis kedua, scale outlier, yaitu pengamatan pencilan yang berasal dari peragam yang berbeda tetapi sebarannya sama. Scale outlier mampu merubah bentuk ellipsoid. Data dengan kondisi scale outlier dapat dinyatakan dengan persamaan:
(8) menyatakan matriks peragam yang berfungsi sebagai scale outlier.
Jenis ketiga merupakan gabungan dua jenis pencilan yaitu shift outlier dan scale outlier, yang disebut dengan radial outlier (Hubert dan Van Driessen 2004). Radial outlier mampu menggeser pusat ellipsoid dan merubah bentuk ellipsoid. Data dengan kondisi radial outlier dinyatakan dengan persamaan:
(9)
Pendeteksian Pencilan
Identifikasi pencilan pada peubah ganda umumnya didasarkan pada jarak Mahalanobis (Suryana 2008). Johnson dan Wichern (1998) menyatakan bahwa pengamatan ke-i diidefinisikan sebagai pencilan jika jaraknya lebih besar dari nilai khi-kuadrat pada sejumlah peubah. Perhitungan tersebut sebagai berikut:
dan merupakan vektor rataan dan matriks peragam.
Rousseeuw dan Von Zomeren (1990) menjelaskan bahwa penggunaan jarak Mahalanobis untuk pendeteksian pencilan pada peubah ganda menjadi tidak maksimal jika terdapat lebih dari satu pengamatan pencilan, karena adanya pengaruh masking dan swamping. Masking terjadi pada saat pengamatan pencilan tidak terdeteksi karena adanya pengamatan pencilan yang berdekatan, sedangkan swamping terjadi pada saat pengamatan bukan pencilan teridentifikasi sebagai pengamatan pencilan.
Salah satu metode kekar yang dikembangkan untuk mengatasi pencilan dengan jumlah lebih dari satu pengamatan pada kasus peubah ganda yaitu jarak Mahalanobis kekar MCD (Hubert et al. 2007).
Suatu pengamatan ke-i didefinisikan sebagai pencilan jika:
(10) dengan dan mcd merupakan vektor rataan dan matriks peragam dari
DATA DAN METODE Data
Data dalam penelitian ini terdiri dari dua sumber yaitu data simulasi dan data sekunder. Data simulasi berupa data bangkitan yang berguna untuk mengukur kinerja metode BICOV dan MCD dalam AKK. Data sekunder dalam penelitian ini merupakan terbitan Badan Pusat Statistik (BPS) tahun 1996 dalam tesis Harmini (1997) yang berjudul “Hubungan Struktur Ekonomi dengan Kesejahteraan Rakyat”. Data sekunder tersebut sebagai penerapan contoh kasus untuk mengidentifikasi dan mengukur keeratan hubungan antara struktur ekonomi dan kesejahteraan rakyat.
Data Simulasi
Data Simulasi terdiri dari dua gugus peubah, didefinisikan gugus pertama sebagai gugus X yang berukuran dan gugus kedua yaitu gugus Y yang
berukuran , dengan , dan . Kedua gugus dibangkitkan
dari sebaran normal ganda.
Kinerja metode BICOV dan MCD dalam AKK diukur melalui berbagai keragaman data simulasi. Keragaman data simulasi berdasarkan pada perbedaan:
1. Jumlah pengamatan untuk tiap peubah (nc=50,100)
2. Proporsi pencilan 2%, 4%, 6%, 8%, 10%, 12%) 3. Jenis pencilan (shift outlier, scale outlier, radial outlier)
4. Gugus peubah dengan data pencilan (gugus X*Y dan gugus X*Y*). a) Gugus X*Y didefinisikan untuk setiap peubah pada gugus X
diberikan sejumlah proporsi pencilan dengan jumlah yang sama, sedangkan gugus Y tidak diberikan pencilan.
b) Gugus X*Y* didefinisikan untuk setiap peubah pada gugus X dan peubah pada gugus Y diberikan sejumlah proporsi pencilan dengan jumlah yang sama.
Data Sekunder
Gugus peubah yang diamati dalam penelitian ini yaitu gugus peubah struktur ekonomi dan gugus peubah kesejahteraan rakyat. Gugus peubah struktur ekonomi terdiri dari empat peubah, yaitu Persentase PDRB dari sektor pertanian
(X1), persentase pekerja di sektor pertanian (X2) , persentase pekerja dengan jenis
pekerjaan utama 1 (tenaga profesional, teknisi dan yang sejenis), atau 2(tenaga kepemimpinan dan ketatalaksanaan, atau 3 (tenaga usaha dan yang sejenis) (X3),
persentase pekerja dengan status pekerja utama sebagai pekerja keluarga (X4).
Gugus peubah kesejahteraan rakyat terdiri dari enam peubah, yaitu persentase penduduk dengan pengeluaran di atas UMR per kapita per bulan (Y1),
persentase rumah tangga dengan penerangan listrik/petromak (Y2), persentase
rumah tangga yang memiliki TV/Video/Laserdisc (Y3), persentase rumah tangga
dengan jenis bahan bakar untuk memasak minyak tanah/kayu (Y4), persentase
penduduk tertinggi lulus SMA atau perguruan tinggi (Y5), persentase angka
kelahiran total (TFR) tahun (1990-1995) (Y6).
Metode
Langkah-langkah analisis data yang dilakukan berkaitan dengan tujuan penelitian dilakukan melalui tahapan sebagai berikut:
1. Perbandingan metode BICOV dan MCD a) Membangkitkan data populasi
Membangkitkan data populasi untuk gugus X berukuran
dan gugus Y berukuran , dengan , dan
. Data populasi gugus tersebut dibangkitkan dengan
sebaran normal ganda , dengan dan
matriks peragamnya
b) Membangkitkan data contoh tanpa pencilan
Membangkitkan data contohmengikuti sebaran seperti data populasi, dengan jumlah pengamatan nc=50 dan 100. Data contoh
dibangkitkan sebanyak M = 500 kali. c) Membangkitkan data dengan pencilan
Simulasi untuk data pencilan didapatkan dengan mengubah data contoh sejumlah proporsi pencilan ( dengan berbagai jenis
kondisi pencilan. Kondisi berbagai jenis pencilan dibangkitkan pada gugus X*Y dan gugus X*Y*, sebagai berikut:
i. Pada kondisi ini pengamatan dalam bentuk shift outlier dengan rata-rata dan matriks peragam mengikuti persamaan (7). Masing- masing parameter diberikan nilai:
1) dengan 2) dengan
ii. Pada kondisi ini pengamatan dalam bentuk scale outlier dengan rata-rata dan matriks peragam mengikuti persamaan (8). Masing- masing parameter diberikan nilai:
1) . 2) .
iii. Pada kondisi ini pengamatan dalam bentuk radial outlier dengan rata-rata dan matriks peragam mengikuti persamaan (9). Masing- masing parameter diberikan nilai:
1) dengan . 2) , dengan .
d) Menentukan matriks peragam
i. Menghitung matriks peragam dengan metode klasik untuk gugus populasi, gugus XY, gugus X*Y dan gugus X*Y*. ii. Menghitung matriks peragam dengan metode BICOV untuk
gugus populasi, gugus XY, gugus X*Y dan gugus X*Y*. iii. Menghitung matriks peragam dengan metode MCD untuk
gugus populasi, gugus XY, gugus X*Y dan gugus X*Y*. e) Menentukan nilai korelasi kanonik
i. Menghitung nilai korelasi kanonik klasik untuk gugus populasi, gugus XY, gugus X*Y dan gugus X*Y*.
ii. Menghitung nilai korelasi kanonik dengan matriks peragam BICOV untuk gugus populasi, gugus XY, gugus X*Y dan gugus X*Y*.
iii. Menghitung nilai korelasi kanonik dengan matriks peragam MCD untuk gugus populasi, gugus XY, gugus X*Y dan gugus X*Y*.
f) Menghitung nilai MSE untuk metode klasik, BICOV, dan MCD. MSE =
dengan:
m: ,
adalan nilai korelasi contoh bangkitan ke-m adalah nilai korelasi populasi
didapatkan dari tanh-1 (Dehon et al. 2000) g) Mengevaluasi kinerja metode klasik, BICOV dan MCD
Membandingkan nilai MSE dari ketiga metode tersebut. Metode tersebut dikatakan terbaik atau paling kekar apabila memberikan nilai MSE paling minimum (Dehon et al. 2000).
2. Penerapan metode BICOV dan MCD.
Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam analisis ini :
1) Mengidentifikasi adanya pencilan pada gugus data struktur ekonomi dan gugus data kesejahteraan rakyat dengan jarak mahalanobis kekar.
2) Menghitung matriks peragam dengan metode kekar yang terbaik dari hasil simulasi bangkitan.
3) Mengukur hubungan antara gugus data struktur ekonomi dan gugus data kesejahteraan rakyat dengan korelasi kanonik.
Bangkitkan M=500 kali
Gambar 2 Diagram Alir Tahapan I Penelitian
Gambar 3 Diagram Alir Tahapan II Penelitian
Data
Mengidentifikasi pencilan
Menghitung matriks peragam Klasik
Menduga matriks peragam dengan metode kekar
Menghitung korelasi kanonik untuk tiap metode
Mulai
Selesai
Membangkitkan data populasi
(
Membangkitkan data contoh
( berukuran N
Membangkitkan data dengan pencilan Gugus X*Y dan Gugus X*Y*
Menduga matriks peragam dengan metode klasik, BICOV DAN MCD Menghitung nilai korelasi kanonik
Mengevaluasi kinerja AKK dengan membandingkan nilai MSE
Mulai
Selesai Menghitung nilai MSE
HASIL DAN PEMBAHASAN Simulasi
Perbandingan kinerja metode BICOV dan MCD dalam AKK melalui data simulasi dimaksudkan untuk mencari metode kekar yang memberikan nilai MSE paling minimum. Kinerja kedua metode diukur melalui berdasarkan berbagai, kondisi pencilan, proporsi pencilan, jumlah pengamatan dan gugus peubah dengan data pencilan. Hasil keseluruhan simulasi dapat diamati pada Lampiran 3 dan Lampiran 4. Penjelasan nilai MSE pada lampiran tersebut digambarkan pada Gambar 4 sampai dengan Gambar 15. Keseluruhan gambar menunjukkan perbandingan kinerja ketiga metode yaitu Klasik (garis dengan simbol lingkaran), BICOV (garis dengan simbol persegi) dan MCD (garis dengan simbol segitiga). Sumbu absis menunjukkan proporsi pencilan dan sumbu ordinat menunjukkan nilai MSE dari korelasi kanonik pertama. Semakin rendah posisi garis semakin kecil nilai MSE yang berarti semakin baik kinerja suatu metode. Sebaliknya, semakin tinggi posisi garis semakin besar nilai MSE yang berarti semakin buruk kinerja suatu metode.
Kinerja Metode
Pada bagian ini ditunjukkan kinerja dari ketiga metode, yaitu metode klasik, BICOV, dan MCD dengan kondisi pencilan shift outlier, scale outlier, dan radial outlier untuk sejumlah proporsi pencilan dengan jumlah pengamatan contoh yang berbeda.
Kondisi Shift Outlier
Gambar 4 menunjukkan bahwa metode BICOV memberikan nilai MSE paling minimum dengan pola grafik yang konsisten. Keseluruhan nilai MSE memberikan nilai yang sama sebesar 0.02 untuk setiap proporsi pencilan yang berbeda pada gugus X*Y dan gugus X*Y*, sedangkan metode klasik dan MCD tampak tidak kekar. Pola grafik metode klasik menunjukkan bahwa pertambahan proporsi pencilan diikuti bertambahnya nilai MSE. Sebaliknya secara umum nilai MSE dari metode MCD menurun dengan penambahan proporsi pencilan.
Gambar 5 menunjukkan bahwa metode klasik memberikan nilai MSE paling maksimum dengan pola grafik yang berubah-ubah untuk gugus X*Y dan
gugus X*Y*. Berbeda dengan metode klasik, metode MCD menunjukkan pola grafik yang konsisten mulai dari proporsi pencilan 2% sampai dengan 10%, akan tetapi pola grafik berubah pada proporsi pencilan 12%. Dibandingkan kedua metode tersebut, metode BICOV memberikan nilai MSE paling minimum, sebesar 0.02 dengan pola grafik yang konsisten untuk setiap proporsi pencilan.
(a) (b)
Gambar 4 Grafik nilai MSE dengan kondisi shift outlier , nc=50
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
(a) (b)
Gambar 5 Grafik nilai MSE dengan kondisi shift outlier , nc=50
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
Gambar 6 dan Gambar 7 menggambarkan gugus data dengan kondisi shift
outlier dan serta jumlah pengamatan yang sama Nc=100.
Gambar 6 untuk semua proporsi pencilan menunjukkan bahwa metode BICOV memberikan nilai MSE paling minimum dengan pola grafik yang konsisten. Pada gugus X*Y dengan proporsi pencilan 2% hingga 10% memberikan nilai MSE yang sama sebesar 0.01 dan 0.02 untuk proporsi pencilan 12%. Sedangkan pada gugus X*Y* memberikan nilai MSE yang sama sebesar 0.01 untuk tiap hasil simulasi dengan proporsi pencilan yang berbeda. Metode klasik dan MCD memberikan nilai MSE yang lebih besar dibandingkan metode BICOV, dengan pola grafik yang tidak konsisten.
Berdasarkan grafik pada Gambar 7, terlihat bahwa pola grafik dari metode klasik berubah-ubah dan memberikan nilai MSE paling maksimum. Pada metode MCD, pola grafik menunjukkan kekonsistenan untuk gugus X*Y dengan nilai MSE sebesar 0.02. Namun pada gugus X*Y* pola grafik yang ditunjukkan hanya konsisten sampai proporsi pencilan 10% saja sebesar 0.02, kemudian berubah menjadi 0.3 pada proporsi pencilan 12%. Pola grafik yang konsisten dan memberikan nilai MSE paling minimum adalah metode BICOV. Keseluruhan nilai MSE yang diberikan metode BICOV sebesar 0.01 pada setiap hasil simulasi untuk setiap proporsi pencilan.
(a) (b)
Gambar 6 Grafik nilai MSE dengan kondisi shift outlier , nc=100
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
(a) (b)
Gambar 7 Grafik nilai MSE dengan kondisi shift outlier , nc=100
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
Keseluruhan hasil simulasi pada kondisi shift outlier menunjukkan bahwa metode BICOV mampu meminimumkan nilai MSE dengan pola grafik yang konsisten mulai dari gugus data tanpa pencilan sampai dengan proporsi pencilan 12 %, baik untuk gugus X*Y maupun gugus X*Y*.
Kondisi Scale Outlier
Berdasarkan grafik pada Gambar 8 terlihat bahwa pola grafik metode klasik berubah-ubah dan memberikan nilai MSE yang paling maksimum.
Sedangkan pada metode MCD, nilai MSE yang diberikan lebih rendah, sebesar 0.08 untuk gugus data tanpa pencilan dan sampai dengan proporsi pencilan 4% untuk gugus X*Y. Kemudian pada proporsi pencilan 6% sampai dengan 12% memberikan nilai MSE sebesar 0.07. Pola grafik yang berubah-ubah juga terlihat pada gugus X*Y* dengan nilai MSE 0.08, 0.07, 0.08 untuk proporsi pencilan 0%, 2%, 4%, kemudian 0.03 untuk proporsi 6%, selanjutnya pada proporsi pencilan 8% sampai dengan 12% menghasilkan nilai MSE yang sama sebesar 0.07. Dibandingkan metode MCD, metode BICOV memberikan nilai MSE lebih minimum, terlihat dengan pola grafik yang paling rendah untuk gugus X*Y dan gugus X*Y* dengan proporsi pencilan mulai dari 2% sampai dengan proporsi pencilan terbesar. Nilai MSE untuk gugus X*Y yaitu 0.02 pada proporsi pencilan 2% sampai dengan 4% dan 0.03 mulai dari 6% sampai dengan proporsi pencilan terbesar. Pada gugus X*Y* dengan proporsi pencilan 2% sampai dengan 10%, nilai MSE yang diberikan sama sebesar 0.02, hanya pada proporsi pencilan 12%, nilai MSE sebesar 0.03.
(a) (b)
Gambar 8 Grafik nilai MSE dengan kondisi scale outlier K1=100, nc=50
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
(a) (b)
Gambar 9 Grafik nilai MSE dengan kondisi scale outlier K2=144, nc=50
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
Gambar 9 menunjukkan bahwa metode BICOV merupakan metode yang memberikan nilai MSE yang paling minimum untuk setiap jumlah proporsi
pencilan yang berbeda pada gugus X*Y dan gugus X*Y*, terlihat dengan pola grafik yang ditunjukkan. Sedangkan kinerja metode klasik dan metode MCD terlihat tidak kekar, yang ditunjukkan dengan pola grafik yang berubah-ubah.
Kondisi yang sama untuk gugus X*Y dan gugus X*Y*, yaitu scale outlier dengan faktor pengali K= 100 dan K=144 serta jumlah pengamatan Nc=100 yang tertera pada Gambar 10 dan Gambar 11. Berdasarkan grafik pada Gambar 10, pada gugus X*Y menunjukkan bahwa metode klasik menghasilkan nilai MSE paling maksimum, dengan pola grafik yang semakin menaik untuk setiap pertambahan proporsi pencilan mulai dari 2% sampai dengan 12%. Dibandingkan dengan metode klasik, metode MCD menunjukkan pola grafik yang konsisten, dengan memberikan nilai MSE sebesar 0.03 mulai dari proporsi pencilan 2% sampai dengan 12%. Namun dibandingkan dengan metode MCD, metode BICOV memberikan nilai MSE paling minimum, terlihat dari pola grafik mulai dari gugus pengamatan dengan proporsi pencilan 2% sampai dengan 8% sebesar 0.02 dan 0.01 untuk proporsi pencilan 10% sampai dengan 12% .
Gugus X*Y* pada Gambar 10 menunjukkan bahwa metode klasik tampak tidak kekar terhadap pengamatan pencilan, terlihat dengan pola grafik yang berubah-ubah dan nilai MSE paling maksimum. Berbeda dengan metode klasik, metode MCD menunjukkan pola grafik yang kosisten, dengan memberikan nilai MSE sebesar 0.03 untuk setiap proporsi pencilan. Namun dibandingkan kedua metode tersebut, metode BICOV lebih kekar, terlihat dengan pola grafik yang konsisten dengan nilai MSE paling minimum sebesar 0.01 untuk setiap proporsi pencilan.
Pola grafik pada Gambar 11 terlihat serupa dengan pola grafik pada Gambar 10. Grafik pada gugus X*Y menunjukkan bahwa nilai MSE yang diberikan oleh metode klasik paling maksimum, terlihat dari pola grafiknya yang selalu bertambah untuk setiap pertambahan proporsi pencilan. Sebaliknya, metode BICOV tampak lebih kekar, terlihat dari nilai MSE yang paling rendah dengan pola grafik yang konsisten untuk setiap proporsi pencilan.
Pola grafik pada gugus X*Y* menunjukkan bahwa metode klasik tampak tidak kekar, ini ditunjukkan dari nilai MSE yang diberikan paling maksimum untuk setiap proporsi pencilan di antara metode lainnya. Sedangkan metode MCD, menunjukkan pola grafik yang konsisten dengan nilai MSE sebesar 0.02 untuk
setiap proporsi pencilan. Akan tetapi, dibandingkan dengan metode MCD, metode BICOV tampak lebih kekar, terlihat dengan pola grafik yang konsisten dan nilai MSE yang minimum untuk berbagai proporsi pencilan sebesar 0.01.
(a) (b)
Gambar 10 Grafik nilai MSE dengan kondisi scale outlier K1=100, nc=100
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
(a) (b)
Gambar 11 Grafik nilai MSE dengan kondisi scale outlier K2=144, nc=100
pengamatan: (a) Gugus X*Y, (b) Gugus X*Y*
Pada jumlah pengamatan Nc=50 dan Nc=100 dengan kondisi pencilan scale outlier menunjukkan bahwa metode klasik yang paling buruk dengan nilai MSE yang paling maksimum dan pola grafik yang berubah-ubah. Sedangkan metode MCD merupakan kinerja metode kekar yang lebih baik dibanding metode klasik. Namun dibandingkan MCD, metode BICOV merupakan metode paling kekar, dengan memberikan nilai MSE paling minimum dan pola grafik yang konsisten untuk setiap proporsi pencilan .
Kondisi Radial Outlier
Gugus data dengan kondisi radial outlier mengandung sifat shift outlier dan scale outlier. Grafik pada Gambar 12 dan Gambar 13 menggambarkan gugus dengan kondisi radial outlier , K=100 dan , K=144 dengan jumlah pengamatan sama Nc=50 untuk gugus X*Y dan gugus X*Y*.