TINJAUAN PUSTAKA

7. Nilai rata-rata (Mean)

1.6 TINJAUAN PUSTAKA

Sudjana (1992) dan Supangat, Andi (2007), memaparkan bahwa distribusi normal atau sering pula disebut distribusi Gauss yang variabel acaknya bersifat kontinu. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling penting dan banyak digunakan.

Ada sejumlah konsep statistik dan ukuran yang perlu diketahui ketika menganalisa distribusi menggunakan statistik. Statistik deskriptif adalah salah satu ukuran statistik yang akan di bahas dalam menghitung pengukuran risiko.

1. Nilai rata-rata (Mean)

Teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata-rata dari kelompok tersebut. Rata-Rata (mean) ini didapat dengan menjumlahkan data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu yang ada pada kelompok tersebut.

Menghitung rata-rata data tunggal dibedakan antara data tunggal yang berfrekuensi satu dengan data tunggal yang berfrekuensi lebih dari satu.

=

¹

+

₂

+

₃

…+

atau:

=

1=1 � dimana: = mean (rata-rata) � ^{= data ke i} n = banyak data

Menghitung rata-rata data yang sudah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi, maka data tersebut akan berbaur sehingga keaslian data itu akan hilang bercampur dengan data lain menurut kelasnya, hanya dalam perhitungan mean kelompok diambil titik tengahnya yaitu setengah dari jumlah ujung bawah kelas dan ujung atas kelas untuk mewakili setiap kelas interval. Hal ini untuk menghindari kemungkinan data yang ada disetiap interval mempunyai nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari titik tengah. Dari mean kelompok dapat dicari dengan rumus:

=

�=1 � � � dengan:

= mean (rata-rata)

� ^{= tanda kelas interval}

� ^{= frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas} �

2. Modus adalah nilai dari beberapa data yang mempunyai frekuensi tertinggi baik data tunggal maupun data yang berbentuk distribusi, atau nilai yang sering muncul dalam kelompok data.

Menghitung modus dengan data tunggal dilakukan sangat sederhana, yaitu dengan cara mencari nilai yang sering muncul diantara sebaran data. Penggunaan modus bagi

data kualitatif maupun kuantitatif dengan cara menentukan frekuensi terbanyak diantara data yang ada.

Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, rumus modus adalah:

� = + ¹

1+ ₂

Dengan:

b = batas bawah kelas modal ialah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas modus

₁ = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas yang lebih kecil sebelum tanda kelas modus

2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas

interval dengan tanda kelas yang lebih besar sesudah tanda kelas modus

3. Median adalah nilai tengah dari gugusan data yang telah diurutkan (disusun) dari data

terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil. Mencari median data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil, dengan rumus:  Data ganjil � = + 1 2  Data Genap � = � 2 +� +1 2 2 dimana: n = banyak data

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, mediannya dihitung denngan rumus:

� = +

1 2 − �

dengan:

b = batas bawah kelas median p = panjang kelas median n = banyak data

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas median f = frekuensi kelas median

4. Standar deviasi adalah suatu nilai yang menunjukkan tingkat atau derajat variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari mean atau rata-ratanya. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan alat kuadrat dari varian suatu data. Jika mempunyai sampel berukuran n dengan data x₁, x₂,..., x_n dan rata-rata , maka statistik s² dihitung dengan:

2 = _�=1 _� − −1

2

Untuk mencari simpangan baku s, dari s² diambil harga akarnya yang positif.

Jika data dari sampel telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka untuk menentukan varians s² dipakai rumus:

2= _�=1 � � − −1

2

atau yang lebih baik digunakan:

2 = �=1 � �²− �=1 � − �

−1

2

dengan:

� ^{= tanda kelas}

� ^{= frekuensi yang sesuai dengan tanda kelas} � = �=1 �

Sedangkan standar deviasi (simpangan baku) untuk data populasi digunakan rumus:

�2 = ^�� 2 − �=1 ^��� 2 �=1 2 atau

�2 = � �_� − � 2 �=1 � dengan: � = standar deviasi � ^{= frekuensi data ke i} �� ^{= data ke i} � = rata-rata

5. Skewness atau kemiringan adalah derajat ketidaksimetrisan suatu distribusi. Jika kurva frekuensi suatu distribusi memiliki ekor yang lebih memanjang ke kanan (dilihat dari rata-ratanya) makan dikatakan menceng kanan (positif) dan jika sebaliknya maka menceng kiri (negatif). Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetri. Untuk mengetahui derajat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh:

� = − �

� dengan: Sk = koefisien kemiringan

= rata-rata Mo = modus

σ = simpangan baku

Maka rumus empirik untuk kemiringan, adalah:

� =

3 − �

�

dengan: Sk = koefisien kemencengan = rata-rata Me = median σ = simpangan baku Catatan:

a. �3 = TK = koefisien Tingkat Kemencengan (Skewness) b. TK = 0 maka bentuk kurva simetris

c. TK > 0 maka kurva positif (menceng/landai ke kanan) d. TK < 0 maka bentuk kurva negatif (menceng/landai ke kiri)

Kriteria: jika -2,0 < TK < 2,0 maka data dapat diinterprestasikan berdistribusi normal atau hampir normal.

6. Kurtosis

Kurtosis (keruncingan) adalah derajat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu:

a. Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi. b.Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar.

c. Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.

Kriteria untuk menafsirkan koefisien kurtosis yaitu:

�4> 3, distribusi leptokurtik (runcing)

�4< 3, distribusi platikurtik (datar/landai)

�4= 3, distribusi normal

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi dan menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak, salah satu ukuran yang sering digunakan adalah koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis persentil dengan rumus:

=

�� 90− 10

=

1 2 �3−�1 90− 10 dimana:

SK = rentang semi antar kuartil K1 = kuartil kesatu

K3 = kuartil ketiga P = persentil kesepuluh

P₉₀ = persentil ke-90

P₉₀– P₁₀ = rentang 10 – 90 persentil

Kriteria: penafsiran model distribusi, yaitu: = 0,263, distribusi normal

> 0,263, distribusi leptokurtik (runcing) < 0,263, distribusi platikutik (datar/landai)

Situngkir, Hokky dan Surya, Yohanes (2004) memaparkan bahwa untuk

menghitung nilai VaR dengan kesalahan normal disimbolkan dengan Ψnormal, dinyatakan sebagai:

Ψ

normal = mean –aσ

Dimana nilai a merupakan nilai dari distribusi normal yang di dapat dari tabel Z untuk tingkat kepercayaan α.

Perhitungan VaR dengan kesalahan skewness dan kurtosis disimbolkan dengan

ΨSK dinyatakan sebagai:

a׳ (α) = α +

₆

(α) – 1) +

24

(α) –3(α) –

₃₆²

(2(α) – 5(α))

dengan: sk = nilai skewness k = nilai kurtosis

sehingga rumusnya dapat diperoleh: