BAB II LANDASAN TEORI
A. Titik, Garis dan Bidang dalam ℝ
Pada ilmu ukur ruang, terdapat 3 unsur pangkal yaitu titik, garis, dan bidang datar. Menurut postulat SMSG (School Mathematics Study Group) untuk geometri Euclides titik, garis dan bidang tidak memiliki definisi karena ketiga unsur tersebut merupakan unsur pangkal. Kemudian ketiga unsur tersebut membentuk suatu konsep-konsep yang lain yaitu jarak antar dua titik, sudut antar dua garis, sudut antar dua bidang, dan yang lainnya.
Postulat 2.1 (Zakaria T., -:5):
Melalui sebuah garis, dapat dibuat tak hingga banyak bidang yang melalui garis tersebut.
Diketahui bahwa � merupakan himpunan titik. Himpunan � memiliki anggota lebih dari satu titik. Definisi 2.1 berikut ini menjelaskan bahwa jika � merupakan himpunan titik-titik, maka � dikatakan kolinear jika semua titik pada himpunan � terletak pada satu garis yang sama.
Definisi 2.1 (Millman & Parker, 1991:22):
Misalkan � adalah himpunan titik-titik dalam ℝ dan memiliki lebih dari satu anggota. Himpunan � dikatakan kolinear jika ada sebuah garis sehingga � ⊆ .
Dengan kata lain, jika untuk semua garis ∈ ℝ , � ⊈ maka � dikatakan tidak kolinear. Postulat 2.2 berikut menyatakan sebuah bidang memiliki paling sedikit tiga titik yang tidak kolinear.
Postulat 2.2 (Owen & Felix, 2010:18)
Bidang memiliki sedikitnya tiga buah titik yang tidak kolinear.
Postulat 2.2 menjelaskan sebuah bidang memiliki sedikitnya tiga buah titik yang tidak kolinear. Berdasarkan hal tersebut, teorema 2.1 berikut menyatakan
bahwa tiga buah titik yang berbeda dan tidak kolinear terletak pada tepat satu bidang datar.
Teorema 2.1 (Zakaria, -:5):
Melalui tiga buah titik yang tidak kolinear dapat dilukiskan tepat satu bidang datar. Bukti: (lihat di buku Ilmu Ukur Ruang karangan Zakaria T. halaman 5)
Gambar 2.1
Teorema 2.2 (Zakaria, -:5):
Melalui sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut dapat dilukis tepat satu bidang datar.
Bukti:
Titik A terletak di luar garis l. Ambil dua buah titik yang berbeda yang terletak pada garis l. Misalkan titik P dan Q. Berdasarkan Postulat 2.3, maka titik A,
P, dan Q terletak pada tepat satu bidang datar. ∎ Gambar 2.2
Dalam ℝ terdapat tiga jenis kedudukan antara dua buah garis yang berbeda yaitu berpotongan, sejajar dan bersilangan. Definisi 2.2 berikut ini menjelaskan kedudukan antara dua buah garis.
Definisi 2.2:
Diberikan garis l dan garis m dalam ℝ . Kedudukan garis l terhadap garis m memenuhi salah satu kondisi berikut ini:
a. Berpotongan jika garis l memiliki satu titik persekutuan dengan garis m. b. Sejajar jika garis l dan garis m terletak pada satu bidang dan garis-garis tersebut
tidak memiliki satu titik persekutuan.
c. Bersilangan jika garis l dan garis m tidak terletak pada satu bidang dan garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan.
Teorema 2.3 (Zakaria, -:5):
Melalui dua buah garis yang saling berpotongan dapat dilukiskan tepat satu bidang datar.
Bukti:
Andaikan garis l dan garis g berpotongan di titik P. Ambil sebarang titik yang terletak pada garis l dan berbeda dengan titik P. Misalkan titik A. Jelas bahwa titik A tidak dilalui oleh garis g. Berdasarkan Teorema 2.1, maka dapat dibentuk sebuah bidang datar. ∎ Gambar 2.3
Teorema 2.4 (Zakaria, -:5):
Melalui dua buah garis yang sejajar hanya dapat dilukis sebuah bidang datar.
Gambar 2.4
Bukti:
Garis l dan garis g sejajar. Ambil sebarang titik yang terletak pada garis l . Misalkan titik A. Jelas bahwa titik A tidak dilalui oleh garis g. Hal ini dikarenakan � ∥ . Berdasarkan Teorema 2.1, maka dapat dibentuk sebuah bidang datar. ∎
Teorema 2.5 (Zakaria, -:5)
Melalui dua buah garis yang tidak berpotongan maupun tidak sejajar maka kita tidak dapat melukis sebuah bidang datar yang melalui garis-garis tersebut.
Bukti:
Andaikan dapat dilukiskan sebuah bidang melalui garis-garis tersebut. Berdasarkan teorema-teorema sebelumnya, maka kedua garis tersebut memiliki dua kemungkinan yaitu sejajar atau berpotongan. Kontradiksi dengan pernyataan kedua garis tidak sejajar maupun tidak berpotongan. ∎
Secara tidak langsung, teorema 2.5 mengatakan bahwa suatu bidang tidak dapat dibentuk dari dua buah garis yang bersilangan. Bidang hanya dapat dibentuk dari dua buah garis yang berpotongan atau dua buah garis yang sejajar.
Postulat 2.3 (Wallace and West, 1992:376):
Melalui satu titik di luar garis, hanya dapat dilukiskan sebuah garis yang sejajar dengan garis tersebut.
Postulat 2.3, menjelaskan bahwa dari satu titik di luar suatu garis, dapat dibentuk satu garis yang sejajar dengan garis pertama. Dengan kata lain jika satu titik terletak pada satu garis, maka kita tidak dapat melukiskan garis yang sejajar dengan garis pertama.
Definisi 2.3 (Prenowitz & Jordan, 1965:186)
Notasi untuk keantaraan adalah − − dan dibaca B di antara A dan C. Relasi keantaraan memenuhi sistem postulat berikut:
A.1 Jika − − maka − − . (Sifat Simetri)
A.2 Jika − − maka bukan − − . (Sifat Antisiklik)
A.3 , , adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear jika dan hanya jika − − atau − − atau − − . (Koherensi Linear)
A.4 Misalkan titik kolinear dan berbeda dengan titik , , . Maka, − − mengakibatkan − − atau − − tetapi tidak keduanya. (Sifat Memisahkan)
A.5 Jika ≠ , maka ada , , sedemikian sehingga − − , − − , dan − − . (Sifat Eksistensi)
Definisi 2.3 menjelaskan konsep keantaraan dari tiga buah titik. Postulat A.1 mengatakan jika titik B di antara titik A dan C, maka titik B juga diantara titik C dan
A. Postulat A.2 mengatakan bahwa jika titik B berada di antara titik A dan C tidak
sama dengan titik C di antara titik A dan B. Postulat A.3 merupakan biimplikasi sehingga dapat diartikan menjadi dua implikasi yaitu:
A.3(a) Jika titik A, B, C adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear, maka (A-B-C) atau (B-C-A) atau (C-B-A).
A.3(b) Jika (A-B-C) atau (B-C-A) atau (C-B-A), maka titik A, B, C adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear.
Postulat A.4 mengatakan jika titik P memisahkan titik A dan titik B, maka titik P juga memisahkan titik A atau B dari titik C tetapi tidak keduanya. Postulat A.5 mengatakan jika titik A tidak sama dengan titik B maka
A.5(a) ada sebuah titik yang dipisahkan oleh titik A dari titik B, dengan kata lain titik A berada di antara titik B dan suatu titik.
A.5(b) ada sebuah titik yang memisahkan titik A dari titik B.
A.5(c) ada sebuah titik yang dipisahkan oleh titik B dari titik A, dengan kata lain titik B berada di antara titik A dan suatu titik.
Setelah membahas konsep keantaraan, sekarang kita akan membahas konsep segmen garis dan sinar garis. Definisi 2.3 berikut menjelaskan segmen garis. Definisi 2.3 (Millman & Parker, 1991:52)
Jika dan adalah merupakan dua buah titik yang berbeda, maka segmen garis dari A ke B didefinisikan sebagai
Definisi 2.3 merupakan definisi dari segmen garis. Definisi 2.3 mengatakan bahwa segmen garis adalah himpunan titik-titik yang terletak di antara dua buah titik tertentu dan kolinear dengan dua buah titik tersebut. Selanjutnya akan dibahas mengenai jarak dua buah titik. Postulat berikut ini akan menjelaskan tentang jarak antara dua buah titik yang berbeda.
Postulat 2.4 (Owen & Felix, 2010:18):
Titik-titik pada suatu garis berkorespondensi dengan bilangan real sedemikian sehingga, 1) setiap titik yang ada pada garis berkorespondensi dengan tepat satu bilangan real. 2) setiap bilangan real berkorespondensi dengan tepat satu titik yang ada pada garis. 3) jarak antara dua buah titik merupakan nilai mutlak dari selisih bilangan real yang berkorespondensi dengan titik tersebut.
Postulat 2.4 memberikan definisi mengenai jarak antara dua buah titik. dalam postulat tersebut, jarak didefinisikan sebagai bilangan positif yang berkorespondensi dengan sepasang titik yang berbeda. Jarak bisa disebut sebagai panjang segmen garis. Setelah kita memahami konsep segmen garis, dan jarak antara dua buah titik, selanjutnya kita akan mempelajari konsep sinar garis. Definisi 2.4 berbicara mengenai sinar garis.
Definisi 2.4 (Millman & Parker, 1991:54)
Jika A dan B adalah dua titik yang berbeda, maka sinar garis dari A melewati B didefinisikan sebagai:
Sinar garis ⃗⃗⃗⃗⃗ merupakan himpunan bagian dari garis ⃡⃗⃗⃗⃗ . Sinar garis ⃗⃗⃗⃗⃗ merupakan himpunan titik-titik yang kolinear sedemikian sehingga titik berada di antara titik dan suatu titik. Titik dinamakan titik pangkal atau titik asal sinar garis ⃗⃗⃗⃗⃗ . Berikutnya akan dikenalkan konsep sudut. Dua buah garis berbeda yang berpotongan di satu titik membagi sebuah bidang datar menjadi beberapa daerah. Daerah yang dibatasi sinar-sinar garis tersebut dinamakan sudut seperti dijelaskan pada definisi 2.5 berikut ini.
Definisi 2.5:
Sudut adalah gabungan antara dua buah sinar garis berbeda yang memiliki satu titik pangkal.
Postulat 2.5 (Wallace & West, 1996:377):
Setiap sudut berkorespondensi dengan sebuah bilangan real diantara sampai .
Setelah memahami konsep sudut, selanjutnya akan dibahas mengenai kedudukan garis dan bidang. Dalam ℝ terdapat dua jenis kedudukan garis dan bidang yaitu garis menembus bidang, garis terletak pada bidang dan garis sejajar bidang. Definisi 2.6 berikut ini menjelaskan kedudukan antara garis dan bidang.
Definisi 2.6 (Zakaria, -:5):
Apabila sebuah garis dan sebuah bidang memiliki satu titik persekutuan, maka garis itu menembus bidang. Dengan kata lain bidang tersebut memotong garis.
Definisi 2.6 berbicara mengenai salah satu kedudukan garis dan bidang. Dengan kata lain, jika sebuah garis dan sebuah bidang tidak memiliki satu titik persekutuan, maka garis tersebut dikatakan sejajar dengan bidang. Setelah membahas hubungan antara sebuah garis dan sebuah bidang, kita akan mempelajari hubungan antara dua buah bidang. Secara umum tiga jenis kedudukan bidang yaitu sejajar, berpotongan dan berimpit. Definisi 2.7 berikut ini menjelaskan kedudukan antara dua buah bidang.
Definisi 2.7 (Zakaria, -:5):
Dua buah bidang dikatakan berpotongan jika dua buah bidang tersebut memiliki garis persekutuan.
Teorema 2.6 (Zakaria, -:6):
Jika dua buah bidang datar mempunyai satu titik persekutuan, maka kedua bidang tersebut juga mempunyai sebuah garis persekutuan yang melalui titik tersebut.
Gambar 2.5
Bukti: (lihat di buku Ilmu Ukur Ruang karangan Zakaria T. halaman 6)
Definisi 2.8:
Misalkan ∈ ℝ , dan adalah sebarang garis di ℝ . Jarak antara titik dan adalah panjang ruas garis ̅̅̅̅̅′ dimana ′= ∩ ′, ′ ⊥ dan ∈ ′.
Setelah kita memahami tentang titik, garis dan bidang, kita akan mempelajari sistem koordinat Cartesius dalam ℝ dan koordinat homogen. Sistem koordinat kartesius akan sangat berguna untuk menentukan letak atau posisi suatu titik dalam ℝ dan akan sangat berguna untuk pembahasan selanjutnya tentang persamaan garis dan persamaan bidang. Sedangkan koordinat homogen akan sangat berguna untuk pembentukan matrik perspektif yang akan dibahas di bab III. Berikut ini pembahasan mengenai sistem koordinat.
