Definisi 3.3 (Munir: 2003) Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 ke simpul tujuan v n di dalam graf G ialah barisan
3. Lintasan Tertutup atau Sirkuit
3.3 Traveling Salesman Problem (TSP)
Traveling Salesman Problem (TSP) merupakan suatu masalah optimasi untuk mencari rute terpendek bagi seorang salesman yang menjajakan produknya dengan melakukan tour yang dimulai dari tem-pat asalnya menuju n kota tetem-pat satu kali kemudian kembali ke temtem-pat asalnya. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya operasion-al soperasion-alesman yang dikeluarkan oleh perusahaan. Rute kendaraan pa-da masalah TSP merupakan cycle Hamilton yaitu path tertutup yang memuat semua node pada graf yang mempresentasikan jaringan jalan yang menghubungkan tiap kota. Tujuannya adalah menentukan rute perjalanan yang fisibel sedemikian sehingga jarak tempuh yang melalui rute tersebut minimum.
Menurut Garfinkel dan Nemhauser (1972) secara matematis TSP dapat dinyatakan sebagai suatu graf berarah G = (V, A) dengan {V = 0, 1 . . . n} menyatakan himpunan node yang menunjukkan lokasi kota dan A = {(i, j)| i, j ∈ V ,i 6= j} merupakan himpunan sisi berarah (arc)
12
yang menyatakan jalan penghubung tiap kota. Node 0 menyatakan kota asal/depot yang merupakan tempat seorang salesman memulai perjalanan. Misalkan cij adalah jarak tempuh (biaya perjalanan) dari kota i ke kota j dan jika variabel keputusannya adalah:
xij =
1, jika sisi berarah (i, j)∈ A dilalui oleh rute perjalanan 0, jika selainnya
maka TSP dapat diformulasikan secara matematis sebagai berikut:
Minimumkan z =
Persamaan (3.1) merupakan fungsi tujuannya yaitu meminimumkan total jarak tempuh (biaya perjalanan). Kendala (3.2) dan (3.3) menggam-barkan bahwa salesman mendatangi dan meninggalkan setiap kota tepat satu kali sedangkan kendala (3.4) memastikan bahwa tidak terdapat subrute dan kendala (3.5) menjamin bahwa xij merupakan integer biner.
Contoh solusi dari TSP dapat dilihat pada Gambar 3.2 3.4 Vehicle Routing Problem
Kallehauge et al., (2001) mendefinisikan permasalahan m-TSP sebagai salah satu variasi dari TSP, di mana terdapat m salesman yang men-gunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dapat dikunjungi oleh
Universitas Sumatera Utara
13
Gambar 3.2 Solusi TSP
tepat satu salesman saja. Tiap salesman berawal dari suatu depot dan pada akhir perjalanannya juga harus kembali ke depot tersebut.
Permasalahan m-TSP ini dikenal sebagai Vehicle Routing Prob-lem (VRP). Jadi VRP berkaitan dengan penentuan rute optimal un-tuk permasalahan yang melibatkan lebih dari satu kendaraan (vehicle) dengan kapasitas tertentu untuk melayani sejumlah konsumen sesuai dengan permintaannya masing-masing. Dalam masalah VRP ini, seti-ap kota diasosiasikan sebagai lokasi konsumen dan tiseti-ap kendaraan yang digunakan untuk mengunjungi sejumlah konsumen memiliki kapasitas tertentu. Total jumlah permintaan pelanggandalam suatu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang ditugasi melayani rute tersebut dan setiap pelanggan dikunjungi hanya satu kali oleh satu kendaraan. Pa-da masalah VRP juga terPa-dapat suatu depot di mana tiap kenPa-daraan harus berangkat dan kembali ke depot itu. Permasalahan VRP bertu-juan meminimalkan total jarak tempuh kendaraan atau total biaya dari setiap rute perjalanan, selain itu bisa juga bertujuan meminimalkan banyaknya kendaraan yang digunakan (m). Sebagai contoh, penye-lesaian masalah VRP dengan satu depot ditunjukkan dalam gambar berikut:
Brasy (2001) menyatakan bahwa permasalahan VRP dapat didefin-isikan sebagai permasalahan pencarian rute distribusi dengan ongkos minimal dari satu depot ke pelanggan yang letaknya tersebar dengan
14
Gambar 3.3 Contoh penyelesaian VRP satu depot dengan 3 rute
jumlah permintaan (demand) yang berbeda-beda. Tiap rute dibuat sedemikian rupa sehingga tiap pelanggan hanya boleh dilayani oleh satu kendaraan (vehicle) saja. Hal ini dilakukan dengan mempertim-bangkan kapasitas kendaraan dalam satu kali angkut agar biaya yang dikeluarkan juga dapat ditekan seminimal mungkin. Biasanya penen-tuan biaya yang minimal sangat bergantung pada biaya bahan bakar dan jarak tempuh yang akan dilalui oleh kendaraan tersebut. Per-masalahan VRP yang dituliskan oleh Toth dan Vigo (2002) menje-laskan bahwa VRP adalah masalah penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan de-pot ke konsumen dengan tujuan meminimumkankan total jarak tem-puh kendaraan. Untuk mencapai tujuan tersebut perlu diperhatikan beberapa batasan yang harus dipenuhi yaitu setiap kendaraan yang akan mendistribusikan barang ke konsumen harus memulai rute per-jalanan dari tempat produksi (depot), setiap pelanggan hanya boleh dilayani satu kali oleh satu kendaraan, setiap pelanggan mempunyai permintaan yang harus dipenuhi dan diasumsikan permintaaan terse-but sudah diketahui sebelumnya. Setiap kendaraan memiliki batasan kapasitas tertentu artinya setiap kendaraan akan melayani pelanggan sesuai dengan kapasitasnya. Selanjutnya juga harus dipenuhi bahwa tidak terdapat subrute untuk setiap kendaraan.
Universitas Sumatera Utara
15
Menurut Toth dan Vigo (2002), secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu digraf G = (V, A) dengan V={0,1,. . . ,n}
adalah himpunan simpul yang menunjukkan lokasi pelanggan dan yaitu A ={(i,j)| i, j ∈ V ,i 6= j} himpunan sisi berarah yang menyatakan jalan penghubung antar lokasi pelanggan. Simpul 0 menunjukkan depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan merupakan tempat dimulainya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang tersedia di depot adalah K dengan kapasitas kenda-raan ke-k adalah Ck. Setiap pelanggan i memiliki permintaan sebanyak di.
Toth dan Vigo (2002) memformulasikan VRP dalam bentuk pem-rograman linear integer dengan tujuan meminimalkan total biaya atau total jarak tempuh dari rute perjalanan pendistribusian barang/jasa adalah sebagai berikut:
Minimumkan z = X
i∈v
Kendala ini untuk memastikan bahwa setiap konsumen dikunjun-gi tepat satu kali oleh satu kendaraan.
XK k=1
yok= K (3.8)
Batasan tersebut untuk menjamin bahwa terdapat K kendaraan yang beroperasi yang memulai rute dari depot.
16
X
j∈v
xijk =X
j∈v
xijk= yik, ∀i ∈ V, k = 1, 2, . . . , K (3.9)
Batasan ini memastikan bahwa setiap konsumen akan dikunjungi oleh kendaraan yang sudah dijadwalkan untuk konsumen tersebut.
X
i∈v
diyik ≤ CK ∀k = 1, 2, . . . , K (3.10)
Kendala tersebut menjamin bahwa total permintaan konsumen dalam setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan.
X
i∈S
X
j∈S
xijk≤| S | −1 ∀S ⊆ V \{0}, | S |≥ 2, k = 1, 2, . . . , K (3.11)
Kendala ini memastikan bahwa tidak terdapat subrute pada for-mulasi yang ada.
yik ∈ {0, 1} ∀i ∈ V, k = 1, 2, . . . , K (3.12)
Batasan ini memastikan bahwa variabel keputusan yik merupakan integer
xijk∈ {0, 1} ∀i ∈ V, k = 1, 2, . . . , K (3.13)
Batasan ini menjamin variabel keputusan xijk merupakan integer bi-ner.
Universitas Sumatera Utara
17
1, jika komsumen i dilayani oleh kendaraan ke-k 0, jika selainnya
xijk=
1, jika kendaraan ke-k dari konsumen i langsung ke konsumen j 0, jika selainnya
dengan:
V = Himpunan node
A = Himpunan sisi berarah (arc),{(i, j) | i, j ∈ V ,i 6= j}
cij = Jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j di = Jumlah permintaan konsumen i
Ck = Kapasitas kendaraan ke-k
K = banyaknya kendaraan yang tersedia
Permasalahan VRP yang dikemukakan oleh Kallehauge et al., (2001) adalah menyangkut masalah distribusi barang dari tempat pro-duksi (depot) ke sejumlah konsumen yang tersebar di sejumlah tem-pat. Tujuannya adalah untuk meminimalkan total jarak tempuh (total biaya) dari rute perjalanan kendaraan dalam mendistribusikan barang.
Rute yang dibentuk harus memenuhi batasan-batasan yaitu setiap pelanggan hanya dikunjungi satu kali oleh satu kendaraan, semua pelanggan harus dilayani sesuai dengan permintaannya masing-masing yang diketahui sebelumnya. Kendaraan yang digunakan adalah ho-mogen dan memiliki batasan kapasitas tertentu sehingga rute yang dilalui tidak melebihi kapasitasnya. Setiap rute kendaraan berawal dari depot dan pada akhirnya juga harus kembali ke depot.
Secara matematis Kallehauge et al., (2001) mendefinisikan VRP sebagai suatu digraf G = (N, A), dengan N merupakan simpul yang
18
terdiri atas gabungan himpunan pelanggan C dan depot. Himpunan C berupa simpul 1 sampai n sedangkan simpul depot adalah 0 dan n + 1. A adalah himpunan sisi berarah yaitu penghubung antar sim-pul yang merupakan jaringan jalan yang digunakan oleh kendaraan.
Semua rute berawal dari simpul 0 dan berakhir di simpul n + 1. Him-punan kendaraan V merupakan kumpulan kendaraan yang homogen dengan kapasitas q. Setiap pelanggan atau simpul i untuk setiap i anggota C memiliki permintaa sebesar di, sehingga panjang rute yang dilalui oleh setiap kendaraan dibatasi oleh kapasitas kendaraan. Setiap sisi (i, j) pada graf memiliki jarak tempuh cij yaitu jarak dari simpul i ke simpul j dan diasumsikan jarak tempuh cij = cji.
Tujuannya adalah menentukan himpunan rute dengan total jarak tempuh atau biaya perjalanan yang minimum dengan syarat setiap rute berawal di simpul 0 dan berakhir di simpul n+1, setiap pelanggan dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan dan memenuhi kendala kapasitas kendaraan. Kallehauge et al., (2001) memodelkan masalah VRP tersebut ke dalam model matematis sebagai berikut:
Minimumkan z =X
k∈v
Batasan ini menjamin bahwa tiap pelanggan hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan.
X
Universitas Sumatera Utara
19
Batasan tersebut untuk memastikan bahwa total jumlah permintaan pelanggan dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan.
X
j∈C
xojk = 1 ∀k ∈ V (3.17)
Batasan tersebut menjamin bahwa setiap kendaraan memulai rute per-jalanan dari depot.
X
i∈N
xihk−X
j∈N
xhjk = 0, ∀h ∈ C, k ∈ V (3.18)
Batasan ini memastikan bahwa bahwa setiap kendaraan yang men-gunjungi suatu pelanggan, setelah selesai melayani akan meninggalkan pelanggan tersebut.
X
i∈C
xi,n+1,k = 1 ∀k ∈ V (3.19)
Kendala tersebut memastikan bahwa setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot.
xijk ∈ {0, 1}, ∀i, j ∈ N, ∀k ∈ V (3.20)
Batasan variabel keputusan xijk merupakan integer biner.
Dengan variabel keputusan:
xijk=
1, jika kendaraan ke-k dari konsumen i langsung ke konsumen j 0, jika selainnya
20
dengan:
V = Himpunan kendaraan dengan kapasitas yang identik C = Himpunan konsumen/pelanggan
A = Himpunan node/vertex (simpul),{0, 1, . . . , n + 1}
A = Himpunan sisi berarah (arc),{(i, j) | i, j ∈ N ,i 6= j i 6= n + 1, j 6= 0}
cij = Jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j di = Total jumlah permintaan konsumen i
q = Kapasitas kendaraan ke-k
Formulasi model matematis yang dibuat oleh Kallehauge et al., (2001) dan Toth dan Vigo mempunyai tujuan yang sama yaitu memini-mumkan total jarak tempuh/biaya dari setiap rute perjalanan. Perbe-daannya adalah Toth dan Vigo hanya memperhitungkan biaya per-jalanan untuk perper-jalanan awal dari depot, kemudian mengunjungi se-mua konsumen, tanpa memperhitungkan perjalanan kembali ke depot pada akhir perjalanan tersebut; sedangkan Kallehauge et al., (2001) memperhitungkan biaya perjalanan untuk perjalanan awal dari depot, kemudian mengunjungi semua konsumen dan perjalanan kembali ke depot.