MODEL MULTI-OBJEKTIF PROGRAM UNTUK VEHICLE ROUTING PROBLEM
TESIS
Oleh
ERMITA KAMSIAH SIADARI 177021003/MT
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
Universitas Sumatera Utara
MODEL MULTI-OBJEKTIF PROGRAM UNTUK VEHICLE ROUTING PROBLEM
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
ERMITA KAMSIAH SIADARI 177021003/MT
PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2019
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal : 7 Agustus 2019
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Syahril Efendi, M.IT
2. Dr. Sutarman, M.Sc 3. Dr. Open Darnius M.Sc
PERNYATAAN ORISINALITAS
MODEL MULTI-OBJEKTIF PROGRAM UNTUK VEHICLE ROUTING PROBLEM
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sum- bernya
Medan, Penulis,
Ermita Kamsiah Siandari
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Ermita Kamsiah Siandari
NIM : 177021003
Program Studi : Matematika Jenis Karya Ilmiah: Tesis
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty Free Right) atas tesis saya yang berjudul:
Model Multi-Objektif Program untuk Vehicle Routing Problem.
Beserta perangkat yang ada. Dengan Hak Bebas Royalti NonEksklusif ini, Universitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat mengelola dalam bentuk data-base, merawat dan mem- publikasikan Tesis saya tanpa meminta izin dari saya selama mencan- tumkan nama saya sebagai pemegang dan atau sebagai penulis dan sebagai pemilik hak cipta.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan sebenarnya.
Medan, Penulis,
Ermita Kamsiah Siandari
MODEL MULTI-OBJEKTIF PROGRAM UNTUK VEHICLE ROUTING PROBLEM
ABSTRAK
Vehicle routing problem adalah combinatorial optimization dan in- teger programming problem yang sering digunakan dalam banyak perencanaan dan proses pengambil keputusan, misalnya untuk menen- tukan rute optimal dalam proses pendistribusian barang dari perusa- haan kepada konsumen. Masalah vehicle routing problem sering di- gunakan dengan tujuan tunggal untuk meminimalkan biaya internal.
Pada tesis ini, penulis mengusulkan model multi-objektif untuk vehi- cle routing problem dengan armada yang heterogen, dimana kenda- raan ditandai oleh kapasitas yang berbeda, biaya dan faktor emisi.
Tiga fungsi objektif digunakan untuk meminimalkan total biaya in- ternal, sambil meminimalkan emisi CO2 dan emisi polutan udara seperti NOx.
Kata kunci : Model multi-objektif, Vehicle routing problem, Graf
i Universitas Sumatera Utara
MULTI-OBJEKTIF PROGRAM MODEL FOR VEHICLE ROUTING PROBLEM
ABSTRACT
Vehicle routing problem is a combinatorial optimization and inte- ger programming problem that is often used in many planning and decision-making processes, for example to determine the optimal route in the process of distributing goods from the company to con- sumers. The problem of vehicle routing problems is often used with the sole purpose of minimizing internal costs. In this thesis, the authors propose a multi-objective modelmethod for vehicle routing problems with heterogeneous fleets, where vehicles are characterized by different capacities, costs and emission factors. Three objective functions are used to minimize total internal costs, while minimizing CO2 emissions and emissions of air pollutants such as NOx.
Keyword : Multi-objektif model, Vehicle routing problem, Graph
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan baik. Adapun tesis ini berjudul Model Multi-Objektif Program untuk Vehicle Routing Problem. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Mag- ister Sains (M.Si) di Universitas Sumatera Utara.
Teristimewa dan terkhusus penulis mempersembahkan tesis ini kepada orang tua terkasih, ayahanda Alm. M. Siadari yang akan selalu ada di hati dan di dalam pikiran ini dan akan selalu menjadi sumber inspirasi untuk terus memberikan yang terbaik dan yang sangat ba- hagia atas pencapaian ini, yaitu ibunda tercinta R. Panjaitan wanita terhebat dalam hidupku yang dengan setia merawat, membesarkan, mendidik, bahkan dengan penuh cinta kasih, jerih payah, semangat dan pengorbanan yang begitu besar memperjuangkan penulis, memo- tivasi, bahkan mendoakan segala yang terbaik, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini serta saudaraku terkasih Dame Halomoan Siadari, yang selalu memberikan dukungan, semangat, dan doa kepa- da penulis.
Dalam penulisan tesis ini banyak pihak yang telah memberikan bantuan dan dorongan moril berupa masukan dan saran, sehingga penulisan tesis ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Oleh karena itu, ucapan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang dan Bapak Dr. Syahril Efendi, S.Si., M.IT selaku komisi pembimbing yang telah dengan tulus ikhlas memberikan bimbingan dan arahan untuk kesempurnaan penulisan tesis ini. Penulis men- gucapkan terima kasih kepada: Bapak Prof. Dr. Runtung, S.H., M.Hum., selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, atas kesempatan dan fasilitas yang diberikan selama menyelesaikan pendidikan di Pro- gram Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-
iii Universitas Sumatera Utara
tahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Bapak Prof. Dr. Kerista Sebayang, M.S., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge- tahuan Alam Universitas Sumatera Utara, atas kesempatan dan fasil- itas yang diberikan selama menyelesaikan pendidikan ini. Bapak Prof.
Dr. Saib Suwilo, M.Sc., selaku Ketua Program Studi Magister Mate- matika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan dorongan kepada penulis un- tuk segera menyelesaikan penulisan tesis ini. Bapak Dr. Sawaluddin, M.IT., selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika Fakul- tas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan dorongan kepada penulis untuk segera menyelesaikan penulisan tesis ini. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc., se- bagai pembanding dalam tesis ini. Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc., sebagai pembanding dalam tesis ini. Bapak dan Ibu Dosen Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Uni- versitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmu pengetahuan, bimbingan, dan arahan yang sangat bermanfaat selama penulis mengiku- ti proses kegiatan perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si., selaku Staf Ad- ministrasi Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik selama mengikuti pendidikan. Selu- ruh pegawai di Program Magister Matematika Fakultas Matemati- ka dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah banyak memberikan bantuan kepada penulis selama mengikuti pendidikan. Keluarga besar tersayang, yang turut mendoakan, men- dukung dan memberi semangat kepada penulis, selama mengikuti perku- liahan di Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasar- jana Universitas Sumatera Utara. Semoga Allah Bapa di Sorga mem- beri kebahagiaan dan kesehatan kepada kita semua. TIM EKOTONIK LOVE-LOVE, kawan suka dan duka berbagi segala hal yang selalu memberikan semangat, doa, dukungan, saran, dan menjadi teman ter-
baik dalam segala proses perkuliahan, memberikan bantuan dan saling menyemangati satu sama lain hingga tesis ini bisa selesai.
Kemudian juga, terimakasih kepada semua pihak yang telah berke- nan memberi masukan dan saran yang sangat membangun dalam penulisan tesis ini sejak kolokium, seminar hasil, sampai ujian tertutup, sehingga penulisan tesis ini menjadi lebih sempurna dan terarah.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa penulisan ini jauh dari sem- purna, namun penulis berharap kiranya tesis ini dapat memberikan manfaat dan menambah wawasan kepada semua pihak, terutama da- lam hal Vehicle Routing Problem.
Ahir kata penulis mengucapkan terima kasih dan berdoa agar Tuhan Yang Maha Esa selalu melimpahkan kasih sayang serta berkat yang melimpah kepada kita, amin.
Medan, Penulis,
Ermita Kamsiah Siandari
v Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan, pada tanggal 25 Agustus 1992. Ayah bernama Alm. M. Siadari dan Ibu bernama R. Panjaitan. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara. Pada tahun 1999, penulis masuk SD Swasta Free Methodist 1 Medan dan lulus SD pada tahun 2005. Pada tahun 2005, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 18 Medan dan lulus pada tahun 2008. Kemudian melanjutkan pendidikan SMA pada tahun 2008 di SMA Swasta Eka Prasetya Medan dan kemudian menyelesaikan pendidikan SMA pada tahun 2011.
Selesai menempuh pendidikan sekolah selama 12 tahun, penulis melanjutkan pendidikan ke taraf yang lebih tinggi dengan berkuliah di Universitas Negeri Medan, tepatnya di Program Studi Matematika Ju- rusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) pada tahun 2011.Selama perkuliahan, penulis mengikuti ke- giatan di organisasi kemahasiswaan seperti Unit Kegiatan Mahasiswa Kristen Protestan Fakultas MIPA (UKMKP-FMIPA) periode 2011- 2015 sebagai anggota dan mengikuti kegiatan kemahasiswaan di Ikatan Keluarga Besar Kristen Matematika (IKBKM) sebagai anggota.
Tahun 2017 penulis mengikuti pendidikan Program Studi Magis- ter Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara.
Dalam kurun waktu 2 tahun belajar di Pascasarjana Universitas Suma- tera Utara, penulis sungguh banyak mendapatkan pengalaman belajar yang sangat berharga. Berkat doa dan dukungan keluarga terutama mama, adik, dan keluarga tercinta, akhirnya penulis menyelesaikan S-2 pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara pada tahun 2019, dan memperoleh gelar Magister Sains Ma- tematika (M.Si.) dengan judul tesis: Model Multi-Objektif Program untuk Vehicle Routing Problem.
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR ix
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 3
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Manfaat Penelitian 5
1.6 Kontribusi Penelitian 5
1.7 Metodologi Penelitian 5
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 7
BAB 3 LANDASAN TEORI 9
3.1 Graf 9
3.1.1 Beberapa istilah yang berkaitan dengan graf 10
3.2 Transportasi 10
3.3 Traveling Salesman Problem (TSP) 11
3.4 Vehicle Routing Problem 12
3.5 Jenis-Jenis VRP 20
vii Universitas Sumatera Utara
3.6 Evaluasi Emisi Lingkungan 23
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 25
4.1 Formulasi Masalah 25
4.2 Model 25
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 31
5.1 Kesimpulan 31
5.2 Saran 31
DAFTAR PUSTAKA 32
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
3.1 Graf sederhana 10
3.2 Solusi TSP 13
3.3 Contoh penyelesaian VRP satu depot dengan 3 rute 14
ix Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kegiatan pendistribusian adalah kegiatan untuk menyalurkan barang atau jasa dari produsen ke konsumen. Pendistribusian barang atau jasa merupakan salah satu bagian penting dari suatu perusahaan.
Saat melakukan pendistribusian, perusahaan harus mampu menen- tukan konfigurasi jalur distribusi dengan tepat supaya pengiriman menjadi optimal dengan biaya yang minimum. Penentuan konfigurasi ini harus mempertimbangkan strategi distribusi yang sesuai dengan karakteristik perusahaan. Permasalahan sistem distribusi dari suatu perusahaan merupakan faktor penting yang melibatkan beberapa per- timbangan utama. Pertimbangan utama tersebut diantaranya pemili- han rute kendaraan, armada kendaraan dan kapasitas kendaraan.
Dalam upaya mencapai keberhasilan penjualan dan kepuasan customer, persoalan distribusi menjadi penting karena berhubungan dengan bi- aya transportasi yang mempengaruhi total biaya produksi. Keberhasi- lan penjualan dapat dilihat dari banyaknya penjualan atau kenaikan angka penjualan. Kepuasan customer dapat disebabkan karena cepat- nya produk sampai ke customer dengan aman, tepat waktu, tidak rusak, sesuai dengan permintaan, dan murahnya harga penjualan. Salah satu faktor yang mendukung murahnya harga penjualan adalah bi- aya distribusi yang rendah. Dalam matematika, permasalahan dis- tribusi tersebut dapat diselesaikan dengan konsep teori graph sehingga dapat digambarkan secara ringkas, karena penggunaan diagram dan lambang atau simbol akan lebih mudah dipahami dan lebih mudah untuk diselesaikan. Salah satu konsep dasar teori graph yang dapat diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan pendistribusian adalah Vehicle Routing Problem (VRP). Meminimumkan biaya dalam pros-
2
es pendistribusian dengan cara mengoptimalkan rute sering dikenal dengan vehicle routing problem (Sarker dan Charles 2008). Vehicle routing problem adalah combinatorial optimization dan integer pro- gramming problem yang sering digunakan dalam banyak perencanaan dan proses pengambil keputusan, misalnya untuk menentukan rute optimal dalam proses pendistribusian barang dari perusahaan kepada konsumen.
Belmecheri et al., berpendapat bahwa pada masa sekarang ini hampir semua industri mempunyai kendaraan dengan kapasitas yang berbeda-beda. Kendaraan tersebut mempunyai spesifikasi dan jenis yang berbeda, sehingga daya tampungnya pun juga berbeda. Selain itu dari masing-masing kendaraan juga mempunyai jumlah armada yang terbatas. Belfiore dan Yoshizaki menambahkan bahwa tujuan dari varian VRP yang mempertimbangkan kendaraan yang heterogen (heterogeneous fleet ) adalah untuk meminimasi biaya tetap kendaraan dan biaya variabel rute yang ditempuh. Biaya tetap kendaraan adalah biaya yang dikeluarkan untuk biaya pembelian kendaraan dan biaya perawatan, sedangkan biaya variabel rute berhubungan dengan biaya yang dikeluarkan untuk menempuh rute perjalanan pada saat kenda- raan tersebut mengirimkan barang. Hampir semua masalah optimasi di dunia nyata memiliki banyak fungsi objektif yang harus dipenuhi secara simultan dan seringkali fungsi-fungsi tersebut saling berten- tangan. Pada masalah optimasi portofolio saham, peluang keuntun- gan harus dimaksimumkan dan secara bersamaan resiko harus dimin- imumkan. Pada optimasi campuran pakan ternak, kandungan nutrisi harus dimaksimumkan dan biaya bahan baku diminimumkan.
Untuk mengoptimumkan (memaksimumkan/meminimumkan) satu fungsi objektif maka harus mengorbankan fungsi objektif yang lain.
Mendapatkan satu solusi dan mengukur seberapa baik solusi ini diband- ingkan solusi-solusi yang lain merupakan tujuan utama penyelesaian
Universitas Sumatera Utara
3
masalah ini. Pada hampir semua masalah optimasi fungsi multiobjek- tif tidak akan didapatkan solusi optimum tunggal tapi berupa kumpu- lan solusi alternatif. Tidak ada sebuah solusi yang lebih baik ter- hadap solusi lain jika semua fungsi objektif dipertimbangkan. Hal ini biasa disebut solusi pareto-optimal. Solusi pareto − optimal mem- berikan keleluasaan kepada manusia sebagai pengambil keputusan un- tuk menentukan tujuannya berdasarkan domain pengetahuan yang dipunyai.
Sebuah permasalahan optimasi (optimization problem ), yang di- modelkan secara matematis, umumnya terdiri dari fungsi-fungsi tu- juan (objective functions) dan kendala-kendala (constraints). Fungsi tujuan merepresentasikan tujuan yang ingin dioptimalkan. Karena jumlah fungsi tujuannya lebih dari satu, maka solusi optimum dari multicriteria optimization problem juga lebih dari satu, yang kese- muanya masuk ke dalam sebuah set yang disebut pareto frontier. Hal ini sejalan dengan prinsip dimana tidak ada satu pun solusi yang mam- pu memberikan hasil yang lebih optimal dari salah satu fungsi tujuan yang ada tanpa mengorbankan fungsi tujuan lainnya. Multi-objektif merupakan salah satu metode optimisasi dimana pengoptimalan tidak hanya dilihat pada satu sudut pandang tetapi optimisasi berdasarkan lebih dari satu sudut pandang. Penyelesaian vehicle routing problem dengan jumlah konsumen yang berukuran besar dan kompleks dapat diselesaikan dengan model multi-objektif program.
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan dari tesis ini adalah mengetahui bagaimana model multi- objektif program yang dikaitkan dengan vehicle routing problem.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini hanya dibatasi pada permasalahan vehicle rout-
4
ing problem dengan model multi-objektif program dengan biaya dan fungsi emisi pada pendistribusian.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah menyusun ulang pemodelan matematika dari masalah optimisasi untuk vehicle routing problem.
Universitas Sumatera Utara
5
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Secara umum penelitian ini diharapkan dapat memberikan sum- bangan untuk menambah pengetahuan dalam bidang matematika terapan;
2. Secara khusus penelitian ini diharapkan dapat memberikan gam- baran mengenai vehicle routing problem dengan model multi- objektif program;
3. Penelitian ini diharapkan dapat membantu pembaca dalam menye- lesaikan permasalahan dalam kehidupan nyata yang memiliki prin- sip yang sama dengan model yang diberikan.
1.6 Kontribusi Penelitian
Penelitian ini dapat memberi kontribusi terhadap penyelesaian vehicle routing problem dengan biaya dan fungsi emisi pada pendistribusian agar dapat terselesaikan secara analitik.
1.7 Metodologi Penelitian
Penelitian ini adalah bersifat literatur. Sedangkan prosedur yang di- lakukan adalah sebagai berikut:
1. Pendeskripsian dan Formulasi Masalah
Tahap pertama dalam pemodelan adalah menentukan tujuan pe- nentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang. Secara umum tujuan masalah penentuan rute kendaraan dalam mendis- tribusikan barang adalah meminimumkan total jarak tempuh ken- daraan dengan mempertimbangkan kapasitas kendaraan, jumlah permintaan setiap pelanggan dan jarak antar pelanggan. Dalam
6
masalah penentuan rute kendaraan ini, variabel keputusan akan dibatasi oleh beberapa batasan. Batasan tersebut terdiri atas beberapa batasan umum yang mencakup permasalahan penentu- an rute kendaraan dalam mendistribusikan barang dari depot ke setiap pelanggannya.
2. Pemodelan
Setelah tahapan formulasi masalah, selanjutnya formulasi masalah tersebut dipresentasikan ke dalam model matematik. Model ini mendeskripsikan masalah menjadi suatu sistem persamaan atau pertidaksamaan atau ekspresi matematik lainnya.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Permasalahan VRP merupakan permasalahan penting dibidang dis- tribusi, logistik, dan transportasi. Banyak literatur yang membahas tentang permasalahan ini. Penelitian terdahulu menampilkan beber- apa penelitian yang terkait dengan Vehicle Routing Problem (VRP).
Hal ini berguna sebagai bahan rujukan dan pembanding antara peneli- tian yang telah dilakukan sebelumnya dengan penelitian yang akan dilakukan oleh peneliti.
Ghannadpour dan Hooshfar (2016), memaparkan tentang Multi- Objective Vehicle Routing Problem with Time Windows and Fuel Consumption Minimizing yang menyajikan model dan solusi baru untuk masalah rute dan penjadwalan kendaraan multi-tujuan dengan mempertimbangkan tingkat konsumsi bahan bakar. Selain itu, mere- ka mempertimbangkan prioritas pelanggan berdasarkan jangka wak- tu khusus pelanggan, yang sangat relevan dengan tingkat kepuasan pelanggan.
Wang (2013), menjelaskan tentang Constraint Cellular Ant Algo- rithm for the Multi-Objective Vehicle Routing Problem yang menya- jikan algoritma semut sel constraint yang memiliki keuntungan yang lebih jelas untuk menyelesaikan masalah optimisasi kombinatorial dari- pada banyak algoritma lainnya. Hasil pengujian menunjukkan bahwa algoritma semut seluler kendala layak dan efektif untuk MOVRP. Ke- jelasan dan kesederhanaan dari algoritma semut seluler kendala sa- ngat ditingkatkan untuk optimasi koloni semut. Mereka memfokuskan pada algoritma semut seluler kendala untuk MOVRP. Algoritma ini menggabungkan metode kendala, otomat seluler dan optimisasi koloni semut yang bekerja sama untuk mengoptimalkan masalah perutean kendaraan multi-tujuan.
8
Kallehauge et al., (2001) dalam technical reportnya yang berjudul Lagrangean Duality Applied on Vehicle Routing Problem with Time Windows Experimental result merumuskan model matematis dengan fungsi tujuan meminimalkan biaya rute perjalanan. Model matema- tis yang dikembangkan memiliki batasan antara lain: setiap customer harus dikunjungi tepat satu kali, permintaan tidak boleh melebihi ka- pasitas kendaraan, rute berawal dan berakhir di depot dimana sete- lah mengunjungi satu customer kendaraan akan pergi meninggalkan customer tersebut, waktu penjadwalan fisibel, memenuhi batasan time windows, dan variabel keputusan yang merupakan bilangan biner.
Kallehauge et al., (2001) membentuk Langrangian Relaxation di- mana kemudian diselesaikan menggunakan algoritma cutting plane yang dikombinasikan dengan algoritma Dantzig-Wolfe untuk menyelesaikan permasalahan perbandingan yang sebelumnya dikemukakan Solomon dan Homberger. Hasil menunjukkan bahwa, penelitian ini mampu menyelesaikan 14 permasalahan Solomon yang belum terpecahkan ser- ta menyelesaikan permasalahan Homberger dengan 1000 customer.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
LANDASAN TEORI
Teori-teori yang dijelaskan pada bab ini sebagai landasan berpikir un- tuk melakukan penelitian dan mempermudah pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya:
3.1 Graf
Definisi 3.1 (Munir: 2003) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertex atau node) dan E adalah himpunan sisi (edge atau arcs) yang meng- hubungkan sepasang simpul.
Definisi 3.2 (Graf, Graf Berarah dan Graf Tak Berarah) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, A) dengan V merupakan himpunan tak kosong dan berhingga yang anggota-anggotanya disebut simpul (node/vertex) dan A merupakan himpunan berhingga garis yang meng- hubungkan simpul-simpul anggota V yang disebut dengan sisi (arc atau edge). Sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j dinyatakan dengan {i, j}. Dalam suatu graf, jika sisi yang meng- hubungkan simpul-simpulnya berarah maka graf tersebut dinamakan graf berarah (directed graph/digraf ). Jika semua sisi yang menghu- bungkan simpul-simpulnya tidak berarah maka dinamakan graf tak berarah (undirected graph) (Foulds, 1992).
Graf sederhana di atas adalah graf dengan himpunan simpul V dan sisi E adalah:
V = {1, 2, 3, 4}
E = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
10
Gambar 3.1 Graf sederhana
3.1.1 Beberapa istilah yang berkaitan dengan graf
1. Loop
Suatu sisi yang menghubungkan suatu simpul dengan dirinya sendiri.
2. Lintasan
Definisi 3.3 (Munir: 2003) Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vn di dalam graf G ialah barisan berselang seling simpul-simpul dan sisi sisi.
3. Lintasan Tertutup atau Sirkuit
Lintasan tertutup atau sirkuit adalah lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama.
Istilah-istilah di atas dalam algoritma genetika simpul-simpul (ver- tex) disebut juga gen, sisi (edge) disebut juga individu, lintasan dise- but juga jalur atau kromosom.
3.2 Transportasi
Transportasi merupakan salah satu supply chain driver yang berper- an penting dalam proses aliran barang di sebuah rantai pasok. Menu- rut Rodrigue (2013), biaya yang dikeluarkan untuk proses transportasi
Universitas Sumatera Utara
11
mencapai 50,8% dari biaya total sebuah rantai pasok. Oleh karena itu proses transportasi perlu dikelola untuk meminimasi biaya trans- portasi.
Penghematan biaya transportasi dilakukan antara lain melalui pengaturan rute transportasi (VRP). Pengaturan rute transportasi (VRP) bagi produk perishable tidak hanya untuk meminimasi biaya transportasi tetapi untuk menjamin produk tiba di tempat tujuan secepatnya sebelum produk rusak. Tiba di tempat tujuan sebelum produk rusak merupakan hal penting karena umur produk perishable sangat pendek. Oleh karena itu minimasi biaya dalam pengaturan vehicle routing problem untuk produk perishable bukan hanya biaya transportasi tetapi juga biaya akibat penurunan kualitas selama pros- es transportasi.
3.3 Traveling Salesman Problem (TSP)
Traveling Salesman Problem (TSP) merupakan suatu masalah optimasi untuk mencari rute terpendek bagi seorang salesman yang menjajakan produknya dengan melakukan tour yang dimulai dari tem- pat asalnya menuju n kota tepat satu kali kemudian kembali ke tempat asalnya. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya operasion- al salesman yang dikeluarkan oleh perusahaan. Rute kendaraan pa- da masalah TSP merupakan cycle Hamilton yaitu path tertutup yang memuat semua node pada graf yang mempresentasikan jaringan jalan yang menghubungkan tiap kota. Tujuannya adalah menentukan rute perjalanan yang fisibel sedemikian sehingga jarak tempuh yang melalui rute tersebut minimum.
Menurut Garfinkel dan Nemhauser (1972) secara matematis TSP dapat dinyatakan sebagai suatu graf berarah G = (V, A) dengan {V = 0, 1 . . . n} menyatakan himpunan node yang menunjukkan lokasi kota dan A = {(i, j)| i, j ∈ V ,i 6= j} merupakan himpunan sisi berarah (arc)
12
yang menyatakan jalan penghubung tiap kota. Node 0 menyatakan kota asal/depot yang merupakan tempat seorang salesman memulai perjalanan. Misalkan cij adalah jarak tempuh (biaya perjalanan) dari kota i ke kota j dan jika variabel keputusannya adalah:
xij =
1, jika sisi berarah (i, j)∈ A dilalui oleh rute perjalanan 0, jika selainnya
maka TSP dapat diformulasikan secara matematis sebagai berikut:
Minimumkan z = Xn
i=0
Xn j=0
cijxij (3.1)
dengan kendala:
Xn i=0
xij = 1 j = 0, . . . , n (3.2) Xn
j=0
xij = 1 i = 0, . . . , n (3.3) X
i∈Q
X
j∈Q
xij ≥ 1, ∀Q ⊂ V, Q 6= ∅ (3.4)
xij ∈ {0, 1}, i, j = 0, . . . , n (3.5)
Persamaan (3.1) merupakan fungsi tujuannya yaitu meminimumkan total jarak tempuh (biaya perjalanan). Kendala (3.2) dan (3.3) menggam- barkan bahwa salesman mendatangi dan meninggalkan setiap kota tepat satu kali sedangkan kendala (3.4) memastikan bahwa tidak terdapat subrute dan kendala (3.5) menjamin bahwa xij merupakan integer biner.
Contoh solusi dari TSP dapat dilihat pada Gambar 3.2 3.4 Vehicle Routing Problem
Kallehauge et al., (2001) mendefinisikan permasalahan m-TSP sebagai salah satu variasi dari TSP, di mana terdapat m salesman yang men- gunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dapat dikunjungi oleh
Universitas Sumatera Utara
13
Gambar 3.2 Solusi TSP
tepat satu salesman saja. Tiap salesman berawal dari suatu depot dan pada akhir perjalanannya juga harus kembali ke depot tersebut.
Permasalahan m-TSP ini dikenal sebagai Vehicle Routing Prob- lem (VRP). Jadi VRP berkaitan dengan penentuan rute optimal un- tuk permasalahan yang melibatkan lebih dari satu kendaraan (vehicle) dengan kapasitas tertentu untuk melayani sejumlah konsumen sesuai dengan permintaannya masing-masing. Dalam masalah VRP ini, seti- ap kota diasosiasikan sebagai lokasi konsumen dan tiap kendaraan yang digunakan untuk mengunjungi sejumlah konsumen memiliki kapasitas tertentu. Total jumlah permintaan pelanggandalam suatu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang ditugasi melayani rute tersebut dan setiap pelanggan dikunjungi hanya satu kali oleh satu kendaraan. Pa- da masalah VRP juga terdapat suatu depot di mana tiap kendaraan harus berangkat dan kembali ke depot itu. Permasalahan VRP bertu- juan meminimalkan total jarak tempuh kendaraan atau total biaya dari setiap rute perjalanan, selain itu bisa juga bertujuan meminimalkan banyaknya kendaraan yang digunakan (m). Sebagai contoh, penye- lesaian masalah VRP dengan satu depot ditunjukkan dalam gambar berikut:
Brasy (2001) menyatakan bahwa permasalahan VRP dapat didefin- isikan sebagai permasalahan pencarian rute distribusi dengan ongkos minimal dari satu depot ke pelanggan yang letaknya tersebar dengan
14
Gambar 3.3 Contoh penyelesaian VRP satu depot dengan 3 rute
jumlah permintaan (demand) yang berbeda-beda. Tiap rute dibuat sedemikian rupa sehingga tiap pelanggan hanya boleh dilayani oleh satu kendaraan (vehicle) saja. Hal ini dilakukan dengan mempertim- bangkan kapasitas kendaraan dalam satu kali angkut agar biaya yang dikeluarkan juga dapat ditekan seminimal mungkin. Biasanya penen- tuan biaya yang minimal sangat bergantung pada biaya bahan bakar dan jarak tempuh yang akan dilalui oleh kendaraan tersebut. Per- masalahan VRP yang dituliskan oleh Toth dan Vigo (2002) menje- laskan bahwa VRP adalah masalah penentuan rute kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan de- pot ke konsumen dengan tujuan meminimumkankan total jarak tem- puh kendaraan. Untuk mencapai tujuan tersebut perlu diperhatikan beberapa batasan yang harus dipenuhi yaitu setiap kendaraan yang akan mendistribusikan barang ke konsumen harus memulai rute per- jalanan dari tempat produksi (depot), setiap pelanggan hanya boleh dilayani satu kali oleh satu kendaraan, setiap pelanggan mempunyai permintaan yang harus dipenuhi dan diasumsikan permintaaan terse- but sudah diketahui sebelumnya. Setiap kendaraan memiliki batasan kapasitas tertentu artinya setiap kendaraan akan melayani pelanggan sesuai dengan kapasitasnya. Selanjutnya juga harus dipenuhi bahwa tidak terdapat subrute untuk setiap kendaraan.
Universitas Sumatera Utara
15
Menurut Toth dan Vigo (2002), secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu digraf G = (V, A) dengan V={0,1,. . . ,n}
adalah himpunan simpul yang menunjukkan lokasi pelanggan dan yaitu A ={(i,j)| i, j ∈ V ,i 6= j} himpunan sisi berarah yang menyatakan jalan penghubung antar lokasi pelanggan. Simpul 0 menunjukkan depot, yaitu tempat menyimpan kendaraan yang digunakan untuk distribusi dan merupakan tempat dimulainya suatu rute kendaraan. Banyaknya kendaraan yang tersedia di depot adalah K dengan kapasitas kenda- raan ke-k adalah Ck. Setiap pelanggan i memiliki permintaan sebanyak di.
Toth dan Vigo (2002) memformulasikan VRP dalam bentuk pem- rograman linear integer dengan tujuan meminimalkan total biaya atau total jarak tempuh dari rute perjalanan pendistribusian barang/jasa adalah sebagai berikut:
Minimumkan z = X
i∈v
X
j∈v
cij
XK k=1
xij (3.6)
dengan kendala:
XK k=1
yik = 1 ∀i ∈ V \{0} (3.7)
Kendala ini untuk memastikan bahwa setiap konsumen dikunjun- gi tepat satu kali oleh satu kendaraan.
XK k=1
yok= K (3.8)
Batasan tersebut untuk menjamin bahwa terdapat K kendaraan yang beroperasi yang memulai rute dari depot.
16
X
j∈v
xijk =X
j∈v
xijk= yik, ∀i ∈ V, k = 1, 2, . . . , K (3.9)
Batasan ini memastikan bahwa setiap konsumen akan dikunjungi oleh kendaraan yang sudah dijadwalkan untuk konsumen tersebut.
X
i∈v
diyik ≤ CK ∀k = 1, 2, . . . , K (3.10)
Kendala tersebut menjamin bahwa total permintaan konsumen dalam setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan.
X
i∈S
X
j∈S
xijk≤| S | −1 ∀S ⊆ V \{0}, | S |≥ 2, k = 1, 2, . . . , K (3.11)
Kendala ini memastikan bahwa tidak terdapat subrute pada for- mulasi yang ada.
yik ∈ {0, 1} ∀i ∈ V, k = 1, 2, . . . , K (3.12)
Batasan ini memastikan bahwa variabel keputusan yik merupakan integer
xijk∈ {0, 1} ∀i ∈ V, k = 1, 2, . . . , K (3.13)
Batasan ini menjamin variabel keputusan xijk merupakan integer bi- ner.
Universitas Sumatera Utara
17
Dengan variabel keputusan
yik=
1, jika komsumen i dilayani oleh kendaraan ke-k 0, jika selainnya
xijk=
1, jika kendaraan ke-k dari konsumen i langsung ke konsumen j 0, jika selainnya
dengan:
V = Himpunan node
A = Himpunan sisi berarah (arc),{(i, j) | i, j ∈ V ,i 6= j}
cij = Jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j di = Jumlah permintaan konsumen i
Ck = Kapasitas kendaraan ke-k
K = banyaknya kendaraan yang tersedia
Permasalahan VRP yang dikemukakan oleh Kallehauge et al., (2001) adalah menyangkut masalah distribusi barang dari tempat pro- duksi (depot) ke sejumlah konsumen yang tersebar di sejumlah tem- pat. Tujuannya adalah untuk meminimalkan total jarak tempuh (total biaya) dari rute perjalanan kendaraan dalam mendistribusikan barang.
Rute yang dibentuk harus memenuhi batasan-batasan yaitu setiap pelanggan hanya dikunjungi satu kali oleh satu kendaraan, semua pelanggan harus dilayani sesuai dengan permintaannya masing-masing yang diketahui sebelumnya. Kendaraan yang digunakan adalah ho- mogen dan memiliki batasan kapasitas tertentu sehingga rute yang dilalui tidak melebihi kapasitasnya. Setiap rute kendaraan berawal dari depot dan pada akhirnya juga harus kembali ke depot.
Secara matematis Kallehauge et al., (2001) mendefinisikan VRP sebagai suatu digraf G = (N, A), dengan N merupakan simpul yang
18
terdiri atas gabungan himpunan pelanggan C dan depot. Himpunan C berupa simpul 1 sampai n sedangkan simpul depot adalah 0 dan n + 1. A adalah himpunan sisi berarah yaitu penghubung antar sim- pul yang merupakan jaringan jalan yang digunakan oleh kendaraan.
Semua rute berawal dari simpul 0 dan berakhir di simpul n + 1. Him- punan kendaraan V merupakan kumpulan kendaraan yang homogen dengan kapasitas q. Setiap pelanggan atau simpul i untuk setiap i anggota C memiliki permintaa sebesar di, sehingga panjang rute yang dilalui oleh setiap kendaraan dibatasi oleh kapasitas kendaraan. Setiap sisi (i, j) pada graf memiliki jarak tempuh cij yaitu jarak dari simpul i ke simpul j dan diasumsikan jarak tempuh cij = cji.
Tujuannya adalah menentukan himpunan rute dengan total jarak tempuh atau biaya perjalanan yang minimum dengan syarat setiap rute berawal di simpul 0 dan berakhir di simpul n+1, setiap pelanggan dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan dan memenuhi kendala kapasitas kendaraan. Kallehauge et al., (2001) memodelkan masalah VRP tersebut ke dalam model matematis sebagai berikut:
Minimumkan z =X
k∈v
X
i∈N
X
j∈N
cijxijk (3.14)
dengan kendala-kendala:
X
k∈v
X
j∈N
xijk= 1, ∀i ∈ C (3.15)
Batasan ini menjamin bahwa tiap pelanggan hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan.
X
i∈C
di
X
j∈N
xijk ≤ q, ∀k ∈ V (3.16)
Universitas Sumatera Utara
19
Batasan tersebut untuk memastikan bahwa total jumlah permintaan pelanggan dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan.
X
j∈C
xojk = 1 ∀k ∈ V (3.17)
Batasan tersebut menjamin bahwa setiap kendaraan memulai rute per- jalanan dari depot.
X
i∈N
xihk−X
j∈N
xhjk = 0, ∀h ∈ C, k ∈ V (3.18)
Batasan ini memastikan bahwa bahwa setiap kendaraan yang men- gunjungi suatu pelanggan, setelah selesai melayani akan meninggalkan pelanggan tersebut.
X
i∈C
xi,n+1,k = 1 ∀k ∈ V (3.19)
Kendala tersebut memastikan bahwa setiap rute perjalanan kendaraan berakhir di depot.
xijk ∈ {0, 1}, ∀i, j ∈ N, ∀k ∈ V (3.20)
Batasan variabel keputusan xijk merupakan integer biner.
Dengan variabel keputusan:
xijk=
1, jika kendaraan ke-k dari konsumen i langsung ke konsumen j 0, jika selainnya
20
dengan:
V = Himpunan kendaraan dengan kapasitas yang identik C = Himpunan konsumen/pelanggan
A = Himpunan node/vertex (simpul),{0, 1, . . . , n + 1}
A = Himpunan sisi berarah (arc),{(i, j) | i, j ∈ N ,i 6= j i 6= n + 1, j 6= 0}
cij = Jarak/biaya perjalanan dari konsumen i ke konsumen j di = Total jumlah permintaan konsumen i
q = Kapasitas kendaraan ke-k
Formulasi model matematis yang dibuat oleh Kallehauge et al., (2001) dan Toth dan Vigo mempunyai tujuan yang sama yaitu memini- mumkan total jarak tempuh/biaya dari setiap rute perjalanan. Perbe- daannya adalah Toth dan Vigo hanya memperhitungkan biaya per- jalanan untuk perjalanan awal dari depot, kemudian mengunjungi se- mua konsumen, tanpa memperhitungkan perjalanan kembali ke depot pada akhir perjalanan tersebut; sedangkan Kallehauge et al., (2001) memperhitungkan biaya perjalanan untuk perjalanan awal dari depot, kemudian mengunjungi semua konsumen dan perjalanan kembali ke depot.
3.5 Jenis-Jenis VRP
Menurut IDSIA (2007), berdasarkan faktor-faktor sampingan yang muncul, VRP terdiri atas beberapa jenis antara lain:
1. Capacitated VRP (CVRP), dengan faktor: Setiap kendaraan pun- ya kapasitas yang terbatas. CVRP adalah sebuah VRP dimana sejumlah kendaraan dengan kapasitas tertentu yang harus melayani sejumlah permintaan pelanggan yang telah diketahui untuk satu komoditas dari sebuah depot dengan biaya minimum. Pada dasarnya CVRP sama seperti VRP dengan faktor tambahan yaitu seti-
Universitas Sumatera Utara
21
ap kendaraan mempunyai kapasitas tertentu untuk satu komodi- tas. CVRP bertujuan meminimalisasi jumlah kendaran dan total waktu perjalanan, dan total permintaan barang untuk tiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melewati rute tersebut (Ralphsy et al., 2001).
2. VRP with Time Windows (VRPTW), dengan faktor: Setiap pelanggan harus disuplai dalam jangka waktu tertentu.
3. Multiple Depot VRP (MDVRP), dengan faktor: Distributor memi- liki banyak depot untuk menyuplai pelanggan. Sebuah perusa- haan yang memiliki lebih dari satu depot, dan pelanggan-pelanggannya tersebar di sekitar depot-depot yang ada, maka masalah pendis- tribusiannya harus dimodelkan menjadi sebuah kumpulan VRP- VRP yang independen. Namun jika pelanggan dan depot-depot tidak terkumpul secara teratur maka masalahnya menjadi multi- depot VRP atau MDVRP. MDVRP adalah masalah pengaloka- sian konsumen kebeberapa depot, sehingga diperoleh rute op- timal untuk melayani tuntutan pelanggan terhadap depot yang tersebar (Bae dan Moon, 2016). Sebuah MDVRP membutuhkan pengaturan para pelanggan ke depot-depot yang ada. Setiap ken- daraan berangkat dari satu depot melayani pelanggan-pelanggan yang sudah ditentukan oleh depot tersebut, dan kembali lagi ke depot tersebut. Tujuan utama dari MDVRP adalah untuk melayani semua pelanggan, sementara jumlah kendaraan dan jarak perjalanan diminimalisasi. Chen dan Xu (2008) mengembangkan algoritma genetika hibrida untuk menyelesaikan MDVRP. Crevi- er et al., (2007) mengusulkan metode penggabungan tabu search dan integer programing untuk masalah routing kendaraan multi − depot dimana kendaraan mungkin diisi ulang di depot menengah di sepanjang rute. Jeon et al., (2007) menyarankan algoritma genetik hibrida untuk MDVRP. Lau et al., (2010) mempertim-
22
bangkan biaya akibat total jarak tempuh, dan biaya karena total waktu tempuh.
4. VRP with Pick-Up and Delivering (VRPPD), dengan faktor:
Pelanggan mungkin mengembalikan barang pada depot asal. VRP- PD adalah sebuah VRP dimana pelanggan mengembalikan barang yang sudah diantarkan. Barang yang dikembalikan dapat dima- sukkan ke dalam kendaraan pengantar. Perencanaan pengan- taran menjadi lebih sulit dan dapat mengakibatkan peyalahgu- naan kapasitas kendaraan, memperbesar jarak perjalanan atau kendaraan yang diperlukan lebih dari yang seharusnya. Selu- ruh permintaan pengantaran dimulai dari depot dan seluruh per- mintaan penjemputan dibawa kembali ke depot, sehingga tidak ada pertukaran barang antar pelanggan.
5. Split Delivery VRP (SDVRP), dengan faktor: Pelanggan di- layani dengan kendaraan berbeda. SDVRP adalah perluasan VRP dimana setiap pelanggan dapat dilayani dengan kendaraan yang berbeda bilamana biayanya dapat dikurangi. Perluasan ini dapat dilaksanakan jika jumlah permintaan pelangggan sama de- ngan kapasitas kendaraan. Tujuan dari SDVRP untuk memini- malisasikan jumlah kendaraan dan total waktu perjalanan untuk pelayanan.
6. Stochastic VRP (SVRP), dengan faktor: Munculnya randomvalues (seperti jumlah pelanggan, jumlah permintaan waktu pelayanan atau waktu perjalanan). Untuk mendapatkan solusi dari SVRP, maka masalah harus dibagi dalam dua tahap, solusi pada tahap pertama ditentukan sebelum variabel random diketahui. Pada tahap kedua pengoreksian dilakukan jika nilai dari variabel ran- dom sudah diketahui (Hvattum et al., 2006).
7. P eriodic VRP (PVRP), dengan faktor: Pengantaran hanya di- lakukan di hari tertentu. PVRP merupakan VRP yang digen-
Universitas Sumatera Utara
23
eralisasi dengan memperluas rentang perencanaan pengiriman menjadi M hari, dari semula hanya dalam rentang sehari, de- ngan tujuan meminimalisasi jumlah kendaraan dan total waktu perjalanan untuk melayani tiap pelanggan.
3.6 Evaluasi Emisi Lingkungan
Transportasi dalam bidang pengangkutan barang memegang per- an penting dan mendapat perhatian khusus dalam manajemen logis- tik dan supply chain perdagangan di masa ini dimana kegiatan ini mendukung aktivitas ekonomi maupun sosial. Kegiatan transportasi menimbulkan dampak lingkungan, seperti emisi CO2, yang bertang- gung jawab atas perubahan iklim, dan emisi partikel, yang bertang- gung jawab atas polusi udara. Dampak perubahan iklim dari trans- portasi terutama diproduksi oleh emisi gas rumah kaca: karbon diok- sida (CO2), dinitrogen oksida (N2O) dan metana (CH4).
Estimasi emisi CO2 didasarkan pada asumsi bahwa semua kan- dungan karbon bahan bakar dibakar dan dipancarkan sebagai kar- bon dioksida. Untuk keperluan internalisasi, estimasi emisi CO2 da- pat diperoleh dengan mengalikan totalnya konsumsi bahan bakar oleh faktor emisi CO2. Total emisi CO2 yang baik untuk roda per unit ba- han bakar, juga disebut faktor emisi, diperkirakan 2,67 kg CO2 per liter diesel. Konsumsi bahan bakar hanya tergantung pada tiga fak- tor: jarak yang ditempuh, jenis kendaraan, dan beban yang diangkut.
Biaya polusi udara disebabkan oleh emisi polutan udara seperti par- tikulat (PM), NOx dan bukan logam senyawa organik yang mudah menguap (NMVOC).
Untuk keperluan internalisasi diperkirakan setiap emisi polutan dapat diperoleh dengan mengalikan jarak yang ditempuh dengan gram polutan per kilometer yang ditempuh. Itu perkiraan emisi polutan dari transportasi jalan didasarkan pada metodologi Tier 2 (EMEP /
24
EEA, 2010). Ini pendekatan mempertimbangkan bahan bakar yang digunakan untuk berbagai kategori dan teknologi kendaraan sesuai dengan kontrol emisi undang-undang.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Formulasi Masalah
Fungsi tujuan dari model penentuan rute kendaraan dalam pendis- tribusian barang pada penelitian ini adalah meminimumkan total jarak tempuh dari rute perjalanan kendaraan dengan memperhatikan batasan- batasan (kendala-kendala) yang ada sehingga rute-rute yang terbentuk merupakan rute-rute dengan jarak yang minimum yang memenuhi se- mua kendala-kendala tersebut.
Untuk menyederhanakan masalah maka dalam penelitian ini di- gunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:
1. Semua permintaan pelanggan dapat dipenuhi;
2. Jumlah permintaan pelanggan sudah diketahui sebelumnya;
3. Kendaraan yang digunakan mempunyai kapasitas yang berbeda;
4. Kecepatan kendaraan berbeda;
5. Jarak antarlokasi adalah simetrik, artinya jarak dari konsumen i ke konsumen j sama dengan jarak dari konsumen j ke konsumen i.
4.2 Model
Tujuan dari model matematik penentuan rute kendaraan yang dibuat adalah meminimumkan total jarak tempuh kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat pendistribusian ke sejumlah agen pelanggan yang tersebar di sejumlah tempat. Total jarak yang mini- mum dari rute-rute kendaraan dapat meminimumkan biaya dan dapat
26
mengurangi biaya operasional namun tetap memenuhi ketentuan- ke- tentuan dari manajemen perusahaan.
Kendaraan harus berangkat dari dan kembali ke simpul depot, tidak ada kendaraan yang dapat melebihi kapasitasnya dan setiap pelanggan dikunjungi dalam rentang waktu masing-masing. Rute ju- ga harus memenuhi waktu mengemudi maksimum yang diizinkan per hari. Tiga tujuan model adalah untuk meminimalkan total biaya inter- nal, sambil meminimalkan emisi CO2 dan NOx. Bab ini membahas ten- tang formulasi model matematika multi-objektif, berdasarkan metode Tchebycheff, mempertimbangkan lingkungan aspek sebagai bagian da- ri desain rute dalam kegiatan pengiriman suatu perusahaan.
Model eko-efisiensi multi-objektif mempertimbangkan dampak ling- kungan dalam mencari solusi dari perspektif multi-objektif. Model matematika yang digunakan diturunkan dari itu digunakan dalam Egua et al., (2013). Masalahnya didefinisikan sebagai membangun rute un- tuk satu set kendaraan heterogen yang dikenal, dengan berbagai je- nis kendaraan dan bahan bakar, untuk memenuhi permintaan semua pelanggan.
Berdasarkan formulasi masalah penentuan rute pendistribusian barang, maka secara matematis dapat dibuat dalam model berikut:
MOVRP didefinisikan pada graf G = {N, A} dengan N = {0, 1, . . . , n}
sebagai seperangkat node, di mana simpul 0 mewakili depot, dan node bernomor 1 hingga n mewakili titik pengiriman, dan A adalah satu set busur yang ditentukan antara masing-masing pasangan node.
Seperangkat m kendaraan heterogen yang ditunjukkan oleh Z = {1, 2, . . . , m}
tersedia untuk memberikan permintaan yang diinginkan dari semua pelanggan dari depot. Notasi berikut digunakan dalam membuat mo- del matematika dari MOVRP:
Di : Muatan yang diminta oleh simpul i ∈ {1, . . . , n}
Universitas Sumatera Utara
27
qk : Kapasitas kendaraan ∈ {1, . . . , m}
[ei, li] : Waktu paling awal dan terakhir untuk memulai layanan di simpul i ski : Waktu servis dalam simpul i dengan kendaraan k
dij : Jarak dari simpul i ke simpul j (i 6= j) tij : Waktu mengemudi antara node i dan j
Tk : Waktu mengemudi maksimum yang diizinkan untuk kendaraan k.
Perumusan masalah menggunakan variabel keputusan berikut:
xkij : Variabel biner, sama dengan 1 jika kendaraan k ∈ {1, . . . , m} bergerak dari node i ke j (i 6= j)
yik : Kapasitas kendaraan ∈ {1, . . . , m}
[ei, li] : Memulai waktu layanan pada simpul i ∈ {1, . . . , n}; y0k adalah waktu akhir
fi,jk : Beban dibawa oleh kendaraan k ∈ {1, . . . , m} dari node i ke j (i 6= j).
Menurut asumsi yang telah ditetapkan, kendala dari model pro- gram linier campuran-bilangan bulat adalah sebagai berikut:
Xn j=1
xkoj ≤ 1(k = 1, . . . , m) (4.1)
Kendala (4.1) berarti bahwa setiap kendaraan berangkat dari de- pot sekali atau tidak, yaitu, tidak lebih dari kendaraan m (ukuran armada) berangkat dari depot.
Xn j=0
xkij − Xn
j=0
xkji = 0(k = 1, . . . , m; i = 1, . . . , n; j 6= i) (4.2)
Kendala (4.2) adalah aliran konservasi pada setiap node.
28
Xm k=1
Xn j=0
xkij = 1(i = 1, . . . , n; j 6= i) (4.3)
Kendala (4.3) menjamin bahwa setiap pelanggan dan pemasok dikunjungi tepat sekali.
Xn i=1
Di
Xn j=0
xkij ≤ qk(k = 1, . . . , m; j 6= i) (4.4)
Kendala (4.4) memastikan bahwa tidak ada kendaraan yang kelebi- han muatan.
yki + ski + tkij ≤ yjk+ Tk(1 − xkij(i = 1, . . . , n; j = 0, . . . , n; j 6= i; k = 1, . . . , m) (4.5)
toj ≤ yjk + Tk(1 − xkoj) + (j = 1, . . . , n; j = 0, . . . , n; k = 1, . . . , m) (4.6)
Waktu mulai layanan dihitung dalam kendala (4.5) dan kendala (4.6), dimana y0k adalah waktu berakhirnya tur untuk kendaraan k jika variabel-variabel ini diminimalkan dalam fungsi objektif. Kendala ini juga menghindari sub-tur.
ei≤ yik ≤ li(i = 1, . . . , n; k = 1, . . . , m) (4.7)
Kendala (4.7) menentukan time windows pada setiap pelanggan.
yko ≤ Tk(k = 1, . . . , m) (4.8)
Universitas Sumatera Utara
29
Kendala (4.8) menghindari melebihi waktu mengemudi maksi- mum yang diizinkan.
Xm k=1
Xn j=0
fjik − Xm k=1
Xn j=0
fijk = Di(i = 1, . . . , n) (4.9)
fijk ≤ (qk − Di)xkij(i = 0, . . . , n; j = 0, . . . , n; j 6= i; k = 1, . . . , m) (4.10) Djxkij ≤ fijk(j = 1, . . . , n; i = 0, . . . , n; i 6= j; k = 1, . . . , m) (4.11)
Kendala (4.10) dan (4.11) digunakan untuk membatasi beban to- tal yang diangkut kendaraan tergantung pada apakah itu tiba atau meninggalkan pelanggan.
Kemudian, solusi rute harus meminimalkan kriteria (1) biaya in- ternal (biaya pengemudi, biaya energi, biaya tetap kendaraan-penyusutan, inspeksi, asuransi, biaya pemeliharaan dan biaya tol), (2) CO2 dan (3) emisi NOx. Biarkan F1(x, y, f ), F2(x, f ) dan F3(x) menjadi biaya inter- nal, emisi CO2 dan NOx emisi masing-masing. Ekspresi dari setiap fungsi tujuan diberikan oleh:
F1(x, y, f ) = Xm k=1
pkyok+ Xn
i=0
Xn j=0
Xm k=1
XR r=1
f crδkrdij(f ek + xkij+ f eukfijk)
+ Xn
i=1
Xm k=1
f xkxk0i+ Xn
i=0
Xn j=0
Xm k=1
mnkdijxkij + Xn
i=0
Xn j=0
Xm k=1
tlijxkij, j 6= i
(4.12)
F2(x, f ) = Xn
i=0
Xn j=0
Xm k=1
XR r=1
δkrefC02,rdij(f ekxkij + f eukfijk), j 6= i (4.13)
F3(x) = Xn
i=0
Xn j=0
Xm k=1
XR r=1
XT t=1
Xp p=1
δkrγktefptdijxkij, j 6= i (4.14)
dengan parameter yang digunakan sebagai berikut:
30
pk = Biaya pengemudi pada kendaraan k per satuan waktu f cr = Biaya unit jenis bahan bakar r
f ek = Konsumsi bahan bakar untuk kendaraan kosong k
f euk = Konsumsi bahan bakar per unit beban tambahan dalam kendaraan k δkr = Sama dengan 1 jika kendaraan k menggunakan jenis bahan bakar r f xk = Biaya tetap kendaraan k
mnk = Biaya pemeliharaan preventif, perbaikan dan ban per km kendaraan k tlij = Biaya tol yang terkait dengan arc (i, j)
efCO2,r = Faktor emisi, jumlah CO2 yang dipancarkan per unit bahan bakar yang dikonsumsi
γkt = Sama dengan 1 jika kendaraan k milik teknologi t
Universitas Sumatera Utara
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan yang didapatkan dalam penelitian ini, maka dapat dibuat beberapa simpulan:
1. Masalah distribusi barang dapat diformulasikan dalam model multi- objektif yang dikaitkan dengan Vehicle Routing Problem.
2. Tiga tujuan fungsi yang dipertimbangkan adalah untuk memini- malkan total biaya internal,sambil meminimalkan beberapa per- timbangan lingkungan seperti emisi CO2 dan NOx. Model ini memberikan kontribusi positif menuju keseimbangan yang lebih berkelanjutan antara tujuan ekonomi, lingkungan dan sosial.
5.2 Saran
1. Penelitian ini dapat dikembangkan untuk menyelesaikan masalah penentuan rute kendaraan dengan jumlah data yang lebih banyak.
2. Penelitian ini juga dapat dikembangkan untuk menyelesaikan masalah penentuan rute kendaraan dengan mempertimbangkan kendala waktu.
DAFTAR PUSTAKA
Bae, H., dan Moon, I. (2016). Multi depot vehicle routing problem with time windows considering delivery and installation vehicles.
Applied Mathematical Modelling, Volume 40, Issue 10,6536-6549.
Belfiore, P., dan Yoshizaki. (2009). Scatter Search for a Real-Life Het- erogeneous Fleet Vehicle Routing Problem with Time Windows and Split Deliveries in Brazil, European Journal of Operational Research, 199(3) pp. 750-758.
Belmecheri, F., Prins, C., dan Yalaoui, F. (2010). Particle Swarm Op- timization Algorithm for a Vehicle Routing Problem with Hetero- geneous Fleet, mixed Backhauls, and Time Windows.24th IEEE International Parallel and Distributed Processing Symposium, Atlanta, GA, USA, 6 Pages.
Braysy O., dan Gendreau, M. (2001). Genetic Algorithms for the Vehi- cle Routing Problem with Time Windows. Arpakannus, 1, pp.33- 38.
Chen, M. J., Sheng, Z. Z., dan Shi, J. S. (2008). Study on ant colony algorithm for multi-depots vehicle routing problem withmultiple constraints. Zhongguo Jixie Gongcheng/China Mechanical En- gineering, Volume 19, Issue 16,1939-1944.
Crevier, B., Cordeau, J. F., dan Laporte, G. (2007). The multi-depot vehicle routing problem with inter-depot routes. European Jour- nal of Operational Research, Volume 176, Issue 2, 756-773.
Eguia, I., Racero, J., Molina, J.C., dan Guerrero, F. (2013). Environ- mental Issues in Vehicle Routing Problems. Sustainability Ap- praisal: Quantitative Methods and Mathematical Techniques for Environmental Performance Evaluation. Springer, Berlin Heidel- berg: pp.215-241.
EMEP/EEA (2010). Emission inventory guidebook 2009, updated June 2010. European Environment Agency (EEA).
Foulds L. R. (1992). Graph Theory Applications. New York: Springer- Verlag.
Hvattum, L. M., Lokketangen, A., dan Laporte, G. (2006). Solving a Dynamic and Stochastic Vehicle Routing Problem with a Sample Scenario Hedging Heuristic; vol. 40, no. 4, Nov, pp. 421-438.
IDSIA Instituto Dalle Molle di Studi sull Intelegensia Artificiale.
(2007). Vehicle Routing Problem. http://www.idsia.ch/. Tang- gal akses: 24 Maret 2019.
Jeon, G., Leep, H. R., dan Shim, J. Y. (2007). A vehicle routing prob- lem solved by using hybrid genetic algorithm. Computers and Industrial Engineering, Volume 53, Issue 4, 680-692.
32 Universitas Sumatera Utara
33
Jozefowiez, N., Semet, F., dan Talbi, E. (2002). Parallel and Hybrid Models for Multiobjective Optimization: Application to the Vehi- cle Routing Problem. In Parallel Problem Solving from Nature- PPSN VII, pages 271-280.
Kallehauge B., Larsen J., dan Marsen OBG. (2001). Lagrangean Du- ality Applied on Vehicle Routing Problem with Time Windows.
Technical Report. IMM. Technical University of Denmark.
Lau, H. C. W., Chan, T. M., Tsui, W. T., dan Pang, W. K. (2010).
Application of genetic algorithms to solve the multidepot vehicle routing problem. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, Volume 7, Issue 2, 383-392.
Munir, R. (2003). Matematika Diskrit, Edisi ke-2. Bandung: PT. In- formatika.
Ralphsy T. K., Kopmanz L., Pulleyblankx W. R., dan Trotter L. E.
(2001). On the Capacitated Vehicle Routing Problem. Revisi De- cember 17, 2001.
Rodrigue, J. P. (2013). Geography of Transport Systems. New York:
Routledge.
Sarker R. A., dan Charles S.N. (2008). Optimization Modelling: A Practical Introduction. New York (US): CRC Pr.
SF Ghannadpour, M Hooshfar
Toth P., dan Vigo D. (2002). An Overview of Vehicle Routing Prob- lems. Di dalam Toth, P. et al., editor. The Vehicle Routing Prob- lem. Philadelphia: Siam. hlm. 1-26.
Watanabe, S., dan Sakakibara, K. (2008). A Multiobjectivization Ap- proach for Vehicle Routing Problems. Muroran Institute of Tech- nology, Ritsumeikan Univ., Japan.
Wang, Y. (2013). Constraint Cellular Ant Algorithm for the Multi- Objective Vehicle Routing Problem. JOURNAL OF SOFT- WARE, VOL. 8, NO. 6. Geography Department, Dezhou Uni- versity, Dezhou, Shandong, China.
