TINJAUAN PUSTAKA
3.5. Travelling Salesman Problem
Masalah Travelling Salesman Problem (TSP) adalah salah satu contoh yang paling banyak dipelajari dalam combinatorial optimization. Masalah ini mudah untuk dinyatakan tetapi sangat sulit untuk diselesaikan. TSP termasuk kelas NP-Hard problem dan tidak dapat diselesaikan secara optimal dalam Polynomial computation time dengan algoritma eksak. Bila diselesaikan secara eksak waktu komputasi yang diperlukan akan meningkat secara eksponensial seiring bertambah besarnya masalah.
TSP dapat dinyatakan sebagai permasalahan dalam mencari jarak minimal sebuah tour tertutup terhadap sejumlah n kota dimana kota-kota yang ada hanya dikunjungi sekali. TSP direpresentasikan dengan menggunakan sebuah graph lengkap dan berbobot G = (V, E) dengan V himpunan titik yang merepresentasikan himpunan titik - titik, dan E adalah himpunan dari sisi. Setiap sisi (r,s) ∈ E adalah nilai (jarak) dn yang merupakan jarak dari kota r ke kota s, dengan (r,s) ∈ V. Dalam TSP simetrik (jarak dari kota r ke titik s sama dengan jarak dari titik s ke titik r), untuk semua sisi (r,s) ∈ E. Misalkan
terdapat n buah titik maka graph tersebut memiliki
( )
( )
−2!2! ! n nbuah sisi, sesuai dengan
rumus kombinasi, dan juga memiliki
( )
− 2 ! 1 n
buah tour yang mungkin.
Dalam sebuah graph, TSP digambarkan seperti Gambar 3.10.
A B C D E 3 2 6 5 4 3 2 2 Sisi Kota 5
Gambar 3.10. Ilustrasi masalah Travelling Salesman Problem
Berikut adalah contoh kasus TSP: “Diberikan sejumlah kota dan jarak antar kota. Tentukan sirkuit terpendek yang harus dilalui oleh seorang pedagang bila pedagang itu berangkat dari sebuah kota asal dan menyinggahi setiap kota tepat satu kali dan kembali lagi ke kota asal keberangkatan.
Apabila kita mengubah contoh kasus tersebut menjadi persoalan pada graph, maka dapat dilihat bahwa kasus tersebut adalah bagaimana menentukan sirkuit Hamilton yang memiliki bobot minimum pada graph tersebut.
Seperti di ketahui, bahwa untuk mencari jumlah sirkuit Hamilton di dalam graph lengkap dengan n titik adalah : (n - 1)!/2.Seperti Gambar 3.11.
A B C D 10 5 9 12 8 15
Gambar 3.11. Graph ABCD
Pada gambar 3.11. diatas, graph memiliki
( )
32 ! 1 4 =
− sirkuit Hamilton, yaitu:
L1 = (A,B,C,D,A) atau (A,B,C,D,A) => panjang = 10 + 12 + 8 + 15 = 45
L2 = (A,C,D,B,A) atau (A,B,D,C,A) => panjang = 12 + 5 + 9 + 15 = 41
L3 = (A,C,B,D,A) atau (A,D,B,C,A) => panjang = 10 + 5 + 9 + 8 = 32
A B C D 10 12 8 15 A B C D 5 9 12 15 A B C D 5 9 10 8 L1 L2 L3
Gambar 3.12. Sirkuit Hamilton
Pada Gambar 3.12. diatas terlihat jelas bahwa sirkuit Hamilton terpendek adalah L3 = (A, C, B, D, A) atau (A, D, B, C, A) dengan panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32. Jika jumlah titik n = 20 akan terdapat (19!)/2 sirkuit Hamilton atau sekitar 6 × 1016
Dalam kehidupan sehari-hari, kasus TSP ini dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan kasus lain, diantaranya yaitu :
penyelesaian.
1. Tukang Pos mengambil surat di kotak pos yang tersebar pada n buah lokasi di berbagai sudut kota.
2. Lengan robot mengencangkan n buah mur pada beberapa buah peralatan mesin dalam sebuah jalur perakitan.
3. Mobil pengangkut sampah mengambil sampah pada tempat – tampat pembuangan sampah yang berada pada n buah lokasi diberbagai sudut kota.
4. Petugas Bank melakukan pengisian uang pada sejumlah mesin ATM di n buah lokasi.
Dalam sistem jaringan manufaktur, dimungkinkan terdapatnya satu unit gudang induk bahan baku dan beberapa unit produksi yang terpisah satu dengan yang lain. Dalam literatur, masalah rute kendaraan ini disebut sebagai permasalahan distribusi bahan baku dari satu gudang induk ke beberapa unit produksi yang saling terpisah.
Secara rutin sebuah perusahaan melakukan pengiriman barang kepada konsumen yang tersebar di atas area geografis yang dilayani oleh fasilitas-fasilitas perusahaan.
Dalam hal ini perusahaan melakukan pengiriman barang dengan sejumlah armada kendaraan. Secara khusus, setiap kendaraan mengunjungi beberapa lokasi pelanggan. Pengelilingan kendaraan meliputi perencanaan operasi armada kendaraan untuk mengirim barang atau untuk menghasilkan pelayanan.
Masalah pengelilingan kendaraan atau penyusunan rute kendaraan disadari berbeda dalam hal ukuran dan kerumitan. Berdasarkan dua contoh yang mudah: perusahaan roti ukuran sedang mungkin menggunakan sebuah armada kendaraan kecil untuk membawa produknya kepada berbagai pelanggan di daerah kecil. Sebuah surat kabar lokal mungkin menggunakan van-van kecil untuk membawa surat kabarnya dari fasilitas percetakan ke titik-titik penurunan tertentu. Pada contoh-contoh ini, setiap kendaraan memenuhi kendaraannya dari fasilitas pusat, membuat urutan-urutan pemberhentian pada titik-titik pengiriman, dan kembali ke fasilitas setelah pemberhentian terakhir.
Masalah penyusunan rute ini dapat menjadi sulit untuk operasi-operasi yang lebih besar sesuai dengan banyaknya fasilitas yang dimiliki, banyaknya pelanggan, area pelayanan, dan ukuran peningkatan armada/kemampuan jangkauan armada. Kunci keputusan penyelesaian masalah rute kendaraan adalah mendesain rute-rute untuk kendaraan. Rute adalah urutan pemberhentian-pemberhentian dimana sebuah kendaraan mengunjungi antara dua kedatangan berturut-turut terhadap depot. Rute distribusi produk adalah urutan pemberhentian berturut-turut terhadap depot dan proses perencanaan dari titik awal (Perusahaan) ke titik konsumsi (Konsumen) untuk memenuhi kebutuhan konsumen. Solusi optimal adalah Pencarian atau Penyelesaian masalah yang baik dalam penentuan rute dan penjadwalan kendaraan yang paling efisien/tepat. Urutan masalah penyusunan rute yang paling mudah terjadi ketika kita
melihat sebuah rute tunggal yang mengunjungi semua pelanggan dan meminimisasi waktu total perjalanan. Hal inilah yang disebut masalah perjalanan salesman (Travelling
Salesman Problem) yang dapat dilihat pada Gambar 3.13.
25 25 60 50 40 40 45 Depot
Gambar 3.13. Contoh Travelling Salesman Problem
Permasalahan penjadwalan kendaraan/alat angkut mempunyai banyak variasi, namun dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis saja. Diantaranya adalah:
1. Permasalahan penjadwalan kendaraan dengan tujuan tunggal dan sumber tunggal dan terpisah (separate and single origin and destination point).
2. Permasalahan penjadwalan kendaraan dengan beberapa tujuan dan beberapa sumber (multiple origin and destination point).
3. Permasalahan penjadwalan kendaraan dengan titik sumber dan tujuan akhir yang sama (coincident origin and destination point).
4. Titik-titik yang terhubung secara spasial (points are spatially related)
5. Titik-titik yang tidak terhubung secara spasial (points are not spatially related) Penyelesaian yang baik untuk permasalahan rute kendaraan untuk sebuah masalah yang nyata dapat ditemukan dengan menggunakan pola kapabilitas pengenalan dengan pemikiran manusia. Urutan berhenti yang baik terbentuk ketika rute tidak saling menyilang. Rancangan rute yang baik dan buruk dapat dilihat pada Gambar 3.14.
Berdasarkan pada dua prinsip ini, seorang analis dapat menggambar secara cepat sebuah rute yang mungkin dengan bantuan komputer baru dapat diselesaikan dalam beberapa jam6
Rute yang jelek-jalur menyilang Rute yang bagus tidak ada jalur menyilang .
Gambar 3.14. Contoh Urutan rute yang bagus dan jelek
Pengambil keputusan, seperti pengelola truk, dapat mengambil rute yang panjang untuk mengembangkan penjadwalan dan rute truk yang baik dengan mengaplikasikan delapan prinsip. Prinsip-prinsip itu adalah sebagai berikut :
1. Muat truk dengan volume tertentu yang merupakan volume perkiraan terdekat dengan yang lain.
6
2. Perhentian pada beberapa hari harus diatur untuk menghasilkan klaster yang ketat. Ballou, Ronald, Business Logistics Management (New Jersey : Prentice-Hall International, Inc., 1999), pp. 204-209.
3. Membangun rute dimulai dengan perhentian paling jauh dari depot. 4. Urutan perhentian untuk sebuah rute truk harus membentuk sebuah pola.
6. Pengangkutan lebih baik digabungkan dengan rute pendistribusian daripada diletakkan pada akhir rute.
7. Sebuah perhentian yang dipindahkan dari sebuah klaster rute adalah sebuah alternatif yang baik untuk alternatif-alternatif pendistribusian.
8. Pembatas jendela untuk waktu perhentian terdekat harus dihindari.
Perbandingan antara klaster yang baik dan jelek untuk kendaraan/alat angkut dapat dilihat pada Gambar 3.15.
Klaster yang jelek Klaster yang lebih baik
Gambar 3.15. Klaster untuk Kendaraan/ Alat Angkut
Permasalahan penjadwalan jenis ke 3 sebenarnya merupakan tipe lain dari permasalahan penjadwalan jenis ke 1. Namun dengan adanya ketentuan agar kendaraan atau alat angkut untuk kembali ke titik asal (sumber) maka permasalahan jenis ke 1 menjadi lebih kompleks. Permasalahan jenis ke 3 bisa terjadi jika kendaraan yang digunakan untuk mengangkut adalah kendaraan pribadi perusahaan. Permasalahan jenis ke 3 ini sering dikenal dengan Travelling Salesman Problem.