BAB I PENDAHULUAN
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menetapkan harga premi asuransi jiwa endowmen dengan kontrak partisipasi
yang mengandung opsi surrender.
2. Memberikan ilustrasi secara numerik harga premi asuransi jiwa endowmen
dengan kontrak partisipasi yang mengandung opsi surrender untuk berbagai parameter yang tedapat pada model.
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori dasar yang digunakan untuk menetapkan harga premi pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen yang terdapat opsi surrender dalam kontraknya, di antaranya sebagai berikut:
2.1 Asuransi
2.1.1 Pengertian Asuransi
Asuransi adalah suatu perjanjian antara dua pihak, yaitu pihak penanggung (perusahaan asuransi) dan tertanggung (nasabah). Perusahaan asuransi mengeluarkan polis (kesepakatan) yang di dalamnya terdapat kewajiban masing-masing pihak. Tertanggung mempunyai kewajiban membayar premi pada
perusahaan asuransi, sedangkan penanggung memberikan benefit kepada
pemegang polis sebagai pengganti kerugian yang dialami tertanggung, sesuai dengan ketentuan yang telah ditetapkan.
2.1.2 Jenis Asuransi
Asuransi terdiri atas dua jenis, yaitu asuransi kerugian dan asuransi jiwa. Asuransi kerugian merupakan asuransi yang tidak menyangkut jiwa atau kematian seorang pemegang polis, misalnya asuransi kendaraan bermotor, asuransi harta benda dan lainnya.
Asuransi jiwa terdiri atas beberapa jenis, di antaranya sebagai berikut: 1. Asuransi jiwa berjangka (term insurance).
2. Asuransi seumur hidup (whole insurance).
3. Asuransi endowmen murni (pure endowment insurance).
4. Asuransi endowmen (endowment insurance).
2.1.3 Pengertian Asuransi Jiwa Endowmen
Asuransi jiwa endowmen (dwiguna) adalah asuransi yang memberikan
benefit jika pemegang polis meninggal dunia selama jangka waktu perjanjian atau masih hidup sampai waktu jatuh tempo perjanjian. Benefit dibayarkan perusahaan asuransi di akhir tahun kematian jika pemegang polis meninggal dunia, atau pada
saat jatuh tempo perjanjian apabila pemegang polis (tertanggung) tersebut masih hidup.
2.1.4 Pengertian Benefit pada Asuransi
Benefit adalah pembayaran pertanggungan oleh perusahaan asuransi sebagai pengganti kerugian yang diderita tertanggung, atau pembayaran berdasarkan meninggal atau hidupnya seorang tertanggung (pemegang polis).
2.1.5 Pembayaran Premi oleh Pemegang Polis
Premi adalah nilai yang dibayarkan oleh pemegang polis kepada perusahaan asuransi untuk memperoleh pertanggungan. Besarnya premi yang dibayarkan oleh
pemegang polis bergantung pada benefit yang dibayarkan oleh perusahaan
asuransi. Premi pada perusahaan asuransi dapat dibayarkan secara periodik, misalnya secara tahunan dalam bentuk barisan premi tahunan. Dalam hal ini
pembayaran premi berkaitan dengan anuitas hidup (life annuity), yaitu
pembayaran yang dilakukan selama tertanggung masih hidup.
Berdasarkan waktu pembayarannya, anuitas terdiri atas dua jenis, yaitu anuitas yang pembayarannya dilakukan di awal tahun dan anuitas yang pembayarannya di akhir tahun, apabila premi yang dibayarkan oleh pemegang polis dilakukan secara tahunan.
Nilai sekarang aktuaria (actuarial present value) dari anuitas yang
pembayarannya dilakukan di awal tahun dinotasikan dengan
: dan
didefinisikan sebagai:
: , dengan .
dengan x adalah usia seseorang menjadi peserta asuransi, T jangka waktu
pembayaran, faktor diskon pada waktu t , , … , , tingkat suku
bunga pada perusahaan asuransi dan merupakan peluang seorang berumur x
masih hidup pada umur .
2.1.6 Cadangan Benefit pada Asuransi
Pada asuransi jiwa, selain benefit terdapat juga cadangan benefit, di mana cadangan benefit adalah perbedaan antara nilai tunai (actuarial present value) dari
benefit dan premi pada waktu yang akan datang.
Cadangan benefit pada asuransi endowmen T tahun dinotasikan dengan
: , didefinisikan sebagai:
: : : : , .
dengan
: menyatakan nilai tunai dari asuransi endowmen berjangka
bagi seseorang berusia dengan tingkat suku bunga i, : adalah premi
bersih tahunan untuk : (nilai tunai dari asuransi endowmen berjangka bagi seseorang berusia ) dan
: nilai tunai dari anuitas berjangka yang
pembayarannya di awal tahun bagi seseorang berusia dengan tingkat suku
bunga i.
(Bowers, 1997) 2.1.7 Pengertian Polis Partisipasi
Polis partisipasi adalah suatu polis asuransi di mana pemegang polis diikutsertakan ke dalam pembagian keuntungan perusahaan. Biasanya keuntungan dimasukkan ke dalam cadangan polis pada tiap akhir tahun kontrak, sehingga mengakibatkan perubahan benefit yang diterima oleh pemegang polis.
2.2 Opsi
2.2.1 Pengertian Opsi
Opsi merupakan salah satu instrumen derivatif yang berkembang di pasar bursa, sedangkan pengertian opsi tersebut adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana salah satu pihak mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan dan pada waktu yang telah ditentukan pula.
2.2.2 Jenis Opsi
Opsi terdiri atas dua jenis, yaitu opsi call dan opsi put. Opsi call
memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli aset dasar (underlying
asset) pada waktu dan harga yang telah ditentukan, sedangkan opsi put
memberikan hak untuk menjual aset dasar pada waktu dan harga yang telah ditentukan.
Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Amerika dan opsi Eropa. Opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sebelum atau pada saat jatuh tempo dan opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat jatuh tempo.
(Hull, 2006) 2.2.3 Opsi Surrender
Opsi surrender merupakan suatu pilihan yang diberikan kepada pemegang
polis oleh perusahaan asuransi. Pilihan tersebut adalah hak untuk mengakhiri suatu kontrak dan akan menerima nilai surrender.
2.2.4Penetapan Harga Opsi dengan Model Binomial
Misalkan harga saham saat ini dalam sebuah opsi dinotasikan dengan S dan opsi memiliki satu periode eksekusi sebelum jatuh tempo serta periode dimulai
pada saat . Ketika opsi jatuh tempo, harga saham akan mengambil satu dari
dua nilai, yaitu meningkat dengan faktor u atau menurun dengan faktor d. Apabila
meningkat harga saham dinotasikan dengan dan menurun dengan .
Jika harga opsi call adalah c dan harga pada kontrak adalah K, maka saat jatuh tempo opsi call menjadi atau . Perubahan saham dan opsi untuk satu periode dapat dilihat pada gambar berikut
Su S c
Sd
Sehingga opsi call mempunyai nilai intrinsik sebagai berikut
Misalkan tingkat suku bunga bebas risiko, yang dinotasikan dengan r,
merupakan tingkat suku bunga selama periode opsi. Tingkat suku bunga ini berada di antara tingkat imbal hasil harga saham naik atau turun, yaitu
. (2.3) Misalkan sebuah portofolio terdiri atas beberapa saham dan satu opsi call. Nilai portofolio saat ini dinotasikan dengan V dan didefinisikan sebagai berikut
.
Pada akhir periode nilai portofolio akan menjadi jika harga saham naik dan jika harga saham turun, yang ditentukan oleh:
dan . .
Posisi bebas risiko diperoleh apabila , dengan demikian nilai
adalah:
. .
Nilai portofolio V setelah satu periode menjadi , yang dengan menggunakan suku bunga diskret menjadi:
. .
Substitusikan persamaan (2.5) pada persamaan (2.6) sehingga diperoleh harga opsi call:
dengan . .
(Chance, 2004) 2.2.5 Harga Aset pada Binomial Tree
Model binomial tree dua periode untuk harga aset (saham), dapat dilihat pada gambar berikut
Harga aset pada waktu 0 adalah , pada waktu ∆ harga aset atau , pada
waktu ∆ harga aset adalah , atau . Dengan demikian harga aset pada
dua periode adalah salah satu dari:
, , , dengan . .
Berdasarkan persamaan (2.8) maka diperoleh harga aset pada i periode adalah salah satu dari:
, , , , … , .
(Hull, 2006) 2.3 Peluang
Definisi 2.1 Percobaan Acak
Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, namun hasil dari percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi bisa diketahui kemungkinan hasil yang mungkin.
(Hogg dan Craig, 1995) Definisi 2.2 Ruang Contoh dan Kejadian
Himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Himpunan bagian dari suatu ruang contoh disebut kejadian.
(Hogg dan Craig, 1995) Definisi 2.3 Peubah Acak
Misalkan Ω adalah ruang contoh pada sebuah percobaan. Fungsi bernilai real X:Ω→R adalah peubah acak pada percobaan jika untuk setiap interval
I R, { s : X (s) I} adalah sebuah kejadian.
Definisi 2.4 Peluang Binomial
Suatu peubah acak X dikatakan menyebar binomial dengan parameter n dan
p, jika fungsi massa peluang dari X adalah:
; , , , , , … ,
(Ghahramani, 2005) Definisi 2.5 Proses Stokastik
Proses stokastik , adalah suatu koleksi (gugus, himpunan,
atau kumpulan) dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh (sample
spase) Ω ke suatu ruang stateS.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992) Definisi 2.6 Nilai Harapan Peubah Acak Diskret
Nilai harapan dari peubah acak diskret X dinotasikan dengan dan
didefinisikan sebagai:
.
(Ross, 1996) Definisi 2.7 Ragam Peubah Acak
Ragam dari peubah acak X didefinisikan dengan:
.
(Ross, 1996) Definisi 2.8 Gerak Brown
Proses stokastik , disebut proses gerak Brown jika:
1. .
2. Untuk , peubah acak ,
, , … , saling bebas.
3. Untuk setiap , menyebar normal dengan rataan 0 dan ragam .
BAB III
PENETAPAN HARGA PREMI PADA KONTRAK
PARTISIPASI ASURANSI JIWA ENDOWMEN DENGAN OPSI
SURRENDER
Pada bab ini akan ditentukan harga premi pada polis partisipasi yang terdapat opsi surrender pada kontraknya. Tetapi sebelumnya diuraikan tentang kontrak partisipasi dan beberapa nilai pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen.
3.1 Kontrak Partisipasi pada Asuransi Jiwa Endowmen
Pada asuransi jiwa endowmen terdapat beberapa hal yang diperlukan untuk menentukan nilai kontrak partisipasi, yaitu nilai tunai asuransi jiwa endowmen, premi awal pada asuransi jiwa endowmen tanpa surrender, cadangan polis pada asuransi jiwa endowmen, premi dan benefit pada waktu t asuransi jiwa endowmen, nilai bonus pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen dan
surrender pada polis partisipasi asuransi endowmen. 3.1.1 Nilai Tunai Asuransi Jiwa Endowmen
Misalkan x adalah usia seseorang saat menjadi peserta asuransi jiwa endowmen dan adalah benefit yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi pada waktu ( , , … , ), dengan T adalah waktu jatuh tempo kontrak (perjanjian). Jika besarnya benefit yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi endowmen T tahun sebesar satu satuan di akhir tahun kematian tertanggung, maka: , , , … , , , , … , , , , … (3.1) , , , … , , , , …
dengan adalah faktor diskon pada waktu , Z nilai tunai (present value) dari benefit sebesar satu satuan, adalah peubah acak yang menyatakan sisa
waktu hidup seorang tertanggung dan , dengan adalah tingkat suku bunga.
Berdasarkan persamaan (3.1), maka diperoleh nilai tunai (actuarial present value) dari asuransi jiwa endowmen dengan jangka waktu T tahun pada seorang tertanggung yang berumur x sebagai berikut:
: | , .
dengan | adalah peluang seseorang meninggal antara umur dan serta peluang seseorang berumur x tahun masih hidup pada umur
.
(Bowers, 1997)
3.1.2 Premi Awal pada Asuransi Jiwa Endowmen Tanpa Surrender
Menurut Bowers (1997), besarnya premi bersih (premi tanpa memperhitungkan faktor biaya administrasi dan sebagainya) yang dibayarkan oleh pemegang polis pada perusahaan asuransi jiwa endowmen dengan jangka T tahun untuk benefit sebesar satu satuan adalah:
:
: :
. .
Berdasarkan persamaan (3.3), jika benefit awal adalah maka besarnya premi awal pada polis asuransi jiwa adalah:
:
: :
. .
Substitusikan persamaan (2.1) dan (3.2) pada persamaan (3.4), maka diperoleh: : : ∑ | ∑ ∑ | ∑
∑ | ∑ ∑ | ∑ ∑ | ∑ ∑ | ∑ , .
dengan | adalah peluang seseorang berumur x meninggal antara umur dan serta peluang seseorang berumur x masih hidup pada
waktu .
3.1.3 Cadangan Polis pada Asuransi Jiwa Endowmen
Misalkan premi yang dibayarkan pemegang polis dinotasikan dengan ,
benefit dengan untuk ( , , … , dan cadangan polis dengan . Berdasarkan persamaan (2.2), jika cadangan polis sama dengan cadangan benefit
pada asuransi jiwa endowmen, maka diperoleh cadangan polis pada asuransi jiwa endowmen sebagai berikut:
: :
|
|
|
(3.6) dengan | adalah peluang pemegang polis berumur meninggal antara
umur dan dan peluang pemegang polis berumur
masih hidup sampai umur serta premi yang dibayarkan pada
3.1.4 Premi dan Benefit pada Waktu t untuk Asuransi Jiwa Endowmen
Pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen, benefit mengalami perubahan setiap tahun. Hal ini menyebabkan perubahan pada besarnya premi tahunan dan cadangan polis. Perubahan benefit dinotasikan dengan Δ , perubahan premi dengan Δ dan perubahan cadangan polis dengan Δ . Perubahan ini mempunyai proporsi masing-masing dan dinyatakan dengan:
Δ , , , … , ,
Δ , , , … , , .
Δ , , , … , ,
dengan adalah nilai peningkatan dari benefit, nilai peningkatan dari premi dan nilai bonus atau keuntungan yang dibagikan oleh perusahaan asuransi pada pemegang polis dan rentang nilai , dan antara 0 dan 1. Jika cadangan polis pada persamaan (3.6) disesuaikan dengan masing-masing perubahan yang terdapat pada persamaan (3.7), maka diperoleh:
: :
: :
Δ Δ : Δ :
Δ Δ : Δ : , , , … , – . .
Berdasarkan persamaan (3.7), total premi dan total benefit berturut-turut adalah: Δ Δ Δ Δ . Δ Δ Δ Δ , .
dengan , , … , .
3.1.5 Nilai Bonus pada Polis Partisipasi Asuransi Jiwa
Menurut Bacinello (2001), nilai bonus dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai:
, , , , … , , .
dengan adalah nilai perubahan dalam portofolio selama t tahun kontrak dan koefisien partisipasi yang nilainya antara 0 dan 1 serta suku bunga jaminan minimum.
3.1.6 Surrender pada Polis Partisipasi Asuransi Jiwa
Surrender adalah suatu hak pemegang polis untuk mengakhiri kontrak. Pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen keputusan surrender diambil pada awal tahun, setelah pengumuman benefit dan sebelum pembayaran premi. Nilai
surrender yang diterima pemegang polis pada tahun t dinotasikan dengan dan nilainya bergantung pada benefit .
3.2 Penilaian pada Polis Partisipasi
Pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen, polis tahunan terdiri atas N
periode dan masing-masing periode ditentukan beberapa nilai, sehingga nilai kontrak menjadi wajar. Nilai-nilai tersebut adalah nilai hasil pada portofolio, peluang risiko netral, nilai hasil portofolio pada N + 1 dan nilai bonus pada tiap periode.
1. Nilai Hasil pada Portofolio
Kontrak partisipasi pada asuransi jiwa endowmen dipengaruhi oleh kematian dan risiko keuangan. Risiko keuangan yang mempengaruhi polis diakibatkan oleh nilai portofolio. Dalam hal ini, diasumsikan bahwa portofolio kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen divariasikan dengan baik (well diversified) dan dipisahkan menjadi unit. Kemudian semua nilai yang dihasilkan oleh aset diinvestasikan kembali dan akan meningkatkan harga unit.
Nilai pada portofolio ditentukan oleh perubahan dari nilai unit. Jika adalah harga unit pada waktu , maka nilai perubahan portofolio adalah:
, , , … , , .
2. Peluang Risiko Netral
Harga unit pada waktu diskret ∆ , , … ; , , … ,
mempunyai dua nilai yang mungkin, yaitu harga unit pada waktu naik dan harga unit pada waktu turun. Misalkan periode dalam 1 tahun dinotasikan dengan N dan Δ . Dalam perubahan harga pada waktu Δ, peluang p pada persamaan (2.7) merupakan peluang risiko netral. Sehingga diperoleh:
∆
dan ∆ , (3.12) dengan adalah tingkat bunga bebas risiko.
Misalkan parameter volatilitas √Δ dan harga unit meningkat bebas dan menyebar normal maka standar deviasi dari nilai unit dalam jarak waktu ∆ adalah √∆ . Menurut Hull (2006) ragam dari harga unit adalah ∆,
kemudian diperoleh:
∆.
Substitusi nilai persamaan (3.12) sehingga diperoleh:
∆ ∆ ∆,
faktor naik √Δ dan faktor turun √Δ .
3. Nilai Portofolio pada N + 1
Peubah acak menyatakan perubahan nilai portofolio yang diasumsikan menyebar bebas stokastik dan identik. Pada diambil satu nilai yang mungkin untuk nilai portofolio dan dinotasikan dengan . Berdasarkan persamaan (3.11), maka diperoleh:
, , , … ,
4. Nilai Bonus pada Tiap Periode
Menurut Bacinello (2003), nilai bonus untuk , , … ,
menyebar bebas dan identik, sehingga pada tiap periode dalam waktu setahun dapat diambil nilai yang mungkin, dinotasikan dengan ζ dan diberikan oleh:
ζ ; untuk , , … , dengan peluang
; untuk dengan peluang ∑
dengan , (3.14) dan bagian bilangan bulat dari angka real y dan n merupakan angka minimum. 3.3 Harga Premi pada Kontrak
Bacinello (2003) menentukan nilai tunai (wajar) dari asuransi jiwa endowmen dengan kontrak partisipasi yang mengandung opsi surrender yang dibedakan atas tiga bagian. Dengan demikian harga premi dengan opsi surrender
pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen dibagi atas tiga bagian, yaitu: 1. Harga premi pada kontrak dasar.
2. Harga premi pada kontrak partisipasi nonsurrenderable.
3. Harga premi pada keseluruhan kontrak. 3.3.1 Harga Premi pada Kontrak Dasar
Kontrak dasar pada polis partisipasi asuransi jiwa endowmen merupakan kontrak tanpa keuntungan dan tanpa surrender. Nilai kontrak ditentukan dengan tipe Eropa, yang hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo perjanjian.
Pada kontrak dasar polis endowmen, benefit adalah konstan dan premi dinotasikan dengan . Berdasarkan persamaan (3.5) premi yang dibayarkan pemegang polis adalah:
: :
∑ |
dengan adalah tingkat bunga pasar.
3.3.2 Harga Premi pada Kontrak Partisipasi Nonsurrenderable
Kontrak partisipasi nonsurrenderable pada asuransi jiwa endowmen merupakan kontrak dengan keuntungan dan tanpa surrender, yang nilainya ditentukan dengan tipe Eropa dan hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo perjanjian.
Pada kontrak partisipasi nonsurrenderable, benefit yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi mengalami perubahan setiap tahun. Nilai benefit pada waktu
dinotasikan dengan dan nilainya adalah:
untuk ,
untuk (3.16) dengan adalah nilai harapan dari pembayaran benefit.
Harga premi awal pada kontrak partisipasi nonsurrenderable ditentukan untuk dua kasus, yaitu harga premi jika besarnya premi dan benefit mengalami perubahan tiap tahun dengan nilai penyesuaiannya sama dan harga premi jika
benefit mengalami perubahan sedangkan besarnya premi tiap tahun konstan.
1. Harga Premi Awal jika Besarnya Premi dan Benefit Mengalami
Perubahan Tiap Tahun dengan Nilai Penyesuaian Sama
Nilai penyesuaian yang sama pada kontrak partisipasi nonsurrenderable
adalah . Dengan menggunakan persamaan (3.9) diperoleh:
…
. .
Substitusikan persamaan (3.17) pada persamaan (3.16), maka diperoleh nilai
. .
Berdasarkan persamaan (3.14), dengan nilai untuk , , … , yang menyebar identik maka didefinisikan nilai ζ ∑ ζ . Selanjutnya substitusikan nilai ζ pada persamaan (3.18) sehingga diperoleh:
ζ
ζ ζ , , , … , . .
Jika benefit mengalami perubahan setiap tahun, maka nilai tunai (wajar) asuransi jiwa endowmen disesuaikan dengan nilai benefit. Berdasarkan persamaan (3.19) maka diperoleh nilai tunai asuransi sebagai berikut:
: | | ζ ζ | ζ ζ ζ ζ | ζ ζ ζ ζ ζ ζ | ζ |
ζ : .
dengan ζ
ζ adalah tingkat suku bunga.
Pada kontrak partisipasi nonsurrenderable, premi tahunan dinotasikan dengan . Dengan menggunakan persamaan (3.9) dan nilai penyesuaian sama ( ) diperoleh besarnya premi sebagai berikut:
…
, , , … , . .
Berdasarkan persamaan (3.14), (3.16) dan (3.21), nilai premiadalah:
.
Dengan mensubstitusikan ζ , maka diperoleh nilai sebagai berikut: ζ ζ ζ ζ ζ , , , … , . . dengan ζ
Dengan menggunakan persamaan (3.22), maka diperoleh:
: .
Jika nilai tunai asuransi pada persamaan (3.20) sama dengan
: , maka diperoleh: ζ : : ζ : : ζ : ζ ∑ | ∑ . .
2. Harga Premi Awal Jika Benefit Mengalami Perubahan Tiap Tahun dan
Besarnya Premi Konstan
Pada kasus besarnya premi konstan maka benefit adalah:
, , , … ,
dengan . .
(Bukti: lihat lampiran 1 sub 1.1)
Pada kontrak partisipasi nonsurrenderable, jika premi tahunan konstan ( ) maka nilai benefit pada waktu 0 sebagai berikut:
, , … , . (3.25) (Bukti: lihat lampiran 1 sub 1.2).
Berdasarkan persamaan (3.25), maka diperoleh nilai wajar asuransi jiwa endowmen sebagai berikut:
: | | ζ ζ ζ ζ | ζ | ζ ζ | ζ | ζ : ζ : : , dengan : | . .
Harga premi pada kontrak partisipasi nonsurrenderable dinotasikan dengan dan dengan menggunakan persamaan (3.26) diperoleh nilainya sebagai berikut:
: :
ζ : ζ : :
ζ : : ζ : : : ζ : : ζ : ζ ζ : : ζ : : : ζ : ζ : ζ : ζ : ζ : . .
Berdasarkan persamaan (3.15) dan (3.26) maka diperoleh premi partisipasi sebagai berikut: ∑ | ∑ ζ ∑ | ζ ∑ ζ ∑ | ζ ∑ . .
3.3.3 Harga Premi pada Keseluruhan Kontrak
Kontrak keseluruhan adalah kontrak yang memberikan keuntungan dan memberikan hak surrender, yang nilainya ditentukan dengan tipe Amerika dan dapat dieksekusi kapan saja selama kontrak atau pada waktu jatuh tempo.
Pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen yang mengandung opsi
surrender, terdapat beberapa nilai, yaitu nilai surrender, nilai lanjutan (continuation), nilai kontrak keseluruhan dan besarnya premi pada keseluruhan kontrak.
1. Nilai Surrender
Nilai surrender pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen yang mengandung opsi surrender (keseluruhan kontrak) diberikan jika pemegang polis
tidak melanjutkan kontrak. Nilai surrender pada keseluruhan kontrak dinotasikan dengan , yang nilainya diberikan oleh:
, ,
, , , … , , .
dengan adalah tingkat diskon tahunan.
Nilai surrender pada waktu t diberikan oleh perusahaan asuransi bergantung pada benefit , yang didiskon dari saat jatuh tempo untuk tanggal surrender
dengan nilai . Kontrak surrender dimulai pada tahun kedua, yaitu setelah pemegang polis membayarkan premi tahunan yang ketiga.
2. Nilai Lanjutan (Continuation)
Pada keseluruhan kontrak, jika pemegang polis tidak menggunakan hak
surrender maka kontrak dilanjutkan, yang nilainya dinotasikan dengan dengan
, , … , . Pada waktu nilai lanjutan dari kontrak adalah:
, (3.30) dengan adalah tingkat suku bunga pasar, adalah benefit pada waktu T dan
adalah harga premi pada waktu .
Polis partisipasi asuransi jiwa endowmen yang mengandung opsi surrender,
alur kontraknya membentuk binomial tree yang recombining dan nilainya ditentukan dengan prosedur mundur yang dimulai dari waktu . Pada simpul
K dari tree, nilai lanjutannya dinotasikan dengan yang nilainya sebagai berikut:
, , , , … , , (3.31) dengan = nilai lanjutan pada waktu t di simpul K,
= benefit pada waktu t + 1 di simpul K,
= nilai keseluruhan kontrak pada waktu t + 1 di simpul K ketika
= nilai keseluruhan kontrak pada waktu t + 1 di simpul K ketika (dengan peluang ∑ ),
= premi pada waktu t di simpul K,
= peluang seseorang berumur meninggal dalam waktu 1 tahun, = peluang seseorang berumur masih hidup selama 1 tahun.
Nilai lanjutan pada merupakan perbedaan antara harapan risiko netral dari keuntungan terakhir yang didiskon untuk satu tahun dengan nilai bebas risiko, dan premi tahunan. Jika pemegang polis meninggal dunia maka akan menerima benefit atau jika masih hidup pemegang polis akan diberi hak atas nilai total kontrak yang sama dengan .
3. Nilai Keseluruhan Kontrak
Nilai keseluruhan kontrak dinotasikan dengan untuk , , … , . Pada waktu nilai keseluruhan kontrak adalah:
, ,
dengan adalah nilai surrender pada waktu .
Pada simpul K dari tree, nilai kontrak dinotasikan dengan dan nilainya adalah:
, , , , … ,
dengan adalah nilai surrender.
4. Harga Premi pada Keseluruhan Kontrak
Harga premi awal pada keseluruhan kontrak bergantung pada nilai keseluruhan kontrak. Jika nilai lanjutan lebih besar daripada nilai surrender, maka nilai keseluruhan kontrak sama dengan nilai lanjutan. Jika sebaliknya, nilai
surrender yang lebih besar, maka nilai keseluruhan kontrak sama dengan nilai
surrender. Dalam hal ini harga premi awal didefinisikan sebagai berikut:
.
Pada waktu , jika nilai kontrak bernilai wajar maka kewajiban perusahaan asuransi sama dengan kewajiban pemegang polis. Dengan demikian keseluruhan kontrak bernilai wajar jika , sehingga diperoleh:
. .
Berdasarkan persamaan (3.31), nilai lanjutan awal (t = 0) adalah sebagai berikut:
, .
dengan , , , … , adalah nilai kontrak keseluruhan dalam setiap simpul pada waktu .
Berdasarkan persamaan (3.32) dan (3.33), harga premi awal pada keseluruhan kontrak asuransi jiwa diperoleh sebagai berikut:
. .
Misalkan selama kontrak nilai surrender lebih kecil daripada nilai lanjutan, maka pemegang polis tidak menggunakan hak surrender, sehingga besarnya premi yang dibayarkan pada perusahaan asuransi sama dengan besarnya premi pada kontrak partisipasi nonsurrenderable.
PENGHITUNGAN NUMERIK
Pada bab sebelumnya telah diuraikan rumusan untuk menetapkan harga premi pada kontrak partisipasi asuransi jiwa endowmen yang mengandung opsi
surrender. Untuk melakukan penghitungan numerik mengenai besarnya premi yang dibayarkan pemegang polis pada perusahaan asuransi jiwa, dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 7.0.
4.1 Prosedur Penghitungan
Untuk menentukan besarnya premi yang dibayarkan oleh tertanggung kepada perusahaan asuransi, ditentukan dengan tiga bagian, yaitu premi dasar (tanpa keuntungan dan tanpa surrender), premi tanpa surrender dan premi dengan
keuntungan (opsi bonus) dan opsi surrender. Premi dasar ( ) ditentukan