Dengan prinsip turunan, fungsi minimum lokal dan uji turunan kedua diperoleh dan dilakukan pembulatan menjadi . Pada uji turunan kedua diperoleh nilai fungsi ragam kontribusi jangka panjang untuk
adalah sebesar sehingga terbukti minimum lokal, karena nilai pada uji turunan kedua positif.Perhitungan dalam mendapatkan solusi tersebut disediakan di Lampiran 5.
Ilustrasi Pendanaan Pensiun Metode Amortization Gains and Losess
Ilustrasi masa pendanaan dimulai dari tahun ke-0 sampai tahun ke-50. Semua asumsi yang telah dibahas sebelumnya tetap digunakan dalam perhitungan pendanaan pensiun metode amortization gains and losess. Tahap-tahap perhitungan pendanaan pensiun manfaat-pasti sebagai berikut:
1. Untuk tahun ke-0
Dana ( F ) dihitung menggunakan persamaan (6) dengan asumsi
yang mengakibatkan sehingga . Untuk tahun-tahun selanjutnya unfunded liability dihitung menggunakan persamaan (7). Kerugian dihitung menggunakan persamaan (10), karena untuk
sehingga .
Kontribusi tambahan dihitung dari persamaan (12) dengan dan ̈ |̅̅̅̅ ̈ |̅̅̅̅̅ 12.764maka diperoleh
∑ ̈ |̅̅̅̅ ̈ | ̅̅̅̅̅=
Kontribusi dihitung menggunakan persamaan (4) yaitu
,
.
Penggunaan rumus untuk mencari di tahun-tahun berikutnya menggunakan persamaan yang sama dengan tahun ke-0.
2. Untuk tahun ke-1
14.492. 0.001, ∑ ̈ |̅̅̅̅ ̈ | ̅̅̅̅̅= , .
20 14.492, 0.037, ∑ ̈ |̅̅̅̅ ̈ | ̅̅̅̅̅ = =
4. Untuk , berlaku langkah-langkah dan rumus yang sama. Dengan lembar kerja Microsoft Excel secara rekursif diperoleh hasil yang disajikan dalam Tabel 1. Dari Tabel 1 akan terlihat kapan suatu perusahaan mengalami laba atau rugi. Proses pendanaan hingga tahun ke-50 secara lengkap disajikan di Lampiran 6.
Tabel 1 Ilustrasi pendanaan pensiun manfaat-pasti pada metode amortization gains and losses dengan periode optimal ,
t 0 0 14.494 0 0 0 0.180 1 0.060 14.492 0.001 0.002 0.000 0.180 2 0.057 14.455 0.038 0.037 0.003 0.183 3 0.057 14.419 0.074 0.037 0.006 0.186 4 0.064 14.469 0.024 -0.048 0.002 0.182 5 0.062 14.496 -0.002 -0.025 0.000 0.180 6 0.064 14.551 -0.057 -0.055 -0.004 0.176 7 0.063 14.592 -0.098 -0.042 -0.007 0.173 8 0.064 14.649 -0.155 -0.058 -0.012 0.168 9 0.058 14.619 -0.125 0.027 -0.010 0.170 10 0.059 14.605 -0.112 0.011 -0.009 0.171 15 0.063 14.560 -0.067 -0.037 -0.006 0.174 20 0.063 14.465 0.029 -0.039 0.002 0.182 25 0.055 14.460 0.034 0.072 -0.004 0.176 30 0.062 14.462 0.032 -0.033 0.014 0.194 35 0.055 14.390 0.104 0.071 0.014 0.194 40 0.066 14.483 0.011 -0.086 0.006 0.186 45 0.061 14.476 0.018 -0.012 0.015 0.195 50 0.064 14.715 -0.221 -0.049 -0.003 0.177
Proses pendanaan dalam Tabel 1 menunjukkan bahwa keadaan rugi atau laba pemilik program pensiun sangat bergantung pada besarnya tingkat bunga pengembalian investasi yang sebenarnya. Jika tingkat bunga pengembalian investasi yang sebenarnya lebih besar dari asumsi tingkat bunga
21 pengembalian yaitu maka pemilik program pensiun akan mengalami laba. Hal ini terlihat pada pendanaan tahun ke-4, 5, 6, 7, dan 8 dengan kerugian yang terjadi bernilai negatif. Namun ketika memasuki tahun ke-9 kerugian yang terjadi bernilai positif. Hal ini menandakan bahwa pemilik program pensiun mengalami kerugian karena tingkat bunga pengembalian investasi yang sebenarnya lebih kecil dari asumsi tingkat bunga pengembalian aktuaria . Untuk mengatasi kerugian yang dialami, langkah yang diambil oleh perusahaan adalah dengan menaikkan besarnya kontribusi. Dapat dilihat dari tahun ke-8 dan tahun ke-9 yang besarnya kontribusi meningkat dari 0.168 ke 0.170. Peningkatan besarnya kontribusi ini dipengaruhi oleh adanya kontribusi tambahan. Kontribusi tambahan diperoleh menggunakan metode amortization gains and losses yang mengakumulasikan semua kerugian yang terjadi di tahun-tahun sebelumnya. Semakin tinggi kerugian dari tahun-tahun ke tahun-tahun maka kontribusi tambahanakan meningkat yang menyebabkan besarnya kontribusi semakin tinggi. Namun di sisi lain, jika pemilik program mengalami keuntungan maka keuntungan tersebut dapat menurunkan besarnya kontribusi pada tahun tersebut. Dengan demikian sistem yang seperti ini dapat saling menguntungkan antara peserta dan pemilik program pensiun.
Penentuan periode optimal dapat menstabilkan fluktuasi besarnya kontribusi dari tahun ke tahun. Dari Tabel 1 terlihat bahwa dengan periode yang optimal dalam mengamortisasi kerugian, kontribusi yang dibebankan kepada peserta program pensiun cenderung stabil dan fluktuasinya cukup rendah.
Perbandingan Laju Kontribusi terhadap Periode
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa pendanaan program pensiun yang menggunakan periode optimal akan menstabilkan besarnya kontribusi dari tahun ke tahun. Untuk mengetahui perbedaan laju kontribusi setiap tahunnya dengan periode yang tidak optimal diilustrasikan dalam grafik berikut:
22
Grafik tersebut diperoleh dengan melakukan pendanaan program pensiun untuk periode yang berbeda selama 50 tahun. Tabel pendanaan untuk periode yang berbeda disajikan di Lampiran 7, Lampiran 8, Lampiran 9, dan Lampiran 10. Dari gambar tersebut terlihat bahwa untuk memiliki laju kontribusiyang relatif stabil dibandingkan dengan periode m yang lain, karena naik turunnya nilai kontribusi tidak terlalu jauh. Fluktuasi yang tinggi terjadi saat , hal ini terjadi karena kerugian yang terjadi pada saat t langsung dibayarkan pada saat t
sehingga tidak ada proses penyusutan kerugian secara berkala yang berakibat pada besarnya kontribusi yang tinggi. Namun pada , pergerakan laju kontribusinya sangat lambat dan terlihat cenderung stabil. Hal ini terjadi karena penyebaran kerugian dilakukan dalam waktu yang lama sehingga jelas bahwa laju kontribusi dari tahun ke tahun pasti rendah. Penyusutan kerugian dalam jangka waktu yang lama akan merugikan pemilik program pensiun karena kerugian akan tertutupi dalam jangka waktu yang lama pula.
Dari grafik terlihat bahwa untuk , , cenderung berimpit dengan sehingga sulit disimpulkan periode yang lebih optimal. Karena penentuan periode optimal berasal dari minimum fungsi ragam kontribusi jangka panjang, dari Tabel 2 menunjukkan bahwa nilai ragam kontribusi jangka panjang yang paling kecil adalah . Dengan demikian membuat laju kontribusi stabil dalam jangka panjang karena memiliki ragam kontribusi yang paling kecil yaitu 0.000157.
Tabel 2 Ragam kontribusi jangka panjang dengan berbagai periode
yang berbeda 1 0.001167 15 0.000165 0.000157 30 0.000164 40 0.000183
Perbandingan Hasil Optimal Metode Amortization Gains and Losses dan Metode Spreading Gains and Losses dalam Jangka Panjang
Dalam karya ilmiah ini juga dibahas tentang perbandingan hasil optimal pada metode amortization gains and losses dan spreading gains and losses.
Sekilas tentang metode spreading gains and losses merupakan metode penentuan
supplementary contribution (kontribusi tambahan) dengan perumusan kontribusi tambahan pada tahun ke-t sebanding dengan unfunded liability yang diboboti dengan suatu proporsi k tertentu. Proporsi sebesar k ini dipengaruhi oleh periode selama m (tahun) untuk menutupi unfunded liability. Dengan demikian kontribusi tambahan dirumuskan sebagai berikut:
̈
| ̅̅̅̅
23 Perbandingan antara kedua metode tersebut dilakukan karena kedua metode ini sering digunakan di negara-negara berkembang. Dengan asumsi-asumsi yang sama, periode optimal secara langsung dapat dibandingkan. Unsur yang dapat dibandingkan dari kedua metode tersebut adalah hasil periode optimal dari fungsi minimum ragam kontribusi jangka panjang dan besarnya minimum ragam kontribusi jangka panjang. Diperoleh minimum fungsi ragam kontribusi jangka panjang metode spreading gains and losses sebagai berikut:
(
( ( )
Hasil optimal dari metode spreading gains and losses diperoleh dari persamaan (26) yang diseleseikan dengan cara yang sama dengan metode
amortization gains and losses. Perhitungan secara lengkap dan diperolehnya rumus tersebut disajikan di Lampiran 12. Hasil optimal dari setiap metode tersebut adalah dan Hasil ini tidak bisa secara langsung disimpulkan bahwa metode spreading gains and losses lebih baik dari metode amortization gains and losses dalam hal proses penyusutan kerugian. Namun, besarnya ragam kontribusi jangka panjang dari setiap metode yang lebih menentukan, sehingga diperlukan nilai ragam dari masing-masing metode dan disajikan dalam tabel berikut ini:
Tabel 3 Ragam kontribusi jangka panjang pada metode amortization gains and losses dan metode spreading gains and losses dengan variasi periode 1 0.001167 0.001169 0.000177 0.000129 15 0.000165 0.000131 0.000157 0.000157 30 0.000164 0.000218 40 0.000183 0.000357
Dengan periode optimal setiap metode ternyata metode spreading gains and losses menghasilkan ragam kontribusi jangka panjang yang lebih kecil. Selain itu jika dilihat dari besarnya setiap periode optimal, periode pada metode spreading gains and losses lebih kecil dibandingkan dengan metode amortization gains and losses . Hal ini berarti bahwa, metode spreading gains and losses lebih cepat mentupi kerugian dengan ragam kontribusi yang kecil . Dengan demikian dapat dikatakan bahwa metode spreading gains and losses lebih baik dibandingkan dengan metode amortization gains and losses