Pada bagian ini, hasil ekspresi analitik yang telah diperoleh akan disimulasikan dengan menggunakan sistem manual dan software Matlab 7.0. Untuk memperlihatkan keterkontrolan beberapa sistem pendulum antara lain: 1. Sistem pendulum biasa tunggal dengan lintasan datar
a. Panjang pendulum l= 0.5m. b. Massa pendulum m = 1 kg. c. Massa motor M = 2 kg.
d. Percepatan grafitasi bumi g =10m/s2.
Selanjutnya karena 3 ( ) 3 (4 ) (4 ) g M m u l M m l M m θ = − + θ− + + dan 3 4 4 4 mg x u M mθ M m = − − + + maka diperoleh 20 2 3u θ= − θ− dan 10 4 3 9 x= − θ− u . Dengan menggunakan
software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum biasa yang
takstabil diberikan oleh grafik pada Gambar 14 berikut:
Berdasarkan Gambar 14, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 4.4721 , 4.4721 ] masih ada yang positif. Sistem
tersebut dapat distabilkan dengan cara memilih sinyal input/kontrol yang tepat.
Persamaan sistem dinamik dari pendulum adalah dengan
mensubstitusikan sinyal kontrol , sistem pada persamaan diperoleh
menjadi . Selanjutnya ditentukan vektor yang berukuran 1x
sedemkian rupa sehingga memiliki nilai eigen yang dikehendaki.
Proses mendapat yang dikatakan pole placement.
Syarat agar pole placement dapat dilakukan dengan melihat apakah sistem tersebut terkontrol. Jika sistem terkontrol , maka pole placement dapat dilakukan. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi
stabil memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3, 1,
15], maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum biasa yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 15 berikut:
2. Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar
Diketahui: 50 cm = 0,5 m, 1 kg, 2 kg, g 10 m/s2.
Selanjutnya, karena = g (1 + )θ dan g
maka diperoleh 20 0.67 dan 3.33 0.44 . Dengan
menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 16 berikut:
Gambar 16 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Datar Takstabil
Berdasarkan Gambar 16, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 4.4721, 4.4721] masih ada yang positif. Misalkan
poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil
memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3, 1, 15],
maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan datar yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 17 berikut:
3. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar
Diketahui: 2 kg, = =m=1 kg, =0.5 m, =0.2 m , g 10 m/s2.
Selanjutnya diperoleh 36.28 8.37 2 0.35 , = 43.26
5.58 0.07 , dan 6.98 0.69 0.44 . Dengan menggunakan
software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda
dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 18 berikut:
Gambar 18 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Takstabil
Berdasarkan Gambar 18, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 6.2859, 6.2859, 5 3.9633 , 6 3.9633]
masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 4 2 √3, 4 2 √3,
3, 5, 7, 12], maka diperoleh keterkontrolan pada
sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 19 berikut:
Gambar 19 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Stabil
4. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar
Diketahui: M 5kg, 0,1 m, g 10 m/s2, 2 kg, 1 kg.
Selanjutnya diperoleh =18.91 1.96 0.26 , 19.56
84.78 1.30 , dan 2.61 1.30 0.17 . Dengan menggunakan
software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual
dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 20 berikut:
Gambar 20 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Takstabil
Berdasarkan Gambar 20, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 6.2859, 6.2859, 5 3.9633, 6 3.9633]
memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3,
1, 2, 5 , 7], maka diperoleh keterkontrolan pada
sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 21 berikut:
Gambar 21 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Stabil 5. Sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring
Diketahui: 2 kg, l=50 cm = 0,5 m, 1 kg, g 10 m/s2 , α=600.
Selanjutnya diperoleh = 8 0.27 14.70 dan = 0.67 0.36 0.23 .
Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 22 berikut:
Berdasarkan Gambar 22, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 2.8284, 2.8284] masih ada yang positif. Misalkan
poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang takstabil menjadi stabil
memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3, 1, 15],
maka diperoleh keterkontrolan pada sistem pendulum terbalik tunggal dengan lintasan miring yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 23 berikut:
Gambar 23 Sistem Pendulum Terbalik Tunggal dengan Lintasan Miring Stabil 6. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring
Diketahui: 2 kg, = =m=1 kg, =0.5 m, =0.2 m , g 10 m/s2
α=600. Selanjutnya diperoleh 13.50 4.65 0.06u 7.67,
23.25 27.68 0.11 3.83, dan 1.11 0.11 +0.28
7.61. Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 24 berikut:
Berdasarkan Gambar 24, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 5.76, 2.8307, 5 5.76, 6 2.8307] tak
negatif semuanya. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3,
10, 2, 1, 5], maka diperoleh keterkontrolan pada
sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 25 berikut:
Gambar 25 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Stabil
7. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring
M=5kg, 0.5 m, 0,1 m, g 10 m/s2 , 2kg, 1kg, α=600
Selanjutnya diperoleh =15.78 0.78 0.21 7.17, =2.19
39.44 0.21 107.51, dan = 0.52 0.52 +0.28 7.76.
Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 26 berikut:
Gambar 26 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Takstabil Berdasarkan Gambar 26, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 6.2859, 6.2859, 5 3.9633 , 6 3.9633 ]
tak negatif semuanya. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3,
10, 2, 5, 6], maka diperoleh keterkontrolan pada
sistem pendulum dual dengan lintasan miring yang stabil diberikan oleh grafik pada Gambar 27 berikut:
Gambar 27 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Stabil 8. Sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar
Selanjutnya diperoleh 3.63 0.84 2 0.07 , = 8.37
11.16 0.07 , dan 6.98 0.69 0.44 . Dengan menggunakan
software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda
dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 28 berikut:
Gambar 28 Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Datar Takstabil Berdasarkan Gambar 28, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 3.4641, 1.6703, 3.4641, 1.6703]
masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 5 2 √3, 5 2 √3,
1, 2, 5, 2], Selanjutnya ditentukan vektor yang
berukuran 1x6 sedemkian rupa sehingga ( ) memiliki nilai eigen yang
dikehendaki. Tapi nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan datar. Jadi sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan
datar tak terkontrol pada dan l1=5l2.
9. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar
Diketahui: M 5kg, 0,1 m, g 10 m/s2 , 2 kg, 1 kg.
Selanjutnya diperoleh =8.48 1.96 0.13 , 0.98 9.46
Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar diberikan oleh grafik pada Gambar 29 berikut:
Gambar 29 Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Datar Takstabil. Berdasarkan Gambar 29, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 3.2311, 2.7386, 3.2311 , 2.7386]
masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3,
10, 5, 1, 2]. Selanjutnya ditentukan vektor yang
berukuran 1x6 sedemkian rupa sehingga ( ) memiliki nilai eigen yang
dikehendaki. Tapi nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar. Jadi sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan datar tak terkontrol pada panjang pendulum l1=l2.
10. Sistem Pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring
Diketahui : 40 , 3m, , = =m=1 kg, g 10m/s2 , α=600 ,
M 2kg dan peroleh persamaan u √ ,
√ dan +
√
23.25 27.68 0.11 3.83, dan 1.11 0.11 +0.28 7.61. Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring diberikan oleh grafik pada Gambar 30 berikut:
Gambar 30 Sistem Pendulum Terbalik Ganda dengan Lintasan Miring Takstabil Berdasarkan Gambar 30, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 2.1307, 1.9391, 2.1307 , 1.9391]
masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3,
1, 15]. Selanjutnya ditentukan vektor yang berukuran 1x6
sedemkian rupa sehingga ( ) memiliki nilai eigen yang dikehendaki. Tapi
nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring. Jadi sistem pendulum terbalik ganda dengan lintasan miring tak
11. Sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring
Diketahui :M=5kg, 0,1 m, g 10 m/s2 , 2kg, 1kg,
α=600. Selanjutnya diperoleh =15.78 0.39 0.21 7.17,
=1.94 39.45 1.03 107.51, dan = 0.52 0.52 +0.28
7.76. Dengan menggunakan software Matlab maka diperoleh keterkontrolan sistem pendulum terbalik dual diberikan oleh grafik pada Gambar 31 berikut:
Gambar 31 Grafik Sistem Pendulum Terbalik Dual dengan Lintasan Miring Takstabil
Berdasarkan Gambar 128, sistem yang diperoleh takstabil karena nilai eigen
[ 0, 0, 2.1307, 1.9391, 2.1307, 1.9391]
masih ada yang positif. Misalkan poles yang dikehendaki dari suatu sistem dengan memilih matriks penyesuai dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem yang
takstabil menjadi stabil memiliki poles di [ 2 2 √3, 2 2 √3,
1, 5, 8, 1 . Selanjutnya ditentukan vektor yang
berukuran 1x6 sedemkian rupa sehingga ( ) memiliki nilai eigen yang
dikehendaki. Tapi nilai tidak diperoleh maka nilai eigen yang dikehendaki tak ada, sehingga grafik yang stabil tidak diperoleh pada sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan miring. Jadi sistem pendulum terbalik dual dengan lintasan
12. Simulasi Karakterisasi Parameter Pada Masalah Tracking Error Optimal Sistem Pendulum Terbalik Dual
Nilai tracking error optimal pada sistem pendulum terbalik dual dipengaruhi oleh panjang pendulum dan rasio panjang kedua pendulum. Hubungan antara rasio panjang kedua pendulum dan nilai tracking error secara lengkap dapat dilihat pada gambar berikut ini.
Rasio panjang kedua pendulum Dan tracking error optimal
Gambar 32 Grafik Rasio Panjang Kedua Pendulum dan Tracking Error Optimal Dari Gambar 32 dapat dilihat bahwa nilai tracking error semakin besar apabila rasio panjang kedua pendulum kecil atau rasio panjang kedua pendulum besar atau rasio panjang kedua pendulum mendekati satu. Sehingga ada satu rasio panjang kedua pendulum yang membuat nilai tracking error optimal yaitu rasio panjang kedua pendulum minimum. Sehingga sistem pendulum dual dengan lintasan miring selalu terkontrol kecuali pada panjang pendulum l1=l2.